KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER ( Allmänt om kontinuerliga s.v.)

Transkript

1 Kontinurliga fördlningar KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Allmänt om kontinurliga s.v. Dfinition. En stokastisk variabl ξξ. kallas kontinurlig om fördlningsfunktionn FF ξ är kontinurlig. Egnskar: Fördlningsfunktionn F är n väand funktion: FF lim FF, kkkkkkkkkkkkkk, FF lim FF, kkkkkkkkkkkkkk, FF Sannolikhtn att n kontinurlig s v har värdn i tt intrvall a,b] bräknas nklt md hjäl av F aa < ξξ bb FFbb FFaa. Vi bvisar nu att sannolikhtn att n kontinurlig s.v. ξ antar akt tt givt värd är alltid lika md. Till skillnad från diskrta fördlningar där några unktr bär sannolikhtsmassa Sats. Om ξ är n kontinurlig s.v. och b tt rllt tal då är ξ b. Låt a, b vara rlla tal. Eftrsom { : b} { : a < b} har vi ξ b a < ξ b, dvs ξ b F b F a * Eftrsom F är kontinurlig gällr lim F a F b. Om vi låtr a b får vi från * a b ξ b F b lim F a F b F b llr a b ξ b, md andra ord ξ b V.S.B. Följdsatsn: Om ξ är n kontinurlig s.v. då är aa < ξξ bb aa ξξ bb aa ξξ < bb aa < ξξ < bb av

2 Kontinurliga fördlningar Vi sr åtrign skillnad mllan diskrta och kontinurliga fördlningar. Dfinition. Om funktionn FF är drivrbar vntullt förutom i ändligt antal unktr då kallas drivatan ff FF täthtsfunktionn llr frkvnsfunktionn för variabln ξξ. Egnskar: Täthtsfunktionnfrkvnsfunktionn ff är n ositiv funktion Från f FF får vi att FF ffttdddd Därmd bb a < ξ bb FFbb Fa ffdddd aa Alltså, om vi har f kan vi bräkna sannolikhtn a < ξ bb md hjäl av intgraln bb aa ffdddd. bb Aran a < ξ bb ffdddd aa Därmd är aran mllan -aln och kurvan yy ff lika md. < ξ ffdddd FF F av

3 Kontinurliga fördlningar Aroimation av sannolikhtn <ξ om är litt f Δ Om är litt så är skuggad aran aroimativt lika md aran av rktangln md basn och höjdn f. Därför kan vi använda följand aroimation <ξ f. Vi kan diskrtisra n kontinurlig stokastisk variabl ξ gnom att aroimra aran undr frkvnsfunktionn md rktanglar md små basr k. k Vi kan btrakta n diskrt s.v. X som antar värdna k md sannolikhtrna k f k. Då är väntvärdt av dn diskrt s.v. X lika md k k k f k. Om är litt då är k k k f k f d om intgraln istrar. Dtta motivrar följand dfinition. VÄNTEVÄRDET för n kontinurlig s. v.ξ btcknas m, µ llr EEξξ och dfiniras nligt följand µ E f d k av

4 Kontinurliga fördlningar å liknand sätt motivras dfinitionn av variansn av n kontinurlig s.v. VARIANSEN av n kontinurlig s. v.ξ btcknas VVξξ, Var, σσ llr ss V ξ ξ µ f ξ dξ ξ f ξ dξ µ STANDARDAVVIKELSEN : Btcknas σσ llr s, llr D ξ σσ VVVVVVVVVVVVVVVVVV MEDIANEN dfiniras som lösningn till kvationn FF. Mdiann dlar aran undr frkvnsfunktionn llr täthtsfunktionn ff i två lika dlar. Om frkvnsfunktionn är symmtrisk då sammanfallr mdiann och mdlvärdn. VÄNTEVÄRDET för n funktion gx av n s.v. X : E g X g f d Vi sägr att n s.v. X är ositiv om X. INTENSITETEN för n kontinurlig ositiv stokastisk variabl X dfiniras av f λ, för > F ÖVNINGSUGIFTER Ugift. Dn stokastiska variabln ξ har frkvnsfunktionn a, < < f för övrigt a Bstäm aramtrn a. b Bräkna.< ξ<.. av

5 Kontinurliga fördlningar a aa aa dddd Därmd, < < f för övrigt. b dddd [ ] aa aa Ugift En stokastisk variabl ξ har frkvnsfunktionn, < f a,, > a Bstäm konstantn a. b Vad är sannolikhtn att ξ >? c Bstäm väntvärdt E ξ. a a d a a b > d. c E d d där Svar: a a b. c Ugift. En stokastisk variabl ξ har följand frkvnsfunktion täthtsfunktion π sin f för övrigt. Bstäm väntvärdt EEξ, variansn Varξ och standardavviklsn σσ. / µ E ξ ξsin ξdξ art. int. För variansn användr vi formln Var ξ ξ f ξ dξ µ / [ sin ξ ξ cos ξ] av

6 Kontinurliga fördlningar / sin d π / art. int. gångr Var ξ ξ sin ξdξ µ π π.9 Standardavviklsn för ξ : / [ cos sin cos ] σ Varξ.76 Ugift. En stokastisk variabl ξ har följand fördlningsfunktion FF fförr fförr < Bstäm a mdiann, b frkvnsfunktion f och c väntvärdt EEξ. d sannolikhtn ξ a Mdiann är lösningn till kvationn FF. / / llll/ llll/ Svar: a Mdiann llll llll b Frkvnsfunktion ff FF c E f d d { artill intgration uu, vv uu, v } dddd uuuu uu vvvvvv dddd Därför Svar: c E ξ dddd d Sannolikhtn ξ FF FF Svar: d.7 Ugift. Bstäm konstantn c så att 6 av

7 Kontinurliga fördlningar f blir n täthtsfunktion. c, < för övrigt f måst satisfira villkort: Aran dvs f d. Först bräknar vi intgraln c Aran f d d c ct d ct dt c t Substitution t, d dt, Gränsr : t, t Från kvationn aran har vi Svar: c.7 c c. Ugift 6. En stokastisk variabl X har fördlningsfunktionn F om <. Bräkna a mdiann och b väntvärdt mdlvärdt till s.v. X. a Mdiann bstämmr vi gnom att lösa n av följand kvationr: F. llr f d.. I vårt fall är dt nklar att lösa F.. ± Eftrsom väljr vi.. b Mdlvärdt till s.v. X. bräknas md hjäl av följand forml E X f d. Först måst vi bstämma täthtsfunktionn om > f F <. 7 av

8 Kontinurliga fördlningar Nu kan vi bräkna d d d f X E Svar: a mdiann är. b väntvärdt mdlvärdt Ugift 7. Livslängd hos n viss transistorty är onntialfördlad s.v. md fördlningsfunktionn <. om / F a Bstäm sannolikhtn att n sådan transistor slumvis vald har livslängdn som är störr än år. b Man kör transistorr. Bstäm sannolikhtn att minst av dm har livslängdn som är störr än år. a.66 / / > F X X b Låt Y btckna antalt transistorr bland dm köta som har livslängdn störr än år. Då är, Bin Y där.66 och Y Y Y Svar: a.66 b. Ugift. Dn s.v. X har täthtsfunktionn, f. Bräkna väntvärdt EgX där g. d d d f g X g E Svar: / av