Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3"

Transkript

1 Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: januari 2, kl. 4.9., i MA. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk fältteori och räknedosa. Betygsättning: Varje uppgift ger maximalt poäng. Slutbetyget ges av heltalsdelen av (totalt antal poäng/, dock högst 5. Lösning till uppgift Magnetiska ödestätheten på avståndet z från en cirkulär trådslinga med radien a ges av (se formelsamlingen B(zẑ = ±ẑ µ I 2 a 2 (a 2 + z 2 = ±ẑ µ I 3/2 2a ( + z 2 3/2, där vi har infört z = z/a och ± svarar mot de två möjliga strömriktningarna. Eftersom b a approximeras det magnetiska ödet genom den lilla slingan med produkten av dess yta πb 2 och magnetiska ödestätheten i dess centrumpunkt: Φ( z = lilla slingan B(r ẑ ds ± µ Iπb 2 2a ( + z 2 3/2. Enligt uppgiften är z = vt + z, där z är begynnelsepositionen vid tiden t =. Eftersom z = z/a = vt/a + z med z = z /a, följer det av induktionslagen att den inducerade elektromotoriska kraften är E = dφ dt = v dφ a d z = µ Ivπb 2 2a 2 d d z ( + z 2 = ±3µ Ivπb 2 3/2 2a 2 z ( + z 2 5/2. För att visa att det nns ett avstånd z max = a z max för vilket E är maximal studerar vi funktionen z f( z = ( + z 2. 5/2 En direkt räkning ger och f ( z = 4 z2 ( + z 2 7/2 f ( z = 5 z 3 4 z2 ( + z 2. 9/2 Ekvationen f ( z max = har lösningen z max = /2 vilket också svarar mot ett maximum ty f ( z max = 52 5 <. 625 Eftersom z max = a z max följer det att det sökta avståndet är z max = a 2

2 2 Lösning till uppgift 2 Vågens utbredningsriktning är ˆk = k/k, där k = k betecknar vågtalet. Vågens elektriska fält bestäms genom regeln om högersystem: E = c B ˆk = (B ˆkc cos(k r ωt + ϕ, där c är utbredningsfarten i vakuum. Den momentana eekttätheten som vågen bär med sig ges av Poyntings vektor S = E H = ( (E B = (B µ ˆk c B cos 2 (k r ωt + ϕ. µ En direkt användning av BAC-CAB regeln ger att (B ˆk B = B (B ˆk = B (B ˆk + ˆk(B B = ˆk B 2, ty B ˆk = k B k = enligt förutsättningen i uppgiften. Eftersom B och ˆk är oberoende av t blir tidsmedelvärdet av Poyntings vektor över en period T = 2π/ω <S >= T T S dt = ˆk c B 2 µ T T cos 2 (k r ωt + ϕ dt. Tidsmedelvärdet av cos 2 (k r ωt + ϕ över en period är /2 ty T T cos 2 (k r ωt + ϕ dt = T = ( 2 4π T + cos(2k r 2ωt + 2ϕ 2 sin(2k r + 2ϕ 4π + sin(2k r + 2ϕ 4π dt = 2, där vi har använt att sin(2k r+2ϕ 4π = sin(2k r+2ϕ. Det sökta tidsmedelvärdet av eekttätheten är således <S >= ˆk c B 2 2µ Sambandet mellan µ, c och η, där η är vågimpedansen i frirymd, är µ c = η. Lösning till uppgift 3 Magnetiska ödestätheten från en lång, rak ledare som för en likström I längs positiva z-axeln är (se formelsamlingen B = µ I 2πr c ˆϕ. Med en likström I > i den slutna kretsen L blir den magnetiska ödestätheten i en punkt r = xˆx + zẑ, där x >, ( µ I B (r = ± 2πx ŷ µ I, 2π(x + aŷ

3 3 där ± beror på de två möjliga strömriktningarna i L. Magnetiska ödet Φ 2 genom den slutna kretsen L 2 blir därför Φ 2 = rektangel B (r ŷ ds = ± µ bi 2π ( c+h h dx c+h x h = ± µ bi 2π Absolutbeloppet av den ömsesidiga induktansen blir således dx x + a ( ln c + h ln a + c + h. h a + h M = Φ 2 I = µ b 2π ln + c/h + c/(a + h Alternativ lösning: Alternativt kan man lösa uppgiften med Neumanns dubbelintegral M = µ dl dl 2 4π L L 2 r r 2. Här betecknar r och r 2 två godtyckliga punkter på L respektive L 2. På grund av skalärprodukten ger inte L :s två kanter med längden c något bidrag till integralen. Den ömsesidiga induktansen för systemet reduceras alltså till att beräkna M = ± µ 4π b ( dz (z z h 2 dz (z z (h + c + 2 dz (z z (h + a 2 dz dz 2. (z z (h + c + a 2 Observera att varje enskild integral med avseende på z är divergent men att kombinationen av dem är konvergent. Sätt u = z z 2 vilket medför att de generaliserade integralerna blir oberoende av z 2. Eftersom integranden (u 2 + α 2 /2 är en jämn funktion med avseende på u = och vi integrerar över ett symmetriskt intervall är (se formelsamlingen dz (z z α = 2 du 2 u2 + α = 2 lim ln u + u2 + α 2. 2 u α Alltså blir M = ± µ b 2π ln (h + a(h + c h(h + c + a = ±µ b 2π ln + c/h + c/(h + a, och följaktligen får vi samma resultat för M som i lösningen ovan. Kommentar: Ytterligare ett alternativt sätt att bestämma M är genom att istället ansätta en likström I 2 > i L 2 och med hjälp av Biot-Savarts lag beräkna det

4 4 magnetiska öde Φ som denna ström ger upphov till genom den slutna kretsen L. Absolutbeloppet av den ömsesidiga induktansen ges därefter av M = Φ I 2. Räkningarna blir i detta fall betydligt jobbigare men man landar på samma resultat i slutändan. Lösning till uppgift 4 Låt S beteckna en ktiv sfärisk yta som är koncentrisk med de båda skalen. Med ansatsen D(r = D(rˆr ger Gauss lag på integralform Q innanför = D(r ˆr ds = D(r ds = 4πr 2 D(r, S där vi har använt att D(r är konstant på S. Då a < r < b är Q innanför = Q a och då r > b är Q innanför = Q a + Q b, varför Q a E(r = 4πϵ D(r = r ˆr a < r < b 2. ϵ Q a + Q b 4πϵ r ˆr r > b 2 På det inre skalet är potentialen noll vilket betyder att (integrationsvägen är godtycklig varför vi väljer dl = ˆr dr = V a = r=a E(r dl = Q b a dr 4πϵ a r + Q a + Q b dr 2 4πϵ b r = 2 Från detta samband kan vi lösa ut Q a. Resultatet är S Q a 4πϵ a + Q b 4πϵ b. Q a = a b Q b Potentialen på det yttre skalet blir därmed V b = r=b E(r dl = Q a + Q b 4πϵ b dr r 2 = Q a + Q b 4πϵ b. Insättning av Q a = aq b /b ger slutligen den sökta potentialen: V b = Q ( b a 4πϵ b b Alternativ lösning : Ett alternativt sätt att lösa uppgiften bygger på följande minnesregel:

5 5 Utanför ett sfäriskt metallskal med laddningen Q är potentialen densamma som potentialen från en punktladdning med laddningen Q placerad i skalets centrumpunkt. Innanför ett sfäriskt metallskal med radien a är potentialen konstant och lika med dess värde på skalet Q/(4πϵ a. Superposition ger nu följande samband mellan Q a, Q b, V a och V b : V a = Q a 4πϵ a + Q b 4πϵ b V b = Q a 4πϵ b + Q b 4πϵ b Enligt uppgiften är V a = varför vi kan lösa ut Q a och V b. Resultat enligt ovan. Alternativ lösning 2: Potentialen utanför det yttre skalet, mellan de båda skalen och innanför det inre skalet satiserar Laplaces ekvation i sfäriska koordinater (se formelsamlingen: = 2 V = ( d r 2 dv, r 2 dr dr där V = V (r på grund av sfärisk symmetri. Ett alternativt sätt att lösa uppgiften är därför att bestämma integrationskonstanterna α innanför, β innanför, α mellan, β mellan, α utanför och β utanför sådana att α innanför + β innanför < r < a r α mellan V (r = + β mellan a < r < b. r α utanför + β utanför r > b r Eftersom potentialen är noll i oändligheten är β utanför =, och av fysikaliska skäl är potentialen begränsad i origo varför α innanför =. Vidare är potentialen kontinuerlig över gränsytorna r = a och r = b vilket medför att = β innanför = α mellan + β mellan a V b = α mellan b + β mellan = α utanför b Randvillkoret att normalkomponenten av elektriska ödestätheten är diskontinuerlig över gränsytorna r = a och r = b med ett språng lika med ytladdningstätheten ger Q a 4πa = ϵ 2 (V innanför(a V α mellan mellan(a = ϵ a 2 Q b 4πb = ϵ 2 (V mellan(b V utanför(b α utanför α mellan = ϵ b 2 Funktionen V innanför = V innanför (r denieras som V innanför (r = α innanför r + β innanför < r < a. På motsvarande sätt denieras V mellan och V utanför då a < r < b respektive r > b..

6 6 för det inre respektive yttre skalet. Totalt har vi alltså 6 ekvationer för de 6 obekanta storheterna β innanför, α mellan, β mellan, α utanför, Q a och V b. Genom att lösa ekvationsystemet erhåller man de sökta uttrycken för Q a och V b ovan. Lösning till uppgift 5 z p µ h p r c µ^ r^ Vi speglar punktdipolen i det jordade planet z =. Detta ger upphov till en spegeldipol p = pẑ i punkten hẑ. Det elektriska fältet från punktdipolen i hẑ är (se formelsamlingen E = p ( 2ˆr 4πϵ r 3 cos θ + ˆθ sin θ med beteckningar enligt guren. Motsvarande elektriska fält E 2 från spegeldipolen erhålls genom att ersätta index med index 2 i uttrycket ovan. Den inducerade ytladdningstätheten på det jordade planet är ρ S = ϵ ẑ E tot = ϵ ẑ (E + E 2 = p 4πr 3 ( 2ẑ ˆr cos θ + 2ẑ ˆr 2 cos θ 2 + ẑ ˆθ sin θ + ẑ ˆθ 2 sin θ 2. Det gäller att (observera att ˆr 2 och ˆθ 2 inte är inritade i guren { ẑ ˆr i = cos θ i i =, 2 ẑ ˆθ i = sin θ i i =, 2. Vidare är θ = π θ 2 varför cos θ = cos θ 2 och sin θ = sin θ 2. Eftersom cos θ 2 = h/r och sin θ 2 = r c /r, där r = r 2 c + h 2, får vi ρ S = Denna storhet är noll på cirkeln p 2πr (2 3 cos2 θ 2 sin 2 θ 2 = p 2h 2 rc 2 2π (rc 2 + h 2. 5/2 r c = h 2 Innanför cirkelskivan {r c : r c < h 2} är ρ S >. Totala inducerade laddningen på det jordade planet är noll.

7 7 Alternativ lösning: Ytladdningstätheten från en punktladdning q i punkten zẑ ovanför ett jordat plan är q z 2π (rc 2 + z 2. 3/2 Betrakta två punktladdningar ±q i punkterna (h ± δẑ, där δ >, och deniera dipolstyrkan p = lim δ 2δq. Superposition ger Inför omskrivningen ρ S = q 2π h δ (rc 2 + (h δ 2 q 3/2 2π h + δ (r 2 c + (h + δ 2 3/2. (rc 2 + (h δ 2 = 3/2 (rc 2 + h 2 3/2 ( + (δ 2 2hδ(rc 2 + h 2 3/2 av första termen i uttrycket för ρ S. Till lägsta ordningen i δ har vi således följande utveckling: (rc 2 + (h δ 2 = 3/2 (rc 2 + h 2 + 3hδ 3/2 (rc 2 + h 2 + 5/2 O(δ2. Motsvarande resultat för andra termen i uttrycket för ρ S erhålls genom att ersätta δ med δ. Alltså är ( q(h δ ρ S = 2π (rc 2 + h 2 + 3hδ 3/2 (rc 2 + h 2 5/2 ( q(h + δ 2π (rc 2 + h 2 3hδ + O(δ 2, 3/2 (rc 2 + h 2 5/2 eller ekvivalent δq ρ S = π(rc 2 + h 2 + 3/2 3qh 2 δ π(rc 2 + h 2 + 5/2 O(δ2 = 2qδ 2π 2h 2 r 2 c (r 2 c + h 2 5/2 + O(δ2. I gränsen då δ nner vi i likhet med lösningen ovan den inducerade ytladdningstätheten ρ S = p 2h 2 rc 2 2π (rc 2 + h 2. 5/2 Lösning till uppgift 6 Inför ett kordinatsystem O med origo enligt guren, z-axeln ut ut papprets plan, och ledningstråden i punkten ξŷ. Inför därefter ett kordinatsystem O med origo i ledningstrådens mittpunkt med kordinataxlar parallella med O. Det vektoriella avståndet r c från ledningstråden till en godtycklig punkt på ytterledaren ges då av r c = aˆr c ξŷ = a(ˆr c cŷ, där ˆr c = ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ och vi har infört beteckningen c = ξ/a. Motsvarande skalära avstånd r c är r c = r c = a cos 2 ϕ + (sin ϕ c 2 = a + c 2 2c sin ϕ.

8 8 Den magnetiska ödestätheten från ledningstråden i en godtycklig punkt på ytterledaren är (se formelsamlingen B = µ I ˆϕ = 2πr c µ I 2πa ˆϕ. + c 2 2c sin ϕ Enhetsvektorn ˆϕ i O kan uttryckas i O:s enhetsvektorer enligt ˆϕ = ẑ ˆr c = ẑ r r c c = a ẑ (ˆr r c c cŷ = a (ˆϕ + cˆx, r c varför B(r = µ I 2πa ˆϕ + cˆx + c 2 2c sin ϕ = µ I 2πa ˆx(c sin ϕ + ŷ cos ϕ + c 2 2c sin ϕ Den återförande ytströmtätheten pekar i negativ ẑ-led och är jämt fördelad över båglängden πa: J S = ẑ I πa. Den magnetiska kraften per längdenhet på ytterledaren kan därför skrivas som ( C är en halvcirkel med radien a F = C J S B(r dl = I ẑ B(r dl πa C = µ I 2 2π 2 a π ˆx cos ϕ + ŷ( c + sin ϕ + c 2 2c sin ϕ där vi har använt att dl = a dϕ. Betrakta integralen i ˆx-led och inför u = ϕ π/2. Detta ger π cos ϕ π/2 + c 2 2c sin ϕ dϕ = π/2 cos(u + π/2 + c 2 2c sin(u + π/2 du = π/2 π/2 dϕ, sin u + c 2 2c cos u du = eftersom sin u är en udda funktion och cos u är en jämn funktion med avseende på u = och vi integrerar över ett symmetriskt intervall. På motsvarande sätt blir integralen i ŷ-led π c + sin ϕ π/2 + c 2 2c sin ϕ dϕ = π/2 c + cos u π/2 + c 2 2c cos u du = 2 Alltså återstår följande uttryck för den sökta kraften per längdenhet: F = ŷ µ I 2 π 2 a π/2 c + cos ϕ + c 2 2c cos ϕ dϕ. c + cos u + c 2 2c cos u du.

9 9 Genom att använda den givna hjälpintegralen i uppgiften erhåller vi slutligen F = ŷ µ I 2 π 2 ξ ( ( + ξ/a arctan π ξ/a 4 där vi har använt att c = ξ/a. Alternativ lösning: Ett alternativt sätt att lösa uppgiften bygger på Newtons tredje lag som säger att den sökta kraften F som verkar på ytterledaren förhåller sig till kraften som verkar på ledningstråden F ledningstråd enligt F = F ledningstråd. Vi använder Biot-Savarts lag för att bestämma magnetiska ödestätheten B ytterledare som ytströmtätheten J S i ytterledaren ger upphov till i en godtycklig punkt r = ξŷ + zẑ på ledningstråden: B ytterledare (r = µ 4π ytterledare J S (r r ds = µ I r r 3 4π 2 a ytterledare Den sökta kraften per längdenhet ges därefter av (se formelsamlingen L/2 F = F ledningstråd = I lim ẑ B ytterledare (r dz. L L L/2 ẑ (r r r r 3 ds. Istället för att beräkna B ytterledare direkt bestämmer vi ẑ B ytterledare. I cylindriska koordinater är r = a(ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ + z ẑ varför BAC-CAB regeln 2 ger ẑ (ẑ (r r = ẑ(ẑ (r r (r r (ẑ ẑ = a(ˆx cos ϕ + ŷ( c + sin ϕ. Därmed är ẑ B ytterledare = µ Ia 4π 2 π ˆx cos ϕ + ŷ( c + sin ϕ (a 2 ( + c 2 2c sin ϕ + (z z 2 3/2 dz dϕ, där vi har använt att ds = a dϕ dz. Sätt α 2 = a 2 (+c 2 2c sin ϕ. Formelsamlingen och en enkel gränsövergång ger då att dz (α 2 + (z z 2 = 2 dt 3/2 (α 2 + t 2 = 2t 3/2 α 2 t 2 + α 2 = 2 α, 2 varför ẑ B ytterledare = µ I 2π 2 a π ˆx cos ϕ + ŷ( c + sin ϕ dϕ = + c 2 2c sin ϕ ŷ µ I π 2 a π/2 c + cos u + c 2 2c cos u du 2 BAC-CAB regeln lyder a (b c = b(a c c(a b.

10 där vi analogt med ovan har infört u = ϕ π/2. Eftersom detta uttryck är oberoende av z får vi genom att använda den givna hjälpintegralen F = Iẑ B ytterledare = ŷ µ I 2 π 2 ξ vilket är den sökta kraften per längdenhet. ( arctan ( + ξ/a ξ/a π 4,

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik

Läs mer

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget

Läs mer

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning

Läs mer

Föreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths

Föreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths 1 Föreläsning 12 9.1-9.3.2 i Griffiths Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap. 9.1.2) Tidsharmoniska fält (dvs. fält som varierar sinus- eller cosinusformigt i tiden) har stora tillämpningsområden i de

Läs mer

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! 1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen

Läs mer

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:

Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Tentamen ellära 92FY21 och 27 Tentamen ellära 92FY21 och 27 2014-06-04 kl. 8 13 Svaren anges på separat papper. Fullständiga lösningar med alla steg motiverade och beteckningar utsatta ska redovisas för att få full poäng. Poängen för

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv 1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013 Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt

Läs mer

Bra tabell i ert formelblad

Bra tabell i ert formelblad Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 FK5019 - Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00 Läs noggrant igenom hela tentan först Tentan består av 5 olika uppgifter med

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 2016-03-19 för W2 och ES2 (1FA514) Kan även skrivas av studenter på andra program där 1FA514 ingår

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Tentamen för FYSIK (TFYA86)

Tentamen för FYSIK (TFYA86) Tentamen för FYK (TFYA86) 016-10-17 kl. 08.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare - grafräknare är tillåtna (men

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Tentamen för FYSIK (TFYA86)

Tentamen för FYSIK (TFYA86) Tentamen för FYK (TFYA86) 015-08-17 kl. 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare - grafräknare är tillåtna (men

Läs mer

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - eckans tal Tobias Wenger och Christian Forssén, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 Uppgift 6.6 (Cederwalls kompendium) Beräkna normalytintegralen av a F 2 [

Läs mer

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) ösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik FFM232) Tid och plats: ösningsskiss: Måndagen den 24 oktober 2016 klockan 14.00-18.00 i M-huset. Christian Forssén och Tobias Wenger Detta är enbart

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig) Elektrostatik 1. Ange Faradays lag i elektrostatiken. 2. Vad är kravet för att ett vektorfält F är konservativt? 3. En låda

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 3, 2016 8. Potentialteori Konservativa fält och potentialer

Läs mer

Maxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ

Maxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ 1 Föreläsning 10 7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths Maxwells ekvationer (Kap. 7.3) åra modellagar, som de ser ut nu, är E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t) Ampères lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel

Läs mer

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill

Läs mer

15. Strålande system

15. Strålande system 15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna

Läs mer

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Tentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (9FY321)

Tentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (9FY321) Tentamen för FYK (TFYA68), samt LKTROMAGNTM (9FY31) 013-10-1 kl. 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare -

Läs mer

Tentamen för FYSIK (TFYA86)

Tentamen för FYSIK (TFYA86) Tentamen för FYK (TFYA86) 015-10-19 kl. 8.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken, understrykningar och inringningar ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006

ETE115 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006 (2) 9 oktober 2006 Institutionen för elektrovetenskap Daniel Sjöberg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen oktober 2006 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori. Observera att uppgifterna inte är

Läs mer

Kapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor

Kapitel: 32 Elektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge EM-vågor Kapitel: 3 lektromagnetiska vågor Maxwells ekvationer Hur accelererande laddningar kan ge M-vågor genskaper hos M-vågor nergitransport i M-vågor Det elektromagnetiska spektrat Maxwell s ekvationer Kan

Läs mer

Repetition kapitel 21

Repetition kapitel 21 Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1

15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in Övningstenta i Elektromagnetisk fältteori, 2014-11-29 kl. 8.30-12.30 Kurskod EEF031 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori. Valfri kalkylator, minnet måste

Läs mer

Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält

Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Ú Institutionen för fysik 2014 08 11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514)

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514) Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 05-06-04 för F och Q (FA54) Skrivtid: 5 tim Kan även skrivas av studenter på andra program där FA54 ingår Hjälpmedel:

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Onsdagen 30/3 06, kl 08:00-:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 1/1 016, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Måndagen /8 016, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:

Läs mer

Formelsamling till Elektromagnetisk

Formelsamling till Elektromagnetisk Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2

GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2 GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:

Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: 2004-08-21 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar

Läs mer

Strålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag

Strålningsfält och fotoner. Kapitel 23: Faradays lag Strålningsfält och fotoner Kapitel 23: Faradays lag Faradays lag Tidsvarierande magnetiska fält inducerar elektriska fält, eller elektrisk spänning i en krets. Om strömmen genom en solenoid ökar, ökar

Läs mer

2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare

2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare 2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att Er) = ρr) ε 0 2.1) Er) = ϕr) 2.2) Detta ger

Läs mer

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika

3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

Elektromagnetism. Kapitel , 18.4 (fram till ex 18.8)

Elektromagnetism. Kapitel , 18.4 (fram till ex 18.8) Elektromagnetism Kapitel 8.-8., 8.4 (fram till ex 8.8) Varför magnetism? Energiomvandling elektrisk magnetisk mekanisk Elektriska maskiner Reversibla processer (de flesta) Motor Generator Elektromagneter

Läs mer

Magnetostatik, induktans (och induktion) kvalitativa frågor och lösningsmetodik

Magnetostatik, induktans (och induktion) kvalitativa frågor och lösningsmetodik Magnetostatik, induktans (och induktion) kvalitativa frågor och lösningsmetodik Gerhard Kristensson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 oktober 2014 Olika lösningsmetoder 1 Biot-Savarts

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Lösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum:

Lösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum: Lösningar/svar till tentamen i MTM060 Kontinuumsmekanik Datum: 004-08- Observera Om tentamensuppgiften är densamma som på den nya kursen MTM3 är uppgiften löst med den metod som är vanligast i denna kurs.

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken

Sensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika

Läs mer

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.

b) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som

Läs mer

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och

Läs mer