6.8 b) Konsistenta nodlaster med vanlig integrering
|
|
- Hanna Lundqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 6.8 ) onsistenta nodlaster med vanlig integrering Bilder av Veronica Wåtz och Jonas Faleskog. Givet: Plåttjocklek, hm Densitet, kg m Sökt: Bidraget till nodlastvektorn (konsistenta nodlaster) på grund av egenvikten, g. Från formelladet: F N dv, () Ve där är volmslasten, inte stvhetsmatrisen, som ser ut såhär: g () Om lasten ges i gloala koordinatsstemet fås konsistenta nodlastvektorn också i gloala koordinatsstemet F. Vice versa gäller förstås om ges i lokala koordinatsstemet, f, se även ilagan i slutet. Eftersom plåtens tjocklek är konstant, lir dv hda hdd, () och volmsintegralen lir en tintegral istället: F h N dd () Ae
2 Formfunktionerna är givna i formelladet för ett lokalt koordinatsstem där frkanten har den trevligaste form man kan tänka sig, en kvadrat med hörnen i trevliga koordinater. Vi vill gärna göra integralen i det koordinatsstemet. Som man minns (eller möjligen har glömt) från matten är areaenhet i sstemet inte lika stort som areaenhet i sstemet. Som valutaomvandlare har man Jacoiandeterminanten. Den finns i Beta, längst ner s., om än lite krptiskt matematiskt uttrckt. Jacoianen finns även i formelladet. Bild från Jonas Faleskogs OH-slides. I vilket fall gäller att dd J dd, (5) da da och nu ser man att determinanten av Jacoianen måste eräknas för att komma vidare. Från formelladet har vi: För att eräkna Jacoianen ehövs uttrcken för, och, man att Nii, Ni i, vilket är anledningen till att det här kallas isoparametriskt, dvs.. Längre upp i formelladet ser man har samma formfunktioner till koordinaterna som till förskjutningarna. Formfunktionerna är ara att skriva av från formelladet, och, är nodernas koordinater. i i
3 Vi örjar med att taellera nodkoordinaterna: Nod, i L L L i i L L L L L Nu till den drga iten... (tar i för sig ara - min i Maple tack vare cop-paste)., Nii L L L L... L (6), Nii L L L L... L (7) Genom att partialderivera (6) och (7) fås Jacoianen, och därifrån dess determinant: L J (8) L L L J det L L L L L L (9) Med Jacoianen känd är det ara att integrera på. N N N N g h L dd dd N g N N N (5),(9) i () F Alla raders integraler ser ut på ungefär samma sätt och kan därför ehandlas på liknande sätt: g g I dd d d f g f g
4 del: d ecknet etder att det ska vara motsatt det tecken man väljer till. d del: d g g g I 6, () 6 där tecknet estäms av om formfunktionen innehåller eller. Det lir negativt tecken för noderna på otten, och positivt tecken för noderna på toppen. 5 g 5 F () Rimlighetskontroll (sna smidig koll på att man fått en rimlig lastvektor): g Fi, g g mg 6 6 V, ok!
5 6.9 onsistenta nodlaster med Gaussintegration Bilder av Veronica Wåtz. Gaussintegration är en numerisk integrationsmetod som, till skillnad från trapetsmetoden, kan få eakta svar om man använder tillräckligt många integrationspunkter och integrerar på polnom. Visdomsord: Med m st integrationspunkter kan man integrera på ett polnom av grad (m-) och få ett eakt svar. Givet: Från 6.8: F, h g L dd F, h g L dd F h N J dd F, h g L dd F, h g L dd J Ni F, F, F, F, () Sökt: onsistenta nodlaster för 6.8 ), men integralen eräknad numeriskt med Gaussintegration. a) (mξ =, mη = ) integrationspunkter Rent allmänt vid Gaussintegration: I f d w f Vi vill duelintegrera, vilket inte är annat än att integrera två gånger. g m i i. () i m m m m m I f d d g d w g w w f w w f i i j i j, i i i j j, i i j j, i () g I det här fallet har vi att f,, () där tecknen eror på den aktuella nodens formfunktion. Här ser man att med avseende på har vi ett polnom av grad. m Ok! Den integralen kommer att li eakt. Med avseende på har vi däremot ett polnom av grad. m Vi kan förvänta oss numeriska fel. 5
6 Vikterna finns i kursoken s.6, samt en taell för högsta polnomgrad med eakt svar. Liknande taell finns på l a wikipedia om man googlar på Gauss integration eller Gauss quadrature. i j w w i j integrationspunkter g F d d w w f f,,, i j j i i j g g m m Notera att lutningens inverkan försvinner med ara en integrationspunkt i det här fallet. På samma sätt:,,, i j i j i j F f, g g F f, g g F f, g g F g Här ser man att svaret avviker från det eakta svaret vi räknade fram i
7 ) (mξ =, mη = ) integrationspunkter Den här gången använder vi två integrationspunkter i vardera led. m, så vi kan integrera på upp till tredjegradare och få eakt svar. I led har vi grad, och i led integrerar vi på en grad, så det är rimligt att förutspå att svaret kommer stämma med det analtiska svaret. Från taellen läser vi av integrationspunkternas positioner och vikter. i i j j w w w w i i j j integrationspunkter g F d d w w f,, i j j i i j g w, w,, w, w,, w, w,, w, w,,... g 6 5 På samma sätt: F, g, F, g, F, g g F m m Precis som analtiska lösningen! 7
8 6. onsistenta nodlaster med varierande tlast Givet: Plåttjocklek h t s s A B L t L t t varierar linjärt och estår av last i åde -led och -led. Sökt: a fram konsistenta nodlaster för fallen ovan. I c) och d) är lasten konstant, ta tb t. a) Isoparametriskt -noders element Från formelladet: Fs N t ds Se Formfunktionerna är givna i formelladet för lokalt koordinatsstem, och s L, så integration i lokalt koordinatsstem verkar ju vettigare än att integrera över en sned ta. s L h ds hds h ds ds Ld d konstant tjocklek F N t N t () L Lasten vill vi ha uttrckt som funktion av, s t t. A t s s s t t t t t () B A B L L L t ta tb Lasten angriper längs med, och kommer att fördelas mellan dessa två noder eftersom de andra nodernas formfunktioner är där. Det räcker därför att ara räkna på de noderna ( och ). Integralerna kommer alltså att se ut som: F N t t d N t t t t d () -led: i, i A B i A B B A -led: Fi, N i ta t B d N i ta ta tb ta d () 8
9 Bara att örja räkna då. Lasten angriper längs med eräknas med godtcklig metod. Personligen föredrar jag Maple., så N, N, F t t t t d t t, A B B A A B F t t t t d t t, A B B A A B F t t t t d t t, A B B A A B F t t t t d t t, A B B A A B i i. Integralen kan ta t B ta tb F ta t (5) B ta tb Rimlighetskontroll: ta tb Fi, ta ta tb tb ta, ok! (Ser likadant ut i -led, så ok där också.) Genomsnittslast ) Isoparametriskt 8-noders element Den enda skillnaden mot a) är en etra nod att räkna på, och att vi får ta fram formfunktionerna själva. I rist på formfunktioner i formelladet får vi komma på egna. Det görs genom att ställa upp två villkor.. Ska vara i sin hemmanod.. Ska vara i andra noder. 9
10 Det räcker med att räkna ut formfunktioner för de noderna som ligger längs tan. Ställ upp: N k k, i i j k i j k där gör att formfunktionen lir vid noderna,,5,7 och 8. De andra parenteserna ser till att formfunktionen är i de resterande två noderna som inte är hemmanod.,,,,,, N k N k N k N k N6 k6 N6 k6 (6) Härmed är krav uppfllt för formfunktionerna. rav uppflls genom att estämma konstanten till ett lämpligt värde. N, k k N N, k k N N6, k6 k6 N6 (7) Från a) såg man att integralerna i - och -led var identiska, så det räcker att räkna på -led och kopiera resultatet till -led. om ihåg att ta inde till ta, t B! F, A B B A A t t t t d t () F, ta tb tb ta d tb F t t t t d t t 6, A B B A A B (8) F ta ta tb tb ta tb ta tb (9) Rimlighetskontroll: ta tb Fi, ta tb ta tb ta tb ta, ok! (Ser likadant ut i -led, så ok där också.) Genomsnittslast
11 c) isoparametriska -noders element, konstant last I a) har vi redan löst hur konsekventa nodlasten lir för linjärt varierande last. onstant last är ett specialfall där ta tb t. ta t B t ta tb t A tb t t (5) F,e,e ta t F B ta tb t t ta tb t Strukturen estår av flera element nu, så för att markera att det här handlar om elementets nodlaster och inte hela strukturens nodlast slänger jag på ett e i indeet. d) isoparametriska 8-noders element, konstant last Samma resonemang som ovan, använd ) som elementarfall. (9) F,e ta ta tb tb ta tb ta tb F,e t t t t t t För att få gloal lastvektor i c) och d), assemlera som i tidigare övningar.
12 Bilaga Etragrejs F,e eller f,e? I formelladet står det ara N Ve dv. I tidigare övningar på D-element har vi alltid haft turen att gloala och lokala koordinatsstemen sammanfallit, och då gäller att F,e f,e. Dessa koordinatsstem ehöver förstås inte sammanfalla, se ild nedan. Då är det definitionen av estämmer. som F N dv,,e V e, f N dv,e V e, Motsvarande gäller förstås för tlaster. olkning av integralen för konsekventa nodlaster Integralen kan tolkas som en funktion som fördelar kraften. Vid varje punkt längs med integralen finns en viss mängd last t sds. Formfunktionerna i den punkten talar om hur stor andel av lasten som ska gå till respektive nod. Alla små delidrag (varje stapel) summeras (integreras) och man får reda på hur tlasten påverkar noderna. onsekventa nodlaster för volmslaster fungerar på precis samma sätt, men varje stapel representerar en liten it volm istället. otala lasten fördelar sig mellan noderna.
6.8 b) Konsistenta Nodlaster med Vanlig Integrering
6.8 ) Konsistenta Nodlaster med Vanlig Integrering Bilder av Veronica Wåtz och Jonas Faleskog. Givet: Plåttjocklek, hm [ ] Densitet, ρ kg m λ = Sökt: Bidraget till nodlastvektorn (konsistenta nodlaster)
Läs mer6.2 Transitionselement
6. Transitionselement Den här tpen av element används för förbinda ett linjärt och ett kvadratiskt element. Givet: Sökt: Bestäm formfunktionen för nod. Visa att den uppfller kraven för en formfunktion.
Läs mer6.2 Transitionselement
-- FEM för Ingenjörstllämpnngar, SE5 rshen@kth.se 6. Transtonselement Den här tpen av element används för förbnda ett lnjärt och ett kvadratskt element. Gvet: Sökt: Bestäm formfunktonen för nod. Vsa att
Läs merÖvning 1 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip Bilder ritade av Veronica Wåtz, asse emeritus. 6EI Givet: k = () L Sökt: θ
Läs mer1.6 Castiglianos 2:a Sats och Minsta Arbetets Princip
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip ilder ritade av Veronica Wåtz. Givet: k () L Sökt: Lösning: et står att ska beräknas med hjälp av energimetod
Läs mer4.6 Stelkroppsrörelse i balk
Övning Balkar, Balk-Stång, Symmetri Rickard Shen 0-0- FEM för Ingenjörstillämpningar, SE05 rshen@kth.se.6 Stelkroppsrörelse i balk Bild av Veronica Wåtz Givet: w L w L () Sökt: Visa att förskjutningsansatsen
Läs merMa B - Bianca Övning lektion 1. Uppgift nr 10. Uppgift nr 1 Givet funktionen f(x) = 4x + 9 Beräkna f(6) Rita grafen till ekvationen.
Ma - ianca 2011 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() = + 9 eräkna f(6) Uppgift nr 2 Givet funktionen f() = 5 + 3 eräkna f(7) Uppgift nr 3 Givet funktionen f() = -5 + 5 eräkna f(-3) Uppgift nr 10 Rita grafen
Läs merÖvning 3 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen Balkproblem och Ramverk
.6 Stelkroppsrörelse i balk Bild av Veronica Wåtz w δ θl Givet: w δ + θl () θ θ θ Sökt: Visa att förskjutningsansatsen kan beskriva en godtycklig stelkroppsrörelse, dvs w x δ + θx. w θ : Allmänt: wξ N
Läs merInledande kurs i matematik, avsnitt P.4
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.4 P.4. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till funktionen f() = +. så ser vi att den har värdemängden [0, ). Eftersom funktionen G har utseendet någonting där
Läs merRäta linjens ekvation & Ekvationssystem
Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35
Läs mery = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 08-47 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-2-4 Skrivtid: 5.00 20.00. Hjälpmedel:
Läs merCHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
Läs merKurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 25 augusti 2016 Skrivtid 8:15 12:15
Kurs: HF9 Matematik Moment TN Linjär lgebra Datum: 5 augusti 6 Skrivtid 8:5 :5 aminator: rmin Halilovic Undervisande lärare: lias Said För godkänt betg krävs av ma poäng. Betgsgränser: För betg B C D krävs
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merGeometriska vektorer
Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive
Läs merDUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater
ubbelintegraler. -koordinater UBBELINTEGRALER. Rektangulära ( koordinater efinition. Låt zf(, vara en reell funktion av två variabler och. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal
Läs mer17 Trigonometri. triangeln är 20 cm. Bestäm vinkeln mellan dessa sidor. Lösning: Här är det dags för areasatsen. s1 s2 sin v 2
17 Trigonometri Övning 17.1 En likbent triangel har arean 10 cm. De båda lika långa sidorna i triangeln är 0 cm. estäm vinkeln mellan dessa sidor. Här är det dags för areasatsen = s1 s sin v där v ligger
Läs merTMV206: Linjär algebra
Matematiska vetenskaper Lösningsförslag till tentamen Chalmers tekniska högskola 2018-06-07, 14:00 18:00 TMV206: Linjär algera Uppgift 1 Linjerna skär varandra om det finns någon punkt (x,y, z) som uppfyller
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten > 4 och uttrck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3( ) < (3 + ), och uttrck lösningen som ett intervall
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merDel A. Lösningsförslag, Tentamen 1, SF1663, CFATE,
Lösningsförslag, Tentamen, SF, CFATE, -- Del A a Om matrisekvationen skrivs AXB C och matriserna A och B är inverterbara så kan ekvationen lösas genom att båda led vänstermultipliceras med A och högermultipliceras
Läs merUppgift Planen 2x + 4y + 2z 3=0 och x + 2y + z 1=0 är givna. b) Bestäm ( kortaste) avståndet mellan planen. (2p)
Tentamen i Matematik HF9 (6H9 jan Tid:.5 7.5 Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad. Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.
Läs merFEM M2 & Bio3 ht07 lp2 Projekt P 3 Grupp D
HH/SET/BN FEM, Projekt 1 FEM M2 & Bio ht07 lp2 Projekt P Grupp D Allmänt Lös uppgifterna nedan med FEM. De är nivågrupperade efter önskat betyg på teoridelen. - Omarkerade uppgifter är obligatoriska och
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Stenholm :00-12:00
Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: TENTAMEN HF00 Matematik för asår I TENA /TEN Tekniskt asår Niclas Hjelm, Philip Köck & Jonas Stenholm Niclas Hjelm 08-0-5 08:00-:00 Eaminator: Datum: Tid:
Läs merNumeriska metoder, grundkurs II. Dagens program. Exempel Kubiska splines. Ögna igenom de gamla övningsanteckningarna.
Numeriska metoder, grundkurs II Övning 3 för I Dagens program Övningsgrupp Johannes Hjorth hjorth@nada.kth.se Rum 63:6, Roslagstullsbacken 35 8-79 69 Kurshemsida: http://www.csc.kth.se/utbildning/kth/kurser/d4/numi7
Läs merFEM M2 & Bio3 ht06 lp2 Projekt P 3
HH/SET/BN E, Projekt 1 E & Bio ht06 lp Projekt P Allmänt Lös uppgifterna nedan med E. De är nivågrupperade efter önskat betyg på teoridelen. - Omarkerade uppgifter är obligatoriska och utgör underlag för
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merMed ett samband menar vi hur något beror av någonting annat. Det skulle t.ex. kunna vara (sant eller inte):
Linjära samband Räta linjens ekvation Förmågan att se, analsera och förstå olika samband är egenskaper som är viktiga att ha i vardagslivet men oundvikliga för kommande studier och arbetsliv. Med ett samband
Läs mer= a - bp(t), dp dt. = ap - bp 2. = 5000P - P 2. = 5000P dt
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B0. Onsdagen den 0 oktober 004, kl 400-900. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att
Läs merdx x2 y 2 x 2 y Q = 2 x 2 y dy, P dx + Qdy. Innan vi kan använda t.ex. Greens formel så måste vi beräkna de vanliga partiella derivatorna.
Uppgift Beräkna kurvintegralen + d där är kurvan = från (, ) till (4, ). Lösning Här har vi ett fält F =(P, Q), där d, () så integralen är på formen P = +, Q = d, P d + Qd. Innan vi kan använda t.e. Greens
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merLösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012
Lösningar till SF86 Optimeringslära, 28 maj 202 Uppgift.(a) Då det primala problemet P är så är det motsvarande duala problemet D minimera 3x + x 2 då 3x + 2x 2 6 x + 2x 2 4 x j 0, j =, 2. maximera 6 +
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merLinjer och plan (lösningar)
Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC
Läs merBT4003/MA6007 Finita elementmetoden, 7.5hp,
BT/MA67 Finita elementmetoden, 7hp, 7--8 Hjälpmedel: Räknedosa och kompendium Finita elementmetoden - en kort introduktion till teorin! Uppgift -8 p/uppgift Lösningarna ska skrivas i Mathematica på samma
Läs merManual för ett litet FEM-program i Matlab
KTH HÅLLFASTHETSLÄRA Manual för ett litet FEM-program i Matlab Programmet består av en m-fil med namn SMALL_FE_PROG.m och en hjälp-fil för att plotta resultat som heter PLOT_DEF.m. Input För att köra programmet
Läs merSida 1 av Låt VV = RR nn där RR nn är mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs
Sida av 7 ALLMÄNNA VEKTORRUM VEKTORRUM Definition Mängden V sägs vara ett reellt vektorrum om det finns i) en additionsoperation som till varje uu VV och vv VV ordnar uu vv VV ii) en operation kallad multiplikation
Läs mer1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel.
rmin Haliloic: EXTR ÖVNINGR a 9 aser och koordinater i D-rummet SER CH KRDINTER Vektorer i ett plan Vektorer i rummet SER CH KRDINTER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betraktar ektorer som ligger
Läs merREPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.
REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mer4:1 Negativa tal på tallinjen
: Negativa tal på tallinjen Vilka tal pekar pilarna på? c b a 7 a) b) c) c b a 9 8 a) b) c) c b a 7 a) b) c) Vilken pil pekar på F a) b) c) 9 F d) e) f) F F a) b) c) d) 8 e) f) 8 arbetsblad Koll på matematik
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10
JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är
Läs meryz dx + x 2 ydy+ x 2 dz, (0, 0, 0) (1, 1, 1) (0, 0, 0) (1, 0, 0) (1, 1, 0) (0, 0, 0) (1, 1, 1) z = xy y = x 2 x(t) =y(t) =z(t) =t, 0 t 1
γ z d d dz, γ,,,,,,,,,,,,,,,, z t t zt t, t P z t Q t R t P tq trz t dt t t t t dt t t r t,,, t P t Qt, Rt t P tq trz t dt,,,, r,t,, t P t, Qt t, Rt dt P tq trz t dt,,,, tdt r,,t, t P t t, Qt Rt P tq trz
Läs merIntegranden blir. Flödet ges alltså av = 3
Lektion 7, Flervariabelanals den 23 februari 2 6.4.2 Använd Gauss sats för att beräkna flödet av ut ur sfären med ekvationen där a >. Flödet ut ur sfären ges av F e e + 2 e e + e 2 + 2 + 2 a 2 F d, som
Läs mer4. Beräkna volymen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x = 0, y = 0 och z = 0 och planet. x F (x, y) = ( x 2 + y 2, y
ATM-Matematik Mikael Forsberg 7- För studenter i Flervariabelanals Flervariabelanals mkb 6 krivtid: 9:-:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams alculus, dessa formler bifogas tentan.
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merDu behöver inte räkna ut några siffervärden, svara med storheter som V 0 etc.
(8) 27 augusti 2008 Institutionen för elektro- och informationsteknik Daniel Sjöerg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen augusti 2008 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori, ellära och elektronik.
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl
entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått
Läs merLaboration i Matlab. Uppgift 1. Beskrivning
aboration i atlab Uppgifterna i denna laboration kan innehålla fsik och matematik som ni inte känner till, men det kommer ni inte att behöva för att kunna lösa uppgifterna. Uppgifterna är skrivna så att
Läs mer2. Optimering Linjär programmering
. Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Normalt okå ett antal ivillkor
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs merLösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.
Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja
Läs merFörändringshastighet ma C
DOP-matematik Copright Tord Persson Förändringshastighet ma C 2012-01-0 Uppgift nr 1 Givet funktionen f() 2 + 8 Beräkna f() Uppgift nr 2 Givet funktionen f() 9 + 1 Beräkna f(7) Uppgift nr 6 Uppgift nr
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merLösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte
Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merIV, SF1636(5B1210,5B1230).
Lösningar till tentamensskrivning i Matematik I, F636(5B,5B3) Tisdagen den 9 augusti 8, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs mery º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32
6 Trigonometri 6. Dagens Teori Vi startar med att repetera lite av det som ingått i tidigare kurser angående trigonometri. Här följer en och samma rätvinkliga triangel tre gånger. Med en sida och en vinkel
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3 2303 d) TB: Jaha, nu gäller det att kunna sina deriveringsregler. Polynom kommer man alltid ihåg hur de ska deriveras. f(x) = 4x 2 + 5x 3 ger derivatan f
Läs merMatrisavbildningar. Kirsti Mattila K T H
246 Matrisavildningar Kirsti Mattila K T H 1. Inledning. I denna uppgift etraktas matriser som avildningar på planet R 2 ; speciellt etraktas projektioner och isometrier. En projektion är en avildning
Läs merP03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.
Kap P. P0. (A) Rita följande kurvor a. = + = c. = [ + ], där [a] betecknar heltalsdelen av talet a d. sgn( ), där sgn(a) betecknar tecknet av talet a. P0. (B) För vilka reella gäller + + + 4? P0. (A) Visa,
Läs merOptimering Linjär programmering
Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Eventuellt ockå ett antal ivillkor
Läs merNumeriska metoder för ODE: Teori
Numeriska metoder för ODE: Teori Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid
Läs merTentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl
Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, 009-10-19, kl 14.00-19.00 Maximal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs 18 poäng. Tillåtna hjälpmedel: räknare, kursens formelsamling och alfemmanual.
Läs merMatematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration
10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merTenta i MVE465 Linjär algebra och analys fortsättning. K/Bt/Kf. (2p) Z 2 xdx b) Beräkna 0 (x + 1) (2x + 1). (3p)
MATEMATIK Datum: 8-- Tid: eftermiddag (kl.-8.) Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. Kursansvarig: Aleei Heintz Telefonvakt: Carl Lundholm ankn. 9 Tenta i MVE Linjär algebra och anals
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt 1 Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (asen 10) skrivs dessa 0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11,.... Samma
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merTentamen i Balkteori, VSMN35, , kl
Tentamen i Balkteori, VSMN35, 2012-10-26, kl 08.00-13.00 Maimal poäng på tentamen är 40. För godkänt tentamensresultat krävs 16 poäng. Tentamen består av två delar: En del med frågor och en del med räkneuppgifter.
Läs merEkvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR aplace-ekvatioe APACES EKVATION Vi etraktar följade PDE u, u,, a, ekv1 som kallas aplaces ekvatio Ekvatioe ekv1 ka eskriva e sk statioär tillståd stead-state för e fsikalisk
Läs merc) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen?
Avsnitt Determinanter L Använd determinanter för att avgöra om följande matriser är inverterbara ( ) a) b) 5 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En matris A är inverterbar om och endast om det A Vi beräknar
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN
freeleaks NpMaD vt001 för Ma4 1(7) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 001 Förord Utformningen av de nationella proven i matematik har varierat över tid. Uppgifter till den äldre
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 5 Integraler Denna modul omfattar kapitel 5 och avsnitt 6.-6. i kursboken Calculus av Adams och Esse och undervisas på tre föreläsningar,
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merKap Generaliserade multipelintegraler.
Kap 4.3. Generaliserade multipelintegraler. 50. Beräkna följande generaliserade multipelintegraler: A a. dxdy, ges av x, 0 xy x A b. A c. A d. A e. K x ( + x 2 )( + x 2 y 2 ) dxdy, ges av x > 0, xy x dxdy,
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merFÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018
FÖ: MVE045, Riemann integral, tekniker Zoran Konkoli, HT 2018 VIKTIG: Vi hinner inte gå igenom allt som ni skall kunna under föreläsningar. Varje föreläsning är alltid en tolkning av ADAMS boken, och ibland
Läs mervinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)
Tentamen i Matematik HF H 8 okt Tid:. 7. Lärare:Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad. Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter. Betgsgränser:
Läs mer10 Beräkning av dubbelintegraler
Nr,7april-,Amelia Beräkning av dubbelintegraler. Bte av integrationsordning Eempel (96) Kasta om integrationsordningen i a) b) c) Z Z e Z 6 Z d d d Z ln Z f(, )d f(, )d f(, )d. Lösning: Med hjälp av figurer
Läs merProgramkonstruktion och. Datastrukturer
Programkonstruktion och Datastrukturer Repetitionskurs, sommaren 2011 Datastrukturer (Listor, Träd, Sökträd och AVL-träd) Elias Castegren elias.castegren.7381@student.uu.se Datastrukturer Vad är en datastruktur?
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merLösningsskisser för TATA
Lösningsskisser för TATA4 7-3-7. Funktionen f() 5 arctan + 4 arctan(/), med den föreskrivna definitionsmängden D f { R : > }, ar derivatan f () 5 + () + 4 ( / ) + (/) + 4 4 + + (4 + 6 ) ( + )( + 4 ) Detta
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl
TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs mer5 Gauss sats. div. dv = A V. Noterbart är att V AdV = A ˆNdS, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df
5 Gauss sats Betrakta ett vektorfält A. i låter en sluten ta, med utåtriktad normal ˆN, begränsa ett område. Antag nu att A är kontinuerligt deriverbart i hela. Under dessa premisser gäller Gauss sats
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Anals B för KB/TB (TATA9/TEN1 214-3-21 kl 14 19 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betgsgränser:
Läs merChecklista för funktionsundersökning
Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT
Läs mer