2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: 6 januari 03 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmdl: Pnna, linjal och radrmdl Dnna tntamn bstår av åtta om varannat slumpmässigt ordnad uppgiftr som vardra kan g maximalt 5 poäng. Dn maximalt möjliga poängsumman är sålds 40. För btygn 3, 4 och 5 krävs minst 8, 6 rspktiv 34 poäng. Lösningar förutsätts innfatta ordntliga motivringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sortrad i dn ordning som uppgiftrna är givna i. Undvik spcillt att skriva på baksidor av lösningsblad.. Dn linjära opratorn F : R 3 R 3 gs i basn,, 3 av matrisn 0 A =. 0 3 Visa att F är diagonalisrbar, dvs att dt finns n bas av gnvktorr till F. Bstäm n sådan bas och ang F :s matris i dn basn.. Bstäm n ON-bas i dt linjära undrrummt [ + x, x] till P utrustat md skalärproduktn p q = 0 p(x)q(x) dx. 3. En linjär oprator F är givn av att varj vktor u projicras parallllt md vktorn på n vktor parallll md plant π : x 4y + 4z = 0. Bstäm avbildningsmatrisn för F i dn givna basn,, Låt,, 3 vara n bas i dt linjära rummt L, och dfinira vktorrna ẽ, ẽ, ẽ 3 nligt ẽ ẽ = 3, ẽ + ẽ 3 = 4 + 3, ẽ 3 + ẽ = +. Visa att ẽ, ẽ, ẽ 3 också är n bas, och ang koordinatrna för vktorn i dnna andra bas. 5. Dn linjära avbildningn F : R 4 R 3 gs av F (x, x, x 3, x 4 ) = (x x +3x 3 +x 4, x +3x 4x 3 +x 4, x +7x 6x 3 +8x 4 ). Bstäm n bas i F :s nollrum och n bas i F :s värdrum. 6. Visa att kvationn 9x 4xy + xz + 6y + 4yz + 9z =, där (x, y, z) är koordinatrna i tt ON-systm, gomtriskt btydr n rotationsllipsoid. Spcificra spcillt llipsoidns halvaxllängdr och kvationn för rotationsaxln. 7. Låt M vara tt undrrum till R 4, givt som dt linjära höljt [(,, 4, ), (,,, ), (,,, 4), (,, 0, 3)]. Bstäm n bas i M, och utrd för vilka β som vktorn (β, 4, 3 β, 7) tillhör M. 8. Låt,, 3 vara n bas i R 3, och låt dt uklidiska rummt E vara R 3 utrustat md n skalärprodukt sådan att vktorrna u = 3, u = + och u 3 = 3 utgör n ON-bas. Spcificra hur skalärproduktn sr ut i basn,, 3, och ang längdn av vktorn 3 md avsnd på dn införda skalärproduktn.

2

3

4

5

6

7

8 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra BEDÖMNINGSPRINCIPER md POÄNGSPANN Läsår: 0/3 Tntamn Dt att gnvärdna är olika innbär att dt finns n bas,, av gnvktorr, xmplvis 3 3,, F :s matris i basn,, är lika md T.x., där 3 ( x) 7 ( x) ( x) (5 9 ) x 7 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika dlmomnt i uppgiftr p: Korrkt funnit tt första av d tr gnvärdna, samt motsvarand gnrum p: Korrkt funnit tt andra av d tr gnvärdna, samt motsvarand gnrum p: Korrkt funnit dt trdj av d tr gnvärdna, samt motsvarand gnrum p: Korrkt, på tt llr annat sätt, visat att F är diagonalisrbar p: Korrkt angivit F :s matris i n vald bas av gnvktorr p: Korrkt normrat dn na av d två polynomfunktionrna, u och u, som spännr undrrummt till P p: Korrkt formulrat n polynomfunktion f som a) tillhör undrrummt, som b) int är lika md nollfunktionn och som c) är ortogonal mot u, dvs formulrat polynomfunktionn u u, där är dt normrad u p: Korrkt bstämt skalärproduktn u p: Korrkt sammanställt f p: Korrkt normrat f till, och korrkt angivit, som n ON-bas i dt aktulla undrrummt Scnario p: Korrkt notrat att bildn av vktorn u, dvs F (u), är lika md u tuv, där v 3 och där t 4 5 u för varj u bstäms av att u tuv ska vara parallll md plant p: Korrkt tolkat dt ovanstånd som att koordinatrna för F (u) satisfirar kvationn för plant p: Korrkt bstämt t u till x 4x 4x3 för varj vktor u x x x3 p: Korrkt funnit koordinatrna för F (u) i basn,, p: Korrkt angivit matrisn för F i basn,, Scnario p: Korrkt notrat att t.x. 4 och 4 är gnvktorr till F, svarand mot (dubbl)gnvärdt p: Korrkt notrat att 3 är n gnvktor till F svarand mot gnvärdt 0 p: Korrkt summrat att dn sökta avbildningsmatrisn A gs av rlationn A TAT, där A är n diagonalmatris md gnvärdna på diagonaln och där basbytsmatrisns T kolonnr innhållr koordinatrna för gnvktorrna tagna i dn ordning som svarar mot gnvärdna i A p: Korrkt bstämt invrsn T till basbytsmatrisn T p: Korrkt bstämt avbildningsmatrisn A (3)

9 4. Vktorrna,, är n bas, dtta ty matrisn T i matrisrlationn T är invrtrbar. koord,, ( 3 3) (,4,) 5. En bas i F:s nollrum är t.x. (,,,0), (,,0, ) En bas i F:s värdrum är t.x. (,,), (,3,7) 6. Ekvationn kan gnom diagonalisring omformas till x x x3 5 5 som bskrivr n rotationsllipsoid md halvaxllängdrna,, Rotationsaxlns kvation lydr ( x, y, z) t (,, ), t R En bas i M är t.x. (,, 4,), (,,,), (,,0,3) p: Korrkt funnit att, 3, 3 p: Korrkt notrat att dt funna sambandt mllan basvktorrna kan uttryckas som matrisrlationn B, där och är radmatrisrna md vktorrna,, rspktiv,, som matrislmnt p: Korrkt notrat att matrisn B int är något annat än invrsn av n matris T som rlatrar dn givna basn,, till vktorrna,,. I och md att invrsn till T xistrar så är T n basbytsmatris, dvs,, är n bas p: Korrkt notrat att koordinatrna för 3 3 i basn,, gs av koordinatmatrisn T X BX, T där X är lika md koordinatmatrisn ( 3 ) p: Korrkt funnit koordinatrna i basn,, p: Korrkt idntifirat vad som är F:s avbildningsmatris A, och korrkt funnit rangn för A p: Korrkt bstämt n av två basvktorr i F:s nollrum p: Korrkt bstämt n andra av två basvktorr i F:s nollrum p: Korrkt bstämt n av två basvktorr i F:s värdrum p: Korrkt bstämt n andra av två basvktorr i F:s värdrum p: Korrkt funnit gnvärdna p: Korrkt idntifirat dn diagonala formn för dn kvadratiska formn p: Korrkt visat att kvationn gomtriskt btydr n rotationsllipsoid p: Korrkt idntifirat llipsoidns halvaxllängdr p: Korrkt funnit kvationn för rotationsaxln p: Korrkt iscnsatt n undrsökning av vilka vktorr som bhövs för att spänna upp undrummt M, och korrkt funnit dn till vktorrnas kofficintmatris radkvivalnta trappstgsmatrisn p: Korrkt från trappstgsmatrisn idntifirat n uppsättning linjärt obrond vktorr som spännr upp undrrummt M p: Korrkt iscnsatt n undrsökning av vilka som gör att vktorn (,4,3,7) tillhör undrummt M p: Korrkt från n trappstgsform notrat dt villkor som gällr för p: Korrkt bstämt värdt på (3)

10 8. v w X T AY där 5 5 A och där t.x. v x x x3 x x X x Scnario p: Korrkt notrat att skalärproduktn av vktorrna v och w i n givn bas är lika md matrisproduktn X T AY, där X och Y är koordinatmatrisrna för v rspktiv w i basn, och där A i basn rprsntrar dn symmtriska, bilinjära och positivt dfinita funktion som skalärproduktn är p: Korrkt notrat att matrisn i ON-basn u, u, är lika md nhtsmatrisn p: Korrkt notrat att om matrisn i basn,, btcknas md A och dn i ON-basn md A, så gällr T att A ( S ) AS, där matrisn S är lika md basbytsmatrisn från,, till u, u, p: Korrkt bstämt matrisn A och därmd skalärproduktn p: Korrkt bräknat längdn av vktorn Scnario p: Ansatt a mn som A:s matrislmnt och korrkt utvcklat normringsvillkorn för vktorrna u, u,, dvs u u a ( ) a3 ( ) a3 ( ) a33, u u, och u 3 p: Korrkt utvcklat ortogonalittsvillkorn för vktorrna u, u,, dvs 0 u u a a ( ) a3 ( ) a3, 0 u, och 0 u p: Korrkt löst dt uppkomna kvationssystmt där antalt obkanta är ftrsom A symmtrisk innbär att a kl a lk p: Korrkt bräknat längdn av vktorn 3 (3)