Algebra och geometri 5B Matlablaboration

Transkript

1 Mariana Dalarsson, ME & Johan Svnonius, IT Algra och gomtri 5B46 - Matlalaoration 6-- Kurs: 5B46 Handldar: Karim Daho

2 Uppgift Enligt uppgiftn gällr följand vationr: p ( x) + x a + ax + a x a (.) 7 f ( x) x (.) p '( x) + a + ax ax (.) 6 f '( x) 7x (.4) Målt är att stämma a, a, a och a så att följand villor är uppfyllda: p ( ) f (), (.5) p ( ) f ( ), (.6) p '() f '() (.7) p '( ) f '( ). (.8) Dssa villor gr ftr insättning följand linjära vationr: p ) f () a + a + a + a (.9) ( p ) f ( ) a a + a a (.) ( p () f '() a + a + a 7 (.) ' p ( ) f '( ) a a + a 7 (.) ' llr a + a + a + a a a + a a a + a + a 7 a a + a 7 (.) Dtta vationssystm an srivas på följand matrisform: A x (.4) där

3 A, x a a a a och 7 7 (.5) Dt är sålds värdna i vtorn x vi sa stämma. Vi matar därför in data för A och nligt följand i Matla: A [ ; - -; ; - ] (.6) [ - 7 7]' (.7) Tilldlningn görs md hjälp av lihtstcn och värdna inom lamrar. Värdna är sparrad md lantcn horisontllt och smiolon vrtialt. Vid tilldlningn av används apostrof för att transponra. På så vis sparads några napptrycningar rlativt att mata in värdna sparrad md smiolon. Vi an nu myct nlt stämma värdna i vtor x, md hjälp av vänstrdivision. Dtta ftrsom: Ax A A x A (.8) Eftrsom A A I, nhtsmatrisn, lir dt var: x A (.9) där A är multiplicrad från vänstr. Sull man göra högrdivision iställt, sull följand hända: Ax A x A A (.) A x A ldr int till någonting, ftrsom dt int an förortas till nhtsmatrisn. Rnt allmänt är matrismultipliationn int n ommutativ opration. Md andra ord AB BA, och därmd A A. Matlas funtion för vänstrdivision (lösning av prolmt Ax, där x sös) lydr nligt följand : x A\ (.) För dtta rturnrar Matla: x - (.)

4 Vilt innär att matris x är som följr: (.) Och d officintr vi söt lir: a a a a SVAR: Polynomt vi söt är p ( x) + x x. Uppgift - Grafr Vi sa göra två plottningar, n md grafr för f(x) och p(x) och n md f(x)-p(x). För åda gällr intrvallt x. Först sapar vi n vtor md d värdn för x som vi sa plotta för: x [-:.:] (.4) Dt som tilldlas ovan är värdn mllan - och för x, md intrvallt,. Därftr måst funtionrna f(x) och p(x) matas in: f x.^7 (.5) p -*x + *x.^ (.6) Eftrsom upphöjt till sa göras för varj lmnt i vtor x måst opratorn. (punt) användas. Vidar an dt nämnas att Matla int tillåtr undrförstådda multipliationstcn, vilt tydr att * måst srivas ut. Vi utför plottningn för f(x) och p(x), rsultat framgår i Figur : plot(x,f,x,p), lgnd ('f(x) x^7', 'p(x) -x+x^', 'Location', 'NW'), titl('plot av f(x) och p(x)') (.7) Kommandot plot tar paramtrar på formn (x, y, x, y, [.]) och ritar in grafrna för d olia parn av x och y-värdn. Kommandot lgnd sapar n ruta md namn på d olia grafrna så man an hålla isär dm, och titl sättr n titl. 4

5 .8.6 f(x) x 7 p(x) -x+x Plot av f(x) och p(x) Figur Åtrstår då att göra plottningn för f(x) p(x). Vi ränar först diffrnsn: d f p (.8) Nu an vi plotta, rsultat s Figur : plot (x, d), titl('plot av f(x) p(x)') (.9) 5

6 .8 Plot av f(x) - p(x) Uppgift Figur Enligt uppgiftn, har vi n itrativ procss i flra stg. Dt vi vill producra är: o (.) där är ol, är nsin, är nrgi. För att producra så många andlar ol, nsin och nrgi hövr vi doc dssutom: (.) dvs yttrligar 96 nhtr ol, 9 nhtr nsin och 57 nhtr nrgi. Mn för att producra: (.) hövr vi: 6

7 (.4) osv. Dnna procss fortsättr mdan andlarna i n n n går mot noll. Dn totala mängdn nrgislag som hövs lir därför: o (.5) där , A A o (.6) Från dtta an vi dra slutsatsn att: o o A A A (.7) och o A (.8) osv. Därmd får vi slutsumman: ( ) n A A A A A n (.9) Vi vt att för vanliga tal vars asolutvärd är mindr än ( a < ), så gällr:

8 a + a + a + a +... ( a ) (.) För matrisr vars norm (längd) är mindr än ( A < ), gällr dn linand formln: + A + A + A +... ( I A) (.) Därför hövr vi ontrollra att normn av vår matris A är mindr än. Vi vt att normn för A är dt största av dss gnvärdn. Egnvärdna ränar vi i Matla nligt följand: A [.;...;...] ignvalus ig(a) (.) Där ommandot ig tar fram gnvärdna till matrisn. I vårt fall har vi n -matris, så vi vt att vi sa förvänta oss gnvärdn. Matla rturnrar ocså dtta, nligt: ignvalus (.) Vi sr att dt största av gnvärdrna,., är <. Alltså tydr dt att vi an använda forml (.) för att lösa dnna uppgift. Därmd an vi sriva om (.9) till: 5 I 6 (.4) 96 ( A) Dtta an man md fördl räna ut md Matla. Vi matar i Matla in x-nhtsmatrisn I, matrisn A, och vtorn som vi allar v: I y() A [.;...;...] (.5) v [5; 6; 96] Enhtsmatrisn sapads md ortommandot y som tar paramtrn n som står för antalt önsad radr och olonnr. Nu är dt nlt att utföra räningn: Vi får: ((I A)^(-)) * v (.6) 5 5 8

9 SVAR: Vi hövr 5 nhtr ol, nhtr nsin och 5 nhtr l. Uppgift Enligt uppgiftn har vi att gram dg 4. g ftt 55 g olhydratr 7.5 g protin 5 cal Dssutom gällr: smör x dg soc r y dg vtmjöl z dg summjöl w dg x + y + z + w (.) Från talln givn i uppgiftn an vi då ställa upp: 8 x + y + z + w 4. (.) x + y + 75z + 5w 55 (.) x + y + z + 5w 7.5 (.4) 8 x + 4y + 5z + 4w 5 (.5) för att sriva vila andlar från var och n av ingrdinsrna som gr dn totala mängdn ftt, socr, mjöl, och summjölspulvr. Dtta an srivas som matrisn: x 4. 5 y 55 5 z 7.5 4w 5 (.6) Vi an lätt räna värdna på x, y, z och w md hjälp av Matla. Vi allar d olia matrisrna från vänstr till högr för A, v och. Vi matar in matris A och vtor v i Matla: 9

10 A [8 ; 75 5; 5; ] (.7) [4.; 55; 7.5; 5] Sdan utför vi vänstrdivision och får som rsultat n vtor md proportionr nligt (.): v A\ x. y. v (.8) z.4 w. Vi vill ha 5 g dg, varför vi multiplicrar varj lmnt i vtor v md 5: v.*5 (.9) Vilt gr som rsultat: 5 5 (.) SVAR: Vi hövr 5 g socr, g smör, g vtmjöl och 5 g summjölspulvr för att laga mormors smörringar. Uppgift 4 Vi har tt plant facvr av följand utsnd: Figur

11 Lastrna i facvrt i figur står av ndåtritad raftr P i nodrna,5,7 och 9. I övriga nodr är lastrna noll. Vår uppgift är att varira tt oänt P i vrtialld i nod 5, så att dn maximala stångraftn lir. I avsnitt.7. av pdf-filn på hmsidan får vi n gansa dtaljrad ldning för hur man lösr tt linand prolm. Uppgift 4 a) Vi sa avgöra om maxraftn är linjärt rond av dn vrtiala raftn P i nod 5 ((8) i vår matris). Matrisrna A och läss in från filn fac.m: fac (4.) Blastningar i olia nodr avgörs md hjälp av vänstrdivision av A och. Vi tstar att lista lastningarna i ursprungslägt jämt indx (för indxt är intrvallt undrförstått): indx[:7]'; (4.) [indx A\] Vi får n tall md lastningn i d olia nodrna. Enligt talln är dt högsta asolutloppt av lastningn i nod 6; värdt där är Dtta sr vi i talln, mn vi an ävn använda följand ommando för att Matla sa hitta värdt åt oss. (Rturvärdn angs som ommntarr ftr procnttcn). max(as(a\)) % (4.) Först sr vänstrdivision. Kommandot as gr oss n matris md asolutloppn av rsultrand matris. Därftr hittar max dt största loppt. Vi varirar värdt på (8), dvs nod 5, och sr vila rsultat vi får: (8) ; max(as(a\)) % (8) 6; max(as(a\)) % (8) 8; max(as(a\)) %.7 (4.4) (8) ; max(as(a\)) % (8) 6; max(as(a\)) % Vi läggr in rsultatn i vtorr som vi sdan plottar (s Figur 4): x [ 6 8 6]; y [ ]; plot (x, y), ylal('maxraft'), xlal('(8)'), titl('samandt mllan maxraftn och (8) är linjärt'); (4.5)

12 Samandt mllan maxraftn och (8) är linjärt t f a r x a M (8) Figur 4 Vi sr att vi har tt linjärt samand. En altrnativ lösning är att plotta md hjälp av tt program. Rsultatt av dtta visas i Figur 5. fac p[]; raft[]; hl ; for P:: hl(8) P; xa\hl; (4.6) p[p P]; maxmax(as(x)); raft[raft max]; nd plot(p,raft) grid Sillnadn här är att jot utförs automatist, mn principn är hlt dn samma. Vi varirar värdn för högrldt, lösr ut x, sättr in värdna för maxraft och (8) i vtorr och onstatrar att vi har tt linjärt samand.

13 4 t f a r x a M (8) Figur 5 Vi an ävn onstatra att vi grafist an stämma värdt för (8) sådant att maxraft lir till omring 7. Vi an md hjälp av Basic Fitting på Tools-mnyn (altrnativ linar) stämma vår linjs vation. Vi får att p.948 och m p 7.7. Ellr så användr vi polyfit, nligt ndan: polyfit (p, raft, ) (4.7) Inparamtrar var (x-värdn, y-värdn, viln grad vi anpassar till). Rturvärdn är samma som d vi fic från Basic Fitting. Härifrån an vi nlt stämma tt ättr värd för (8), nligt räta linjns vation: ( y m) 7.7 y x + m x 7. (4.8).948 Uppgift 4 ) Enligt data från filn fac.m för godtycligt P, an vtor srivas som följr [ P ] T (4.9) llr [ (+P-) ] T (4.)

14 llr [ ] T + (P-)[ ] T (4.) Evationn (4.) an srivas ortar som + (P - ) 8 (4.) där [ ] T, (4.) är dn högrldsvtor som rhålls för P, och 8 [ ] T, (4.4) är dn åttond nhtsvtorn av dimnsion 7. Därmd har vi visat lihtn (4.). Uppgift 4 c) Md hjälp av lihtn (4.) an vi sriva om matrisvationn Ax, nligt följand: A x + (P - ) 8 (4.5) Vi an nu dla upp vtor x i n summa av två vtorr y och z, d.v.s. x y + z (4.6) så att A (y + z) + (P - ) 8 (4.7) llr A y (4.8) A z (P - ) 8 (4.9) Då vår matrisvation är n linjär vation, sr vi att lösningn för vtor y är just dn lösningn vi tidigar fått för P. Kofficintmatrisn A är i åda vationrna (4.8) och (4.9) dnsamma. Uppgift 4 d) Md hjälp av vationn (4.4) an vi sriva följand: A x + (P - ) 8 (4.) 4

15 llr x A - + (P - ) A - 8 (4.) Då dn maximala stångraftn finns i stångn 6, atar vi lmntt x 6 inom vtorn x och srivr: x 6 A - (6) + (P - ) A - (6) 8 (4.) där A - (6) är dn sxtond radn i matrisn A -. Då vtorn 8 har formn 8 [ ] T (4.) är dt ara dt 8: lmntt i radvtorn A - (6) som gr n produt som är sild från noll. Dt 8: lmntt i radvtorn A - (6), tcnar vi md A - (6,8). Därmd får vi från (4.): x max x 6 A - (6) + (P - ) A - (6,8) (4.4) llr P [ x max - A - (6) ]/ A - (6,8) (4.5) llr slutlign P [ x max - A - (6) ]/ A - (6,8) + (4.6) För att nu unna räna fram P för tt givt värd av x max, hövr vi ara räna fram matrisn A - och sdan xtrahra radvtorn A - (6), samt räna värdt på produtn A - (6), som är tt vanligt tal. Sdan hövr vi xtrahra lmntt i sxtond radn och åttond olumnn av matrisn A -, d.v.s. A - (6,8), som ocså är tt vanligt tal. Dtta gr oss paramtrarna av dn linjära vationn: P x max + m (4.7) som vi annars fått fram numrist ocså. Gnom analys av vationrna (4.6) och (4.7) sr vi att och m angs av: / A - (6,8) (4.8) m - A - (6) / A - (6,8) + (4.9) Värdna för A läss in md hjälp av filn fac.m, och vi matar in värdna för (4.): fac [ ] ' (4.) Vi vill att Matla sa rturnra flr värdsiffror än vad dn normalt gör (4 iställt för 4). Vi utnyttjar ommandot format för dtta: format long (4.) 5

16 A - ränas och rsultatt lagras i matrisn B. B A^(-) (4.) Rad 6 i matris B läggs in i n ny vtor C. C B(6,:) (4.) Värdt för i vation (4.8) ränas gnom att ta /C(8): /C(8) % gr (4.4) Värdt för m i vation (4.9) vation hämtas från olumn 8 i vtor C Dtta gr alltså: m -(C*)/C(8)+ % gr (4.5).67 (4.6) m 4 (4.7) Nu an P nlt ränas. För x max lir dt: P x + m,666 9, (4.8) max Dtta stämmr ocså övrns md dt värd vi fic fram numrist tidigar. Alltså har vi visat hur man an räna ut P för tt godtycligt x max åd analytist och numrist, och att samandt mllan P och x max är linjärt. Rfrnsr:. TLAB.pdf Vtorr, matrisr och linjära vationssystm, KTH, 5B46 Gomtri och Algra för IT och ME s hmsida.. Matla Guid - Matrix Oprations 6