6.2 Transitionselement

Transkript

1 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 6. Transtonselement Den här tpen av element används för förbnda ett lnjärt och ett kvadratskt element. Gvet: Sökt: Bestäm formfunktonen för nod. Vsa att den uppfller kraven för en formfunkton. Lösnng: Krav för formfunktoner:. varje punkt elementet. (). Formfunktonen ska vara sn hemmanod. (). Formfunktonen ska vara alla andra noder elementet. () Metod Snabbast och enklast om man redan vet resterande formfunktoner: (), () Kontroll av krav :,, ok! Kontroll av krav : vd andra noder, ok! Metod Som övnng 5, nte alltd så straght forward tvärr. Gör en smart ansats, håll tummarna och testa om det uppfller kraven. Om man sätter kravet att längs med vänsterkanten och dagonalen kommer man en bra bt på ansatsen. Detta uppfller krav drekt. Genom att slänga på en konstant kan v också uppflla krav. Formfunktonen är längs med hela kanten om noden nte lgger på kanten. Det vore ju skumt om en nod skulle få en konsekvent nodlast av en tlast som lgger på en ta där noden nte lgger. Se även plottarna.

2 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 Vänsterkant: nkludera faktorn Dagonal: nkludera faktorn Från ansatsen har v formen på formfunktonen, men ampltuden måste bestämmas. Jämför sn x k sn x. k,. (), k k, Krav är uppenbarlgen också uppfllt eftersom v får samma svar som metod, som utgck från krav. Formfunktonerna plottade MATLAB:

3 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 6. Koordnatomvandlng soparametrskt element Gvet: Hålrade, R ,,, Sökt: Bestäm avståndet från mtten tll punkten x sanna värdet R. och jämför med Lösnng: Avståndet, d, från,, Koordnaterna x x x. () x är gvna lokala koordnatsstemet som,, För soparametrska element gäller att: och måste transformeras. x x () V är ntresserade av punkten, x, eller,, lokalt sett, så: x x ()

4 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 Räkna ut formfunktonernas värden den ntressanta punkten, nnehåller Rmlghetskontroll:, ok! Tack vare att bara tre noder har nollsklda formfunktoner behöver v bara ta fram koordnaterna för de tre. Koordnaterna fås ur fguren med lte trgonometr. od 5 x Rcos5 R Rcos5 Rsn5 R R Rsn 5 R R R x x x 5x5 R R 5 5 R R R R () (5) () d R,5,85559 d.989r Det här nnebär att FEM-nätet avvker från det man försöker modellera med ca %, vlket felfortplantas tll de töjnngar och spännngar man beräknar med FEM. Vll man vara säker på sn FEM-lösnng ska man alltd göra en fnare mesh för att se att man fortfarande får samma resultat.

5 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 6. Fel numrerng Isoparametrskt element numrerad omvänd ordnng mot konventon, dvs. medurs. Gvet: Element som ovan. Sökt: Jacobdetermnanten Lösnng: x x x J J () x () L () x x x x L L L L L () L L L L x x L L L L L L L () J J Den negatva determnanten kommer resultera att man får en negatv stvhetsmatrs om man utför ntegralen det lokala koordnatsstemet. För att undvka det här, numrera rätt ordnng, dvs. moturs. Alternatvet är att numrera de lokala noderna samma ordnng, men då måste du ta fram na formfunktoner själv! 5

6 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 6.9 Roterande plåt a) Konsekvent nodlast element Smmetr gör att endast övre halvan behöver modelleras. Gvet: Kx x K K () Tjocklek, h x L I element gäller: L () Sökt: Konsekvent nodlast element. Lösnng: b, T T T F KdV h KdA da dxd J d d h K J dd () Ve Ae () x x x x J J L L L (5) 6

7 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 L hl () (5) F b, h L dd dd J K T Integralerna har alla samma form, så v kan skrva på en form som behandlar alla samtdgt: hl I dd f g I tdgare övnng har jag delat upp en lknande dubbelntegral två vanlga ntegraler. För den som tcker att det känns skumt kommer en kort förklarng här: f g dd g f d d f d g d Beror nte på kan flttas ut som en konstant Beror nte på kan flttas ut som en konstant Förstår du fortfarande nte, fråga första bästa fsker klassen, alternatvt bara acceptera det och drck en cola. hl I d d hl d d del: f g 8 d 6 Gauss punkter: d del: d Gauss punkt: d 8 I hl 6 hl F b, T 7

8 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 b) Spännngar element E Gvet: Plan spännng C E (6) L T D 6 6 (7) E För element : J L L J (8) Exakt lösnng: x L Sökt: Spännngar punkterna: Lösnng: x 6 L x, L, L,, jämför med exakt lösnng. Uttrck för spännngar fås från formelbladet: σ CBd () e (9) B B B B B x Formelblad B x x J () T T T T T T T T T L 6 5 Gvet är d d d d d D D D D Är man smart kan man utnttja att förskjutnngarna är noderna 5 och 6. Därmed slpper man beräkna två E T B matrser. σ C Bd Bd Bd Bd CBd Bd () x (8) () L B L B, L B L () 8

9 -- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 L E () () σ E L σ L L L () otera att spännngen är konstant. FEM, (b)lnjära frkantselement: L L L L L Exakt lösnng: L.5 L L 8 L L Plotta MATLAB Spännng, 8 6 L FEM Exakt Lösnng.5.5 x/l Geometrn är korrekt beskrven av elementnätet. Lasten angrper däremot volmen, och att beskrva det som konsekventa nodlaster ger ett bdrag tll avvkelsen. En annan felkälla är att det är ett lnjärt element. Lnjära element kan bara beskrva konstant töjnng/spännng. 9