NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt

Transkript

1 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är tillåtna hela provet Uppgift # (/) Enkel integral Uppgift # 5 (/) Enkelt problem med sinussatsen Uppgift # 6 (/) Enkel integral Uppgift # 7 (/) Integral och area Uppgift # 8 (/) Förenkla trigonometriskt uttrck Uppgift # 9 (/) Triangelns area Uppgift # (/) Derivering med produktregeln Uppgift # (/) Primitiv funktion och linjära ekvationer Uppgift # (/) Parametrar i fasförskjuten sinuskurva Uppgift # (/4) Parabolantenn och sinussatsen Uppgift # 4 (/) Triangel och sinussatsen Uppgift # 5 (/4) Vattentank, modellbggnad c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

2 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) Förord Utformningen av de nationella proven i matematik har varierat över tid. Uppgifter till den äldre kursen Matematik D duger utmärkt för träning till kurser enligt G. Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma4. Innehållet i den äldre kursen MaD hör nu främst till Ma4 men också till Ma. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som är lämpliga till respektive kurs Ma Ma 4 () () Kom ihåg Matematik är att vara tdlig och logisk Använd tet och inte bara formler Rita figur (om det är lämpligt) Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning. Analsera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. Genomföra bevis och analsera matematiska resonemang. Värdera och jämföra metoder/modeller. Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

3 NpMaD vt Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december. Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 4 minuter utan rast. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn och komvu/gmnasieprogram på de papper du lämnar in. Provet Provet består av 5 uppgifter. Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel. Uppgift 5 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt. Det är viktigt att du prövar på denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsn till vid bedömningen av ditt arbete. Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning. Poäng och betgsgränser Provet ger maimalt 4 poäng. Efter varje uppgift anges maimala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en uppgift kan ge g-poäng och vg-poäng skrivs detta (/). Undre gräns för provbetget Godkänd: poäng Väl godkänd: 4 poäng varav minst 7 vg-poäng Namn: Skola: Komvu/gmnasieprogram:

4 NpMaD vt. Beräkna med hjälp av primitiv funktion ( + )d (/). Ange alla primitiva funktioner F till f ( ) = + 5 Endast svar fordras (/). Figuren visar en enhetscirkel. v a) Bestäm sin v Endast svar fordras (/) b) Bestäm sin( 8 v) Endast svar fordras (/) 4. Låt f ( ) = sin a) Bestäm f () Endast svar fordras (/) b) Beräkna f () Endast svar fordras (/) c) Ange samtliga lösningar till ekvationen f ( ) = (/) 5. I triangeln ABC är sidan AB, cm, vinkeln A 4,5 och vinkeln C,. Beräkna längden av sidan BC. (/)

5 NpMaD vt 6. Beräkna eakt arean av det skuggade området i figuren. (/) = +sin 7. Grafen till funktionen = f () begränsar tillsammans med -aeln två områden med areorna A och B areaenheter. Grafen skär -aeln i a, b och c. A = f () a b c B Teckna med hjälp av integral ett uttrck för a) A Endast svar fordras (/) b) B A Endast svar fordras (/) 8. Förenkla så långt som möjligt (cos + sin ) sin (/)

6 9. I triangeln ABC är vinkeln C 5. NpMaD vt Välj a och b så att triangelns area A ges av A = sin 5 cm (/). Visa att = sin är en lösning till differentialekvationen = cos (/). Funktionen = f () har en primitiv funktion F ( ) = A + B där A och B är konstanter. Bestäm A och B då f ( )d = och f ( )d = (/). På en sinuskurva = Asin( B + C) + D har en av maimipunkterna koordinaterna (, 5). En av de två närliggande minimipunkterna har 7 koordinaterna (, ), se figur a) Bestäm A och D. Endast svar fordras (/) b) Bestäm B och C. (/)

7 NpMaD vt 5. En behållare som från början innehåller liter vatten flls på med en inflödeshastighet q in enligt diagram. Vattnets utflödeshastighet q ut framgår av diagram. Vätskevolmen vid en viss tidpunkt beror då på vilket värde på den konstanta utflödeshastigheten q ut som valts. Beräkna hur mcket vätska behållaren innehåller efter minuter respektive 5 minuter om utflödeshastigheten q ut väljs till 4 liter/min. Undersök och beskriv så utförligt du kan hur vätskevolmen i behållaren beror av tiden och valet av utflödeshastighet. (/4) Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta etra hänsn till: vilka slutsatser du dragit av din undersökning hur långt mot en generell lösning du lckas komma hur sstematisk du är i din undersökning hur väl du redovisar ditt arbete om du gjort korrekta beräkningar

8 NpMaD vt Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med utgången av december. Bedömningsanvisningar (MaD vt ) Eempel på godtagbara svar anges inom parentes. Bedömningen godtagbar ska tolkas utifrån den undervisning som föregått provet. Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng. Ma / Korrekt primitiv funktion + g 8,67 + g med godtagbart svar ( ). Ma / Angett en korrekt primitiv funktion + g med godtcklig konstant C ( F ( ) = C ) + g. Ma / a) Godtagbart svar (,6) + g b) Godtagbart svar (,6) + g 4. Ma 4/ a) Korrekt svar ( f ( ) = cos ) + g b) Korrekt svar ( f ( ) = ) + g c) Redovisat godtagbar lösning med en vinkel + g Redovisat godtagbar lösning med samtliga vinklar ± + n + g ( ) 5. Ma / Redovisat godtagbar metod + g med godtagbart svar ( 5, cm ) + g 6. Ma / Redovisat godtagbar metod + g med korrekt svar (( + ) a.e.) + g

9 v JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) NpMaD vt Uppgift # (/) Enkel integral a) Bestäm sin v Endast svar fordras (/). b) Beräkna Bestäm med hjälp sin( 8 av primitiv v) funktion ( + )d Endast svar fordras (/) (/). Ange alla primitiva funktioner F till f ( ) 5 Endast svar fordras (/) ( + ) d = ( 4. Låt f ( ) = sin + ) = = = 6 8,67 a) Bestäm f () Endast svar fordras (/) 6 Svar. Figuren b) Beräkna visar en f enhetscirkel. () Endast svar fordras (/) c) Ange samtliga lösningar till ekvationen f ( ) = (/) Uppgift # 5 (/) Enkelt problem med sinussatsen 5. I triangeln ABC är sidan AB, cm, vinkeln A 4,5 och vinkeln C,. v Beräkna längden av sidan BC. (/) Vinkeln C (känd, ) står mitt emot sträckan AB (känd cm) och vinkeln A (känd 4,5 ) står mitt emot sträckan BC (sökt). Sinussatsen ger sin A a) BC Bestäm = sin C AB sin v Endast svar fordras (/) sin 4,5 b) sin, Bestäm = sin( 8 v) Endast svar fordras (/) = 4. Låt f ( ) = sin Svar Sidan BC är 5, cm. sin 4,5 sin, 5, a) Bestäm f () Endast svar fordras (/) b) Beräkna f () Endast svar fordras (/) c) Ange samtliga lösningar till ekvationen f ( ) = (/) 5. I triangeln ABC är sidan AB, cm, vinkeln A 4,5 och vinkeln C,. Beräkna längden av sidan BC. (/) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) Uppgift # 6 (/) Enkel integral NpMaD vt 6. Beräkna eakt arean av det skuggade området i figuren. (/) = +sin Integralen blir ( + sin ) d = ( cos ) f () = [ cos } {{ } ] [ cos }{{} ] = + 7. Grafen till funktionen = f () begränsar A Svar tillsammans + areaenheter. med -aeln två områden med areorna A och B areaenheter. Grafen skär a b c B -aeln i a, b och c. Teckna med hjälp av integral ett uttrck för a) A Endast svar fordras (/) b) B A Endast svar fordras (/) 8. Förenkla så långt som möjligt (cos + sin ) sin (/) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

11 = +sin JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) Uppgift # 7 (/) Integral och area 7. Grafen till funktionen = f () begränsar tillsammans med -aeln två områden med areorna A och B areaenheter. Grafen skär -aeln i a, b och c. A = f () a b c B Teckna med hjälp av integral ett uttrck för a) A Endast svar fordras (/) b) B A Endast svar fordras (/) a) I intervallet från a till b är f() övre funktion och linjen = undre funktion (-aeln). 8. Förenkla så långt som möjligt (cos + sin ) sin (/) A = b [f() ] d = b a a f() d Svar a) b f() d a b) I intervallet från b till c är f() undre funktion och linjen = övre funktion (-aeln). B = c B A = [ f()] d = b c f() d b b a c b f() d f() d Svar b) c f() d b f() d b a Kommentar Alternativt kan integrationsordningen kastas om vilket ger b f() d + a f() d c b c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

12 Teckna med hjälp av integral ett uttrck för a) A Endast svar fordras (/) JENSENvuutbildning b) B A NpMaD vt för Ma4Endast svar fordras (4) (/) Uppgift # 8 (/) Förenkla trigonometriskt uttrck 8. Förenkla så långt som möjligt (cos + sin ) sin (/) cos + cos sin +sin { }} { (cos + sin ) sin trigonometriska ettan { }} { cos + sin + noll { }} { cos sin sin Svar Det förenklade uttrcket blir. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

13 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 4(4) 7(8) Uppgift Trigonometri # 9 (/) Triangelns area Definitioner 9. I triangeln ABC är vinkeln a C 5. sin v = c b cos v = c a tan v = b Enhetscirkeln NpMaD vt sin v = Välj a och b så att triangelns area A ges av cos v = A = sin 5 cm (/) Använd areasatsen somtan finns v = i FORMELSAMLINGEN.. Visa att = sin är en lösning till differentialekvationen = cos (/) sin A sin B sin C Sinussatsen = = a b c. Funktionen = f () har en primitiv funktion F ( ) = A + B där A och B är Cosinussatsen a = b + c bccos A konstanter. absin C Areasatsen Bestäm A och B T då = f ( )d = och f ( )d = (/) Trigonometriska formler sin v + cos v = ab sin 5 Enligt areasatsen gäller att arean T = och enligt uppgiften är arean sin 5. På en sinuskurva = Asin( B + C) vilket ger ab = 4. Detsin( finns v + oändligt u) = sin vcos många u + Dcos val har vsin av en uparet av maimipunkterna a och b. koordinaterna (, 5). En av de två närliggande minimipunkterna har sin( 7 v u) = sin vcosu cosvsin u koordinaterna (, ), se figur. 5 cos( v + u) = cosvcosu sin vsin u 5 8 4cos( 5v u) = cosvcosu + sin vsin u sin v = sin v cosv cos v sin v () cosv = cos v () Svar Några möjliga val är a =, b = 8 eller a = 4, b = 6 eller a = 4, b = 4. sin v () b a sin + b cos = c sin( + v) där c = a + b och tan v = a c G Robertsson Cirkelns - buggar robertrobertsson@tele.se ( a) + ( b) = r ekvation a) Bestäm A och D. Endast svar fordras (/) b) Bestäm B och C. (/) --4 Skolverket

14 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 5(4) Välj a och b så att triangelns area A ges av A = sin 5 cm (/) Uppgift # (/) Derivering med produktregeln. Visa att = sin är en lösning till differentialekvationen = cos (/) Givet. Funktionen = f () har en primitiv funktion F ( ) = A + B där A och B är konstanter. = sin visa att Bestäm A och B då f ( )d = och f ( )d = (/) = cos. } {{ } } {{ } vänsterled högerled Strategin är att utveckla vänsterledet (VL). Börja med att derivera med hjälp av produktregeln.. På en sinuskurva = Asin( B + C) + D har en av maimipunkterna koordinaterna = ( sin, 5). + En av cos de två. närliggande minimipunkterna har Utveckla vänsterledet 7 koordinaterna (, ), se figur. VL = ( sin + cos ) sin VL = sin + cos sin 4 VL = cos. 5 Vänsterled och högerled är alltså lika vilket skulle visas. Svar Se ovan. Kommentar Lösningen = sin är inte entdig. Det finns fler lösningar till = cos mendet hör inte till denna uppgift. - a) Bestäm A och D. Endast svar fordras (/) b) Bestäm B och C. (/) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

15 Välj a och b så att triangelns area A ges av A = sin 5 cm (/) JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 6(4) = är en lösning till differentialekvationen cos (/) Uppgift. Visa # att sin(/) Primitiv funktion och linjära = ekvationer. Funktionen = f () har en primitiv funktion F ( ) = A + B där A och B är konstanter. Bestäm A och B då f ( )d = och f ( )d = (/). På en sinuskurva = Asin( B + C) + D har en av maimipunkterna Bilda dekoordinaterna två ekvationerna (, 5). En av de två närliggande minimipunkterna har 7 koordinaterna = f() ( d =, ), F () se figur. = A + B = A + B = f() d = F () = A + B = A + B. 5 Detta ekvationssstem med två obekanta har lösningen A = 4 B = 4 Svar A = och B = 4. - a) Bestäm A och D. Endast svar fordras (/) b) Bestäm B och C. (/) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

16 . Funktionen = f () har en primitiv funktion F ( ) = A + B där A och B är konstanter. JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 7(4) Bestäm A och B då f ( )d = och f ( )d = (/) Uppgift # (/) Parametrar i fasförskjuten sinuskurva. På en sinuskurva = Asin( B + C) + D har en av maimipunkterna koordinaterna (, 5). En av de två närliggande minimipunkterna har 7 koordinaterna (, ), se figur a) Bestäm A och D. Endast svar fordras (/) b) Bestäm B och C. (/) Parametrana A och D är enkelt att bestämma. Mavärdet är 5 och minvärdet är. Detta ger amplituden A A = 5 = och nollpunktsförskjutningen D är D = 5 + = Svar a) A = och D =. Nu återstår att bestämma vinkelhastighet B och fasförskjutning C i = sin(b } {{ + C } ) + argument Skillnaden i argument mellan ett mavärde och nästa mavärde är radianer. Skillnaden i argument mellan ett mavärde och efterföljande minvärde är radianer. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

17 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 8(4) Vi får nu = argument för minvärde { }} { (B 7 + C) argument för mavärde { }} { (B + C) = B ( 7 ) = B 4 B = 4 Nu återstår att bestämma fasförskjutning C i = sin( 4 + C) + Använd koordinaten för mapunkten (, 5). Sinusfunktionen har ma när argumentet är vilket ger = 4 + C C = 4 Svar b) B = 4 och C = 4 c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

18 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) Sinussatsen ger sin(9 + v) R r = 6 7 R = = sin(,4 v) r Trigonometrisk formel för sin(α + β) ger sin(9 + v) = sin 9 cos v + cos 9 sin v = cos v och trigonometrisk formel för sin(α + β) ger sin(,4 v) = sin,4 cos v cos,4 sin v Vi får cos v = sin,4 cos v cos,4 sin v R ( r cos,4 sin,4 sin v = ) cos v r r R ( r sin,4 tan v = ) cos,4 r R tan v = tan,4 r R cos,4 ) v = tan (tan,4 r = 5,6 R cos,4 c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

19 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) Uppgift # 5 (/4) Vattentank, modellbggnad NpMaD vt 5. En behållare som från början innehåller liter vatten flls på med en inflödeshastighet q in enligt diagram. Vattnets utflödeshastighet q ut framgår av diagram. Vätskevolmen vid en viss tidpunkt beror då på vilket värde på den konstanta utflödeshastigheten q ut som valts. Beräkna hur mcket vätska behållaren innehåller efter minuter respektive 5 minuter om utflödeshastigheten q ut väljs till 4 liter/min. Undersök och beskriv så utförligt du kan hur vätskevolmen i behållaren beror av tiden och valet av utflödeshastighet. (/4) Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta etra hänsn till: vilka slutsatser du dragit av din undersökning hur långt mot en generell lösning du lckas komma hur sstematisk du är i din undersökning hur väl du redovisar ditt arbete om du gjort korrekta beräkningar c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

20 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) Ändring i volm är inflöde minus utflöde dv dt = q in q ut dv = (q in q ut ) dt V (t) dv = V (t) = t t (q in q ut ) dt (q in q ut ) dt För de 5 första minuterna gällar att q in = t därefter gäller att q in =. Utflödet är q ut om det finns vatten i behållaren, annars är flödet. Med q ut = 4 fås V () = + V () = + V () = + V (5) = + V (5) = + V (5) = + ( t 4) dt (6 t) dt [ 6 t t 5 5 ] = 8 ( t 4) dt (6 t) dt [ 6 t t ] 5 = 5 Skolverkets lösning missar att behandla fallet att tanken töms snabbt. För att behandla detta fall lös V (t ) =. Alltså att tanken är tömd vid tiden t som alltså är mindre än 5 minuter. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6

21 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 4(4) V (t) = [ ] t + t t q ut t V (t) = + t t q ut t = + t t q ut t q ut t = + t t q ut = t + t (För att tömma tanken på minut krävs q ut = 9.) För att tömma tanken på 5 minuter krävs q ut =. Om q ut < finns två fall. Fallet att t 5 då gäller V (t) = + t t q ut t och fallet att t > 5 då gäller att V (t) = V (5) q ut (t 5) som gäller fram till tanken är tom, alltså t = 5 + V (5) q ut Om q ut > så är volmen V (t) = + t t q ut t fram till tidpunkten då tanken är tom. Tidpunkten t då tanken är tom är den positiva roten till = + t t q ut t = t + ( q ut )t Ovanstående är en SKISS på lösning. Lösningen måste presenteras tdligare. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 5-4-6