Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mamaika Iniuionn Ulf Janfalk Kurkod: ETE Provkod: TEN Tnamn i Linjär algbra,. Inga hjälpmdl. Ej räkndoa. Rula mddla vi -po. För godkän räckr poäng och min uppgifr md llr poäng. Godkända inlämninguppgifr v gr poäng a addra ill krivningrula. Markra da gnom a kriva G i ruan för uppgif. Fulländiga moivringar kräv. Löningar finn fr krividn lu på kurhmidan hp:// uljan/kurr/ete/ ( p) ( p) ( p) ( p). (a) Formulra r, i kurn ingånd, cnrala ar om gnvärdn och gnvkorr. (b) Bvia n av d ar du formulrad ovan.. Bäm kvaionn på båd paramr- och normalform för d plan om går gnom punkrna (,, ), (,, ) och (,, ). Lå P = (,, 9). Bäm dn punk P p i plan om liggr närma P och bäm vilkn av d r givna punkrna om liggr närma P p. (ON-ym). Dn linjära avbildningn F : P P dfinira av F (p(x)) = p(x) + (x + )p (x) + (x + ) p (x). Bäm F : mari i ban, x, x och ang gnvärdn och gnvkorr ill F. (p bydr drivaan av p och p andradrivaan av p.) ( p). Bäm ba och dimnion för ndanånd undrrum av R : U = [(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )], V = { (x, x, x, x ) R : x + x + x + x = }. Bäm ockå ba och dimnion för U V. ( p). Lå u = (,,, ) och u = (,,, ) vara vkorr i E. Bäm n ON-ba i U = [u, u ] och fyll u dnna ill n ON-ba för hla E. Bäm koordinarna för v = (,,, ) i din nya ON-ba och ang avånd från v ill U am avånd från v ill U: orogonala komplmn, U. VÄND!

2 ( p) 6. Braka dn kvadraika formn Q(x, y, z) = x + 7y + az + 6(xy + xz + yz). För varj värd på a R, bäm Q: cknkarakär. För a = 7, bäm d öra och d mina värd för Q då x + y + z =. ( p) 7. Lå F, G: V V vara vå linjära avbildningar. Anag a G är invrrbar och a d finn µ R å a F G(v) = µg F (v) för alla v V. Via a om λ är gnvärd ill F å är ävn µλ gnvärd ill F.

3 Löningförlag ill ETE, Linjär algbra,. S kurbokn, kapil 7.. Sä P = (,, ), P = (,, ), P = (,, ). Då få P P = OP OP = = P P = OP OP = n P P P P =... = =, = = Π: x y + z = D P Π = + = 6 = D = Π: x y + z = 6 vilk ju är plan kvaion på normalform. Paramrformn blir x Π: y = + +,, R. z Projicra, x P P på n. Orvkorn för P p få då om OP p = OP P P n : P P = = 9 7 P P n = n 7 = = = = OP p = 9 6 = D öka avåndn få gnom a bräkna längdn av vkorrna mllan P, P rpkiv P och P p. P P p = = = P P p = P P p = P P p = d v P liggr närma P p.. = = = P P p = = P P p =,

4 . Bräkna marin gnom a bräkna vad avbildningn gör md bavkorrna. F () = + (x + ) + (x + ) = = x, () F (x) = x + (x + ) + (x + ) = + x = x, F (x ) = x + (x + ) x + (x + ) = + 6x + x = x = A = 6. 6 = Då A har nollor undr huvuddiagonaln följr d a gnvärdna = diagonallmnn, d v gnvärdna är, och. Ur () följr d a är gnvkor ill gnvärd. D andra vå bräkna på vanlig ä: λ = : λ = : 6 6 = X = = X =, d v + x är gnvkor ill och + x + x = ( + x) är gnvkor ill.. Sudra brondkvaionnför U am linjärkombinaion av d gnrrand vkorrna = godycklig vkor. Vi får då ym x x x x x + x x + x x x + x x x + x x x + x x x + x, x x + x x x + x x x x + x.

5 Börjar vi om från början md (,,, ), (,,, ) i högrld r vi a da kan u ill löjliga lmn, a d årånd är linjär obrond och därmd n ba för U å a dim U = och a U = { (x, x, x, x ) R : x x x + x = }. Paramriring av kvaionn för V gr x x x x = r r = r + +,, R å a (,,, ), (,,, ), (,,, ) är n ba för V och dim V =. Årår a bämma ba och dimnion för U V. D vkorr om illhör U V är d om uppfyllr kvaionrna för båd U och V, d v löningarna ill ym ( ) ( ) ( ) = x x x x = = + d v (,,, ), (,,, ) är n ba för U V om därmd blir vå-dimnionll.. u u å d räckr a normra dm för a vi kall få n ON-ba i U, d v välj f =, f =. För a fylla u ill ON-ba på midig ä bämmr vi n ON-ba i U. Då da vå ON-bar blir n ON-mängd md rä anal lmn blir d n ON-ba för hla E : U = { } { v E : v u, u = v E : (v u ) = (v u ) = } = { } = v = (x, x, x, x ) E x : x x + x = = x x + x x = ( ) ( ) ( ) = ( ) = = = +. x x x x,

6 Välj, x f = 6 (,,, ) och orogonalira v = (,,, ) md Gram-Schmid: v f = (v f ) f = 6 = v f = v v f = = 9 6 =, d v välj f = (,,, ). Enlig Korollarium..9, id är koordinar i ON-ba kalärprodukr, d v v = (v f ) f + (v f ) f + (v f ) f + (v f ) f = = f + f f + f = = f + f } {{ } v U + f + f } {{ } v U =v U = f. Slulign, avånd mllan v och U är v U och mllan v och U är d v U, d v v U = f = och v U = f = 6. Vi bämmr cknkarakärn gnom kvadrakomplring: Q(u) = ( x + 7 y + a z + (xy + xz + yz) ) = = ( (x + y + z) + y + ( a ) z ) = (x + y + z) + y + (a )z. Ur ovanånd följr a

7 Q är indfini om a <, Q är poiiv midfini om a =, Q är poiiv dfini om a >. För a = 7 bämmr vi gnvärdna ill Q: mari A. λ d (A λe) = 7 λ r r λ = 7 λ k +k = 7 λ λ λ λ 6 = (λ ) λ = (λ ) (( λ)( λ) ) = = (λ ) ( λ λ + ) = 69 λ =, ± ± = =,. Enlig a.., id gällr nu u Q(u) u md likh i olikhn omm u är n gnvkor ill movarand gnvärd. Då u = x + y + z = följr d a Q: mina värd är och a d öra värd är. 7. Lå u vara n gnvkor md gnvärd λ ill F. Då få F G(u) = F (G(u)) = µg F (u) = µg(f (u)) = µg(λu) = µλg(u), d v v = G(u) är n gnvkor md gnvärd µλ ill F om vi kan via a G(u). Då u är n gnvkor å är u och nlig föruäningarna gällr a G är invrrbar, d v nda avbilda av G på. Följaklign är G(u). VSB