Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

Transkript

1 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLERR Allmänt om kontinurliga sv Dfinition En stokastisk variabl kallas kontinurlig om fördlningsfunktionnn ξ är kontinurlig Egnskar av fördlningsfunktion: Fördlningsfunktionn F är nn väand funktion lim,, lim,, ====== ========= ========= ========= ========= ========= ======= Sannolikhtn att n kontinurlig s v har värdn i tt intrvall a,b] bräknas nklt md hjäl av F Vi bvisar nu att sannolikhtnn att n kontinurlig sv ξ antar akt tt givt värd är alltid lika md Till skillnad från diskrta fördlningar där några unktr bär sannolikhtsmassa Sats Om ξ är n kontinurlig sv och b tt rllt tal då är P b Låt a, b vara rlla tal Eftrsom { : b} { : a b} har vi v P b P a b, dvs P b F b F a * Eftrsom F är kontinurlig gällr lim F a F b Om vi låtr ab P b F b lim F a ab P b, md andra ord P b VSB F b F b llr a b får vi från * Följdsatsn: Om ξ är n kontinurlig sv då är Vi sr åtrign skillnad mllan diskrta och kontinurliga fördlningar av

2 Dfinition Om funktionn är drivrbar vntullt utom i ändligt t antal unktr då kallas drivatan täthtsfunktionnn llr frkvnsfunktionn för variabln Egnskar: Täthtsfunktionn=frkvnsfunktionn är ä n ositivv funktion ftrsom F är väand Enligt dfinitionn gällr vntullt utom i ändligt antal unktr Vi antar i vår kurs att f är intgrrbar å varj intrvall [a,b] Md sådana antagandn gällr Faaξ Därmd ξ Fa Alltså, om vi har f kan vi bräkna sannolikhtn Om båd f och F är kända så är självklart nklar att bräkna sannolikhtn Pa < ξ b md hjäl avv fördlningsfunktionnn F, dvs Pa < ξ b = Fb F a Pa < ξ b b md hjäl av intgraln ====== ========= ========= ========= ========= ========= ======= Samband mllan aror undr täthtsfunktionn och sannolikhtr Aran som markras i ovanstånd bild formln från analysn Aran Vi har visat ovan att = Pa < ξ b av bräknas nligt följand:

3 Därför gällr : Pa < ξ b = aran a undrr täthtsfunktionn ovanå intrvallt [a,b] Om vi låtr a gå mot ochh b gå mot + får vi P < ξ = aran undr hla täthtsfunktionn Därmd är aran mllan -aln och kurvan lika mdd ξ F ====== ========= ========= ========= ========= ========= ======= Bstämning av F om f är givn Vi har visat ovan att F F a f t dt Vi btcknar a btcknar vi variabln i intgrandn md n annan bokstav, t Om vi låtr a gå mot får vi ftrsom F dvs F F f t dt f t dt övrgränsnn md och därför ====== ========= ========= ========= ========= ========= ======= av

4 Aroimation av sannolikhtn P <ξ + om är litt: Om är litt så är skuggad aran aroimativt lika md aran av rktangln md basn och höjdn f Därför kan vi använda följand aroimation P <ξ + f Vi kan diskrtisra n kontinurlig stokastisk variabl ξ gnom att aroimra aran undr frkvnsfunktionn md rktanglar md små basr k = Vi kan btrakta n diskrt sv X som antar värdna k md sannolikhtrna k =f k Då är väntvärdt av dn diskrta sv X lika md k k k f k Om är litt då är k f k f d om intgraln istrar Dtta motivrar följand dfinition k k VÄNTEVÄRDET för n kontinurlig s v btcknas m, µ llr och dfiniras nligt följand E f d På liknand sätt motivras dfinitionn av variansn av n kontinurlig sv k VARIANSEN av n kontinurlig s v btcknas, Var, llr V f d f d STANDARDAVVIKELSEN : Btcknas, s, llr D av

5 MEDIANEN dfiniras som lösningn till kvationn Mdiann dlar aran undr frkvnsfunktionn llr täthtsfunktionn i två lika dlar Om frkvnsfunktionn är symmtrisk då sammanfallr mdiann och mdlvärdn VÄNTEVÄRDET för n funktion gx av n sv X : E g X g f d Vi sägr att n sv X är ick-ngativ ositiv i bokn om X INTENSITETEN för n kontinurlig ick-ngativ stokastisk variabl X dfiniras av f, för F ============================================== ÖVNINGSUPPGIFTER Ugift Dn stokastiska variabln ξ har frkvnsfunktionn täthtsfunktionn a, f för övrigt a Bstäm aramtrn a b Bräkna P< ξ< a Därmd, f för övrigt b 6 Ugift En stokastisk variabl har täthtsfunktionn frkvnsfunktionn av

6 f a,,, a Bstäm konstantn a b Vad är sannolikhtn att > 8? c Bstäm väntvärdt E a a d a a b P 8 d 8 8 c E d d Svar: a a b c Ugift En stokastisk variabl ξ har följand täthtsfunktion frkvnsfunktion sin f för övrigt Bstäm väntvärdt ξ, variansn Varξ och standardavviklsn / / E sin d art int sin cos För variansn användr vi formln Var f d / sin d / art int gångr / cos sin cos Var sin d 9 Standardavviklsn för : Var =76 6 av

7 Ugift En stokastisk variabl ξ har följand fördlningsfunktion ö ö Bstäm a mdiann, b täthtsfunktionn frkvnsfunktionn f c väntvärdt ξ d sannolikhtn ξ a Mdiann är lösningn till kvationn / / / / Svar: a Mdiann b Frkvnsfunktion f, Anmärkning: Dt är oviktigt hur vi dfinirar f ftrsom ξ är n kontinurlig sv c E f d d { artill intgration,, v } Därför Svar: c E d Sannolikhtn ξ = 78 Svar: d 78 Ugift Bstäm konstantn c så att 7 av

8 f blir n täthtsfunktion f måst satisfira villkort: Aran= dvs f d Först bräknar vi intgraln c Aran= f d d d c dt t c, för övrigt ct ct dt = c Substitution t, d dt, Gränsr : t, t Från kvationn Aran= har vi c c Svar: c 887 Ugift 6 Rita täthtsfunktionn f till sv X och bstäm fördlningsf sfunktionn om / omm f för övrigt Rita därftr fördlningsfunktionn F F / a f om / för övrigt om om för Grafn till täthtsfunktionn f : 8 av

9 Vi bstämmr fördlningsfunktionn md hjäl av formln Eftrsom f är dfinirad md sarata formlr i tr intrvalll måst vi, vid bräkning av intgraln f t dt btrakta tr fall: Fall :, Fall : ochh Fall : i Fall, F f t dt Om < då gällr f Dtta gr F ii Fall, f t dt dt Vi användr ign samma forml f t dt i två dlar ftrsom vi intgrrar övr intrvallt därr f bskrivs md två formlr Vi har F f t dt mn, i dt här fallt, dlar vi intgraln F f t dt f t dt t t f t dt dt dt iii Falll, 9 av

10 I dt härr fallt dlar vi intgraln f t dt i tr dlar ftrsomm vi intgrrar övr intrvallt där f bskrivs md tr formlr Vi har F f t dt f t dt Sammanfattningsvis har vi f t dt t f t dt dt dt dt t F om om om Grafn till fördlningsfunktionn F Ugift 7 Rita täthtsfunktionn f om till sv X och bstäm fördlningsf sfunktionn F om f om för övrigt Rita därftr fördlningsfunktionn F Svar: i Grafn till täthtsfunktionnn f : av

11 om om ii Fördlningsfunktionn F om om iii Grafn till fördlningsfunktionn F Ugift 8 En stokastisk variabl X har fördlningsfunktionn om F Bräkna a mdiann och b väntvärdt mdlvärdt till t sv X a Mdiann bstämmr vi gnom att lösaa n av följand kvationr: F llr I vårt fall är dt nklar att lösa f d F Eftrsom väljr vi b Mdlvärdt till sv X bräknas md hjäl av E X f d Först måst vi bstämma täthtsfunktionn av följand forml

12 av om 8 F f Nu kan vi bräkna d d d f X E Svar: a mdiann är 88 8 b väntvärdt =mdlvärdt= Ugift 9 Livslängdn hos n viss transistorty är onntialfördlad sv md fördlningsfunktionn om / F a Bstäm sannolikhtn att n sådan transistor slumvis vald har livslängdn som är störr än år b Man kör transistorr Bstäm sannolikhtn att minst av dm har livslängdn som är störr än år a 66 / / F X P X P b Låt Y btckna antalt transistorr bland dm köta som har livslängdn störr än år Då är, Bin Y där 66 och 97 q q q q Y P Y P Y P Svar: a 66 b 8 q q q Ugift Dn sv X har täthtsfunktionn, f Bräkna väntvärdt EgX där g d d d f g X g E Svar: /