spänner upp ett underrum U till R 4. Bestäm alla par av tal (r, s) för vilka vektorn (r 3, 1 r, 3, 22 3r + s) tillhör U. Bestäm även en bas i U.

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra Datum: augusti 04 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmdl: Linjal Dnna tntamn bstår av åtta om varannat slumpmässigt ordnad uppgiftr som vardra kan g maximalt 5 poäng. Dn maximalt möjliga poängsumman är sålds 40. För btygn 3, 4 och 5 krävs minst 8, 6 rspktiv 34 poäng. Lösningar förutsätts innfatta ordntliga motivringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sortrad i dn ordning som uppgiftrna är givna i. Undvik spcillt att skriva på baksidor av lösningsblad.. Dn linjära opratorn F : R 3 R 3 dfiniras av att dn vridr vktorr kring, och md bibhålln vinkl till, vktorn (,, ) på så vis att vktorn (, 0, 0) avbildas på (0,, 0). Bstäm F :s matris i standardbasn.. Bstäm längdn av dn ortogonala projktionn av vktorn på vktorn 3 i dt uklidiska rum E för vilkt skalärproduktn är fixrad till u v = 3x y + x y + x y + 4x y 4x y 3 4x 3 y + 7x 3 y 3, där (x, x, x 3 ) och (y, y, y 3 ) är koordinatrna för u rspktiv v i basn,, Dn linjära avbildningn F : R 3 R 4 har i standardbasn matrisn Bstäm F :s nollrum och F :s värdrum, och fastställ (md motivring) huruvida avbildningn är injktiv llr j? 4. Visa att kvationn xy = + z bskrivr n tvåmantlad hyprboloid. Bstäm ävn avståndt mllan mantlytorna givt att (x, y, z) btcknar n punkts koordinatr i tt ON-systm. 5. Ett tänkt basbyt från,, 3 till ẽ, ẽ, ẽ 3 bskrivs gnom sambandn x = x x + 3 x 3, x = 3 x + x x 3, x 3 = x + x x 3, mllan koordinatrna (x, x, x 3 ) för n vktor u innan bytt och d ( x, x, x 3 ) ftr bytt. Visa att ẽ, ẽ, ẽ 3 vrklign är n bas, och ang koordinatrna för vktorn i dnna nya bas. 6. Dn linjära opratorn F : R 3 R 3 har i basn,, 3 matrisn a där a R. Bstäm d värdn på a för vilka opratorn är diagonalisrbar. Ang ävn för rspktiv av dssa värdn n bas av gnvktorr till F. 7. Bstäm n ON-bas i undrrummt {p P : p( ) = p()} till dt linjära rummt P av (rllvärda) polynomfunktionr av grad högst, och utrustat md skalärproduktn p q = p(x)q(x) dx. 8. D fyra vktorrna (,, 3, 5), (, 5, 8, 8), (, 0,, ) och (,,, 3) spännr upp tt undrrum U till R 4. Bstäm alla par av tal (r, s) för vilka vktorn (r 3, r, 3, 3r + s) tillhör U. Bstäm ävn n bas i U.

2

3

4

5

6

7 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akadmin för utbildning, kultur och kommunikation Avdlningn för tillämpad matmatik Examinator: Lars-Göran Larsson Tntamn TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algbra BEDÖMNINGSPRINCIPER md POÄNGSPANN Läsår: 03/4 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika dlmomnt i uppgiftr. 0 0 p: I analogi md dt givna korrkt notrat att vktorn 0 0 ( 0,,0) avbildas på ( 0,0,), och att vktorn ( 0,0,) avbildas på (,0,0) 0 0 p: Korrkt fastställt dn första kolonnn i F:s matris p: Korrkt fastställt dn andra kolonnn i F:s matris p: Korrkt fastställt dn trdj kolonnn i F:s matris. ( 3) 5 p: Korrkt skrivit nd uttryckt för dn ortogonala projk- 3 tionn av 3 på 3 p: Korrkt tolkat hur dn givna skalärproduktn tillämpas p: Korrkt bstämt skalärproduktn av vktorrna 3 och 3 p: Korrkt bstämt längdn av vktorn 3 p: Korrkt bstämt längdn av dn ortogonala projktionn 3. F:s nollrum är lika md mängdn ( 0,0,0) F:s värdrum är lika md dt linjära höljt [ (,3,8, 5), ( 4,4,3, ), ( 7,5,0, 0) ] F är injktiv ftrsom nollrummt ndast innhållr nollvktorn p: Korrkt funnit n trappstgsmatris som är radkvivalnt md dn linjära opratorns avbildningsmatris p: Korrkt bstämt F:s värdrum p: Korrkt bstämt F:s nollrum p: Korrkt förklarat varför är F injktiv 4. Dn kvadratiska formn i högrldt av kvationn xy z har signaturn (,, ) vilkt btydr att kvationn bskrivr n tvåmantlad hyprboloid. Avståndt mllan d två mantlytorna är lika md l.. p: Korrkt funnit dn kvadratiska formn xy z har signaturn (,, ) och därmd att kvationn gomtriskt btydr n tvåmantlad hyprboloid p: Korrkt bstämt n ortogonal basbytsmatris som diago- nalisrar dn kvadratiska formn xy z till x z y, där ( x, y, z ) btcknar n punkts koordinatr i tt nytt ON-systm p: Korrkt bstämt avståndt mllan d två mantlytorna ()

8 5. Vktorrna,, 3 är n bas, dtta ty matrisn S i matrisrlationn X SX S är invrtrbar. koord,, ( 3) (,8,3) 3 6. Avbildningn är diagonalisrbar ndast för a 3, 7. En bas av gnvktorr är för dssa a t.x. ( 3 a,,3 a), ( 0,, 0), ( 0,,7 a) p: Korrkt utifrån d givna sambandn på formn X SX idntifirat matrisn S, och sdan notrat att, om d givna sambandn vrklign motsvarar koordinatr för n vktor i två olika basr, matrisn S i så fall är lika md basbytsmatrisn i tt basbyt från,, 3 till,, 3 (dt som påmatrisform skrivs som S) p: Korrkt vrifirat att matrisn S uppfyllr kravt på att vara n basbytsmatris p: Korrkt notrat att koordinatrna för 3 i basn,, 3 gs av koordinatmatrisn S X, där X är T lika md koordinatmatrisn ( ) p: Korrkt bstämt invrsn S till basbytsmatrisn S p: Korrkt funnit koordinatrna för 3 i basn,, 3 p: Korrkt avgjort vad som gällr i fallt a 3 p: Korrkt avgjort vad som gällr i fallt a 7 p: Korrkt avgjort vad som gällr i fallt a 3, 7 p: Korrkt i fallt a 3, 7 funnit n bas av gnvktorr 7. En ON-bas i undrrummt är t.x p, 5 3p p ) 0 8 ( 0 där n p 0 ( x) och pn ( x) x, n Z 8. Vktorn ( r 3, r, 3, 3r s) tillhör undrrummt U om och ndast om ( r, s) (,3). En bas i U är t.x. (,,3, 5), (, 5, 8,8) p: Korrkt funnit att undrrummt spänns upp av polynomfunktionrna p 0 och p, här som följr btcknad md u rsp. u p: Korrkt normrat u till p: Korrkt formulrat n polynomfunktion f som a) tillhör undrrummt, som b) int är lika md nollfunktionn och som c) är ortogonal mot u, dvs formulrat polynomfunktionn u u, samt korrkt bstämt skalärproduktn u p: Korrkt bstämt skalärproduktn u, och korrkt sammanställt f p: Korrkt normrat f till, och korrkt angivit, som n ON-bas i dt aktulla undrrummt p: Korrkt tillsammans md dn fmt vktorn iscnsatt n undrsökning av vktorrna i spannt för undrummt U, och korrkt funnit dn till vktorrnas (utökad) kofficintmatris radkvivalnta trappstgsmatris p: Korrkt från trappstgsmatrisn idntifirat dimnsionn på U och n bas i U p: Korrkt från trappstgsmatrisn idntifirat vilka värdn på r och s som gör att dn fmt vktorn liggr i undrrummt U ()