6.14 Triangelelement (CST Constant Strain Triangle)

Transkript

1 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s 6.4 riangmnt (CS Constant Strain riang) Givt: unn påt, h E-modu E Poissons ta På tunn påt md fria tor kan man göra antagand om pan spänning (P.S.), dvs att n av huvudspänningarna är (spänningn i tjockksriktningn). Dt här är n god approimation för tunna påtar om påtns tjockk är fri att krmpa r pandra fritt vid bastning. I dn här uppgiftn kommr vi att göra just dtta antagand. Om tan istät är förhindrad att röra sig, dvs z, kan man använda sig av pan dformation (P.D.). Dt nda som skijr är matriats stvhtsmatris C (matrisvrsion av E-modun). Dtta används gnrt stt ti tjocka påtar, r om kämmr fast påtn. Lit kuriosa om påt (har ingt md FEM att göra): Man bör undvika att utsätta påt för dragspänning i tjockksriktning då påtar tndrar att ha inbggda dfktr från gjutning som bir patta och vassa ftr vasning (~kava stå). Dssa dfktr rsutrar i kraftigt försämrad brottmkaniska gnskapr i tjockksriktningn. För mr info, fråga n brgsman. Sökt: Nodförskjutningar och spänningar i mntn för rspktiv astfa, naig dragning i a), och gnvikt i c). Lösning: Dt är ingn markant skinad man FEM i D och D. Formfunktionrna går från, N N och man användr C istät för E. I övrigt är dt gntign ingt ntt, och ösningsstratgin bstår fortfarand av att ta fram Stvhtsmatris Lastvktor andvikor för att sdan ösa kvationn md hjäp av tt rducrat sstm. Som vanigt tar vi n titt på FEM-kvationn, F KD. Gomtrin och matriat är samma i båda duppgiftrna, dvs. stvhtsmatrisn kommr vara dnsamma. Vi börjar därför som vanigt md att ta fram gobaa stvhtsmatrisn K.

2 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s t vi bhövr finns i formbadt: Formfunktionrna är formurad så att man kan använda gobaa --koordinatr dirkt. V K k B CB dv konstant tjockk h B CB d () E Från formbadt kan man idntifira att CC P.S.. Md insatt fås: E C () P.S. = pan strss, P.D. = pan dformation (samma sak som pan strain). Några tpvärdn för (har ingt md FEM att göra): Mtar har gnrt stt... Inkomprssiba vätskor har.. Pomrr är it svårar ftrsom ingt tndrar att vara spcit konstant. En tumrg dock är att stva pomrr gnrt stt har tt ägr värd på, mdan t mjukt gummi kan ha upp ti Om är viktigt att vta för n pomr bör dn tstas vid titänkt arbtstmratur, asthastight, kristainittsgrad.

3 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s Emnt :,,,,,, N N N imightskontro: N N N, ok. Md drivring av formfunktionrna får vi B. Ni N i Bi,, B B B B B B B Ni N i B () Göm int -faktorn, annars bir dt dimnsionsf! h () och () i () K h B CB d hb CB d hb CB B CB, konstantr

4 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s Eh K, (4) 4 4 Frihtsgradr Emnt :,,,,,, N N N imightskontro: N N N, ok. B,, B B B () 4 Eh K, (6) 4 6 Frihtsgradr 4

5 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s ssmbra ti n goba stvhtsmatris Eh Eh K K, K, Eh K () 4 a) Enaig dragning andvikor För dn här uppgiftn får vi ta och fundra ut ämpiga randvikor. Vi appicrar ika stor dragspänning på båd vänstr och högr sida, och dt vor minst sagt trvigt att sippa bräkna konskvnta nodastr för båda. Dtta kan åstadkommas om vi åsr fast nod och 4 i -d, astn på västr sida kommr automatiskt md då som n raktionspänning. Dt här kan jämföras md införandt av smmtri. Dt här är dock int ht tiräckigt. Vi vi förhindra stkroppsrörs, vikt just nu är möjigt i -d. Dt kan ätt fias gnom att åsa bottn i -d. Md dt infört sr påtn ut såhär:

6 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s Lit mr matmatiskt uttrckt bir randvikorn: D D F () Lastvktor 4 nod D D6 D I dt här fat har vi bara n tast på mnt. Från formbadt för tastr: fs N t ds (9) S N Nt N Nt N t N t Fs, fs, N t N t S Nt S S N Nt N Nt ds ds ds För dt här fat har vi att t t t. () F ds () s, S Lastn vrkar på tan som iggr på, så vi sättr in dt i intgran tisammans md ds hd. h h h F s, d () Dssa konskvnta nodastr vrkar på frihtsgradrna,4,,6, rsp.. 6

7 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s otaa astvktorn fås som vanigt gnom att summra aa astbidrag. h 4 h 4 F Fnod F s () h Lös ut sakr som vanigt h D 4 Eh F KD h 4 D D6 D (4) Strk aa radr och koumnr där förskjutningn är för att få tt rducrat kvationssstm. D D h Eh D D MLB 4 D 6 D E D D Spänningsfördningn inom mntn tas fram md formrna i formbadt: Emnt : D D E D CBD E D4 D D

8 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s Emnt : D D4 E D CBD E D6 D D Notra att naig dragning gr n konstant töjning. tså kan dt modras akt md CS-mnt. c) Egnvikt andvikor I dn här uppgiftn är påtn fritt uppagd. Vi åsr nod så att stkroppsrörs förhindras. Nod sättr vi på n vagn /ru, dvs nod kan förskjutas fritt i -d, mn åst i -d. D D F () 4 nod D D6 D D Lastvktor Lastvktorn kommr förstås bi annorunda. Dn här gångn har vi n vomsast som bskrivs av: K K K g (6) Vi konsutrar formbadt för vomsast och hittar: fs N K dv () V Emnt

9 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s N N N K gh Fs, N K dv dv dv hd d N K V V N N gh gh gh gh d d d 6 jag har vat att intgrra övr först () Vrkand i frihtsgradrna,,,4,, rsp.. Emnt N N N K gh gh Fs, N K dv dv d dd K N V V N N gh gh gh d (9) 6 6 Vrkand i frihtsgradrna,4,,6,, rsp.. 9

10 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s ssmbra astvktorn 4 gh gh 4 gh F Fnod Fs, Fs, () Lös som vanigt D 4 gh Eh F KD 6 4 D D6 D D () Strk radr och koumnr där förskjutningn är för att få tt rducrat kvationssstm. D D D D gh Eh g D 6 MLB D E D D D D () Vi insr att dt här är dåiga rsutat. Sku dt här pottas sku dt s ut något i sti md: Md fr mnt sku rsutatt bi bättr.

11 Övning 4 riangmnt ickard Shn -- FEM för Ingnjörstiämpningar, SE rshn@kth.s Spänningsfördningn inom mntn tas fram md formrna i formbadt: Emnt : E g g CBD 4E 4 Emnt : E g g 9 CBD 4E 9 4 Katastrofat dåig bid av vrkightn! Dt kan dock göras bättr om man användr fr mnt och/r smmtrivikor.