where β R. Find the numbers β for which the operator är diagonalizable, and state a basis of eigenvectors for each of these β.

Transkript

1 MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Cultur and Communication Dpartmnt of Applid Mathmatics Examinr: Lars-Göran Larsson EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA53 Linar Algbra Dat: Writ tim: 5 hours Aid: Writing matrials, rulr This xamination consists of ight randomly ordrd problms ach of which is worth at maximum 5 points. Th maximum sum of points is thus 40. Th pass-marks 3, 4 and 5 rquir a minimum of 8, 26 and 34 points rspctivly. Th minimum points for th ECTS-marks E, D, C, B and A ar 8, 20, 26, 33 and 38 rspctivly. Solutions ar supposd to includ rigorous justifications and clar answrs. All shts with solutions must b sortd in th ordr th problms ar givn in. Espcially, avoid to writ on back pags of solution shts.. Th linar oprator F : R 3 R 3 has rlativ to th standard basis th matrix β β whr β R. Find th numbrs β for which th oprator är diagonalizabl, and stat a basis of ignvctors for ach of ths β. 2. Find a basis for th linar span of th vctors (, 3, 2,, 5), (,, 0,, ), (, 5, 2, 3, 7), (, 2,,, 3) of R 5. Thn find, with rspct to th chosn basis, th coordinats of th vctor (, 2, 3, a, ) for thos a for which th vctor blongs to th linar span Can th matrics 3 2 and 2 3 by a suitabl choic of bass b th matrics of th sam linar oprator F : R 3 R 3? 4. Lt th linar spac P 2, which is spannd by th ral-valud polynomial functions p 0, p and p 2 whr p k (x) = x k in th intrval [, ], b quippd with th innr product p q = p(x)q(x) dx. Find an ON-basis for th orthogonal complmnt of th subspac spannd by th functions p 0 and p. 5. Th linar transformation F : E 4 E 3 is in th standard bass dfind by F (u) = (2x + 6x 2 2x 3 + 4x 4, 3x + 2x 2 + 4x 3 x 4, x + 2x 2 4x 3 + 3x 4 ) whr u = (x, x 2, x 3, x 4 ). Find an orthonormal basis for th krnl of F. 6. Classify th two quadric surfacs { S : (x 2y + z) 2 + (y + z) 2 + (x y + 2z) 2 =, S 2 : 2xy + 2yz + 6xz + z 2 =, i.. find th gomtric maning of ach quation. Motivat! 7. Lt H dnot th vctor spac spannd by th functions h 0, h and h 2 dfinid according to h n (x) = x n x. Dfin th linar diffrntial oprator D : H H by D(h) = h. Find th matrix of D in th basis h 0, h, h 2. Also, prov that D is invrtibl and xplain th maning of D (h). 2 x 2 + x 3 = x x 2 8. Prov that th rlationships x 2 = 2x + x 3 dfins a chang-of-basis x 2 x 3 = x 2 + x 3 btwn two ordrd bass, 2, 3 and ẽ, ẽ 2, ẽ 3, whr x, x 2, x 3 and x, x 2, x 3 ar th coordinats of a vctor u with rspct to rspctivly of th bass. Also, find th coordinats of th vctor 5ẽ ẽ 2 +5ẽ 3 with rspct to th basis, 2, 3. Om du fördrar uppgiftrna formulrad på svnska, var god vänd på bladt.

2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA53 Linjär algbra Datum: Skrivtid: 5 timmar Hjälpmdl: Skrivdon, linjal Dnna tntamn bstår av åtta styckn om varannat slumpmässigt ordnad uppgiftr som vardra kan g maximalt 5 poäng. Dn maximalt möjliga poängsumman är sålds 40. För godkänd-btygn 3, 4 och 5 krävs minst 8, 26 rspktiv 34 poäng. För ECTS-btygn E, D, C, B och A krävs 8, 20, 26, 33 rspktiv 38 poäng. Lösningar förutsätts innfatta ordntliga motivringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sortrad i dn ordning som uppgiftrna är givna i. Undvik spcillt att skriva på baksidor av lösningsblad.. Dn linjära opratorn F : R 3 R 3 har i standardbasn matrisn β β där β R. Bstäm d tal β för vilka opratorn är diagonalisrbar, och ang n bas av gnvktorr till F för var och n av dssa β. 2. Bstäm n bas för dt linjära höljt av vktorrna (, 3, 2,, 5), (,, 0,, ), (, 5, 2, 3, 7), (, 2,,, 3) i R 5. Bstäm sdan, md avsnd på dn valda basn, koordinatrna för vktorn (, 2, 3, a, ) för d a för vilka vktorn tillhör dt linjära höljt Kan matrisrna 3 2 och 2 3 gnom tt lämpligt val av basr vara matrisrna till n och samma linjära oprator F : R 3 R 3? 4. Låt dt linjära rummt P 2, som spänns upp av d rllvärda polynomfunktionrna p 0, p och p 2 där p k (x) = x k i intrvallt [, ], vara utrustat md skalärproduktn p q = p(x)q(x) dx. Bstäm n ON-bas för dt ortogonala komplmntt till undrrummt som spänns upp av funktionrna p 0 och p. 5. Dn linjära avbildningn F : E 4 E 3 är i standardbasrna dfinirad nligt F (u) = (2x + 6x 2 2x 3 + 4x 4, 3x + 2x 2 + 4x 3 x 4, x + 2x 2 4x 3 + 3x 4 ) där u = (x, x 2, x 3, x 4 ). Bstäm n ortonormrad bas för F :s nollrum. 6. Klassificra d två andragradsytorna { S : (x 2y + z) 2 + (y + z) 2 + (x y + 2z) 2 =, S 2 : 2xy + 2yz + 6xz + z 2 =, dvs bstäm dn gomtriska innbördn av varj kvation. Motivra! 7. Låt H btckna dt linjära rum som spänns upp av funktionrna h 0, h och h 2 dfinirad nligt h n (x) = x n x. Dfinira dn linjära diffrntialopratorn D : H H gnom D(h) = h. Bstäm avbildningsmatrisn för D i basn h 0, h, h 2. Bvisa ävn att D har n invrs och förklara innbördn av D (h). 2 x 2 + x 3 = x x 2 8. Bvisa att sambandn x 2 = 2x + x 3 dfinirar tt basbyt mllan x 2 x 3 = x 2 + x 3 två ordnad basr, 2, 3 och ẽ, ẽ 2, ẽ 3, där x, x 2, x 3 och x, x 2, x 3 är koordinatrna för n vktor u md avsnd på rspktiv av basrna. Bstäm ävn koordinatrna för vktorn 5ẽ ẽ 2 + 5ẽ 3 md avsnd på basn, 2, 3. If you prfr th problms formulatd in English, plas turn th pag.

3

4

5

6

7

8 MÄLARDALEN UNIVERSITY School of Education, Cultur and Communication Dpartmnt of Applid Mathmatics Examinr: Lars-Göran Larsson Examination Th linar oprator is diagonalizabl iff β 0,3. A basis of ignvctors is thn 2.g. (,0, ), (,3,), ( β 3β, β,). 2. A basis for th span is.g. (,3, 2,,5), (,,0,,), (, 2,,,3). Th vctor (, 2,3, a, ) blong to th span iff a = 5. Th coordinats of th vctor in th chosn (ordrd) basis ar 6, 2, 9 3. Sinc th dtrminants of th matrics A and B ar qual, it may b th cas that th matrics rprsnts th sam linar oprator F, but it is not for sur. A final answr can only b found by solving SA = BS for S. 4. An ON-basis for th orthogonal complmnt of span{ p 0, p } is.g. 5 ( p0 3p 2 ) An ON-basis for th krnl of F is.g. ( 2,,, 0), (0,,, 2 ) S is an lliptic cylindr S is a two-shtd hyprboloid 2 6 EXAMINATION IN MATHEMATICS MAA53 Linar algbra & MMA29 Linar algbra EVALUATION PRINCIPLES with POINT RANGES Acadmic yar: 205/6 Maximum points for subparts of th problms in th final xamination 3p: Corrctly found that th linar oprator is diagonalizabl iff β 0, 3 2p: Corrctly for β 0, 3 found a basis of ignvctors 2p: Corrctly found a basis for U p: Corrctly found that th fifth vctor blong to U iff a = 5 2p: Corrctly found th coordinats of th fifth vctor rlativ to th chosn basis p: Corrctly formulatd th ncssary condition for th two matrics to rprsnts th sam linar oprator but in diffrnt bass, i.. statd that A must b qual to S BS whr S is th chang-of-basis matrix from a basis whr F has th matrix B to a basis whr F has th matrix A 2p: Corrctly found that A = S BS imply that th dtrminants of A and B must b qual 2p: Corrctly concludd that th dtrminants ar qual, and thrfor that A and B may (but not for sur) b th matrics of th linar oprator F but rlativ diffrnt bass p: Corrctly formulatd th conditions for th polynomial functions to blong to th ortogonal complmnt of span{ p 0, p } 3p: Corrctly valuatd th conditions for th polynomial functions to blong to th ortogonal complmnt of span{ p 0, p } p: Corrctly normalizd p0 3p2 to bcom an ON-basis span p p for th orthogonal complmnt of { } 2p: Corrctly found a basis for th krnl of F 3p: Corrctly found an ON-basis for th krnl of F 3p: Corrctly classifid th first surfac 2p: Corrctly classifid th scond surfac 0, (2)

9 7. Th matrix of D in th basis of h 0, h, h2 p: Corrctly found how D maps th thr functions, i.. that 0 D ( h ) = h, 0 0 D ( h) = h0+ h, D ( h2) = 2h+ h2 is 0 2. D xists sinc th matrix 2p: Corrctly found th matrix of D in th basis h 0, h, h2 0 0 p: Corrctly found that D is invrtibl xists sinc th matrix of D is invrtibl is invrtibl. D ( h) mans th antidrivativ of h which has th valu 0 h for p: Corrctly xplaind that th maning of D ( ) h H is th antidrivativ of h without any addd at th point 0 constant, th lattr sinc D is linar, i.. D (0) = 0 8. Proof. Th coordinats of th vctor in th basis, 2, 3 ar, 2, 3 2p: Corrctly xplaind why th rlationships dfin a chang-of-basis matrix S btwn two ordrd bass, 2, 3 and, 2, 3 ( - = S ), whr S = B A and A X = BX ar th rlationships on a matrix form with X and X as th coordinat column matrics p: Corrctly found that th coordinats of with rspct to th basis, 2, 3 ar givn by th coordinat matrix B AX, whr X is qual to th coordinat matrix T ( 5 5) p: Corrctly found th matrix B p: Corrctly found th coordinats of with rspct to th basis, 2, 3 2 (2)