Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

Transkript

1 Kurs: HF9 Matmatik, Momnt TEN (Anals) atum: augusti 5 Skrivtid 8:5 :5 Eaminator: Armin Halilovic Undrvisand lärar: Elias Said För godkänt btg krävs av ma 4 poäng. Btgsgränsr: För btg A, B, C,, E krävs, 9, 6, rspktiv poäng. Komplttring: 9 poäng på tntamn gr rätt till komplttring (btg F). Vm som har rätt till komplttring framgår av btgt F på MINA SIOR. Komplttring skr c:a två vckor ftr att tntamn är rättad. Om komplttring är godkänd rapportras btg E, annars rapportras F. Hjälpmdl: Endast bifogat formlblad (miniräknar är int tillåtn). Till samtliga inlämnad uppgiftr fordras fullständiga lösningar. Skriv ndast på n sida av papprt. Skriv namn och prsonnummr på varj blad. Inlämnad uppgiftr skall markras md krss på omslagt Skriv klass på omslagt, A, B llr C. nna tntamnslapp får j bhållas ftr tntamnstillfällt utan ska lämnas in tillsammans md lösningar Uppgift. (p) Låt funktionn f () vara: f ( ) ln( ) ln( + ), < Har f () någon invrs? Bstäm i så fall invrsn. Uppgift. (p) Bräkna gränsvärdna: + a) lim + 6 (p) b) lim sin(5 5 ) (p) Uppgift. (p) Bstäm konstantn m så att funktionn blir kontinurlig i. sin( ) f ( ) + m om om < Var God Vänd!

2 Uppgift 4. (p) Gnom n punkt P på kurvan: ln, < < dras två linjr paralllla md koordinatalarna. ssa båda linjr bildar tillsammans md koordinatalarna n rktangl vars ara varirar då punktn P får röra sig längs kurvan. Bstäm dt största värd som rktanglns ara kan anta. Uppgift 5. (4p) + Rita kurvan så att dss viktigast drag framträdr. Bl. a. skall dfinitionsmängdn, vntulla lokala maimi och minimipunktr samt vntulla asmptotr (vågräta/lodräta/snda) bstämmas. Uppgift 6. (p) Bräkna intgraln: d. Uppgift 7. (p) Bstäm n primitiv funktion till funktionn f 8 4 ). ( + )( + ) ( Uppgift 8. (p) Ett plant områd bgränsas av kurvorna och. Bräkna volmn av dn kropp som uppkommr då områdt rotrar tt varv kring -aln. Uppgift 9. (p) Bstäm d stationära punktrna samt avgör dras karaktär (ma, min llr sadlpunkt) till flrvariablfunktionn f (, ) 8 Uppgift. (p) Bstäm tngdpunktskoordinatrna, ) för områdt som dfiniras av ( c c, och +. Formlr för tngdpunktskoordinatr finns i formlbladt. Lcka till!

3 Lösningsförslag Uppgift. (p) Notra att funktionn ln( ) ln( + ) är dfinirad om i) >, ii) + > och iii) ln( ) ln( + ) som gör <. Låt f () och <. Från f ( ) ln( ) ln( + ) ln ln Alltså har vi fått högst n lösning m.a.p. till kvationn f (). ärmd är funktionn invrtrbar och f ( ) + Svar: f ( ). + - Rätt llr fl. -Enklar räknfl -p llr kvivalnt f ( ). + Uppgift. (p) + a) lim lim ( + )( ) lim 5 lim sin(5 ) 5 5cos(5) lim 5 sin(5) b) { LH} Svar: a) b) 5 a) Rätt llr fl. b) Rätt llr fl. Uppgift. (p) Funktionn är kontinurlig i punktn a när lim f ( ) lim f ( ) f ( a) sin( ) f ( ) + m om om < a a +

4 sin( ) i) lim f ( ) lim { LH} cos( ) cos( ) lim lim 6 6 ii) iii) lim f ( ) lim ( + m) m + + f ( ) m lim f ( ) m f () lim f ( ) Svar: m - Rätt gränsvärdbräkning +p. m Uppgift 4. (p) ln, < < Tckna aran för rktangl md sidorna och ln som funktion av A( ) ln A ( ) ln och A ( ) A ( ) ln och A ( ) < gr att dt är n MAX-punkt Största aran: A( ) ln Svar: - Rätt aras funktion +p. Fl aras funktion p. Uppgift 5. (4p) + Funktionn är dfinirad för R mn. Vi har att + lim f ( ) lim Vågrät asmptot saknas. Linjn lodrät ( vrtikal) asmptot ftrsom + lim f ( ) lim lim f ( ) lim Snda asmptotr rhålls gnom polnomdivision som gr: 4

5 + + snd asmptot (ftrsom ± ) går mot då går mot + Ekvationn dvs nollställ. saknas lösning, därför har funktionn int någon Stationära punktr: ( ) f ( ) ( ) ( ) llr. Karaktärn av d stationära punktrna undrsöks via andra drivatan f ( ). ( ) f ( ) < ( ) är n maimipunkt, f ( ) > ( ) är n minimipunkt. visar att f ( ) är tt lokalt maimum och f ( ) är tt lokalt minimum. Enligt ovan har kurvan dn lodräta asmptotn och n snd asmptot. Vi får graf nligt figurn ndan. Svar: Funktionn är dfinirad om R och. Asmptotr: En snd asmptot, En vrtikal asmptot. Stationära punktr:, maimipunkt och, minimipunkt. Grafn: S ovanstånd figur. - Rätta asmptotr +p. - Rätta stationära punktr och dss tp +p. 5

6 - Rätt graf +p. - Rätta asmptotr mn j rätt drivatan gr ma p. Uppgift 6. (p) d dt dt Variablsubstitution: t d, t, t d t Svar: dt t t dt + - Fl variablsubstitution p. - Enstaka fl i slut stgt av intgrring ifall första dln är korrkt gr ma p. Uppgift 7. (p) 8 4 f ( ) ( + )( + ) d [ partialbråksuppdlning] + d + + ( ) ( )( ) ( + + ) d 6ln + + ln( + ) + arctan + C Svar: 6ln + + ln( + ) + arctan ( + C) - Rätt partialbråksuppdlning +p. Rstn är rätt +p. - Ej korrkt bstämning av primitiv funktion p. Uppgift 8. (p) båda kurvorna skär varandra i och där är övr kurvan. Volmlmntts volm: dv ( ) )d n sökta volmn: V ( ) ) d ( ) d... v.. 6 Svar: V v Rätt tcknad volmintgral +p. Fl intgraltckning p. - Ej korrkt bräkning av intgraln -p. 6

7 Uppgift 9. (p) f (, ) f f 8 8 ( 4 8) 8 f f z f (,) Stationära punktn har koordinatr (, ) (, ). ss karaktär bstäms via d samband som hittas i formlbladt A f 4 + ( 4 8)( 4 8) A(,) 4 ( 4 8) 8 B f B(,) C f 8 ( ) AC B 4 ( ) 8 >, samt Alltså är (,) funktionns maimipunkt. Svar: (,) är funktionns maimipunkt. A < C(,) 8 maimipunkt - Rätt partilla drivring samt bräkning av stationära punktn +p. Ej korrkt drivring p. - Ej korrkt bräkning av stationära punktn dock rätt mtod -p. - Rätt anals/undrsökning av vntulla stationära punktr gr ttrligar p. Uppgift. (p) För bräkning av tngdpunktn används formlrna: c dd Aran( ) c dd Aran( ), och + Områdt är n cirklsktor md radin och bfinnr sig i dn första kvadrantn. Aran ( ) r 4 4 Polära koordinatr skall användas i dtta fall: r cos θ, r sinθ, dd rdrdθ [ sinθ ] dd r dr cosθ dθ r dr r [ cosθ ] dd r dr sinθ dθ r dr r Tngdpunktr blir: 4 4 c ( ) dd Aran r dr r dr 7

8 c Aran( ) dd Svar: T(, ) - Rätt intgraltckning samt rätt intgration +p. Fl i dtta stg gr p. - Ej hänsn tagn till ara -p. - Ovan rätt mn j bräknad tngdpunktskoordinatr -p. 8