BT4003/MA6007 Finita elementmetoden, 7.5hp,

Transkript

1 BT/MA67 Finita elementmetoden, 7hp, 7--8 Hjälpmedel: Räknedosa och kompendium Finita elementmetoden - en kort introduktion till teorin! Uppgift -8 p/uppgift Lösningarna ska skrivas i Mathematica på samma sätt som i projektet Strukturen blir då typiskt TextCell med fri text och handritade bilder, InputCell som räknar och sparar resultat för senare användning,,,, Alltså ingen handräkning! Tänk på att dina lösningar ska utformas så att det blir lätt för läsaren att följa dina tankegångar Ofullständiga lösningar, eller lösningar som är svåra att följa ger poängavdrag Skriv tydligt! Motivera väl! Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen Lycka till! Bertil Ett kvadratiskt element har nodkoordinaterna,, Bestäm Jacobianen x? Lösningsförslag: Först elementet Ξ Ξ,Ξ, Ξ Ξ;,, ; Sedan det Ξ, som motsvarar x Ξ x SelectNSolve, Ξ & First Ξ 9 Så den sökta Jacobianen D, Ξ Ξ x L Bestäm x för ett linjärt element x Lösningsförslag: Basfunktioner och Jacobian lika med L Ξ, Ξ; L ; ; Nu är det bara att gå in i parameterrummet och integrera D, Ξ Ξ Assemblera och applicera randvillkor med eliminering som vi brukar göra på tavlan Bestäm slutligen alla okända u och F Nm Nm Nm Nm Δ m Δ m Lösningsförslag: Assemblera fjäderpaketet med hjälp av elementstyvhetssambandet k u u F F 6 6 Applicera randvillkor och lös ekvationssystemet

2 Solve u u F F F F 9 8, F 9 8, F 7, u 8, u 7 8 Assemblera och applicera randvillkor med eliminering som vi brukar göra på tavlan Bestäm slutligen alla okända u och F Nm Nm Nm Δ m Nm F N Lösningsförslag: Assemblera fjäderpaketet med hjälp av elementstyvhetssambandet k u u F F Applicera randvillkor och lös ekvationssystemet Solve u u F F F F, F 9, F 6, u 6, u 6 Studera modellen givet MFC : u u u med Nm straffmetod Bestäm först &, låt penaltyfaktorn Α och beräkna MFC och MFC Assemblera och bestäm samtliga förskjutningar Nm Nm F N Δ m Lösningsförslag: Assemblera fjäderpaketet med hjälp av elementstyvhetssambandet k u u F F 8

3 Randvillkor med straffmetod, (SFC)&(MFC): u u u u u u u u u ; ; MPC Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α MPC Α Α Assemblera fjädrar, yttre känd kraft, (MFC)-elementet och lös ut Solve MPC u u u u MPC Α u, u, u, u 6 Använd elementstyvhetssambandet i uppgift, assemblera och applicera RV med Lagrange metod, och bestäm slutligen alla Δ i, i Δ M Nm EI8, L EI, L Lösningsförslag: Numrera noder och element från vänster och assemblera med e enligt e EI, L : EI L 6 L 6 L 6L L 6L L 6 L 6 L 6L L 6L L ConstantArray, 6, 6; i,,, ; i, i e 8, ; i,,, 6; i, i e, ; Enligt är Δ, F positiva och, M positiva moturs, så och för (SFC): Δ Δ Δ Δ Δ Δ

4 ; ; Slutligen Lagrange multiplikatormetod med känt moment SolveArrayFlatten Δ Δ Δ Λ Λ Λ Λ Λ Flatten Δ, Δ, Δ, Λ 6 7, Λ 7, Λ, Λ 8, Λ,, 8, 7 Bestäm de konsistenta nodlasterna för ett linjärt element med längden L utsatt för den utbredda lasten pxp px x L p xl x L x L L xl Lösningsförslag: Vi har att px uträttar arbetet W L pxuxx L uxx L p L pxuxx xl xξ L Vi får direkt Ξ, Ξ; L ; p x L x x, L Ξ L Lp 8 Lp 8 v' xvx x, x, DE 8 Antag att vi modellerat randvärdesproblemet med Galerkins metod och tre lika v BV långa linjära element Bestäm elementstyvhetsmatrisen e och elementlastvektorn e för elementet i mitten Lösningsförslag: Vi har x, x, 8 och L x x för elementet i mitten, så Ξ, Ξ; ; e 7 9 D, Ξ Ξ e Ξ 8

5 7 8 7