4.1 Förskjutning Töjning

Transkript

1 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 4. Förskjutning öjning a) Sökt: Visa att töjningn i lmntt är. du ösning: I grundkursn fick man lära sig att. d () I FEM får man lära sig att u Nu Nu. () Dt här är tt linjärt lmnt som går mllan två nodr, n vid och n vid, så N N u Sätt in (3) i () N u N u Md tt gnrllt uttryck för förskjutning känt är dt ara att drivra för att få töjning, s (): d, Q.E.D. d Ett altrnativ är att drivra från örjan gnom att sätta in () i (): du dn dn u u d d d konstant konstant ) Sökt: Visa att man får n stlkroppsförflyttning om. Förskjutningn skrivr hur myckt n nod har förflyttat sig från start. Dn sägr därmot int om förflyttningn är från töjning, llr från att kroppn ara har hängt md i n rörls. En stlkroppsrörls känntcknas av två sakr:. Dt finns ingn töjning.. Alla kroppns dlar (dvs. nodr) förflyttas lika myckt, och åt samma håll. ösning: ingn töjning. är ok! u u u u nodrna flyttas lika myckt och åt samma håll. är ok! Båda kritrir uppfylda Stlkroppsförflyttning! (3) (4)

2 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 3.3 Start/Svag Form på Stång a) d du Givt: Stark form: EA A d d () Stark form = diff. kvation som skrivr förskjutningn akt i varj punkt. d d du d Sökt: Visa att EA d Ad A (dvs. visa svag form) () där är normalspänningn, A är tvärsnittsaran och är n godtycklig viktfunktion. Svag form = samma kvation mn uttryckt md intgralr. öss gärna approimativt md FEM, och lir därför int nödvändigtvis akt i varj punkt, mn ofta lättar än n svår diff. kvation. Svart lir dock ättr om gomtrin lir skrivn md flr lmnt, och ftrsom dt är n dator, och int du själv, som utför slavartt md att invrtra dina matrisr kan man lösa hyfsat joiga prolm på rimlig tid md rimlig noggrannht. ösning: Vi vill få stark form till svag form, och visa att vi får samma svaga form som i uppgiftn. Stg : Utgå ifrån stark form, förläng md n viktsfunktion och intgrra övr längdn. Dla gärna upp intgraln i sina trmr rdan från örjan. d du EA d Ad d d Dn här trmn partialintgrras i stg (3) Stg : Partialintgrra trmn som innhållr andradrivatan, målt är att slippa andradrivatan. Från Bta s. 4: g f d g F g F d d du du dv du EA d EA EA d Ad d d d d d g g f F g F (4) Sätt in dn partialintgrrad vrsionn av trmn i (3) du dv du EA EA d Ad d d d (5)

3 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 Stg 3: Använd Hooks lag för att få A -trmn. du du Hooks lag i D: E E EA A d d (6) dv du Sätt in (6) i (5) A EA d Ad d d (kasta om) dv du d d EA d Ad A, Q.E.D. Notra att alla trmr innhållr A. Dn hövr int vara konstant, så förkorta int ort dn! ) Sökt: a fram FEM-kvationn (d.v.s. idntifira kd f ) md Galrkins mtod. Galrkins mtod = Använd samma formfunktion för ösning: För dn som har glömt: AB B A, och AB som för u. att multiplikation av n (n) matris md n (n) gr dras skalärprodukt. u skalärprodukt av Nd N d, konstant AB om AB är symmtrisk. En skalär är givtvis symmtrisk! Notra u u N u N u N N Nd (7) du dn dn dn dn u dn u u d d d d d u d Bd (8) d B N N N N Nβ β N (9) N skalär β, konstant d dn dn dn dn d d d d d d dn β Bβ β B () skalär B Sätt in dt här i dn svaga formn. dv du EA d Ad A EA d Ad A d d β B Bd β N β N Eftrsom åd β och d är konstanta får d rytas ut ur intgralrna. om ihåg att multiplikationsordningn splar roll för matrisr, så d måst rytas ut åt rätt håll. 3

4 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 β EA d Ad A B B d β N N Notra att β ryts ut från alla trmr, och ftrsom kvationn måst gälla oavstt vilka godtyckliga värdn man väljr i β, och int ara om man råkar välja n massa nollor, så måst dt som står inom parntsrna vara lika md varandra. Ellr lit slarvigt uttryckt, förkorta åda ld md β. B EABd d N Ad N A () Ur kvation () kan man idntifira dt som ildar FEM-kvationn: EA d Ad A d fs, ytlast ( surfac) k f, volymslast ( ody) B B d N N k d f, Q.E.D. () f 4

5 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 c) Bildr ritad av Vronica Wåtz. Q Givt:, Q totala lastn A 7 N Q, N 3 Q 9 9 Q, 9 EA Eakt lösning: u 3 Q 3 9 3, 3 36 EA D R? Randvillkor: D? F känd D3 R3? Sökt: Nodförskjutningar och raktionskraftr md FEM, jämförls av förskjutningarna FEM vs. Eakt. ösning: Börja md att dla in stångn i två lmnt. ips! Att örja md målt är tt ra sätt att komma på hur man tar sig dit. Ställ upp kvationn md svart du är ut ftr, och s vad som saknas för att komma dit. D F F F (3) ody ssurfac Body och surfac kan kännas lit fånigt i D, och vad som ska kallas vad är lit fånigt, mn någon form av namn kan vara trvligt för att hålla sakr organisrad. raftr som angripr i lmntns volym, t gravitation och tröght, hamnar 5

6 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 undr F mdan kraftr som vrkar på lmntns yta hamnar undr F s, t punktkraftr på nodr. Uppdlningn lir förstås naturligar när man joar i D och 3D. ösningsstratgi:. Bhövr Bräkna lmnts och assmlra till tt gloalt.. Bhövr F Gör om volymslastr till nodlastr (konskvnta nodlastr) och assmlra till F. 3. ägg till övriga nodlastr, F s, för att få n fullständig lastvktor, F. 4. ös ut förskjutningarna ur FEM-kvationn. 5. Matrismultiplicra för att få fram dt sista okända i lastvktorn. 6. Jämför md akt lösning. Stg : Jag tänkt visa två sätt att räkna ut Altrnativ som i övning.. EA Dt är ingn skillnad mllan n stång och n fjädr. Stängr skrivs md k. EA k (4) i Altrnativ Från formlladt llr från svart i ). Allmänt gällr att B CB dv. I n dimnsion gällr att (matrial)styvhtsmatrisn C lir E, och dv lir V Ad, och vi får dt vi härldd i ): B EAB d (5) Använd formlrna på sid 3.7 (6) i ESam: välj N, N BB d (6) EA Sätt in (6) i (5) B EA B d EA B B d (7) 6

7 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 I vilkt fall får man samma forml för lmntstyvhtsmatrisn, och därmd:,, EA, nodr och EA EA 3 EA, nodr och 3 (8) Stg : astr som int angripr på nodrna (gällr åd volyms och ytlastr) måst konvrtras till konskvnta nodlastr. Dt kan jämföras md att du sittr på n fyrnt stol och vill vta vad för kraft varj stolsn kännr av. Hur kraftn fördlas mllan stolsnn ror på hur du läggr viktn, och på samma sätt får olika nodr i tt lmnt olika stor dl av volymslastn rond på var dn liggr. Allmänt gällr: F N dv. I dt här D-fallt är V får samma som i svart i ) F N dv N Ad. V, N N N, dv A d, och vi Jag hängd på tt ind i så att vi int råkar landa ihop dn md gloala styvhtsmatrisn. N F Ad N N Ad N Ad Intgration av vktor görs lmntvis, dt är int svårar än så! Jag skrivr dock i första formn, dt tar mindr plats. I lmnt finns inga volymslastr, så F,, (idrag i nod och nod ). (9) I lmnt gällr 3 3 N Q Q F Ad d N A () 3 N Formfunktionrna i formlladt är uttryckta i, mn d och är uttryckta i. En av koordinatrna måst ytas ut så att allt får samma. Dt handlar om n vanlig nkl linjär transform, och i tt D-fall är dt samma sak som räta linjns kvation. k m m () d d d 3 k d Nu kan man yta ut antingn llr, åda vägarna fungrar. Att yta ut och intgrra i lmntts gt koordinatsystm rukar dock vara nklast ftrsom man får intgrra mllan och, så vi gör dt! 7

8 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 3 Q Q () i () F d 3 3 Q Q d Q d Q 3, 3 3 d F, (nod och nod 3) () Assmlra (9) och () till n gloal volymslastvktor: Q F Q (3) 3 3 F, F, Här sr man, prcis som för lmntstyvhtsmatrisrna, att dt är vilka nodr som ingår i lmntt som styr vilka platsr i gloala vktorn som påvrkas. Stg 3: otala kraftvktorn ska räknas. När man läggr till d kraftr som vrkar dirkt på nodrna är dt lättast att joa dirkt md gloala kraftvktorn. Notra att ävn raktionskraftr ska tas md som yttr kraftr, lätt att glömma! R F s (4) R 3 ägg ihop md volymslastn för att få totala kraftvktorn. R R Q F F F s Q 3 3 (5) R Q 3 R 3 3 Stg 4: ös ut förskjutningarna ur FEM-kvationn. R EA D F 3 D Q 3 (6) Q 3 R 3 EA Q Q Stryk radr och kolumnr där D i 3D D 3 9 EA (7) Stg 5: Sätt in (7) i (6) och räkna lastvktorn. Därifrån kan raktionskraftrna stämmas. Q Q R R R EA 3 Q 9 9 Q 3 Q 3 EA 9 9 Q Q 7Q Q 3 R R 3 3 R (8) Nodkraftrna INE är samma sak som raktionskraftrna! Många glömmr dt här och missar tntapoäng! 8

9 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 Stg 6: Jämför md akt lösning. Q, 9 EA Q 3 9 3, 3 36 EA Dn akta lösningn var u 3 I nodrna får vi md d två lösningarna: D D Q Eakt D Q 9 EA, FEM D 9 EA D 3 D 3 Mllan nodrna räknas förskjutningn pr FEM-lmnt som u N u N u. Notra att FEM gr akt rätt lösning i nodrna. Därmot sr vi att inom 3 ska förskjutningn gntlign skrivas som n trdjgradar mllan nodrna. Vi har tyvärr ara linjära lmnt (formfunktionrna är linjära funktionr), som ara kan skriva linjärt varirand förskjutning mllan nodrna, s Figur. Så vill man ha ättr lösning md FEM måst man antingn använda flr lmnt, llr mr avancrad lmnt. VI had i dt här fallt t kunnat använda tt kuiskt lmnt för att få dn akta lösningn. Displacmnt vs. ocation lmnt lmnts lmnts Position: / Figur ösningn i dt joiga områdt had kunnat göras ättr md flr linjära lmnt. 9

10 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 5. Fackvrk Myckt ik Uppgift. från Övning Bildr ritad av Vronica Wåtz, paint-ditrad och copy-pastad md prima kinsisk artskraft. Notra hur koordinatsystmt liggr! Q Givt: E, A, Q A F Q D? D R? D3 R3? Randvillkor: D4 R4? D5 R5? F6 D6? Sökt: Nodförskjutningar och raktionskraftr. ösning: Vi har FEM-kvationn, D F, vad saknas? saknas räkna dn örja md. Elmntstyvhtsmatrisn finns skrivn i formlladt, llr i mplsamlingn sida 5.3: Första lmntt går mllan nod och nod : l lm l a l m m m y y, EA a a a EA a

11 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 Andra lmntt går mllan nod och nod 3: l3 l3m 3 l3 3 a l 3m3 m3 m y y 3 3, EA a a a a EA rdj lmntt går mllan nod och nod 3: 3 l3 l3m 3 l3 3 3 a 3 l 3m3 m3 m3 y3 y 3,3 3 3 EA a a EA a3 a3 EA Assmlra () Vad mr saknar vi? Vi hövr F! Några praktiska tumrglr för utrdda lastr på linjära lmnt: Om är n konstant fördlas lastn lika mllan nodrna. Om är n triangl får nodn på sptssidan /3 av lastn, och rstrand /3 hamnar på nodn vid dn tunga ändn. Dssa två lmntarfall kan kominras. Är man int övrtygad kan man alltid använda dt vi härldd ovan och intgrra fram dt:, dv Ad d A V Q Q Q Q F N Q F () Q F s R R 3 R 4 R 5 (3)

12 Övning Stark/Svag Form, Fackvrk Rickard Shn 3--5 FEM för Ingnjörstillämpningar, SE5 Dn totala lastvktorn lir alltså Q Q Q R R Q R Q R 3 3 F F F s (4) R4 R4 R R 5 5 Notra åtrign att raktionskraftrna ara är n DE av totala lastvktorn! Nu har vi dt som hövs för att lösa FEM-kvationn, D F D Q R EA Q R3 R4 R 5 D6 Rducra systmt gnom att stryka radrna och kolumnrna där Di. EA D Q D Q rddrd Frd rd D 6 D 6 EA D Q D Q.799 EA.7 D 6 EA 8 4 D 6 rd (5) (6) Sätt in d kända förskjutningarna och matrismultiplicra för att få lastvktorn. Raktionskraftrna kan lösas ut ur kvation (4), dvs. R3 F3 Q. R.7 R 3.93 F D Q R 4.7 R5.7 Notra åtrign att lastvktorn innhållr andra kraftr än raktionskraftr, som här t när vi har F3 Q R3. Matrismultiplikationn D gr INE raktionskraftrna dirkt, utan ara lastvktorn, som är n summa av AA lastr, land andra raktionskraftn som man ofta är ut ftr. Jag vill uppmärksamma r på dt här ftrsom dt rukar förloras onödigt många tntapoäng på just dn här missn.