Den vanliga koordinaterna, betecknas (x, y, z) med enhetsvektorerna î, ĵ och. z k

Transkript

1 Vektorkalkl I fsiken har vektorfält stor betdelse inom bl.a. mekaniken och elektrodnamiken. I ett skalärfält har varje punkt i rmden ett visst värde, t.e. i en vattenbalja kan vi sätta en temperatur i varje punkt, medan det behövs ett vektorfält för att beskriva hur vattnet strömmar i baljan (varje punkt har ett värde och en riktning). För att kunna beskriva dessa fält behövs differentiella vektoroperatorer. 1 Speciella koordinatsstem Ibland är det opraktiskt att beskriva en vektor som rör sig längs med tan på en sfär med hjälp av kartesiska koordinater. Lösningen på fsikaliska problem kan eempelvis leda till kopplade ickelinjära differentialekvationer som oftast måste lösas numeriskt. Därför behöver vi ibland använda oss av koordinatsstem som kan förenkla problemet. De tre vanligaste koordinatsstemen är kartesisk, clindrisk och sfärisk Kartesiska koordinater Den vanliga koordinaterna, betecknas (,, ) med enhetsvektorerna î, ĵ och ˆk. k i j Figure 1: Representation av de kartesiska koordinaterna (,, ) med enhetsvektorerna î, ĵ och ˆk. 1 För en komplett genomgång rekommenderas eempelvis Arfken: Mathematical Methods for Phsicists, eller M.L. Boas, Mathematical methods in the Phsical Sciences. 1

2 1.2 Clindriska koordinater I det clindriska koordinatsstemet så har vi en smmetri som ges av clindern ρ = med höjden. Koordinaterna (,, ) uttrcks då med hjälp av (ρ, φ, ) enligt figuren. Enhetsvektorerna i de clindriska koordinaterna ser du också i figuren. k Figure 2: Representation av de clindriska koordinaterna (ρ, θ, ) med enhetsvektorerna ˆρ, ˆθ och ˆk. 1.3 Sfäriska koordinater I det sfäriska koordinatsstemet så har vi en smmetri som ges av en sfär med radien r. Vi behöver då två vinklar φ och θ för att bestämma var på sfären vi befinner oss. Koordinaterna (,, ) uttrcks då med hjälp av (r, φ, θ) enligt figuren. Enhetsvektorerna ges då av ˆr, ˆθ och ˆφ. 2 Partialderivator En partialderivata är en vanlig derivata vars verkan endast går på den specifika variabeln i fråga, ej implicit. Betecknas med där är variabeln i fråga. Partialderivatan opererar på en skalär funktion f(,, ) och de vanliga deriver- 2

3 r r Figure 3: Representation av de sfäriska koordinaterna (r, θ, φ) med enhetsvektorerna ˆr, ˆθ och ˆφ. ingsreglerna gäller med avseende på den variabel som skall deriveras! Eempel: f(,, ) = 2 2 f(,, ) = f(,, ) = 2 (1) (2) f(,, ) = 2 2 (3) Partialderivatorna beskriver alltså hur en funktion varierar med avseende på ifrågavarande variabel. Vi kan konsturera en totalderivata för funktionen = f( 1, 2, 3 ), dvs hur funktionen varierar som funktion av alla variablerna från partialderivatorna enligt: d = f( 1, 2, 3 ) 1 d 1 + f( 1, 2, 3 ) 2 d 2 + f( 1, 2, 3 ) 3 d 3 (4) Märk att i denna funktion beskriver i, i = 1..3 de tre koordinatetr som behövs för att beskriva en giodtcklig punkt i den tre-dimensionella rmden 3 Vektoroperatorer Vi beskriver tre viktiga operatorer inom vektoranalsen: Gradient: mäter hastighet och riktning av förändringar i ett skalärfält. Rotation: mäter ett vektorfälts tendens att rotera runt en punkt. 3

4 Divergens: mäter hur ett vektorfält divergerar (eller kontrakterar) från(till) en given punkt. 3.1 Gradient, hur en vektorstorhet (kraften) erhålles ur den skalära potentialenergifunktionen använder vi oss av den så kallade gradienten som beskriver hur en skalär funktion förändras i en viss riktning. Gradienten är en av de vanligaste vektoroperatorerna som betecknas med, (smbolen kallas för nabla ). Gradienten definieras i kartesiska koordinater som = î + ĵ + ˆk (5) I clindriska koordinater blir nabla och i sfäriska koordinater fås = ˆρ ρ + ˆθ 1 ρ θ + ˆk, (6) = ˆr r + ˆθ 1 r θ + ˆφ 1 r sin θ. (7) Låt oss ta ett eempel. Anta att vi känner till potentialenergifunktionen U för ett föremål. För att bestämma rörelseekvationen (ur NII) behöver vi beräkna kraften som potentialen ger upphov till. Dvs vi beräknar F = U och kan därefter använda NII för att bestämma accelerationen. 3.2 Divergens, Divergensen mäter hur mcket något flödar ut (divergerar) från en sluten kropp. Divergensen producerar en skalär när den opererar på en vektor V = V î+v ĵ + V ˆk enligt I clindriska koordinater: V + V + V (8) I sfäriska koordinater: 1 ρ ρ (ρv ρ) + 1 ρ 1 r 2 sin θ V θ θ + V [ sin θ ( r 2 ) V r + r r θ (sin θv θ) + r V ] φ φ (9) (10) 4

5 3.3 Rotationen, (Curl) Fsikaliskt vetder rotationen hur mcket ett vektorfält ( V ) roterar kring en punkt (,, ) och beskrivs genom att räkna ut determinanten: V î ĵ ˆk = V V V (11) I clindriska koordinater: ˆρ ˆθ ˆk ρ θ V ρ ρv θ V (12) I sfäriska koordinater: ˆr rˆθ r sin θ ˆφ r θ φ V r rv θ r sin θv φ (13) 5