Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Linjära ekvationssystem. Repetition av FN3 (GNM kap 4.

Transkript

1 Denn föreläsning DN11 Numerisk metoder och grundläggnde progrmmering FN Hedvig Kjellström Repetition v FN3 (GNM kp 4.1)! Interpoltion! Minst-kvdrtnpssning! Dignostiskt prov på FN,3! Numerisk derivering (GNM kp 1.3C)! Frmåt-, bkåt, centrldifferens! Numerisk integrering (GNM kp 5)! Trpetsregeln! Trpetsregeln med feltermskorrektion! Adptiv metoder 1!! Linjär ekvtionssystem Repetition v FN3 (GNM kp 4.1)! Givet: A och b! Mål: tt bestämm x =!! Gusseliminering (för hnd eller med dtor: x = A\b)! Lösbrt om det(a)!! A ickesingulär 3! 4!

2 Vnligste tillämpning v linjär ekvtionssystem! Polynominterpoltion melln punkter (lb) Polynominterpoltion inte br om n stort! Runges fenomen 5! 6! Då kn mn nvänd styckvis (linjär) interpoltion! Rät linje (1-grdspolynom) melln vrje punkt Överbestämd linjär ekvtionssystem =!! Lös i minstkvdrtmening genom tt välj x som minimerr! Lb, när polynomgrd < n - 1 7! 8!

3 Vnligste tillämpning v överbestämd ekvtionssystem! Minstkvdrtnpssning v polynom till punkter (lb) Minstkvdrtnpssning v polynom till punkter! Minimer! Normlekvtionern på mtrisform: 9! 1! Hjälpmedel i Mtlb! Behöver inte implementer normlekvtionern! Lösning v linjär ekvtionssystem: \!! Både gusseliminering och minstkvdrtnpssning! Numerisk derivering (GNM kp 1.3C)! Polynomnpssning: polyfit, polyvl! Både interpoltion och pproximtion! 11! 1!

4 Frmåtdifferenskvot Bkåtdifferenskvot f (x) = f(x + h) f(x) h + ch f (x) = f(x) f(x h) h + ch! Härled mh Tylorutveckling! Härled mh Tylorutveckling f(x + h) =f(x)+hf (x)+ h f (x)+... hf (x) =f(x + h) f(x) f (x) h + (termer h ) f(x h) =f(x) hf (x)+ h f (x)... hf (x) =f(x) f(x h)+ f (x) h (termer h ) 13! 14! Noggrnnhetsordning p Noggrnnhetsordning p! Rep från FN: Konvergensordning p för itertion! Trunkeringsfel h n = ch p n 1! Hur fort minskr felet med ntl itertioner?! Noggrnnhetsordning p för derivering, integrering, diffekv! Trunkeringsfel e(h) =c 1 h p + c h q + c 3 h r +... p < q < r <...! Hur fort minskr felet när mn minskr steglängden?! Frmåtdifferens e(h) =f f(x + h) f(x) (x) = ch h p =1! Bkåtdifferens e(h) =f f(x) f(x h) (x) = ch h p =1 15! 16!

5 Centrldifferens f f(x + h) f(x h) (x) = + ch h f f(x + h) f(x)+f(x h) (x) = h + ch! Högre noggrnnhetsordning, p=! Går också tt härled mh Tylorutveckling! Men också intuitivt! Bättre än både frmåt- och bkåtdifferens! Överensstämmer med noggrnnhetsordning Numerisk integrering (GNM kp 5) x + h x x h 17! 18! Integrering över slutet intervll! Numerisk metoder för integrering! Förbehndling för numerisk integrering Newton-Cotes formler! Ersätter f(x) med n-polynom! Lätt tt integrer ett polynom! Polynomnpssning lärde vi oss i FN3! I prktiken gör mn inte dett explicit, utn! Ersätter integrlen med summ P n (x) dx n w i f(x i ),x i = hi + i=! w i är vikter! Se för en härledning 19!!

6 Trpetsregeln! Vnligt specilfll v Newton-Cotes n w i f(x i ),x i = hi + i= w = h w i = h, < i < n w n = h Trpetsregelns noggrnnhetsordning p T (h) =h( f(x )! Trunkeringsfel e(h) =T (h) n 1 + i=1 f(x i )+ f(x n) ) = c 1 h + c h 4 + c 3 h ch! Summ v reor v trpetser! dvs noggrnnhetsordning p= xi+1 x i h f(x i)+f(x i+1) b 1!! Richrdsonextrpoltion! Idé: uppsktt c pred genom tt vrier h och mät felet e(h) för trpetsmetoden! Tex beräkn e(h) och e(h) e(h) =T (h) e(h) =T (h) c pred (h) =4c pred h c pred h T (h) T (h) 3c pred h T pred (h) =T (h) c pred h = T (h)+ T (h) T (h) 3 Trpetsregeln med Richrdsonextrpoltion = Simpsons formel! Kll T pred för S S(h) =T (h) c pred h = T (h)+ T (h) T (h) 3 = = = h 3 (f +4f 1 +f +4f f n +4f n 1 + f n ) 3! 4!

7 Adptiv metoder! Trpetsmetoden och Simpson hr konstnt steg h! Men om f(x) ser ut såhär? Förberednde åtgärder (numerisk)! Del upp integrnden f(x)! Kn någon term löss nlytiskt? f(x) =.5+e (1x+134)! Mtlbmetodern qud och qudl! b! Integrering över övrig termer bättre konditionerd!! Del upp intervllet [,b]! Är någon term mycket liten på någon del v intervllet? e (1x+134) dx.5+e (1x+134) dx +.5 dx ! 6! Förberednde åtgärder (numerisk)! Kp intervllet [,b]! Är f(x) mycket liten på någon del v intervllet? 5 e x dx e x dx Förberednde åtgärder (nlytisk)! Substituer x = g(t)! Förenklr på smm sätt som när mn räknr med ppper och penn.5 x.34 π dx = {x = sin t} = 6 1 x = { } 1 sin t = cos t sin.34 t cos t dt = 1 sin t = π 6 sin.34 t dt 7! 8!

8 Förberednde åtgärder (nlytisk)! Prtiell integrering! Förenklr på smm sätt som när mn räknr med ppper och penn 1 e x x dx = {f(x ) } = = xe x 1 +4 =e x xe x dx x xe x dx = 9! Eget rbete! Till näst övning (onsdg):! Läs GNM kp 1.3C, 5! Till näst föreläsning (näst torsdg):! Läs GNM kp ! T med GNM! På hemsidn: Utdelt i menyn! Föreläsningsnteckningr! Övningstl! Läsnvisning till GNM! Lbbr 3!