FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Transkript

1 FFM34, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct, 08 Repetition: Singulära fält Punktkälla i origo. Fältet i punkten r fås av potentialen eftersom F = φ. F ( r) = φ( r) = q 4πr êr, () q 4πr, () Superposition ger potentialen i punkten r från en laddningsfördelning φ( r) = ρ( r ) 4π r r d, där G( r, r ) 4π r r kallas för Greensfunktionen i R 3. Hur skall vi skriva källtätheten, ρ( r) = F, för en punktkälla? Och hur skall vi hantera Gauss sats? F d = F ds, (3) i har att F = 0 för r 0, men explicit uträkning ger HL = q om den inneslutna volymen innehåller origo. 7. Deltafunktioner Kan vi approximera F = ρ( r), där laddningsfördelningen motsvarar en punktkälla, på något sätt? T.ex. { c r < ε ρ ε ( r) = (4) 0 r > ε

2 Dvs, en utsmetad punktladdning där vi väljer c så att den totala laddningen är q, dvs { q ρ ε ( r) = 4πε 3 /3 r ε (5) 0 r > ε ad blir funktionen då ε 0 +? Det kan vi tyvärr inte definiera. ρ( r) = + ρ ε ( r) är inte en funktion; sekvensen av funktioner som erhålls genom att variera ε kallas för en distribution. Deltafunktioner i en dimension Punktkälla i D =. I en dimension kan vi definiera en punktkälla från potentialen φ(x) = q x (6) vilket ger fältet F (x) = ˆx dφ { q dx = ˆx x > 0 q ˆx x < 0 (7)

3 q i kallar den enda komponenten av detta vektorfält för F (x), dvs F (x) = sign(x). Motsvarigheten till Gauss sats för detta endimensionella fält är b a { df q, om a < 0 < b dx = F (b) F (a) = dx 0, annars (8) medan en naiv insättning av df/dx = 0 i L hade gett noll. Problemet är ju att df df dx = 0 för x 0, men dx = för x = 0. i kan uttrycka detta som en funktion, df dx = qδ(x), där δ(x) är noll då x 0, och integralen b>0 δ(x)dx =. a<0 Distributioner. distributionen i konstruerar denna funktion som en gräns ε 0 + för { 0 x > ε h ε (x) = ε x < ε (9) 3

4 /ε ε Kontrollera. för x 0. Dessutom har vi h ε(x) = 0, b>0 a<0 ε/ h ε (x)dx = dx = ε/ ε ε [x]ε/ ε/ = =. Men det finns också andra möjligheter: h ε (x) = exp( x /ε ) πε, (0) h ε (x) = ε π(x + ε ), () h ε (x) = sin(x/ε). () πx 4

5 Samtliga dessa utgör en sekvens av funktioner (en distribution) från vilka vi kan definiera Diracs deltafunktion med de definierande egenskaperna δ(x) = + h ε(x) (3) δ(x) = 0, x 0 (4) f(0) = b a f(x)δ(x)dx, (5) där f(x) är en välbeteende funktion och [a, b] inkluderar 0. 5

6 Ett specialfall (f(x) = ) av ovanstående är + δ(x)dx = (6) Exempel: endimensionella deltafunktioner Kontrollera att vi erhåller Diracs deltafunktion från sekvensen h ε (x) = exp( x /ε ) πε. Lösning: För x 0 gäller h ε (x) = πε exp(x /ε ) = ( πε [ + x ε + x ) ] ε +... = ε π ( x + ε + x4 ε +... ) 0 då ε 0+ (7) idare har vi integralen e x /ε dx = πε (se tabell över definita integraler, eventuellt Beta 7.5-4). Detta ger + + exp( x /ε ) πε dx = =, för ε > 0. (8) πε πε För att vara helt korrekta skall vi egentligen visa den mer allmänna egenskapen b f(x)δ(x)dx = f(0) för en väl beteende funktion f(x). Eftersom a ekv. (7) gäller, och f(x) inte utgör något problem, kan vi utöka integrationsintervallet och istället studera + f(x)δ(x)dx = f(0). (9) i Taylorutvecklar, f(x) = f(0) + f (0)x + f (0)x / +..., och konstaterar att + f(0)h ε (x)dx = f(0) + enligt vad vi visat ovan (8). Det återstår att visa att + h ε (x)dx = f(0), (0) x n h ε (x)dx = 0, () för alla heltal n > 0. I vårt fall har vi en jämn funktion h ε (x) vilket gör att ekv. () är trivialt uppfyllt för udda n då integranden blir udda. För 6

7 jämna n = k finner vi (se t.ex. Beta 7.5-4) + + Alltså har vi visat att + x k exp( x /ε ) (k )!! dx = πεε k πε πε k+ = 0. () b>0 a<0 f(x) exp( x /ε ) πε dx = f(0), för ε > 0. (3) Egenskaper hos Diracs deltafunktion Jämn: Skalning: δ( x) = δ(x) δ(ax) = a δ(x). Kommentar isas enklast genom att göra substitutionen y = xa i uttrycket + f(x)δ(ax)dx. ar noga med tecknet på integrationsgränserna. Translation: + f(x)δ(x x 0 )dx = f(x 0 ). Kommentar visas genom substitutionen y = x x 0. Derivata + f(x)δ (x x 0 )dx = + f (x)δ(x x 0 )dx = f (x 0 ), vilket kan betraktas som definitionen av derivatan δ (x). 7

8 Kommentar isas genom partiell integration med någon av funktionssekvenserna som definierar deltafunktionen. Kan generaliseras till fler dimensioner. i skriver generellt δ (D) ( r), där vi skall tolka superskriptet som antalet dimensioner. T.ex. har vi för D = 3 δ (3) ( r) = δ(x)δ(y)δ(z). I sfäriska koordinater blir detta f( r)δ (3) ( r r 0 )r sin θdrdθdφ = f( r 0 ). Med vissa förbehåll (se t.ex. upp för punkten r 0 = 0 i sfäriska koordinater) kan deltafunktionen i kroklinjiga koordinater skrivas δ (3) ( r r 0 ) = h ( r 0 )h ( r 0 )h 3 ( r 0 ) δ(u u,0 )δ(u u,0 )δ(u 3 u 3,0 ). Rita Skissa gärna den primitiva funktionen till en deltafunktion i en dimension. Deltafunktioner i högre dimensioner i startar med punktkällan i origo: F = q 4πr ê r, och den problematiska volymsintegralen F d, som borde bli lika med q om omfattar origo. Detta kan vi åstadkomma genom att införa F = qδ 3 (x) = qδ(x)δ(y)δ(z) eftersom δ(x)δ(y)δ(z)dxdydz =. Låt oss använda sfäriska koordinater. Hur kan vi uttrycka δ (3) ( r) så att följande integralegenskap uppfylls? δ (3) ( r)r sin θdrdθdϕ =, om volymen innesluter origo. i vill finna δ (3) ( r) som ett gränsvärde av en distribution h ε ( r). 8

9 Starta från ett regulariserat fält F ε ( r) = som uppenbarligen går mot F då ε 0 +. Divergensen för r 0 blir ( F = r r (r F r ) +...) ( ) r F ε ( r) = q 4πr r r + ε }{{ } = r r +ε rr (r +ε ) = rε (r +ε ) q 4π(r + ε )êr (4) = qε π r(r + ε 0 då ε 0. ) (5) Utan styrkan q kallar vi denna sekvens av funktioner för h ε ( r) och påstår att h ε ( r) = δ 3 ( r). Utför integralen Alltså har vi visat att F ε d = qh ε ( r)d = qε π 4π r dr 0 r(r + ε ) (6) [ = qε ] r + ε = qε ε = q (7) h ε ( r) = 0 för r 0. R 3 h ε ( r)d = Alltså skriver vi källtätheten ρ( r) = F = φ = qδ 3 ( r). Linjekälla. Linjekällan F = k πρêρ (motsvarar en punktkälla i D = ). Källtätheten kan skrivas F = kδ ( ρ) (= kδ(x)δ(y)). Studera t.ex. normalytintegralen genom en cylinder med höjden L runt linjekällan S F ds = F ds = S+S 0+S L F d = 0 L 0 dz dxdykδ(x)δ(y) = där vi först har slutit ytan genom att införa ytorna S 0 och S L som är cirkelskivor vid botten och toppen och som har normalytintegralen noll eftersom fältet är vinkelrät mot normalen. L 0 dzk = kl. 9

10 irveltråd. i kan resonera på liknande sätt för en virveltråd F = πρêφ. J Stokes sats säger att F d r = ( F ) ds, S S där vi kan räkna ut L = J (t.ex. för en cirkel runt virveltråden). För detta fält är det rotationen som är problematisk. Notera att detta är en vektor. F = Jδ ( ρ)ẑ = Jδ(x)δ(y). Avancerat exempel: tillämpning av deltafunktionen; Fouriertransform och ortogonalitet. Givet en funktion f(x) definieras dess Fouriertransform som f(k) = π dx e ikx f(x) Den inversa transformen ger frekvenssönderläggningen av f(x), i detta fall motsvaras frekvensen av vågtalet k: f(x) = π dk e ikx f(k) (normeringen har valts för att åstadkomma symmetri mellan de två uttrycken). Genom att sätta in det första uttrycket i det andra får man, under förutättning att man kan byta integrationsordning, f(x) = π = π dk e ikx dx e ikx f(x ) ( dx dk e ik(x x ) ) f(x ) Uttrycket inom parenteser i det sista ledet beror bara på x x, och om resultatet skall bli f(x) måste det vara en deltafunktion lika med πδ(x x ). Dvs δ(x x ) = dk e ik(x x ). (8) π Genom att byta vågtalet k och koordinaten x får man också πδ(k k ) = dx ei(k k )x. Detta sätt att skriva deltafunktionen kunde vi också ha 0

11 anat från ekv. () genom att byta sin(x/ε) sin(nx) πx n πx. Här kan man nämligen göra omskrivningen n n så att vi får [ e e ixk ixk dk = ix ] n n [ cos(xk) + i sin(xk) = ix ] n n = sin(nx), (9) x n δ(x) = e ixk dk, (30) n π n vilket är analogt med ekv. (8) Funktionerna e k (x) = π e ikx kan alltså ses som ortogonala och deltafunktionsnormerade med ortogonalitetsrelationen dx e k (x)e k (x) = δ(k k ) Man kan bekräfta resultatet genom att göra beräkningen explicit för de regulariserade funktionerna e k,ε (x) = π e ikx ε x och låta ε 0 (se uppgift 7.5).