6.2 Transitionselement

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "6.2 Transitionselement"

Ida Gun Lundberg
för 5 år sedan
Visningar:

1 6. Transitionselement Den här tpen av element används för förbinda ett linjärt och ett kvadratiskt element. Givet: Sökt: Bestäm formfunktionen för nod. Visa att den uppfller kraven för en formfunktion. Krav för formfunktioner:. i i varje punkt i elementet. (). Formfunktionen ska vara i sin hemmanod. (). Formfunktionen ska vara i alla andra noder i elementet. () Metod Snabbast och enklast om man redan vet resterande formfunktioner: (), () Kontroll av krav :,, ok! Kontroll av krav : vid andra noder, ok! Metod Som i övning 5, inte alltid så straight forward tvärr. Gör en smart ansats, håll tummarna och testa om det uppfller kraven. Om man sätter kravet att längs med vänsterkanten och diagonalen kommer man en bra bit på ansatsen. Detta uppfller krav direkt. Genom att slänga på en konstant kan vi också uppflla krav.

2 Formfunktionen är längs med hela kanten om noden inte ligger på kanten. Det vore ju skumt om en nod skulle få en konsekvent nodlast av en tlast som ligger nånstans där noden inte ligger. Se även plottarna. Från ansatsen har vi formen på formfunktionen, men amplituden måste bestämmas. Jämför sinx Asinx. k,. (), k k, Krav är uppenbarligen också uppfllt eftersom vi får samma svar som i metod, som utgick från krav. Formfunktionerna plottade i MATAB:

3 6. Koordinatomvandling i isoparametriskt element. Givet: Hålradie, R ,,, Sökt: Bestäm avståndet från mitten till punkten x sanna värdet. och jämför med Avståndet, d, från,, Koordinaterna, För isoparametriska element gäller att: x xi i i x x x. () x är givna i lokala koordinatsstemet som, och måste transformeras. () Vi är intresserade av punkten x xi i, i x, eller,, lokalt sett, så: ()

4 Räkna ut formfunktionernas värden i den intressanta punkten, 5 innehåller Rimlighetskontroll: i, ok! Tack vare att bara tre noder har nollskilda formfunktioner behöver vi bara ta fram koordinaterna för dem tre. Koordinaterna fås ur figuren med lite trigonometri. od 5 x Rcos5 R Rcos5 Rsin 5 R R Rsin 5 R R R x x x 5x5 R R 55 R R R R () (5) R 5 () d R R R d.989r 8 8 Det här innebär att FEM nätet avviker från det man försöker modellera med ca %, vilket felfortplantas till de töjningar och spänningar man beräknar med FEM. Vill man vara säker på sin FEM lösning ska man alltid göra en finare mesh för att se att man fortfarande får samma resultat.

5 6. Fel numrering Isoparametriskt element numrerad i omvänd ordning mot konvention. Givet: Element som ovan. Sökt: Jacobideterminanten x x x J J () x () x x x x i i () i i () x x () J J Den negativa determinanten kommer resultera i att man får en negativ stvhetsmatris om man utför integralen i det lokala koordinatsstemet. För att undvika det här, numrera i rätt ordning. 5

Givet: Kx x K K Tjocklek, h x I element gäller: () () Sökt:

6 6.9 Roterande plåt a) Konsekvent odlast i Element Smmetri gör att endast övre halvan behöver modelleras. Givet: Kx x K K Tjocklek, h x I element gäller: () () Sökt: Konsekvent nodlast i element. b, T T T F KdV h KdA da dxd J d d h K J dd () Ve Ae () x x x x J J (5) 6

7 h () (5) Fb, h dd dd J K T Integralerna har alla samma form, så vi kan skriva på en form som behandlar alla samtidigt: h I dd f g I tidigare övningar har jag delat upp dubbelintegralen i två vanliga integraler. För den som tcker att det känns skumt kommer en kort förklaring här: f gdd f d g d Förstår du fortfarande inte, fråga första bästa fsiker i klassen, alternativt bara acceptera det och drick en cola. h I dd h dd del: f g del: 8 d 6 d 8 I h 6 F b, h 8 8 7

8 b) Spänningar i Element E Givet: Plan spänning C E (6) T D 6 6 E (7) För element : (8) Exakt lösning: x Sökt: Spänningar i punkterna: x 6 x,,,, jämför med exakt lösning. (9) Uttrck för spänningar fås från formelbladet: σ CBd () e Formelblad B B B B B i x i i B i i x i x i i J i () T T T T T T T T T 6 5 Givet är d d d d d D D D D Är man smart kan man utnttja att förskjutningarna är i noderna 5 och 6. Därmed slipper man beräkna två E T B matriser. σ C B d Bd Bd Bd C Bd Bd () i i x i (8) () i i i i B i i B, B () 8

9 () () σ σ () otera att spänningen är konstant. FEM, (bi)linjära frkantselement: Exakt lösning:.5 8 Plotta i MATAB Spänning, 8 6 FEM Exakt ösning.5 x/ injära element kan bara modellera konstant töjning/spänning. Geometrin är snäll och korrekt beskriven av elementnätet, och därför blir nodförskjutningarna exakta. Det innebär att töjningen/spänningen i genomsnitt blir rätt över elementet, vilket förklarar varför spänningen i mitten av elementet avviker minst från den exakta lösningen. 9

Relevanta dokument

6.2 Transitionselement

6.2 Transitionselement -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 rshen@kth.se 6. Transtonselement Den här tpen av element används för förbnda ett lnjärt och ett kvadratskt element. Gvet: Sökt: Bestäm formfunktonen för nod. Vsa att