TENTAMEN Datum: 28 maj 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel

Transkript

1 TENTAMEN Datum: 8 maj 08 TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kursr: Matmatk och matmatsk statstk, Matmatk TEN: Dffrntalkvatonr, kompla tal och Talors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000, L000 Skrvtd: :-7: Hjälpmdl: Bfogat formlblad och mnräknar av vlkn tp som hlst Lärar: Armn Hallovc Dnna tntamnslapp får j bhållas ftr tntamnstllfällt utan lämnas n tllsammans md läsnngar Poängfördlnng och btgsgränsr: Tntamn bstår av 8 uppgftr á p och gr mamalt poäng Btgsgränsr: För btg A, B,, D, E krävs 0,, 0, rspktv poäng Komplttrng: 0 poäng på tntamn gr rätt tll komplttrng btg F Vm som har rätt tll komplttrng framgår av btgt F på MINA SIDOR Komplttrng skr c:a två vckor ftr att tntamn är rättad Om komplttrng är godkänd rapportras btg E, annars rapportras F Uppgft poäng a p Bräkna Svara på formn ab b p Bstäm alla kompla tal som satsfrar kvatonn Uppgft poäng är n lösnng tll kvatonn 8 0 Bstäm alla lösnngar Uppgft poäng a p Lös följand dffrntalkvaton Ang lösnngn på plct form b p Lös följand dffrntalkvaton Du kan ang lösnngn på mplct form Uppgft poäng Btrakta följand dffrntalkvaton md avsnd på, > 0 Bstäm dn lösnng som satsfrar vllkort Var god vänd

2 Uppgft poäng Lös följand dffrntalkvatonr md avsnd på a p b p 0 c p cos Uppgft I ndanstånd vattntank fnns 00 ltr vattn Vd t0 fnns dt 000 g salt tankn Tankn tllförs vattn md hastghtn 0 ltr pr tmm och saltnnhåll 8 g pr ltr Eftr ordntlg mnng förs ut vattn md hastghtn 0 ltr pr tmm Låt t btckna antalt gram salt tankn vd tdn t d v s ftr t tmmar a Ställ upp n dffrntalkvaton för t och bstäm t b Hur mckt salt fnns tankn ftr tmmar och 0 mn Svara antal gram avrunda tll hltal gram Uppgft 7 Btrakta ndanstånd LR krts där md rsstansn R ohm, nduktansn L hnr och spännngn ut sn t cost volt Bstäm strömmn t då 00 ampr Uppgft 8 poäng Bstäm strömmn t och laddnngn ndanstånd LR krts om L hnr, R ohm, farad och u t 0cost volt då 0 ampr och q0 coulomb Lcka tll!

3 Fact: Uppgft poäng a p Bräkna Svara på formn ab b p Bstäm alla kompla tal som satsfrar kvatonn Lösnng: Svar: a [ ] sn cos sn cos [ ] sn cos sn0 0 cos b n n där n 0,, Härav sn cos sn 7 cos 7 sn cos Svar a b 0,, Uppgft poäng är n lösnng tll kvatonn 0 8 Lösnng: Ekvatonn har rlla koffcntr och är n lösnng är också n lösnng tll kvatonn och därför är kvatonn dlbart md

4 Polnomdvsonn gr 8 / En lösnng får v ur 0 /, Svar:,, / Uppgft poäng a p Lös följand dffrntalkvaton Ang lösnngn på plct form b p Lös följand dffrntalkvaton Du kan ang lösnngn på mplct form Lösnng: a Anmärknng: V dlar kvatonn md om uttrckt är sklt från 0 Substtutonn ±, och därför 0 kvatonn vsar att d två konstanta funktonr är också lösnngar Sådana lösnngar kallas sngulära lösnngar om d nt kan fås ur dn allmänna lösnngn d d d d d d arcsn arctan sn arctan Svar a: sn arctan är dn allmänna lösnngn på plct form Dt fnns också två sngulära läsnngar och b

5 d d d d d d d d ln Dn allmänna lösnngn är alltså ln Svar b: ln Uppgft poäng Btrakta följand dffrntalkvaton md avsnd på, 0 > Bstäm dn lösnng som satsfrar vllkort Lösnng: V användr formln d Q d P d P Först bräknar v d d P ln ln antagand >0 Formln gr ln ln d d d Vllkort gr / och därför Svar: Uppgft poäng Lös följand dffrntalkvatonr md avsnd på a p b p 0 c p cos

6 Svar a: sn cos Svar b: 0 Svar c: sn cos Uppgft I ndanstånd vattntank fnns 00 ltr vattn Vd t0 fnns dt 000 g salt tankn Tankn tllförs vattn md hastghtn 0 ltr pr tmm och saltnnhåll 8 g pr ltr Eftr ordntlg mnng förs ut vattn md hastghtn 0 ltr pr tmm Låt t btckna antalt gram salt tankn vd tdn t d v s ftr t tmmar a Ställ upp n dffrntalkvaton för t och bstäm t b Hur mckt salt fnns tankn ftr tmmar och 0 mn Svara antalt gram avrunda tll hltal gram Lösnng: t a Ekvatonn: t t 0 t 80 * Bgnnlsvllkort: Homogna dln: t 0 t 0 r 0 0 r 0 Härav t /0 H t V ansättr p t A t 0 p Substtuton * gr 0 A 80 A 800, t 800 p t /0 Dn allmänna lösnngn är t 800 Vllkort mdför 00 t /0 och t t /0 Svar a t b t gram salt

7 Uppgft 7 Btrakta ndanstånd LR krts där md rsstansn R ohm, nduktansn L hnr och spännngn ut sn t cost volt Bstäm strömmn t då 00 ampr Dffrntalkvatonn för strömmn t är L t R t u t då 00 Lösnng: a L t R t u t d v s t t sn t cost * Dn karaktrstska kvatonn r 0 r t Härav H t V ansättr t Asn t B cost p t Acost B sn t p Substtuton * gr Acost B sn t Asn t B cost sn t cost A B sn t B A cost sn t cost Idntfrng av koffcntr gr: A B B A och därför A, B p t sn t cos t Dn allmänna lösnngn är t t t Vllkort 00 mdför 0 Svar: t t sn t cost H p t sn t cos t Uppgft 8 poäng

8 Bstäm strömmn t och laddnngn ndanstånd LR krts om L hnr, R ohm, farad och u t 0cost volt då 0 ampr och q0 coulomb Lösnng: Från krtsn får v följand dff kv d t L R t q t U dt Om v användr q t t då får v följand kvaton md n varabl: L q t R q t q t U, ftr subst L, R och q t q t q t 0cost Ekvatonn har dn allmänna lösnngn t t q t sn t cost Eftrsom q t t får v t t t cost sn t Från bgnnlsvllkorn 0 och q 0 får v kv: 0 kv: Härav 0 och 0 och därför t cost sn t och q t sn t cost Svar: t cost sn t q t sn t cost