Matematisk statistik

Transkript

1 Tntamn TEN HF -- Matmatisk statistik Kuskod HF Skivtid: 8:-: Läa: Amin Halilovic Hjälpmdl: Bifogat fomlhäft "Foml och tabll i statistik " och miniäkna av vilkn typ som hlst. Skiv namn på vaj blad och använd nytt blad fö vaj uppgift. Rita tydliga figu! Dnna tntamnslapp få j bhållas ft tntamnstillfällt utan lämnas in tillsammans md lösninga. Poängfödlning och btygsgäns: Tntamn g maimalt poäng. Btygsgäns: Fö btyg A, B, C, D, E kävs, 4,, spktiv poäng. Kompltting: poäng på tntamn g ätt till kompltting btyg F. Vm som ha ätt till kompltting famgå av btygt F på MINA SIDOR. Kompltting sk c:a två vcko ft att tntamn ä ättad. Om kompltting ä godkänd appotas btyg E, annas appotas F. Uppgift. p Baa fö dm som int klaat ks. Ett vaupati om nht innhåll dfkta nht. En köpa ta på måfå och utan åtläggning nht och undsök dssa. a Vad ä sannolikhtn att akt av dssa ä dfkta? b Vad ä sannolikhtn att högst ä dfkta? c Vad ä sannolikhtn att minst 4 ä dfkta? Du ska svaa md binomiska kofficint. Uppgift. p Baa fö dm som int klaat ks.

2 En stokastisk vaiabl X ha födlningsfunktionn F om < a Bstäm täthtsfunktionn fkvnsfunktionn f till vaiabln X. b Bstäm mdiann till vaiabln X. Uppgift. p Baa fö dm som int klaat ks. En studnt gjod 4 mätninga fö n nomalfödlad stokastisk vaiabl X N μ, σ, dä standadavviklsn ä känd, σ, och fick ndanstånd sultat: [, 4,, 4] Bstäm tt konfidnsintvall fö mdlvädt μ md 9 % konfidnsgad. Uppgift 4. p i En stokastisk vaiabl X ha fkvnsfunktionn f c, < < fö övigt a p Visa att paamtn c ha vädt c. b p Bäkna sannolikhtn P < X <.. c p Bstäm väntvädt mdlväd till X d p Bstäm mdiann till X ii p Låt A, B vaa konstant och X n kontinulig s. v. Bvisa fomln E ax + b ae X + b. Uppgift. 4p Låt Y vaa summan av s.v. Y X L + + X + X som ha väntvädt μ EX k och standad avviklsn σ DX k. a Bäkna sannolikhtn P Y b Bäkna sannolikhtn P <Y < c Bstäm talt så att P Y >. Uppgift. 4p På tt konto finns tlfon. Antalt ankommand samtal und n vis tidspiod av timm ä fö spktiv tlfon obond Poisson-födlad stokastiska vaiabl md spktiv paamta:,.,, och. Vad ä sannolikhtn att und tidspiodn timm ankomm akt samtal? Uppgift. p Linjä minstakvadatanpassning

3 a Anpassa linjn y a + b d v s bstäm a och b, nligt minsta kvadat-mtodn, till mätdata X Y b Skissa däft gafn som innhåll linjn y a + b och punktna X,Y fån ovanstånd tabll. Uppgift 8. p Ett systm ha i gnomsnitt fl p å. Rpaationstid ä ponntialfödlad och systmts paationstid ä i gnomsnitt månad. Vid t ä systmt i funktion. Vi btckna p sannolikhtn fö att systm funga vid tidpunktn t och t p t sannolikhtn fö att systm int funga vid tidpunktn t. a Rita gafn md övgångsintnsitt tidsnht å. b Bstäm Q-matisn. c Bstäm dn stationäa sannolikhtsvkton, dvs lös kvationn p Q. d Bstäm dn tansinta sannolikhtsvkton, dvs lös systmt p p Q md avsnd på p p, p Bstäm sannolikhtn att systmt ä i funktion vid tidsmomnt t. å. Lycka till! FACIT: Uppgift. p Baa fö dm som int klaat ks. Ett vaupati om nht innhåll dfkta nht. En köpa ta på måfå och utan åtläggning nht och undsök dssa. a Vad ä sannolikhtn att akt av dssa ä dfkta? b Vad ä sannolikhtn att högst ä dfkta? c Vad ä sannolikhtn att minst 4 ä dfkta? Du ska svaa md binomiska kofficint. Sva:

4 a Pakt av dssa ä dfkta b Phögst ä dfkta c Pminst 4 dfkta Uppgift. p Baa fö dm som int klaat ks. En stokastisk vaiabl X ha födlningsfunktionn < om F a Bstäm täthtsfunktionn fkvnsfunktionn f till vaiabln X. b Bstäm mdiann till vaiabln X. a < om F f b Mdiann bstäms u kvationn.8 ln ln/ ln. ln.... F Sva : a < om f b Mdiann 8. ln

5 Uppgift. p Baa fö dm som int klaat ks. En studnt gjod 4 mätninga fö n nomalfödlad stokastisk vaiabl X N μ, σ, dä standadavviklsn ä känd, σ, och fick ndanstånd sultat: [, 4,, 4] Bstäm tt konfidnsintvall fö mdlvädt μ md 9 % konfidnsgad. Eftsom., σ, λ α /,, ha vi σ σ λα /, + λα / n n Sva.4,..4,. Uppgift 4. p i En stokastisk vaiabl X ha fkvnsfunktionn f c, < < fö övigt a p Visa att paamtn c ha vädt c. b p Bäkna sannolikhtn P < X <.. c p Bstäm väntvädt mdlväd till X d p Bstäm mdiann till X ii p Låt A, B vaa konstant och X n kontinulig s. v. Bvisa fomln E ax + b ae X + b. c a f d c d c. c 8 b P < X <. d [ ]..48. c EX f d d d mdiann till X ä lösningn till kvationn F. som ä kvivalnt md att lösa på kvationn

6 / f dt. t dt. [ t ] ax b a + b f d E + [ af + bf ] d d + b f d nota att a f ae X + b V.S.B. f d EX och att f d Uppgift. 4p Låt Y vaa summan av s.v. Y X L + + X + X som ha väntvädt μ EX k och standad avviklsn σ DX k. a Bäkna sannolikhtn P Y b Bäkna sannolikhtn P <Y < c Bstäm talt så att P Y >. Fö Y X + X + + X L. ha vi n, μ EX k och σ DX k. Då gäll: Y ä appoimativt N n m, σ n N, fomlblad, cntala gänsvädssatsn. a Däfö P Y F Φ Φ.44. b P <Y < F F Φ.44 Φ...4. c P Y >. P Y.9 Φ. 9,8 +,8 8 Sva: a P Y. b P <Y <. c 8 Uppgift. 4p På tt konto finns tlfon. Antalt ankommand samtal und n vis tidspiod av timm ä fö spktiv tlfon obond Poisson-födlad

7 stokastiska vaiabl md spktiv paamta:,.,, och. Vad ä sannolikhtn att und tidspiodn timm ankomm akt samtal? Till kontot ankomm i gnomsnitt totalt samtal p n timm Poisson-födla. Fö Poisson födlning ä paamt λ lika md väntvädt μ. Alltså λμ. Enligt fomlblad ha vi P X λ! λ!,8 Sva: P X,8 Uppgift. p Linjä minstakvadatanpassning a Anpassa linjn y a + b d v s bstäm a och b, nligt minsta kvadat-mtodn, till mätdata X Y b Skissa däft gafn som innhåll linjn y a + b och punktna X,Y fån ovanstånd tabll. Vi substitua X,Y i linjns kvation a+b y a + b och få följand oläsbaa systm: a+b a+b a+b Systmt skiv vi på matisfom a A Y b :

8 b a Vi multiplica systmt fån vänst md A T b a, och få följand lösbaa nomalsystm : 4 4 b a * Vi kan lösa matiskvationn * md hjälp av invsmatisn ll gnom att skiva * ign som tt kvationssystm: 4a +b a +4b. Vi fönkla ovanstånd systm och få a +b a +b. Vi multiplica fösta kv. md och anda md : 4 a +b 9 a b 8. Addition av ovanstånd kv. g n kv md n obkant a 4 Häav a 4/. Insättning i t a +b g b 9/ Gafn:

9 Sva: a 4/, b 9/. Uppgift 8. p Ett systm ha i gnomsnitt fl p å. Rpaationstid ä ponntialfödlad och systmts paationstid ä i gnomsnitt månad. Vid t ä systmt i funktion. Vi btckna p sannolikhtn fö att systm funga vid tidpunktn t och t p t sannolikhtn fö att systm int funga vid tidpunktn t. a Rita gafn md övgångsintnsitt tidsnht å. b Bstäm Q-matisn. c Bstäm dn stationäa sannolikhtsvkton, dvs lös kvationn p Q. d Bstäm dn tansinta sannolikhtsvkton, dvs lös systmt p p Q md avsnd på p p, p Bstäm sannolikhtn att systmt ä i funktion vid tidsmomnt t. å. a Rpaationstid ä i gnomsnitt månad mdfö att paationsintnsitt ä paation p å. Gafn md övgångsintnsitt :

10 b Q c Låt p, y vaa dn stationäa sannolikhtsvkton d v s dn sannolikhtsvkto som satisfia p Q. Då gäll i + y dtta gäll ftsom p, y ä n sannolikhtsvkto, och ii, y, Vi få systmt: + y kv + y kv y kv Ekvation t ä popotionll md kv och däfö bstämm vi, y fån d fösta två kvation: + y kv + y kv / Addition av ovanstånd kv g y dvs y y Sva c Dn stationäa vkton ä p /, / d Vi substitua p p, p i kvationn t p, p p, p p p + p kv a p p p kv b t p p Q och få samt p + p kv c kv c gäll ftsom p, p ä n sannolikhtsvkto. Fån kv c få vi p p som vi substitua i kv a fö att få n diffncial kvation md obkant funktion p t : p p + p Eft fönkling ha vi följand kvation md konstanta kofficint:

11 p + 4 p * Motsvaand kaaktistiska kvationn till homogna dln ä och dämd ä 4t Yh C dn allmänna lösningn till dt homogna dln. En patikulä lösning få vi md hjälp av ansatsn y p A ftsom högldt i * ä, dvs n konstan Substitutionn av y p A i * gö + 4A A /4 / Alltså y p / Däfö p Y + y 4t C / h p + Bgynnlsvillkot: Enligt antagand ä systmt i funktion vid t. Däfö p. Alltså C t + / C / och 4t p + Fö att få p använd vi p t p och få t t p 4t Sva d p p, p + Sva p..8 4t, 4t