Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning Grundläggande idé. Linjära transformer. Linjära transformer ( ) ( ) ( )

Transkript

1 6 8 6 Grudläggad idé Atag att vi parar ihop lmt i bild i bloc om två Om vi väljr att aat oordiatsystm, t.x rotrar gradr och plottar dssa par som xy oordiatr i graf 6 ( rad frå Labild) så blir spridig myct midr i d a ritig. Dt räcr därför md myct färr vatisrigsivår i yld ä i xld. 8 6 är rävs gasa måga vatisrigsivår på båda axlara för att alla putr sall få lit vatisrigsbrus. Grudidé md trasformodig är att hitta trasform som gör att variatiora i dt ya oordiatsystmt huvudsalig octrras till tt fåtal dimsior (axlar). Trasform a bsrivas mha trasformmatris A: v Au y Ax Lijära trasformr Varj matris A av storl (Mx) utgör trasform frå dt lijära vtorrummt R till R M. Dfiitio Uitär trasform: E trasform allas för uitär om dss trasformatiosmatris är uitär, dvs om AA M y R A A I x R I uitär matris är alla olum och radvtorr ortoogoala och ormrad. E uitär trasform bvarar rgi/lägd på vtorra: y Ax x E uitär matris/trasform är alltid ivrtrbar. x A y A otatio xa y öppar för altrativ tolig av trasform. Vtor x är lijärombiatio av olumra a i A : x A y a y y ( ) Lijära trasformr Lijär trasform/basbyt: Låt {φ } vara ortoormrad bas till rummt R. Varj vtor x i R a då srivas som: x φ y Där officitra i d ya bas {φ } gs av y x, φ x φ Srivr vi om dtta på matrisform blir dt idtist md d tidigar otatio vi had för uitär matristrasform. x Φy y ( ) ( ) ( ) ( ) Φ Exmpl DFT: D ormrad DFT a srivas som X i π / ( ) x( ) x( ) X ( ) iπ/ Basvtorra är: φ ( ) / Vilt gr trasformmatris: A Φ φ L φ x φ φ M iπ /

2 dimsiolla trasformr För tvådimsiolla sigalr a grll trasform/basbyt srivas på form: v, l a m, u m, u ( ), l ( ) ( ) m ( m, ) a, l ( m, ) v(, l) Oftast väljs trasformära som sparabl: a m, a m c ( ) ( ) ( ), l l och då a trasform srivas md matrisotatio U A Dssutom väljr ma ästa alltid AC. V AUC T VC Ivrstrasform a ocså tolas som lijärombiatio av tt atal basbildr: U B v l där basbildra gs av: B l, l a a l ( ), l, l och a btcar :t olumvtor i A. KarhuLoèv trasform R Y Låt x vara stoastis vtor md autoorrlatiosmatris R x R X E[ xx ] Eftrsom orrlatiosmatris är symmtris a d diagoalisras R X QΛ Q där Q är ortoormal (uitär) matris ihållad gvtorra till R x och Λ är diagoalmatris ihållad motsvarad gvärd. KarhuLoèv trasform dfiiras som y Q Korrlatiosmatris för y (trasform av x) blir diagoalmatris Λ. [ Q xx Q] Q R Λ E Q x X Vid trasformodig av bildr bruar bild först dlas upp i atal midr dlbloc. Discrt Cosi Trasform U U U U Varj dlbloc trasformras för sig och därftr vatisras varj trasformofficit (oordiat) idividullt. U i AU i A T Vi Rostrutio av bild sr md d ivrsa trasform Vi A U i A Ui Q Vi v D dimsiolla disrta cosiustrasform dfiiras som där v π [ ] α[ ] u[ ] cos ( + / ) α [ ] Ivrstrasform gs av u π [ ] α[ ] v[ ] cos ( + / ) D dimsiolla dfiiras som [, ] α[ ] α[ ] u[ m, ] M m π + cos M ( m ) π ( ) + cos

3 Basfutior. Discrt Cosi Trasform Basfutiora för av lägd 8 sr ut såhär. a a a bsrivas mha till d symmtrist utvidgad sigal: a a a a a 6 a iπ / [ x ] β [ x ] β [ ] / där är d uitära. Lijäritt Sparabilitt Egsapr hos { u[ m, ] } { { u[ m, } m } ] Basfutior hos Dim Ergirlatio (Parcvals sats) Faltigssats gällr it grllt! [, ] v[, ] u,, { u[] h[ ] } { u[] } { h[] } Gr myct bra rgioctratio för bildr. Är ästa trasform för Marovprocssr md hög orrlatiosfator (ρ>.9) Dt fis bräigsfftiva algoritmr jämförbara md. aväds framförallt i bildodigssammahag.

4 adamardtrasform adamardtrasform 8 + adamardtrasform är trasform som dast rävr additior. Trasformmatris dfiiras ligt följad rursio För blocstorl 8 sr matris ut som da om ma sortrar olumra (llr radra) ftr atal tcsift. adamard har bra rgipacigsgsapr för bildr md stor orrlatio. Trasform har låg bräigsomplxitt O(log). adamard adamard Basfutior Basfutior Brdvid sys basfutiora för adamardtrasform av lägd a a a a a a a a 7 adamard adamardtrasform trasform Basfutior (bildr) för dim adamardtrasform. aar trasform aar trasform 8 adamardtrasform är glig Wavlttrasform, m d a ocså srivas som bloctrasform. För blocstorl 8 sr matris ut som da. aar har i rgl dåliga rgipacigsgsapr för bildr. Trasform har myct låg bräigsomplxitt O(). Dt fis adra typr av Wavlttrasform som är myct bra för bildr. JPG byggr på Wavlttrasform.

5 aartrasform aartrasform Brdvid sys basfutiora för aartrasform av lägd 8. a a Basfutior (bildr) för dim aartrasform. a a a a a a Jämförls mlla olia trasformr Jämförls mlla olia trasformr dimsioll blocvis trasform på sigal x md af r [ ] x. 9 dimsioll blocvis trasform av Labild (radvis). c a c a Blocsiz Blocsiz 6 c a c a Blocsiz 6 Blocsiz 6 Variac B) Variac B) Blocsiz Blocsiz 6 Variac B) Variac B) Blocsiz 6 6 Blocsiz

6 Kofficitstatisti Gom att studra varias för officitra ftr trasform så sr ma lätt vila som är mr llr midr vitiga för bild. Kofficitr md lit varias har it så stor påvra på bild och a i pricip stryas uta att bildvalité försämras. Logaritm av varias hos officitra på Labild Bitallorig är officitra sall vatisras gällr dt att välja rätt atal bitar till rsptiv officit. Lår f(b) fara futio som bsrivr distorsio är b bitar aväds för vatisrig av sigal md htsvarias. D totala distorsio blir då D M σ ( ) f b Om vi tilldlar xtra bit till officit så förbättras distorsio md D σ ( f ( b ) f ( b + ) ) Givt dt totala atalt bitar b tot för tt bloc a följad algoritm avädas för att räa ut bitallorig. Börja md all b. Dla ut bit till d officit där distorsiosvist blir störst.. Om dt fortfarad fis bitar var att fördla, gå till. aars är vi lara. Måga officitr tilldlas i rgl it ågo bit alls, dssa masas bort och lagras/avodas aldrig. Kofficitmasig är bitallorig är lar måst ma dfiira mas som bsrivr vila officitr som har vatisrats och vila som har masats bort. Iblad aväds fördfiirad stadardmasr (som d på sid 6 i Jai) för bitallorig. Da mas bhövr då it lagras/övrföras tillsammas md rst av datat. M om optimal bitallorigsmas aväds måst d iformatio ocså lagras. Dtta a t.x. Göras gom att läsa av mas i tt ziczac möstr och surlägdsoda iformatio