Föreläsning 9. Digital signalbehandling. Kapitel 6. Sampling. LTH 2014 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Transkript

1 Digitl siglbhdlig E040 örläsig 9 Digitl siglbhdlig E040 Kpitl 6 mplig LH 04 Ndlko Grbic (mtrl. frå Bgt Mdrsso Dprtmt of Elctricl d Iformtio chology Lud Uivrsity 6

2 Kpitl 6 mplig Vi tittr u ärmr på smplig och spcillt smbd mll spktrum för och ftr smplig Digitl iglbhdlig Lågps s- A/D Digitl sig. D/A Lågps s- mplig Digitl krts Rkostrukti Vi sk vis smpligstormt och btydls v lågpssfiltr vid smplig och rkostruktio. Vi vläsr sigl llr tr bild vid i jäm tkt, t x vid tidpuktr t s där är tidsvstådt mll vläsigr (smplitrvll) och s är smpltkt (smplfrkvs, smplig rt) V : CD : lfoi : s s 50 bildr / s s Hz Hz 0ms 48kHz i studiosmmhg tx GM Käd ffkt vid smplig. Rotrd krhjul vid V/film sr ut tt ibld stå still llr rotr bklägs. Vrför? 7

3 mplig. sid Avläs d kotiurlig sigl s ggr/s gom tt sätt t x( x( t) t mpligstormt: Avläs mist ggr/priod llr md dr ord: Om högst frkvskompot i x(t) är mx så välj smplfrkvs s > mx och vi k åtrskp x(t) xkt 8

4 Exmpl x( t) gr x( cos( 400 t) cos( s f s 000 cos( 0.4 M vi får också x( cos( 0.4 cos( ( 0.4) cos( ( 0.4) osv pg tt hltl Vi får dy frkvsr f 0 0.4k 0.4k k hltl 9

5 Exmpl fortsättig Dtt gr spktrum för smplig (log sigl / Amplitudspktrum X() och ftr smplig (tidsdiskrt sigl Amplitudspktrum X ( f ) / E priod f s Myckt viktigt: pktrum för digitl sigl är priodiskt md priod f, 30

6 Digitl siglbhdlig, Istitutio för lktro- och iformtiostkik Exmpl md vikigsdistorsio Vi hr d gåg sigl md två cosiustrmr x( t) cos( 400t ) 0.5cos( 800t ), gr vid smplig x( cos( cos( 0.8 Vi får på grud v cos( ( 0.) priodicit t s k frkvsr 0.k k hltl Dtt gr u spktrum för smplig (log sigl / Amplitudspktrum X() och ftr smplig (tidsdiskrt sigl Amplitudspktrum X ( f ) / E priod f s Vikigsdistorsio: Vi hr u flsk frkvs vid f 0. svrd mot 00 Hz 3

7 Digitl siglbhdlig, Istitutio för lktro- och iformtiostkik lutsts Vi sr tt vi får ll multiplr v vrj frkvsspik, f i, fi, fi, fi 3,, dvs f i k, k hltl Dtt är gskp som gällr grllt för spktrum v tidsdiskrt siglr. Viktigt: pktrum v tidsdiskrt siglr är priodiskt i frkvsplt md priod f i i frkvs viklfrkvs 3

8 Digitl siglbhdlig, Istitutio för lktro- och iformtiostkik ör tt uttryck spktrum v smpld sigl formlmässigt tittr vi åtr på ourirtrsform. Om ourirtrsform xistrr k vi få kl forml för spktrum ftr smplig. Eligt tidigr är dfiitio för ourirtrsform ättr vi u X ( ) t x( t) j t dt x( x( t) t och bytr itgrl mot summ får vi X s ( ) x( t X ( j ) X ( f ) dvs X ( f ) X ( ) Dtt gällr därför br om vi it får vikigsdistorsio. 33

9 34 Digitl siglbhdlig, Istitutio för lktro- och iformtiostkik r vi häsy till tt vrj frkvskompot i d log sigl dykr upp priodiskt ligt tidigr figur k vi rsor oss till tt d slutlig forml för spktrum v d digitl sigl ftr smplig blir Dtt gällr om fourirtrsformr xistrr. Bvis d Obsrvr tt spktrt är oftst komplx fuktio och dditio är komplx dditio. Vi visr md tt xmpl äst sid. ) (... ) ( ) ( ) (... ) ( k k X X X X f X

10 Digitl siglbhdlig, Istitutio för lktro- och iformtiostkik Exmpl md vikigsdistorsio och fsdditio Vid vikig v spktr vid smplig får vi dditio v olik dlr v dt log spktrt. Vi måst turligtvis t häsy till siglrs fs vid d dditio. Vi hr d gåg sigl md cosiustrm och siustrm x( t) cos( 400t) si( 600t) j 400t j 400t 0.5 j j / j 600t j 0.5 j / j 600t gr vid smplig md, s 000 x( cos( 0.4 si( 0.6 j 0.4 j 0.4 j 0.4 j 0.4 si( ( 0.4) si( 0.4 j j 0.4 j / komplx mp j j 0.4 j 0.4 j / komplx mp j 0.4 Vi ritr fortfrd bloppt v spktrt m för äv i fsläg i figur. (äst sid) 35

11 Digitl siglbhdlig, Istitutio för lktro- och iformtiostkik Exmpl md vikigsdistorsio och fsdditio, fortsättig Dtt gr u spktrum för smplig (log sigl Amplitudspktrum X() 0.5 j / 0.5 / / j och ftr smplig (tidsdiskrt sigl Amplitudspktrum X(f) j / j / j j / j 0.5 / j f Vi får lltså x( cos( 0.4 si( 0.6 j / ( ) j 0.4 j / 4 si( ( 0.4) ) si( 0.4 ) j 0.4 j 0.4 cos( 0.4 / 4) j / komplx mp j / ( ) j / 4 j 0.4 j / komplx mp j 0.4 j

12 Digitl siglbhdlig, Istitutio för lktro- och iformtiostkik Hur görs rkostruktio/da-omvdlig (idl rkostruktio? sid , Vi väljr ut d dl v spktrum som fis i frkvsitrvllt 0.5 f 0.5 s s ( Hz) md tt lågpssfiltr (s formlsmlig). x( y (t) t Lågpssfiltr. Väljr ut frkvsr upp till s /. Y ( ) X ( f ), 0.5 f 0.5 i Hz Dtt är fltig och skrivt i tidsplt blir dtt (s ppdix i slutt) y( t) x( t si( ( t )) ( t ) 37

13 Vi tolkr u rkostruktio y( t) x( t si( ( t ( t ) )) Här står fltig md g(t) där g(t) k skrivs si( t) g( t) t G( ) H ( ) LP si( t) t Lågpssfil tr, H LP ( ), md förstärki g /, brytfrkvs s / Utsigls spktrum gs v (fltig övrgår i produkt) Y ( ) 0.5 f s X ( f 0.5, ) H LP ( ) i Hz mpltormt sägr tt sigl x () t k smpls och sd rkostrurs xkt om smplfrkvs väljs mist dubblt så hög som högst frkvskompot hos sigl. (smpl mist gågr pr priod v sius) 38

14 Idl rkostruktio, Blockschm frå Välj ut priod v X ( f ) md hjälp v tt lågpssfiltr Y ( ) X ( f ), 0.5 f 0.5 i Hz 39

15 Rkostruktio md smpl/hold Vid idl rkostruktio blir utsigls rgi låg. Vi k ök d gom tt brdd pulsr, s figur äst sid. Pulsr brdds till tt motsvr tidsvstådt mll smpl md så klld smpl d holdkrts (zro ordr hold). Vi k s dtt som tt vi stoppr i krts md tt rktgulärt impulssvr. Rsulttt blir tt utsigls spktrum u också sk multiplicrs md dtt impulssvrs spktrum. Vi får h H () t för 0t 0 för övrigt Dss fourirtrsform är H ( ) H si j Utsigls spktrum gs u v md Y ( ) X ( f ) H ( ) H ( ) f H s Vi iför lltså tt fl. lt är oll för =0 och si(/)/ / = 0.64 för = s /. LP 40

16 Vi får ytt blockschmt (frå ) 4

17 Exmpl på filtr vid D/A Eligt tidigr gs utsigls spktrum v Y ( ) X ( f Dt totl log filtrt gs v md ) H H( ) H LP( ) H totl ( ) H ( ) H ( ) H ( ) totl H LP H ( ) H Exmpl på filtr vid D/A: H H () / si j H LP () (6: ordigs buttrworthfiltr) H totl () / 4

18 Exmpl (Itrpolrig/uppsmplig) Givt: x( si( f0 {... x( ) x(0) x() x() md f } ök: Bild y( {... x( ) 0 x(0) 0 x() 0 x()...} och sök Y ( f ). Vi stoppr lltså oll mll vrj x-värd. Lösig: Utgå frå df v fourirtrsform. x( / ), y( 0 0,, 4 ör övrigt Y( f ) y( j f ' j f sätt ' /, ' x( ') X ( f ) ' Vi får omsklig v -x-xl. E priod v Y(f) är priodr v X(f). Amplitudspktrum X ( f ) / E priod Amplitudspktrum Y ( f ) / dvs vi får E priod y( si( 0. si(

19 y( x( D Y( f ) x( ') j f / D' X ( f / D), ' D 44

20 Kvtisrigsfl vid A/D-omvdlig) sid Kvtisrigsffkt log sigl x ( t ) A si( t ) 0 kvtisrd sigl Aväd b bitrs upplösig vid kvtisrig gr tl ivår b mximl mplitud A mximl utstyrig A Kvtisrigsstg Kvtisrigsffkt iglffkt P q P s A b A, (vris v rktglfördlig) (siussigl md mplitud A) Ps QNR( db) 0log.766b 6 tlt P q bitr 45

21 Appdix kp 6 Bräkig v spktrum ftr smplig Dfiitio v smplig är x ( t) x[ ] t / Vi sökr u smbd mll fourirtrsformr för VL och HL. kriv u om båd västr och högr ld som rspktiv ivrstrsform j j f j f f X ( ) d X ( ) df f j j j / X ( ) d X ( ) d j j j / X ( ) d X ( ) d Dt som u skiljr mll VL och HL är itgrtiosgräsr. Vi tittr på två fll. j f Btckig X ( ) X ( f ) 46

22 ll : Ej vikig: Vi udrsökr först fllt md frkvsbgräsd sigl Atg frkvsbgräsd sigl X ( ) 0 för Dtt gr smm itgrtiosgräsr i VL och HL, dvs j j j / ( ) ( ) X d X d och idtifirig gr smbdt X X X j f j / ( ) ( ) ( ) Exmpl X () - - / 0 / X(f) - -/ 0 / f 47

23 ll : Vikig. Nu är it sigl frkvsbgräsd. Dvs, u är X ( ) 0 för Itrgrtio i VL sträckr sig frå till. Vi dlr upp dtt i summ v dlitrvll / till / j j j / X ( ) d X ( ) d kriv VL som summ v dlitrvll j ( k ) j j / ( ) ( ) k X k d X d j j j / ( ) ( ) k X k d X d och idtifirig gr k j f j / X ( ) X ( ) X ( K ) 48

24 dvs j f X ( ) X ( k ) k ( X ( ) X ( ) X ( X () - - / 0 / X(f) När X ( ) 0 för - -/ 0 / f kommr trmr i summ tt övrlpp vrdr och vi får så klld vikigsdistorsio. Ed sättt tt udvik dtt är tt för smplig filtrr bort dss frkvsr. 49

25 Idl rkostruktio, hur sr dt ut mtmtiskt? Välj ut priod v X j f ( ) och bräk ivrstrsform. Y ( ) j X ( ) 0 Ivrstrsform gr j t j j t y ( t) X ( ) d X ( ) d j j t x( d j ( t ) x( d si ( t ) si ( t ) [ ] [ ] x x ( t ) ( t ) 50

26 Alog filtr (för kädom) Alog filtr bhövs för smplig och vid rkostruktio. Alog filtr igår it i d kurs m vi gr mplitudspktrum för vligt förkommd log filtrtyp. iltr är dfiird gom dss mplitudspktr. Ett tl filtrtypr fis i Mtlb. Vill vi bygg log filtr hävisr vi till IC-tillvrkrs bskrivig v kompotvl för olik grdtl och filtrtypr. E myckt vlig typ v logt filtr är Buttrworthfiltrt. Ett N:t ordigs lågpss Buttrworthfiltr är dfiirt v H ( ) ( c ) N där c är filtrts gräsfrkvs (-3 db). Exmpl: Buttrworthfiltr v grd N=3 och N=6, gräsfrkvs 00 Hz 5

27 LIE REPEIION AV DECIBEL Vi vädr oft sort dcibl. Dcibl är dfiird som ffkförstärkig ligt Dfiitio 0 log Utffkt Iffkt db db H() Vi får då H() i db ligt Ex: 0 log H( ) 0 log H( ) 0 log 0 db 0 log 0 log log 0 log 6 db 0 log db db Omräkig: x gågr y i db 0 log x y x y

28 Läsvisigr kp 6 mplig och D/A. Bok: mplig sid igurr sid 388 och 39 Kvtisrig sid Rkostruktio sid , vsitt 6.4, 6.5 och 6.6 igår j 53