6.8 b) Konsistenta Nodlaster med Vanlig Integrering

Transkript

1 6.8 ) Konsistenta Nodlaster med Vanlig Integrering Bilder av Veronica Wåtz och Jonas Faleskog. Givet: Plåttjocklek, hm [ ] Densitet, ρ kg m λ = Sökt: Bidraget till nodlastvektorn (konsistenta nodlaster) på grund av egenvikten, K = ρg. Från formelladet: F = N K dv, Ve () Om lasten K ges i gloala koordinatsstemet fås konsistenta nodlastvektorn också i gloala koordinatsstemet F. Vice versa gäller förstås om K ges i lokala koordinatsstemet, f. Se även ilagan i slutet. där K är volmslasten, inte stvhetsmatrisen, som ser ut såhär: K K = K = ρg () Eftersom plåtens tjocklek är konstant, lir dv = hda, och volmsintegralen lir en tintegral istället: F h N K Ae = dd () ()

2 Formfunktionerna är givna i formelladet för ett lokalt koordinatsstem där frkanten har den trevligaste form man kan tänka sig, en kvadrat med hörnen i trevliga koordinater. Vi vill gärna göra integralen i det koordinatsstemet. Som man minns (eller snarare glömt) från matten är areaenhet i sstemet inte lika stort som areaenhet i ξ η sstemet. Som valutaomvandlare har man Jacoiandeterminanten. Finns i Beta, längst ner s., om än lite krptiskt matematiskt. Bild från Jonas Faleskogs OH slides. I vilket fall gäller att dd = J d ξdη, da daξη och nu ser man att determinanten av Jacoianen måste eräknas för att komma vidare. (5) Från formelladet har vi: För att eräkna Jacoianen ehövs uttrcken för ( ξ, η ) och (, ) man att = N i i, = N i i, vilket är anledningen till att det här kallas isoparametriskt, dvs ξ η. Längre upp i formelladet ser man har samma formfunktioner till koordinaterna som till förskjutningarna. Formfunktionerna är ara att skriva av från formelladet, och, är nodernas koordinater. i i

3 Vi örjar med att lista upp nodkoordinaterna: Nod, i ( + λ) L ( λ) L ( + λ) L ( λ) i i L L L L L Nu till den drga iten... (tar i för sig ara min i Maple tack vare cop paste). ( ) ( ξ)( η) ( + ξ)( η) ( ) ( ) ξη, = N i i = + λ L+ λ L+ ( ξη, ) ( + ξ)( + η) ( )( ) ( ) ξ + η λ L ( λ ) L... Lξ ( λη ) = = + (6) ( ξ)( η) ( + ξ)( η) ( ) ( ) = Nii = L + L + ( + ξ)( + η) ( ξ)( + η) + L+ L=... = Lη (7) Genom att partialderivera (6) och (7) fås Jacoianen, och därifrån dess determinant: ξ ξ L( + λη) J = = (8) Lλξ L η η ( + λη) L J = det = L( + λη) L Lλξ = L ( + λη) Lλξ L (9) Med Jacoianen känd är det ara att integrera på. N N ( ξ)( η) N N ( )( ) h + ξ η = L λη dξdη ρg + = ( + λη) dξdη N ρ g N ( + ξ)( + η) N N (5),(9) i () F ( ) ( ξ)( + η) Alla raders integraler ser ut på ungefär samma sätt och kan därför ehandlas på liknande sätt: ρg ρg I = ( ξ )( η)( λη) dξdη ( ξ) dξ ( η)( λη) dη ± ± + = ± ± + f ( ξ) g( η) f ( ξ) g( η)

4 ξ del: ( ) ( ) ξ ± ξ dξ = ξ ± = ± ± = ± = η del: ( )( ) d ( ) ( λ ) ± λ ± η + λη η = + λ ± η ± λη dη = η + η ± η = ( λ ) ( λ ) ( ) ( ) ± λ ± λ λ λ = + ± + ± = ± = ± ρg λ ρg ρg I = ± = ( ± λ) = λ = = ( 6± ), () 6 där tecknet estäms av om formfunktionen innehåller ( ) η + eller ( η ). ρ g F = () Rimlighetskontroll (sna smidig koll på att man fått en rimlig lastvektor): ρ g Fi, = ( ) = ρg = ρg = mg, ok! 6 6 V

5 6.9 Konsistenta Nodlaster med Gaussintegration Bilder av Veronica Wåtz. Gaussintegration är en numerisk integrationsmetod som, till skillnad från trapetsmetoden, kan få eakta svar om man använder tillräckligt många integrationspunkter och integrerar på polnom. Visdomsord: Med m st integrationspunkter kan man integrera på ett polnom av grad (m ) och få ett eakt svar. Givet: Från 6.8:,, N K J, ( ξ)( η) ( ) ( ) F = h ρ g L + λη dξdη ( + ξ)( η) ( ) F = h ρ g L ( + λη ) dξdη ( + ξ)( + η) ( ) ( ) F = h dξdη F = h ρg L + λη dξdη ( ξ)( + η) ( ) F, = h ρ g L ( + λη ) dξdη K J Ni F, = F, = F, = F, = () Sökt: Konsistenta nodlaster för 6.8, men integralen eräknad numeriskt med Gaussintegration. a) (mξ =, mη = ) integrationspunkter Rent allmänt vid Gaussintegration: I f ( ) d w f ( ) m i i. () i= = = Vi vill duelintegrera, vilket inte är annat än att integrera två gånger. m m m m m I = f ( ξ, η) dξdη = g η dη = wg η = w w f ξ, η = ww f ξ, η i= i= j= i= j= g( η ) ( ) η ( ) η ξ η ξ i i i j ( j i) i j ( j i) ρ g I det här fallet har vi att f ( ξ, η) = ( ± ξ)( ± η)( + λη), () där tecknena eror på nodens formfunktion. Här ser man att med avseende på ξ har vi ett polnom av grad. m ξ Ok! Med avseende på η har vi däremot ett polnom av grad. m η < Vi kan förvänta oss numeriska fel. () 5

6 Vikterna finns i kursoken s.6, samt en taell för högsta polnomgrad med eakt svar. Liknande taell finns på l a wikipedia om man googlar på Gauss integration eller Gauss quadrature. ξ η i= j= = = w w i= j= = = integrationspunkter ρ g F = + d d = ww f = f = η ξ ( ξ)( η)( λη) ξ η ( ξ, η ) (,), i j j i i= j= ( )( )( ) = ρg + λ = ρg m m Notera att med ara en integrationspunkt försvinner lutningens inverkan i det här fallet. På samma sätt:,,, i= j= i= j= i= j= ( ) ( )( )( ) F = f, = ρg + λ = ρg ( ) ( )( )( ) F = f, = ρg + λ = ρg ( ) ( )( )( ) F = f, = ρg + λ = ρg F = ρ g [ ] Här ser man att svaret avviker från det eakta svaret vi räknade fram i

7 ) (mξ =, mη = ) integrationspunkter Den här gången använder vi två integrationspunkter i vardera led. =, så vi kan integrera på upp till tredjegradare och få eakt svar. I ξ led har vi grad, och i η led integrerar vi på en grad, så det är rimligt att förutspå att svaret kommer stämma med det analtiska svaret. Från taellen läser vi av vikter och integrationspunkter. ξi= = ξi = = η j= = η j= = w w w w i= i= j= j= = = = = integrationspunkter ρ g F = + d d = ww f = η ξ ( ξ)( η) η ξ η ( ξ, η ), i j j i i= j= ρ g λ = + + wξ =, wη =, ξ =, η = + + λ + wξ =, wη =, ξ =, η = + + λ + wξ =, wη =, ξ =, η = + + λ = wξ =, wη =, ξ =, η = =... = ρ g 6 5 På samma sätt: F, = ρg, F, = ρg, F, = ρg ρ g F = [ ] m m Precis som analtiska lösningen! 7

8 6. Konsistenta nodlaster med Varierande Ytlast Givet: Plåttjocklek h t s s = A + + B L t L t t varierar linjärt och estår av last i åde led och led. Sökt: a fram konsistenta nodlaster för fallen ovan. I c) och d) är lasten konstant, ta = tb = t. a) Isoparametriskt noders element Från formelladet: = Fs N t Se ds Formfunktionerna är givna i formelladet för lokalt koordinatsstem, och s = Lη, så integration i lokalt koordinatsstem verkar ju vettigt. s L h h ds ds Ld d L { konstant tjocklek } { η} F = = N t = = = N t η () t t. Lasten vill vi ha uttrckt som funktion av η, ( s) ( η ) ( η) A + ( + η) ( η) + ( + η) t s s s t t t = t + + = = t () B A B η L L L t ta tb Lasten angriper längs med ξ =, och kommer fördelas mellan dessa två noder eftersom de andra nodernas formfunktioner är där. Det räcker därför att ara räkna på de noderna. Integralerna kommer alltså att se ut som: F = N η t + + η t dη = N t + t + t t η dη () led: ( ) ( ) ( ) ( ) i, i A B i A B B A led: Fi, = N i ( η ) ta + ( + η) t B dη = N i ( ta + ta ) + ( tb ta) η dη () 8

9 Bara att örja räkna då. Lasten angriper längs med Ni ξ, η = Ni, η. Integralen kan eräknas med godtcklig metod. Personligen föredrar jag Maple. ( + )( η ) F, = ( ta tb ) ( tb ta ) η dη ( ta tb ) + + = + ( )( η ) ξ =, så ( ) ( ) + F = t t t t + + d = t + t ( ) ( ) η η ( ), A B B A A B ( )( η ) + + F = t + t + t t d = t + t ( ) ( ) η η ( ), A B B A A B ( )( η ) + + F = t t t t + + d = t + t ( ) ( ) η η ( ), A B B A A B t t F = t t A A A A + t + t + t + t B B B B (5) Rimlighetskontroll: t ( ) A + t B Fi, = ta + ta + tb + tb = ta, ok! (Ser likadant ut i led, så ok där också.) Genomsnittslast ) Isoparametriskt 8 noders element Den enda skillnaden mot a) är en etra nod att räkna på, och att vi får ta fram formfunktionerna själva. I rist på formfunktioner i formelladet får vi komma på egna. Det görs genom att ställa upp två villkor.. Ska vara i sin hemmanod.. Ska vara i andra noder. 9

10 Det räcker med att räkna ut formfunktioner för de noderna som ligger längs tan. Ställ upp: ( ξ )( ξ)( η η)( η η) ξ( ξ)( η η)( η η) N = k = k +, i i j k i j k + gör att formfunktionen lir vid noderna,,5,7 och 8. De andra paranteserna ser till att formfunktionen är i de resterande två noderna som inte är hemmanod. där ξ ( ξ ) ( ξ, η) ξ( ξ)( η)( η) ( ξ, η) ξ( ξ)( η η) ( ξ, η) = ξ( + ξ)( η)( η) ( ξ, η) = ξ( + ξ)( η + η) ( ξη, ) = ξ( + ξ)( η)( η) ( ξη, ) = ξ( + ξ)( η ) N = k + N = k + N k N k N6 k6 N6 k6 (6) Härmed är krav uppfllt för formfunktionerna. Krav uppflls genom att estämma konstanten till ett lämpligt värde. ( ) η η N(, ) = k ( ) ( ) = k = N = ξ = η + η N(,) = k( () + () ) = k = N = ξ = N6(, ) = k6( ( ) ) = k6 = N6 = η ξ = (7) Från a) såg man att integralerna i och led var identiska, så det räcker att räkna på led och kopiera resultatet till led. Kom ihåg att ta inde till ta, t B! η η F, = ( A B ) ( B A ) A t + t + t t η dη = t η + η () F, = ( ta tb ) ( tb ta ) η dη tb + + = F = η t t t t η dη t t + + = + ( ) ( ) ( ) 6, A B B A A B (8) F = ta ta tb tb ( ta + tb ) ( ta + tb ) (9) Rimlighetskontroll: t ( ) ( ) A + t B Fi, = ta tb ta tb ta tb = + = ta, ok! (Ser likadant ut i led, så ok där också.) Genomsnittslast

11 c) isoparametriska noders element, konstant last I a) har vi redan löst hur konsekventa nodlasten lir för linjärt varierande last. Konstant last är ett specialfall där ta = tb = t. ta + t B t ta + tb ta = tb = t t (5) F,e =,e ta t = F = + B ta = tb = t t ta + tb t Strukturen estår av flera element nu, så för att markera att det här handlar om elementets nodlaster och inte hela strukturens nodlast slänger jag på ett e i indeet. d) isoparametriska 8 noders element, konstant last Samma resonemang som ovan, använd ) som elementarfall. = + + (9) F,e ta ta tb tb ( ta tb ) ( ta tb ) F,e = t t t t t t För att få gloal lastvektor i c) och d), assemlera som i tidigare övningar.

12 Bilaga Etragrejs F,e eller f,e? I formelladet står det ara NK Ve dv. I tidigare övningar på D element har vi alltid haft turen att gloala och lokala koordinatsstemen sammanfallit, och då gäller att F,e = f,e. Dessa koordinatsstem ehöver förstås inte sammanfalla, se ild nedan. Då är det definitionen av K som estämmer. K K K =,e dv K F = N K, V e Kξ Kξ K =,e dv K f = N η K V η e ξ η Motsvarande gäller förstås för tlaster. olkning av integralen för konsekventa nodlaster Integralen kan tolkas som en funktion som fördelar kraften. Vid varje punkt längs med integralen finns en viss mängd last t ( s) ds. Formfunktionerna i den punkten talar om hur stor del av lasten som ska gå till vardera nod. Alla små delidrag summeras (integreras) och man får reda på hur tlasten påverkar noderna. Konsekventa nodlaster för volmslaster fungerar förstås på precis samma sätt. otala lasten fördelar sig mellan noderna.