TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA AUGUSTI 2016

Transkript

1 Institutionn för tillämpad mkanik, Chalmrs tkniska högskola TENTAMEN I FINIT EEMENTMETOD MHA AUGUSTI Tid och plats: 8 i M hust Hjälpmdl: Ordöckr, lxikon och typgodkänd räknar. ösningar ärar: Ptr Möllr, tl (77) 55. Bsökr sal ca. kl 5. samt 7.. ösningar: Anslås på kurshmsidan samt på institutionn ( vån. i M hust) snast 5/8. Btygsättning: En fullständig och korrkt lösning på n uppgift gr poäng nligt vad som angs på uppgiftslappn. Smärr fl ldr till poängavag. Ofullständig lösning (svar på ställt prolm saknas) llr omfattand fl gr int något poäng. Maximal poäng är. Dt krävs 8 poäng för tyg ; poäng gr tyg ; för tyg 5 krävs poäng. Osrvra att ovanstånd är tygssättning på nart tntamn; för godkänd xamination krävs dssutom godkända inlämningsuppgiftr. Rsultatlista: Anslås snast /8 på samma ställ som lösningarna. Rsultatn sänds till tygsxpditionn snast 5/9 för kursdltagar som int har alla inlämningsuppgiftr godkända vid dtta tillfäll inrapportras tygt U (undrkänd). Granskning: Torsdag /9 samt måndag 5/9 i institutionns lokalr. Tänk på: Skriv så att dn som ska rätta, kan läsa och förstå hur du tänkr. Dn som rättar tntamn gissar int llr antar int vad du mnar/tänkr ndast vad som vrklign skrivs har tydls vid poängsättningn. Förklara/dfinira införda tckningar. Rita tydliga figurr. Ang i förkommand fall vad som är positiva/ngativa riktingar (på t.x förskjutningar och kraftr). Gör du antagandn utövr d som angs i uppgiftstxtn, så ang dtta xplicit och förklara dssa. 8 /PWM

2 Btrakta tt rotationssymtriskt värmldningsprolm som skrivs av randvärdsprolmt r d du -- k r Q < r < r q( ) α( u( ) u ) θ där k, Q, α och u är givna konstantr, u u( r) dn okanta tmpraturn, samt q du k värmflödt nligt Fourir. a: Variations och FE formulra prolmt, md tstfunktionr nligt Galrkin. Du hövr här int ang rgularittskrav på ingånd funktionr, md dt måst klart framgå hur dt konvktiva randvillkort kommr in i dn svaga formn. (Osrvra att intgrationn måst göras övr n volym: V dv rdθ dz (md lämpliga intgrationsgränsr)). (p) : Härld lmntstyvhtsmatrisn och tag fram tt uttryck för n lumpad lmntlastvktor, för tt linärt lmnt md längdn h r i + r i. (p) c: Md 8,9 m, k,5 W och Q - W, så gr intgralrna i vänstr rspktiv högrldt av m C m FE formulringn N N r r i r i + K,75,75,75 7, 5,5 5,5, 8,75 f 8,75,,5,5,5 78,5,59 5,8 97,77 57, om prolmt diskrtisras md fyra lika långa linära lmnt. Visa md förklaring hur styvhtsmatrisn och lastvktorn änas av dt konvktiva randvillkort, om α --- W m C och u 5 C. (p) d: Md d fyra lika långa linära lmntn, h --, fås nodtmptraturrna a 7 85 T C ; d fm nodrna har här numrrats från r till r. Använd numriska data nligt dluppgift c ovan och räkna värmflödt på randn, dls du gnom att använda randvillkort, dls md hjälp av Fourirs lag q k. Vilkt av d två värdna kan man förvänta sig g äst approximation av dt xakta (analytiska) värdt? Svart ska motivras. (p) q( ) 8 /PWM

3 ösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion v volymn v( r) och intgrra övr π Eftr division md π och partialintgration av dn ana trmn i intgrandn, v d du kr du dvdu dvdu du vkr kr, fås kr. Utvckla nu randtr- vkr + vrq mn och sätt in randvillkort: v Q -- d du + kr d du r d θ d r d z π v Qr + kr r du vkr du v( )k v( )αu, där sista tr- v( )αu( ) mn är okant och hålls i vänstrldt. Vi har alltså variationsprolmt Approximra nu dn okanta funktionn md n linärkomination av asfunktionr u u h N a + N a + + N n a n Na, där N är n radvktor md asfunktionrna och a är n kolumnvktor md nodvarialrna. Sätt in approximationn i variationsprolmt och låt du h d dn [ Na] a dn dn dn dv n :. a Ba kr Ba + αv( )N( )a vrq + αv( )u Välj nu asfunktionrna som tstfunktionr i tur och ordning (Galrkins mtod); varj val gr upp- N dn hov till n kvation och vis samlar kvationrna radvis, så v dv och. Vi får B T r dvdu kr + αv( )u( ) vrq + αv( )u N N n dn dn n alltså krb T Ba + αn T ( )N( )a N T rq + αn T ( )u ösning : Dn konsistnta lmntlastvktorn gs av f r i + ( N ) T rq, där radvktorn N innhållr d asfunktionr som antar från noll skilda värdn på lmntt. Eftrsom summan av asfunktionrna är, lir lastrsultantn r i 8 /PWM

4 f i r i + r i ( N + N )rq Q r + Q r r ( Q r + r )( r r ) - i r i r i lastvktor fås om lastn fördlas lika på d två nodrna: f Q( r + r )h --- Q( r + r )h ---. En lumpad Elmntstyvhtsmatrisn ur intgraln i FE formulringns vänstrld; md B dn dn h h -- fås krb T B d ra k h h r i r a k h h h( r i + + r i ) ----a k( r i + + r i ) --- r i h ---- h r i h a h ---- h r i där alltså K k( r i + + r i ) --- h ösning c: Om vi numrrar nodrna från vänstr ( r ) till högr ( r ) är alla asfunktionr utom dn sista vid r, så N( ). Biagt till lastvktorn lir då (s lösning a) α u 5, och styvhtsmatrisn får iagt αn T ( )N( ) α,5 ösning d: Från randvillkort fås q( ) α( a( 5) u ) 8,8 ( W m ) mdan Fourirs lag du h gr q( ) k k-- a( 5) a( ) 9,8 ( W m ). h r Eftrsom drivatan av dn approximrad funktionn lir sämr approximrad än funktionn själv, så förväntar vi oss att värmflödt räknat mha randvillkort gr noggrannast rsultat. 8 /PWM

5 åt R vara tt områd i ( x, y) plant och Γ dss rand. Potntialfunktionn φ φ( x, y) är lösningn till randvärdsprolmt div( D φ) f i φ på Γ Här är f f( x, y) n givn funktion och D n symmtrisk och positivt dfinit konstitutiv matris. a: Använd Grn Gauss sats, vdiv( q) d v q T ndγ ( v) T qd, för att variationsformulra Γ prolmt; dt måst framgå hur randvillkort påvrkar formulringn. Rdogör också för vilka krav som ställs på tstfunktionrna (viktsfunktionrna). (p) : Finit lmntformulra variationsprolmt och visa hur B matrisn för tt lmnt md asfunktionr sr ut. (p) c: Btrakta n triangulring av områdt och låt vara aran av något tr nods lmnt md linära asfunktionr. åt vidar f (högrldt i diffrntialkvationn) vara n givn konstant. Ställ upp lmntlastvktorn för lmntt. (p) A.8... A....8 ösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion v och intgrra övr områdt: vdiv( D φ) d vfd. Använd nu Grn Gauss sats (idntifira vktorn D φ md q ); vi får: ( v) T D( φ) d v ( D φ ) T ndγ + vfd Γ Ingånd funktionr måst vara tillräckligt rguljära för att dtta uttryck ska ha någon mning funktionrna måst vara kvaatiskt intgrrara och ha kvaatiskt intgrrara första drivator. Därtill måst tstfunktionrna uppfylla v på Γ, ftrsom intgrandn i randintgraln är 5 8 /PWM

6 okant ( φ är okänd). Tstfunktionn måst alltså satisfira homogna väsntliga randvillkor. åt V vara rummt av funktionr som uppfyllr dssa villkor. Variationsprolmt kan då skrivas: Hitta φ V så att ( v) T D( φ) d ösning : Välj N asfunktionr N i ur V (konform mtod) och låt V h V vara rummt av alla N funktionr som kan uttryckas som n linärkomination av asfunktionrna. Spcillt approximrar vi φ φ h N i a i och räknar nodvarialrna a i så att variationsprolmt satisfiras i V h i (Galrkins mtod). Alltså har vi: Hitta vfd v V så att För tt lmnt md asfunktionr, dvs tt på vilkt ara av d N asfunktionrna har noll skilda funktionsvärdn, kan FE approximationn skrivas φ h V h ( v) T D( φ h ) d φ h N N N vfd v V h N a, så a a a T att φ h ( N a ) ( N )a B a, där alltså B N x N N y N x N y N x N y ösning c: Md konstant högrld lir lastrsultantn på lmntt A fda fa ; dnna dlas lika på d tr nodrna: f fa -- En konsolalk md längdn och konstant öjstyvhtn EI är lastad md n kraft P nligt figurn. Balkns utöjning w( x) fås som lösningn till randvärdsprolmt d w EI dw w( ) ( ) d w d w P ( ) ( ) EI z w( x) EI P x a: Härld dn svaga formn av randvärdsprolmt. Dt ska framgå hur randvillkorn påvrkar variationsprolmt. Ang också krav på ingånd funktionr. (p) : Finit lmntformulra prolmt md tstfunktionr nligt Galrkin och visa hur B matrisn sr ut. (p) 8 /PWM

7 c: Dt vanligast alklmntt har kuiska asfunktionr och nodvarialrna rprsntrar förskjutningar och rotationr i d nodrna. För dtta lmnt lir lmntstyvhtsmatrisn (md konstant öjstyvht) N N K EI N i.5.5 N där är lmntts längd. ös prolmt md lmnt. (p) x/ N ösning a: Multiplicra diffrntialkvationn md n tstfunktion och intgrra övr d w d v d w dv d w d w intrvallt: EIv. Två partialintgrringar gr. EI EI vei Använd nu randvillkorn för att utvckla randtrmrna: v( x) dv d w EI d w vei dv d w EI x d w Pv( ) vei x d w d w Eftrsom vi int kännr värdna på och vid, gränsar vi valn av tstfunktionr x dv till sådana som uppfyllr v( ) och ( ) för att li av md okanta randtrmr. Dssutom måst intgraln xistra, så vi måst också gränsa oss till funktionr som har kvaa- tiskt intgrrara ana drivator. Om vi dfinirar V v( x): d v <, v( ), ( ) dv så kan dn svaga formn skrivas: Hitta w V så att d v d w EI Pv( ) v V ösning : Approximra w md n linarkomination av n valda asfunktionr w w h n i N i ( x)a i och välj tstfunktionrna som asfunktionrna i tur och ordning (Galrkin) så att vi får lika många kvationr som okanta nodvarialr. åt vara rummt av funktio- a i V h 7 8 /PWM

8 nr som kan skrivas som n linärkomination av asfunktionrna FE formulringn kan då skrivas Hitta w h V h så att d v d w h EI Pv( ) v V h n T Om vi sättr in w h N i a i Na, där N N N N n och a a a a n, i intgraln i samt samlar kvationrna som fås för valn v, i,,, n, så får vi N i EIB T B a P N T d N ( ), där B d N d N d N n. ösning c: Eftrsom vi ara har tt lmnt så är styvhtsmatrisn samma som lmntstyvhtsmatrisn, K, och lmntlängdn är. Randvillkorn x gör att vi har a a K så d två första kolumnrna i K multiplicras md nollor. Vi kan int hllr använda var sig N llr N som tstfunktionr ftrsom d int satisfirar d två väsntliga randvillkorn vid x ; alltså måst vi stryka d två första kvationrna. Kvar har vi då a a P - EI, md lösningn a a P - P ---- EI EI 8 8 /PWM