1. Låt M, +,,, 0, 1 vara en Boolesk algebra och x,

Transkript

1 Matmatik CTH&GU Tntamn i matmatiska mtodr E (TMA04), dl A, , kl Tlfon: Andrs Logg, tl OBS: Ang linj och inskrivningsår samt namn och prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och prsonnummr på varj inlämnat blad du vill ha rättat.. Låt M, +,,, 0, vara n Boolsk algbra och, y,z M. Visa att y z + y z = ( y) ( y z). [ y = y + y ] (p). Dt finns n lista md 0 torifrågor till dl A, tr av dm kommr på tntan. Hur många tntor kan man göra som skiljr sig i minst n torifråga? (p). Bräkna aran av triangln md hörnpunktrna (, ), (,, ) och (,, ),. 4. Låt 0 A = och B = dt A (p). b) Lös kvationn AX = B. (p) a) Bräkna ( ) n 5. Visa att ( ) ( n cos = cos + ) D för alla n IN. 6. Rita funktionskurvan y = arctan + arctan. ln, då 0 f =. 0, då = 0 a) Är f kontinurlig? Är f drivrbar? b) Rita funktionskurvan y = f ( ) md angivandt av trmpunktr och konvitt/konkavitt. 7. Låt ( ) (p) sinh + cos. Visa att funktionn f ( ) = är injktiv och bräkna Df ( sinh ). 9. a) Visa att om n funktion är drivrbar i n punkt a så är dn kontinurlig i a. b) Formulra och bvisa Rolls sats. (p) matm. mt. E, dl A, (000), gamla tntor

2 Matmatik CTH&GU Tntamn i matmatiska mtodr E (TMA04), dl A, , kl Tlfon: OBS: Ang linj och inskrivningsår samt namn och prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och prsonnummr på varj inlämnat blad du vill ha rättat. ================================================================. Låt M, +,,, 0, vara n Boolsk algbra och, y, u, v M. Sätt a = y ( u v) b = ( + y) ( u + v) ( ) +,. Visa att a b = y u v + y u v + u y v + v y u. [ y = y + y, binär valuring godtas j som bvis! ] (p). Visa att för alla N IN N! = +! gällr k k ( N ) k = [ n! = ( n ) n] L.. Givna är plann : + y + z =, : y + z =. a) Visa att plann, är vinklräta mot varandra. b) Bstäm tt plan som innhållr punktn (,, 0) och är vinklrätt mot och mot. c) Bstäm skärningspunktn mllan plann, och. (p) (p) (p) 4. För vilka rlla tal a är matrisn 0 a a + 0 a a invrtrbar? 5. Bräkna aran av dt områd i y-plant som bgränsas av kurvorna y = och y = sin ( ( )), Btrakta funktionn f ( ) = sinh + ( ) a) Visa att f är injktiv och bräkna ( ) 7. Man vt att D [ ] f ( ) f = = 0. Df 4 + 6,, och f ( ) ln. b) Är f drivrbar? (5+p) = tan ( ) för < 4. a) Bstäm f och V f. b) Var är f konv rsp. konkav? (6+p). a) Dfinira lim =. b) Visa att lim ln = 0. A a 0+ c) Formulra och bvisa Rolls sats. BB (+p) matm. mt. E, dl A, (000), gamla tntor

3 Matmatik CTH&GU Tntamn i matmatiska mtodr E (TMA04), dl A, 99-0-, kl Tlfon: OBS: Ang linj och inskrivningsår samt namn och prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och prsonnummr på varj inlämnat blad du vill ha rättat. ================================================================. Låt M, +,,, 0, vara n Boolsk algbra. Visa att för, y M gällr: a) + y = ( y) + ( y). b) y = ( + y) ( y). [ y = y + y, binär valuring godtas j som bvis! ]. a) Bräkna A t A och AA t då A =. b) Bstäm a så att plann : + y + z =, : + y + az = 6 och : + 5y z = skär varandra längs n linj och ang dnna linj. (p). a) Visa att cosh + cos > för alla 0. b) Hur mänga lösningar har kvationn cosh cos = +? c) Visa att funktionn cosh cos är konv. sin 4. Låt f ( 0 ) = a och f ( ) = då > 0. a) Bstäm a så att f blir kontinurlig på [ 0, ). b) Bstäm kvationn för tangntn till kurvan y f ( ) 5. a) Bstäm n primitiv funktion till. ( ),. = i punktn ( ) b) Bstäm n primitiv funktion till cosh. c) Bräkna aran av dt områd som bgränsas av kurvan y = cosh och linjn y =. 6. Dfinira skalära produktn av två gomtriska vktorr och härld n forml för bräkning av dnna i tt ON-systm. (p) (p) (p) (p) (p) 7. Dfinira funktionrna ln och och härld formln D =.. Formulra och bvisa Lagrangs mdlvärdssatsn. BB matm. mt. E, dl A, (000), gamla tntor

4 CTH&GU matmatiska institutionn Tntamn i matmatik E, dl A, , kl Tlfon: Hans Sandquist, ankn 5. OBS: Ang linj och inskrivningsår samt prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och prsonnummr på varj inlämnat blad! ======================================================. Låt a0 =, a = 5 och an+ = 5an 6 an för n IN. n n Visa md induktion att a n = + för alla n IN.. Visa att arctan arctan = 4. [Md dnna forml bräknad J.Machin (~ 705) md 00 dcimalr!].. Bstäm n primitiv funktion till a) + sin( )cos ( ) + sin ( )cos( ) b) sin ( ) + cos ( ) (p) (7p) 4. Visa att funktionn f ( ) = ln( ) är injktiv och bstäm värdmängdn V f. 5. Låt f ( ) = ln. a) Rita kurvan y = f ( ) (ang trmpunktr; visa att kurvan är strängt konkav). b) Låt D vara dt områd i y-plant, som bgränsas av kurvan y = f ( ) och -aln och m(d) = aran av D. 6. Bräkna ( t ) Visa m( D) = sin( t) dt lim ln cos ( ) ( ) 0 + < m(d) < sin och.. b a 7. Visa att f ( ) d är konvrgnt om ( ) b a f d är konvrgnt.. Formulra och bvisa Lagrangs mdlvärdssats. CTH&GU matmatiska institutionn BB matm. mt. E, dl A, (000), gamla tntor 4

5 Tntamn i matmatik E, dl A, 94-0-, kl Tlfon: OBS: Ang linj och inskrivningsår samt prsonnummr på skrivningsomslagt. Ang namn och prsonnummr på varj inlämnat blad! ====================================================== N. Visa md induktion att ( k ) för alla naturliga tal N. + k N = + md angivandt av trmpunktr, asymptotr, konvitt och konkavitt.. Konstrura kurvan y arctan( ). Bstäm n primitiv funktion till sin ( ) + sin( ) cos ( ) + cos( ). 4. Låt f ( ( ) sinh( ) ( cosh( ) ) cosh ) =. a) Visa att f har tt nollställ i (, ). (p) b) Bräkna lim f ( ). A 0 c) Bräkna lim f ( ) A d. [Ldn: intgrra partillt cosh ( ) d ] (p) 5. Låt sin ( ) ( sin( )) f ( ) = ln då 0 och f ( 0) = 0. a) Visa att f är kontinurlig i 0. (p) (p) b) Är f drivrbar i 0? c) Bräkna ( ) f d. 6. Hur många lösningar har kvationn ln ( a cos( ) ) i intrvallt (, ), (a IR ( ) + 4 cos( ) + = 0 )? 7. Dfinira funktionn arctan() och härld tt uttryck för dss drivata.. Formulra och bvisa Lagrangs mdlvärdssats. BB Svar till tntorna i matt dl A för E (ht 000) matm. mt. E, dl A, (000), gamla tntor 5

6 00-0- ) 4060 ) 6 t 4a) b) X = 0 6) 0, 0 är 7a) f är drivrbar (därmd kontin.) b) ( ) trasspunkt, ma/min-pkt: ± (, ) [, 0 ] [, ), konkav i ( ] [ ] 0, b) + y 4z = 0 b) (, 4, 5) 4( + ln) 6a) ( ), f är konv i, ) 4) RI a \{ } + 4 0, 5) 4 ln Df 4+ 4ln = + 5ln b) ja 7a) f ( ) = arcsin( sin ), V = [, ] f, 0, konv på [ 0, ] 4 4 ( b) kan lösas utan a)!) b) konkav på [ ] a) t t 6 A A = 5 0, AA = b) a) a = b) y = 5a) + ( ( ) ( ) ln + ln ) ( ( ) + ln + + cosh 7 a =, l : y = + t b) z 0 arctan b) + b) arctan( tan ) min: ( 0) (,,, 0) ma: (, ) 4) = (, ) ) ma/min: ( + ) f är konv i ( + ] ( 0, + ] 5) grafn: V f 6) 0.5 ±,, asymptotr = 0, y = ± konkav i [, 0) [ +, ) ) ( cos ) ln( cos + ),, ln 4b) 0 c) 0 5b) nj c) 6) a < : 0 lösn., a = : lösn., a > : lösn. arctan c) ln Lycka till! Brnhard matm. mt. E, dl A, (000), gamla tntor 6