4.2. Vektorprodukt i koordinater

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "4.2. Vektorprodukt i koordinater"

Sandra Elisabeth Lundqvist
för 7 år sedan
Visningar:

1 4 Vektorprodukt i koordinater 5 4 Vektorprodukt i koordinater Nästa sats visar hur vi kan räkna med vektorprodukt i en ON-bas Satsen följer av Definition 4 samt räknelagrna i Sats 44 Sats 45 Låt e = {e, e, e } vara en ON-bas i ett positivt orienterat högersystem Då gäller att e e = e e =e! e e e = e e e = e e =e! e 4 e e = e e = e e = 0 e =e! e Exempel 46 Låt u = e x y z Bestäm vektorprodukten u v och v = e x y z vara givna i ON-basen e = {e, e, e } Lösning: Eftersom u = x e + y e + z e och v = x e + y e + z e gäller att (x e + y e + z e ) (x e + y e + z e ) = x x (e e ) +x y (e e )+x z (e e ) +y x (e e )+y y (e e ) +y z (e e ) +z x (e e )+z y (e e )+z z (e e ) Enligt Sats 45 försvinner första, femte och nionde termen ovan, så att x y (e e ) +x z (e e ) +y x (e e ) =e = e = e +y z (e e ) +z x (e e ) +z y (e e ) =e =e = e Utnyttjar vi Sats 45 tillsammans med räknelagarna i Sats 44 får vi att x y e x z e y x e + y z e + z x e z y e

2 6 4 VEKTORPRODUKT Om vi samlar de termer som hör ihop får vi (y z z y )e +(z x x z )e +(x y y x )e (4) Vi ser att uttrycket (4) som ger kryssprodukten mellan två vektorer är ganska komplicerat Att dessutom försöka komma ihåg det är inte det lättaste Därför är det lämpligt att ta fram ett schema som gör det enklare för oss att beräkna en vektorprodukt på Ett sätt är att använda sig av följande beteckning: a b c d = ad bc (korsmultiplikation!) Med denna beteckning kan paranteserna i (4) skrivas: y z y z = y z z y, x z x z = x z z x, x y x y = x y y x Därmed kan vektorprudukten i (4) beräknas enligt: y z y z e x z x z e + x y x y e (4) Slutligen behöver vi veta vilka element som skall stå i respektive schema Detta löser vi genom att skriva om vektorprodukten (4) med hjälp av ett utvidgat schema där även basvektorerna återfinns, dvs e e e x y z (44) Låt oss sammanfatta hur vi räknar vektorprodukt u v Vi sätter upp schemamed basvektorerna på :a raden, u på :a raden och v på :e raden enligt e e e x y z Vi går längs :a raden i schemat och tar ner basvektorerna en i taget, byter tecken på :a termen och summerar: e e e x y z e e e x y z + e e e x y z Nu stryker vi ur schemat den rad och den kolonn som e:na stod på (dvs står på): y z y z e x z x z e + x y x y e Korsmultiplikationen på schemat ger slutligen att (y z z y )e +(z x x z )e +(x y y x )e

3 4 Vektorprodukt i koordinater 7 Exempel 47 Beräkna u v om u = e och v = e (e ON-bas) Lösning: Vi beräknar u v genom att sätta upp ett schema med basvektorerna på :a raden, u på :a raden och v på :e raden enligt e e e Vi går längs :a raden i schemat och tar ner basvektorerna en i taget, byter tecken på :a termen och summerar: e e e e e e + e e e Vi stryker ur schemat den rad och den kolonn som e:na stod på (dvs står på) och får e 5 6 e e 4 5 Ett schemaräknar vi ut med korsmultiplikation, så att e ( 6 5 ) e ( 6 4 ) + e ( 5 4 ) = e +6e e, eller på vektorform e 6 En kontroll visar att u v är ortogonal mot både u och v

4 8 4 VEKTORPRODUKT Exempel 48 I Exempel 0 i kompendiet Vektorer, linjer och plan använde vi skalärprodukten till att bestämma alla vektorer u som är ortogonala mot v = och v = 0 Bestäm alla u genom att använda vektorprodukten (ON-bas) Lösning: Om vektorerna är givna i en ON-bas e = {e, e, e },såär e e e u = v v = 0 = e 0 e 0 + e = e + e e Alltså är u = En kontroll visar att u v och u v Exempel 49 Låt e = {e, e, e } vara en positiv orienterad ON-bas i rummet Bestäm en ny positiv orienterad ON-bas {f, f, f }, sådan att första basvektorn f är parallell med vektorn e +e +e = e Lösning: Vi ska tydligen bestämma ett reellt tal λ, så att f = λ(e +e +e )=λe och f = Eftersom vektorn e +e +e har längden + + =, så väljer vi λ =/ och får därmed att f = e Nu väljer vi den andra basvektorn f sådan att f f och f = Här finns många vektorer att välja bland Låt tex f = e För att mängden {f, f, f } skall bli positiv orienterad ON-bas väljer vi sista basvektorn till e e e f = f f = / / / / / / = e

5 4 Vektorprodukt i koordinater 9 Exempel 40 Låt vektorerna u = x y z, v = x y z och w = ON-basen e = {e, e, e }Beräkna skalärprodukten u (v w) x y z vara givna i Lösning: Enligt Exempel 4, så följer att e e e v w = = y z e x z e + x y e Skalärprodukten ges därmed av y u (v w) = (x e + y e + z e ) z e x z = y z x x z y + x y z e + x y e Vi skriver detta som ett utvidgat schema u (v w) = x y z (45) Schemat i (45) är vad vi kallar för determinanten för tillhörande matris x y z A = Vi återkommer till determinantbegreppet i Kapitel 8 Exempel 4 Beräkna determinanten Lösning: Vi beräknar determinantens värde genom att följa de steg som ledde till (45): = = {stryk den rad och kolonn som står på} = = ( ) ( ) + ( ) = 0

Relevanta dokument

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt