Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi

Transkript

1 Itegrler Frå le: Itegrler Beräkigsveteskp I/KF Trpetsformel oc Simpsos formel Itegrler Itegrler Frå le: Frå le: Adptiv metod (dptiv Simpso) Lösig v itegrl i Mtl: är itegrde är kotiuerlig fuktio: väd itegrl. Gör idelig i itervll utomtiskt (dptiv metod) är itegrde är diskret mätvärde: väd trpz Här lir idelige give v tlet dtvärde vrierr steglägd utomtiskt Itegrerig i Mtl Aväd itegrl ò f () x dx I = itegrl(@fuc,, klls för ett fuktiosdtg I mtlfuktioe fuc defiiers itegrde måste tl om för Mtl vilke itegrl som sk löss itegrl löser sed itegrle med umerisk metod (Simpso-likde metod) Exempel (jfr l) Aretsgåg: p Lös ò 0 cos( xdx ) Diskretiser, är 8 itervll Approximer med 1: grdspolyom i vrje itervll Beräk re i vrje prllelltrpets pproximerr itegrl på delitervllet Klls Trpetsformel 1

2 Exempel (jfr l) Smm prolem Diskretiser, är 8 itervll Approximer med : grdspolyom på vrje duelitervll (är lir det 4 duelitervll) Klls Simpsos formel Lösig v itegrler Aretsgåg geerellt: Givet Prolemet f (x)dx. Diskretiser x, dvs del i i pukter x 0, x 1,, x N, där x 0= oc x N= Ersätt itegrde på vrje delitervll med e eklre fuktio, t ex polyom Beräk de eklre fuktioes itegrl exkt på vrje delitervll. K görs med ekel formel Summer ll delitegrler Räcker om f(x) ert käd i estk mätpukter x k, dvs ert f(x k) käd. Adptivitet (jfr l) Trpets o Simpso I prktike väds dptiv metoder Dess eräkr diskretiserige på ege d så tt e viss oggret erålls Idelige vrierr där fuktioe vrierr mycket krävs fire idelige oc tvärtom Fråg: Hur k metode eräk felet ut tt kä till exkt lösig? Adptiv Simpso Formler på ett delitervll/duelitervll: Trpetsformel x k + 1 f() x dx ( x ) k k k k k x + + k + +» + - = k f( x ) f( x ) f( x ) f( x ) ò x k os redde öjde Simpsos formel x k + ò x k f () x dx» 1 ( x )( ( ) 4 ( 1) ( )) 6 k+ - xk f xk + f xk+ + f xk+ = = k ( f( x ) 4 ( 1) ( )) k + f xk+ + f xk+ Trpets o Simpso Allmät k m sätt lösige som x q f (x)dx k f (x k ) x 0 k=0 klls Newto-Cotes formler q Formler k sed väds för ärledig v Trpets oc Simpso: Trpets: q = 1 Simpso: q = Trpets o Simpso Om ekvidistt idelig, k =, k m få e ekel formel för el itervllet Trpetsformel f (x)dx N 1 f (x k+1 ) + f (x k ) = k=0 ( f (x 0 ) + f (x 1 ) + + f (x N 1 ) + f (x N )) Simpsos formel N 1 f (x)dx f (x k ) + 4 f (x k+1 ) + f (x k+ ) = k=0,, ( f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + f (x ) + + f (x N ) + 4 f (x N 1 ) + f (x N )) Os. De är formler är mer prktisk vid d-räkig. I verklig fll väds dptiv metoder, dvs ej ekvidistt idelig.

3 Trpets o Simpso Om m r ekvidistt idelig k metoder ekelt implemeters med sklärprodukt f (x 0 ) f (x 1 ) f =, v tr =, v s = f (x N 1 ) f (x N ) oc itegrle eräks T T IT = v, tr f IS = v s f 0.8 -x ò 0 e dx Värde eligt Mtls itegrl: Hur ädrs diskretiserigsfelet vid olik vl v? Hur vtr det för miskde? Med trpetsformel! " = $ &()! *" /! " e e-00!,.. /!,.* = e-004!,.* /!,./ = e-004!,./ /!,.,0 = T() = trpets med steglägd Slutsts: För trpetsregel vtr diskretiserigsfelet med e fktor 4 är lvers Smm med Simpsos formel! " = $ &! (" /! " e e-005! *., /! *.( = e-006! *.( /! *.- = e-007! *.- /! *.*. = S() = Simpso med steglägd Slutsts: För Simpso vtr diskretiserigsfelet med e fktor 16 är lvers Överfört till grfik Svårt tt se ågot, små tl försvier i de stor... Bättre: logritmisk skl I Mtl: yt plot mot loglog

4 5.7e-1.6e-1 Rtio 5.7e-1/.6e Rtio: 0.006/0.001= 1.e-6.9e-7 Rtio.6e-6/.9e-7 = Rtio: 0.006/0.001 = Nogretsordig Trpets E miskig v med fktor => miskig v felet med fktor 4 Simpso E miskig v med fktor => miskig v felet med fktor 16 4 = 16 = 4 Klls metodes oggretsordig e visr ur st diskretiserigsfelet vtr då miskr Trpets Diskretiserigsfelet är v ordig O( ) Simpso 4 Diskretiserigsfelet är v ordig O( 4 ) Givet tt m vill e viss oggret kräver e metod v låg.o. midre => fler eräkigr ä metod med ög.o. Å dr sid k vrje eräkig vr mer omfttde för e metod med ögre.o. Diskretiserigsfelet k äve ärleds lytiskt med Tylorutvecklig Trpets De ledde (domierde) terme i felet på ett delitervll är 1 f (x k ) + O(5 ) dett leder till tt felet på el [ ] lir ( ) 1 f (x k ) + O(4 ) = c + ögre ordiges termer c -terme är de ledde (störst) terme i felet (då litet) => felet är O( ) Simpso På smm sätt felet på ett duelitervll 5 90 f (x k ) + O(6 ) dett leder till tt felet på el [ ] lir 4 ( ) 90 f (x k ) + O(5 ) = c 4 + ögre ordiges termer c 4 -terme är de ledde terme i felet, dvs felet är O( 4 ) 4

5 Feluppskttig Feluppskttig Kuskper om oggretsordig k väds för tt uppsktt felet - ut tt värdet på de exkt itegrle är käd Om I är de exkt itegrle, så lir solut felet för Trpets reps Simpso med steglägd : I T() = c + ögre ord termer I S() = c 4 + ögre ord termer Me m k uppsktt de ledde termer i diskretiserigsfelet (vlige det fel som domierr), dvs c respektive c 4 För trpets gäller tt felet k uppsktts med c T() T() där T() är eräkig v smm itegrl med duel steglägd Klls tredjedelsregel Är e uppskttig v ledde terme i diskretiserigsfelet, dvs O( )-terme Feluppskttig Feluppskttig För Simpso gäller tt felet k uppsktts med c 4 S() S() 15 där S() är eräkig v smm itegrl med duel steglägd Klls femtodelsdelsregel Uppskttig v de ledde termi i diskretiserigsfelet, dvs v O( 4 )-terme Geerellt gäller för e metod som etecks Q Q() Q() E Q p 1 där p är metodes oggretsordig Tredjedelsregel oc femtodelsregel är lltså specilfll v ovståede Feluppskttige väds i dptiv metoder för tt uppsktt fel i eräkige Adptiv metoder Adptiv metoder 1. Beräk itegrlvärde på itervll med steglägd => Q() resp => Q(). Uppsktt felet (med formel för feluppskttig). Om felet < tolers - ccepter Q() - eräk äst itervll, om iget ytterligre itervll fis, så färdig rs (dvs felet > tolers) - Kst Q() - Del itervllet i två itervll - Beräk itegrl, frå pukt 1, för vrt oc ett v de två y itervlle, ges värdet / Ex) Scemtiskt ur diskretiserige i dptiv Simpso k se ut OK Ej OK Ej OK Ej OK Q() Q() OK (itervllet klrt) Etc tills el itegrle färdig 5

6 Ricrdsoextrpoltio Avrudigsfel Idé: I-T()=E T där E T är diskretiserigsfelet => I = T()+E T. Om T() oc E T vore käd så kude m eräk exkt itegrle I? Fugerr ite riktigt eftersom vi ert r e uppskttig v de ledde terme i felet E T Däremot lir T() T() T() + e förättrig M k vis tt det lir detsmm som S() På motsvrde sätt k m förättr resulttet i Simpsos metod Dett klls Ricrdsoextrpoltio Förutom diskretiserigsfel r vi vrudigsfel i fuktioseräkigr, s k fuktiosfel Hos trpetsmetode pg vrudigsfel eräks ite f() x ut f (x) dvs T() = ( f (x 0 ) + f (x 1 ) + + f (x N 1 ) + f (x N )) Om T() = ( f (x 0 ) + f (x 1 ) + + f (x N 1 ) + f (x N )) f (x) f (x) ε så k m få frm tt T() T() ( ) ε Avrudigsfel Noggret Fuktiosfelet, trpets T() T() ( ) ε Motsvrde för Simpso Om det r är vrudig så är e ε = ε M Me k vr större om f(x)-värde kommer frå mätdt med större osäkeret Om ert vrudigr så är litet oc diskretiserigsfelet kommer tt domier e Felkällor: Kotiuerligt ersätts v diskret => diskretiserigsfel Avrudigsfel i eräkig v f( x k ) => fuktiosfelet Exkt itegrl: I = f (x)dx Numerisk metod, Q: I Q() Då lir det totl solut felet I Q() = diskretiserigsfel + fuktiosfel 6