TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Transkript

1 TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF00 TEN 0-0- Hjälpmedel: Formelblad och ränedosa Fullständga lösnngar erfordras tll samtlga uppgfter Lösnngarna sall vara väl motverade och så utförlga att ränngarna och de baomlggande tanarna är lätta att följa Lösnngarna sall rensrvas och avslutas med ett tdlgt svar som sall vara så förenlat som möjlgt Betgsgränser: Betget F: 8p, betget E: 9 poäng, betget D: poäng, betget C: p, betget B: 7 poäng, betget A: 9 poäng Eamnator: Stefan Ersson Rättande lärare: Stefan Ersson och Armn Hallovc Rta n det omplea talplanet: z + (p) ( + 3) e Beräna z och ett argument av z ( + ) (p) 3 Ange med tre orreta decmaler alla lösnngar tll z 3 3 (p) Använd Newton-Raphsons metod för att lösa evatonen (p) ln( ) + 9 Antalet baterer en batereultur väer med en hastghet av% per tmme av den atuella bateremängden Antalet baterer från början är Ställ upp och lös den dfferentalevaton som besrver detta Eventuella onstanter lösnngen sall bestämmas om det är möjlgt (p) Lös dfferentalevatonen + sn, ( ) 7 Förändrngshastgheten för en funton () är proportonell mot både och Ställ upp en dfferentalevaton som besrver detta då man vet att (0) och ()0 Bestäm även () Svara eat 8 Lös dfferentalevatonen ' ' ' + 9 Tangenten tll urvan () punten B(,) sär aeln punten C (se fguren) () B(,) Vdare vet man att AC o C v A(,0) Bestäm alla urvor () urvan () sådana att arean av trangeln ABC är la med (för varje punt B(,) på

2 LÖSNINGAR Rta n det omplea talplanet: z + (p) z + z ( + ) Det är en crel med raden och mttpunten ( + ) Svar: Se fguren ( + 3) e Beräna z och ett argument av z ( + ) (p) + 3 e ( ) a) z + ( ) b) Ett värde av arg(z) fås genom arg( z) arg( + 3) + arg( e ) arg( + ) arg( + 3) + arg( e ) arg( + ) + 3 ( Alternatv lösnng +, där är ett heltal) Svar: z, arg( z ) 3 Ange med tre orreta decmaler alla lösnngar tll z 3 3 (p) Eftersom 3 3 8e ( + ) har v

3 z ( + ) ( + ) 8e z 8 / e, 0, / / 8 0 z0 8 e 8 cos( ) + sn( ) z 8 / 8 / e cos( ) + sn( ) Svar: och Använd Newton-Raphsons metod för att lösa evatonen (p) ln( ) + 9 ln( ) + 9 ln( ) V betecnar f ( ) ln( ) + 9 Från grafen tll f ( ) ln( ) + 9 ser v att f() har en rot som lgger mellan och 3 V beränar f ( ) + som v substtuerar teratonsformeln för Newton Raphsons metod f ( n ) n+ n f '( ) n och får ln n+ n n n n n V väljer 0 3 och beränar V har fått upprepnng av tre decmaler och 3 Eftersom f( ) och f( ) 0009 har ola tecen har v fått en appromatv lösnng med 3 orreta decmaler Svar: 8

4 Antalet baterer en batereultur väer med en hastghet av% av den atuella bateremängden per tmme Antalet baterer från början är Ställ upp och lös den dfferentalevaton som besrver detta Eventuella onstanter lösnngen sall bestämmas om det är möjlgt (p) 0 0 0, Den araterstsa evatonen r 0 0 r 0 och därför 0t Ce (den allmänna lösnngen) Begnnelsevlloret ( 0) 0000 C 0000 och slutlgen 0000e Svar: 0t 0000e 0t Lös dfferentalevatonen + sn, ( ) Detta är en lnjär DE ov första ordnngen (med ce onstanta oeffcenter) Ett värde av ) d d ln ln [Anmärnng:, eftersom > 0 nära ] d ) En ntegrerande fator F e ) d ln e e ) V beränar ntegralen F Q( ) d sn d part nt u v' sn() uv u' v cos() cos + sn + C Från ( F ( )) F Q( ) har v F ( ) F Q( ) d + C och ( ) F ( C + F Q( ) d) Alltså ( ) ( C cos + sn ) Från vlloret ( ) får v ( C + ) C + C 0 sn Därför ( ) ( cos + sn ) cos +

5 Svar: sn ( ) cos + 7 Förändrngshastgheten för en funton () är proportonell mot både och Ställ upp en dfferentalevaton som besrver detta då man vet att (0) och ()0 Bestäm även () Svara eat Dfferentalevatonen är, (0) Evatonen är både separabel och lnjär ( med ce onstanta oeffcenter Metod (varabelseparaton) d d d d d + D e + d ln D ± e e Ce Alltså den allmänna lösnngen är Ce 0 Från ( 0) får v onstanten C: Ce C Därmed ( ) e från () 0 har v 0 e (ln) ln ln e e ( e ) Slutlgen () 80 Svar: ( ) 80 Metod (Integrerande fator) 0 ), Q ( ) 0 ln ) d d En ntegrerande fator F e e e F Q( ) d 0e d 0 + C C Från ( F ( )) F Q( ) har v F ( ) F Q( ) d + C D och ( ) F ( C + F Q( ) d) e ( C + 0) Ce Metod3 (Formeln ) ) d ( ) e ( C + Q( ) e ) d d)

6 d + d ( ) e ( C 0e d) ( ) e ( C + 0) ( ) Ce Kostanten C och () bestäms på samma sätt som metod (Lägg märe tll att homogena evatonen 0 har INTE onstanta oeffcenter (P) och därför an INTE lösas med hjälp av sn araterstsa evaton) Svar: ( ) 80 8 Lös dfferentalevatonen ' ' ' + Först homogena delen (som har onstanta oeffcenter) ' ' ' + 0 Den arat ev: Därför r r + 0 r ± r ±,, YH Ce cos + De sn En partulär lösnng fås med hjälp ansatsen p A + B : p A + B ger p A och 0 Insättnng evatonen ger A + ( A + B) eller A + B A A Härav A 3, B A 0 Alltså p 3 + Slutlgen Svar: p B Y + Ce cos + De sn H p Ce cos + De sn Tangenten tll urvan () punten B(,) sär aeln punten C (se fguren) Vdare vet man att AC Bestäm alla urvor () sådana att arean av trangeln ABC är la med (för varje punt B(,) på urvan () )

7 Arean av trangeln ABC ger evatonen AC AB AC AB ± 0 Alltså har v två evatoner: Evatonen och 0 0 löser v med hjälp av varabelseparaton 0 Från 0d d har v 0d d 0 + C, 0 + C, 0 + C På lnande sätt löser v 0 och får 0 + C Alltså har v följande lösnngar: 0 och + C 0 + C Svar: 0 och + C 0 + C