Övning 3 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen Balkproblem och Ramverk

Transkript

1 .6 Stelkroppsrörelse i balk Bild av Veronica Wåtz w δ θl Givet: w δ + θl () θ θ θ Sökt: Visa att förskjutningsansatsen kan beskriva en godtycklig stelkroppsrörelse, dvs w x δ + θx. w θ : Allmänt: wξ N N N N Nw + Nθ + Nw + Nθ () Lösning Nd [ ] e w θ Från formelbladet: N + N + ( ξ ξ ) ( ξ ξ ) N N ( ξ ξ ξ ) L ( ξ ξ ξ ) L () w ξ Bidrag till δ term Bidrag till θ L term ( ξ ξ )( δ θl) Nw + N θ ξ ξ + ξ θl ( ξ ξ )( δ θl) Nw + + N θ ξ + ξ + ξ θl ξ + ξ + ξ ξ + ξ ξ ξ ξ + ξ + ξ ξ ξ + ξ + ξ w L x + w x + x L Σ ξ ( ξ) δ θ ξ ξ δ θ, Q.E.D.

2 5. Blandad användning av stång- och balkelement Bilder av Veronica Wåtz Givet: EI k η, η L Q x q( x), x L LL Sökt : w( x), M( x ) Lösning: Börja med att göra om problemet till element. Balken utsätts för både böjning och normalkraft, så den bör modelleras med ett stångelement och ett balkelement som sitter ihop i gemensamma noder. Fjädern kan modelleras med ett fjäderelement.

3 Steg : Beräkna K. Stångdelen och fjädern är lätta, så vi kan väl börja med dem: EA K ea L () Innehåller noderna och, men viktigare, frihetsgraderna och. c c c cos9 a a c cs EI Kec k, där c, a Kec ac ac cs s s sin 9 L Innehåller noderna och, frihetsgraderna,5,7 och 8. () EI Alt. K ea L, innehållandes frihetsgraderna 5 och 8. Bara balkdelen kvar då. För balkar gäller: a T ke B EIB dx, där a halva elementlängden a Obs! Finns INTE med i formelbladet uttryckt på det här sättet. Om EI är konstant, kan det brytas ut ur integralen, och resten fås från formelbladet: Notera att L i formelbladet motsvarar L för det här problemet eftersom vi har elementlängden L. a T e EI BBdx EI a a k Finns i formelbladet a a a a a a a a a a a a () Vi har tur eftersom balkelementet sammanfaller med x-axeln. Vi slipper alltså transformera.

4 EI K k { a L} 6L eb e 6L 6L 6L 6L 6L 8L 6L 6L 6L 8L 6L 6L Innehåller noderna och, frihetsgraderna,,5 och 6. Med elementstyvhetsmatriserna kända är det dags att assemblera. I tidigare övningar har det räckt att hålla koll på vilka noder en elementstyvhetsmatris behandlar. Eftersom noderna och är en kombination av både stång och balk får man istället gå över till det mer allmänna fallet, att hålla koll på frihetsgraderna. Assemblera Steg : Beräkna F., L x<, ξ < x Q x Q, x L L ξ, ξ LL L ξ q( x) q x () Den utbredda lasten angriper balkdelen, stångdelen behöver inte behandlas. ξ + ξ L( ξ ξ + ξ ) T Q Fb,b balkq( x) dx ξ dx { dx Ldξ} N ξ ξ L + L( ξ + ξ + ξ ) body force, element b

5 5 ξ ξ ξ + Q 5 ξ ξ + ξ 5 ξ ξ ξ ξ 7 L Q L 5 L Q ξ ξ ξ ξ + + Q 6 dξ 5 9 ξ ξ ξ Q ξ + ξ + ξ L( ξ ξ + ξ + ξ ) 5 5 ξ ξ ξ ξ Q L + + L 5 6 Verkar på frihetsgraderna,,5 respektive 6. (5) Nodlasten stoppar i en global vektor direkt: R R M R P F s (6) ( R7 ) R8 I exempelsamlingens lösningsförslag sätter man R 7 direkt här eftersom fjädern inte kan överföra krafter i x-led. Alternativt kan man göra som vanligt och få fram krafterna som F KD. Assemblera lasterna till en global lastvektor: R Q R R 7Q R Q MR L 6 M R 7QL 6 P P F Fs + F b + (7) 9Q 9Q QL 6 Q L R 6 8 R 8 5

6 Steg : Lös ut okända i D på det gamla hederliga sättet via F KD Notera att D praktiskt taget är utskrivet. EA PL P D + D5 + D D 6 L EA 9Q 7EI EI QL D 5 6L 8L D 5 5 EI Q EI EI D 6 QL L D6 6 8L L 5EI (8) Steg : Ta fram det vi ville ha, utböjningen och momentet. Som tur var sammanfaller balkens koordinatsystem med globala x-axeln, och vi behöver alltså inte tänka på transformationer hit och dit. Utböjning: w( ξ ) T ξ + ξ L( ξ ξ + ξ ) QL Nbalkde ξ ξ + 5 EI L( ξ + ξ + ξ ) QL 5EI Tar för stor plats att skriva på horisontell ledd QL QL x x x w ξ ξ + ξ + ξ w x + + EI EI 5 5 L L 9 L (9) () x M ( x) EIw'' ( x) EIBbalkd e M ( x) QL + () 5 L 6

7 5.6 Symmetri Givet: Om R h kan man bestämma fjäderkonstanten till Sökt: Ta fram symmetrivillkor. Lösning: k π ( π 8) Det viktiga att ta med sig från den här uppgiften är hur man kan modellera symmetrivillkor i FEM med hjälp av randvillkor. Varje gång man inför en symmetri halverar man det som behöver modelleras, vilket är väldigt trevligt. I det här fallet kan vi börja med att konstatera att problemet har en övre och undre halva som är symmetriska. När man ska modellera det här bör man tänka igenom randvillkoren:. De två halvorna sitter ihop i planet och får varken tryckas in i varandra eller dras isär. u y. Materialet måste sticka upp normalt mot symmetriplanet, annars skulle förskjutningarna motsvara både en sprickbildning, och att materialet krockar in i spegelbilden. θ. De två halvorna kan röra sig fritt i x-led, spegelbilden följer med. EI. R Detta uppfylls om man sätter ett randvillkor som ser ut såhär: 7

8 Vi ser att vänster och höger sida fortfarande är spegelbilder av varandra. Vad gäller förskjutningar kan vi använda vagnen som randvillkor även här. För att inse hur man ska dela upp punktkraften tänker vi oss hur lasten skulle se ut i verkligheten. I verkligheten finns är punktlaster istället en väldigt väldigt koncentrerad utbredd last. Om vi zoomar in där lasten angriper skulle det kunna se ut nåt sånt här: Nu ser man tydligt hur halva kraften angriper på höger halva, och halva kraften på vänster halva. Genom att införa ett andra symmetrivillkor har problemet reducerats till en fjärdedel. Slutresultat: Betydligt 8