Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9

Transkript

1 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9 Det tredje huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden och dessa tillämpingar. Den här texten är tänkt att ge lite mer motivering, exempel med lösningar och en sammanfattning. 1 Egenvärden och Egenvektorer. Motivering och Teorin Alla matriser i denna texten är kvadratiska n n-matriser om inget annat är sagt. 1.1 Kort sammanfattning av Kap 5-7/Påminnelser 1. Basbytesmatriser. Låt G = (g 1 g n ) vara en bas till R n. En linjär avbildning med matris A, v Av har också en matris relativt G, A G. Sammbandet mellan A och A G är A = GA G G 1 (Lättare att uppfatta som AG = GA G, ty AG = A I I G G I, GA G = G G I A G G, där I är standardbasen med standardmatrisen I.) 2. Kriteriet för att ekvationssystemet Ax = 0 har en icke trivial lösn x 0: Ekvationen Ax = 0 har en icke trivial lösn x 0 omm det A = Exempel. Motivering till Egenvärde-egenvektor-problemet 3. Ex. Vi tar upp Matlab-uppgiften om biluthyrningen och betraktar en förenklad version. Säg att firman Hyr-Ett-Vrak har sina bilar på Centralen eller uthyrda. Av de bilar som är på Centralen i början av en vecka är 2/3 kvar där i början av veckan därpå, 1/3 är uthyrda. Av de som var uthyrda i början av en vecka är 1/2 det också veckan därpå, 1/2 är på Centralen. Låt oss ge alla berörda kvantiteter två underindex, 1 = Centralen, 2 = Uthyrda. Den ovana tabellen kan kort beskrivas som en 2 2-matris. 2/3 1/2 1/3 1/2 där a ij är percent av bilar till j efter en vecka från i. Låt v 1 (n) vara antalet bilar på Centralen vecka n, och v 2 (n) antalet uthyrda bilar vecka n och låt v1 (n) v(n) =. v 2 (n)

2 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 2 Vi har sett att v(n + 1) = Av(n) och att matlab-beräkningarna indikerar att v(n) konvergerar mot en stabil lösninga v, Av = v, oavsett vilken begynnelsevektor v(0) att börja med. (Det gäller inte helt rätt om man inte ger begränsningar till v(0). Se lösningsex. nedan.) Säg att firman har 50 bilar och vi kan till ex börja med en godtycklig input v, v 1 = 10 v 2 = 40. Veckan därpå blir 27 Av(0) 23 Låt nu v 1 = 30 v 2 = 20. Veckan därpå är precist den samman, Av = v. Så kan man säga denna omdelniningen är mer representativ än den första. Med andra ord kan vi säga att 3/5 v = 2/5 är typisk eller genomsnitt fördelning av bilarna. v kallas en egenvektor till A med egenvärdet λ = 1, Av = λv 4. Ex. Betrakta en statistik på slumpmässiga web-surfningar på två hemsidor 1 och 2. Unifär en 2/3 av de som läser sidan 1 stannar där och 1/3 flyttar till sidan 2, en 1/2 som är på sidan 2 stannar medan 1/2 flyttar till sidan 1. Vi följar konventionen i Grafteorien och Grannmatrisen och betecknar b ij sannolekheten att man flyttar från sidan i till sidan j. Så får vi följande matrisen 2/3 1/3 B = [b ij ] = 1/2 1/2 Vi börjar med att surfa planlöst. Låt r = [r 1 r 2 ], r 1 + r 2 = 1 vara (en radvektor och) sannolikheten att vi väljar sidorna. En representativ surfning på sidorna ges av vektoren r, r = rb. Vi ser med huvudräkning att r = [3/5, 2/5] är en lösning. Dvs r en mättning på populariteten av sidorna. Se ytterligare [SL. Ex 9.45] om Googles Page Ranking. OBS! Anledingen till att vi har den vänstra multiplikationen r rb är att elementet b ij beskriver sannolekheten att vi flyttar från i till j, medan i det ovana exemplet med bilflyttningarna har vi a ij är andeln från j till i. Ni som känner sig lite förvirrade kan hoppa över exemplet och återkomma när ni har läst Grannmatriser a 5. Ex. Låt S vara en matris för speglingen i linjen ax + by = 0 i planet. Låt n = vara b b en normal till linjen och l = en riktningsvektor för linjen. Enligt definitionen för a speglingen får vi Sn = n, Sl = l.

3 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 3 Dvs S har egenvärden ±1 med tillhörande egenvektorer l, n. Detta kan formuleras som, 1 0 S = G G 1, G = [l n] 0 1 enligt Påminnelsen ovan. Denna formeln kallas en diagonalisering av A Vi har nu sett att ekvationen Ax = λx är av mycket betydelser att förstå matrisen A. 1.3 Att bestämma egenvärden/egenvektorer Ett reellt tal λ kallas för ett egenvärde till A om Ax = λx för något x Ex. A = I n har endast ett egenvärde λ = 1 med n stycken linjärt oberoende vektorer, basvektorerna e 1, e n. (Ett egenvärde kan ha olika linjärt oberoende vektorer som egenvektorer; olika egenvärden kan inte ha samma egenvektor, förstås. Mer viktigt: Egenvektorer tillhörande olika egenvärden är linjärt oberoende.) Allmänt: En diagonal matris A med diagonala elementen a 1,, a n har egenvektorer e 1, e n. Vi försöker nu hitta en metod att bestämma alla egenvärden och motsvarande egenvektorer. Ekvationen Ax = λx, x 0 är ekvivalent med 0 = Ax λx = (A λi)x, x 0 (där I = I n är enhetsmatrisen) vilken kan formuleras ekvivalent som att λ är ett egenvärde till A omm (A λi)x = 0, x 0 har en lösning. Enligt Påminnesen ovan gäller detta omm det(a λi) = 0. Den här ekvationen kallas för den karakteristika ekv. för A. Så lyckas vi med en allmän metod att lösa egenvärde-egenvektor-problemet. Proceduren att bestämma egenvärden och motsvarande egenvärden: Steg 1. Lös den karatertisktiska ekvation det(a λi) = 0, dvs räkna determinanten och lös polynomekvationen, och bestäm egenvärden λ. Steg 2. För varje λ lös ekv.systemet (A λi)x = 0 (som måste ha icke triviala lösn. enligt Sats 5.28). a b 7. Anmärkning. Om A är en triangulär matris (säg 2 2-matris), A =, eller A = 0 d a 0, då är diagonala elementen eigenvärdena till A. Men kan också bestämma utan c d räkning en egenvektor till ett av egenvärdena (vilket egenvärden och vad är egenvektorn).

4 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 4 8. Anmärkning. Eftersom det(a λi) = det(a t λi) så har A och A t samma egenvärden (men inte samma egenvektorer). Men för att inte blir förvirrade med konventionen i Grannmatrisen är det bra att omformulera ett problem rb = λr med egenradvektorer r som problemet B t k = λk. Vi tar upp Matlab-uppgiften om biluthyrningen och betraktar en förenklad version. Säg att firman Hyr-Ett-Vrak har sina bilar på Centralen eller uthyrda. Av de bilar som är på Centralen i början av en vecka är 2/3 kvar där i början av veckan därpå, 1/3 är uthyrda. Av de som var uthyrda i början av en vecka är 1/2 det också veckan därpå, 1/2 är på Centralen. Låt oss ge alla berörda kvantiteter två underindex, 1 = Centralen, 2 = Uthyrda. Den ovana tabellen kan kort beskrivas som en 2 2-matris. 2/3 1/2 1/3 1/2 där a ij är percent av bilar till j efter en vecka från i. 2 Problemslösningar 9. Ex. Låt A vara A λi = [a ij ] = 2/3 1/2 1/3 1/2 2/3 λ 1/2, det(a λi) = ( 2 1/3 1/2 λ 3 λ)(1 2 λ) 1 6 = λ2 7 6 λ+1 6. Ekvationen λ λ = 0 lösas av (enligt formeln λ = 1 2 b ± ( 1 2 b)2 ac för en kvadratiska ekv aλ 2 + bλ + c = 0) λ = 1 2 (7 6 ± 5 6 ) = 1, 1 6. Vi fick det ena egenvärdet λ = 1 innan med Matlab-experiment. De motsvarande egenvektorerna bestäms av ekvationen (A I)x = 0 och 3 x = c, c fri 2 Lös den andra egenvektor-ekvationen (A 1 I)x = 0, 6 1 x = c, c fri 1 (Vi skulle ha kunnat gissat fram denna lösningen utifrån tolkningen på A som bil-flyttningmatrisen?)

5 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 5 Matrisen A har två olika egenvärden och därmed linjärt oberoende egenvektorer och ytterligare en bas. Skriv Får vi dvs en diagonalisering G = [ ] AG = G 0 1/6 1 0 A = G G 1 0 1/6 3 1,, (a) Ge en diagonalisering till (b) Kan du diagonaliser matrisen A = A = ? 0 1 Kolla satserna i boken och motivera ditt svar. 2.1 Tillämpingar. Slumvandringar på grafer. Låt G = (V, E) vara en graf (riktad eller ej). och n = V antalet noder. Vi skall numera noderna som {1, 2,, n}. Påminnas att kantmängden E är en delmängd av produktmängden V V = V 2 = {1, 2,, n} 2. (Dvs vi behandlar ej multigrafer där det kan vara flera kanter mellan två noder.) Grannmatrisen till G är en matris A = (a ij ) där { 0, om (i, j) ej är en kant, dvs ej i E a ij = a i j = 1, om (i, j) är i E 11. Anmärkning. Vi kan även definiera Grannmatris för en multigraf, a ij = a i j är då antalet kanter från i till j. Men egentligen är de relativa antalkanterna mellan två noder, eller s.k. övergångsmatrisen, som är viktigaste. Säg att det är en multigraf med 2 noder; det finns 2 kanter från 1 till själv (dvs 2 öglor), 1 kant från 1 till 2, 2 kanter från 2 till 1 och två öglor på 2. Så får vi Övergångsmatrisen beräknar chanser man kan flytta från i till j, dvs 2/3 1/3 M = (m ij ) = 1/2 1/2

6 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 6 Nu har vi en matris som har summan av varje rad blir 1 (iställt att varje kolonn har sin summa 1 som i Hyr-Ett-Vrak-uppgiften). Hur är en typisk slumpvandring på grafen ser ut? Uppfattar du inte att det är samma problem? 12. För enkelhetsskull antar vi att G är en enkelgraf (ej multigraf.) med Grann matris A. Övergångsmatrisen M definieras som ovan genom m ij = chanser att förflyttas från i till j ur alla möjliga kanter från i till alla möjliga k, k = 1,, n a ij = n k=1 a. ik Ett av huvuda problemen i slumpvandringar är att hitta en fördelningsvektor r = [r 1 r n ] som beskriver en stabil vandring på G. Här r r n = 1 och alla är mella 0 och 1. Men en stabil vandring menas rm = r. Vilket är ett egenvärde-egenvektor-problem, M t r t = r t om vi insisterar i att behandla kolonnvektorer. Se ex. i boken om numeriska beräkningar. 13. Övn. (a) Bestäm Grannmatriserna för följande grafer med 3 noder och räkna övergångsmatriserna och stationära fördelningarna: (1) Tre isolerade noder, (2) en isolerad nod och en kant, (3) en 3-väg, (4) en triangel. (b) Tolka följande matris som Grannmatris för en multigraf. Bestäm motsvarnde stationära fördelningarna