Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1
|
|
- Ebba Abrahamsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Här preseters förslg på lösigr oc tips till måg uppgifter i läroboke Mtemtik 000 kurs C Komvu som vi opps kommer tt vr till jälp är du rbetr dig frmåt i kurse. Vi r vlt tt ite gör lösigr till de övigr som fis i Kpiteltest, i Arbet ut räkre oc i Bldde övigr i de utgåv. Beöver du jälp med dess ör du v dig till di lärre. I de fll där lösigsförslg fis i boke ävisr vi i de flest fll till dess lösigr. Om du ite förstår vår eller bokes resoemg oc lösigr skll du ite tvek tt t kotkt med di lärre. Smm sk om du vill diskuter di lösig eller om du tycker tt di lösig är bättre. Det är är först versioe v lösigr till de bok så det k fis felräkigr ismug som vi ite ittt. Vi är tcksmm för sypukter som jälper oss tt förbättr vårt mteril. Med välig älsigr Mtemtiklärr på Ntioellt cetrum för fleibelt lärde Kpitel. Om uppgifter i dett kpitel käs svår bör du kotkt di lärre. Du beöver kske lite repetitiosmteril frå tidigre mttekurser för tt bli lite vrm i kläder. 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 p() = p() = = 6 = p() = p() = = 6 p() = p() = = 0 = 6 d) se fcit 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 s(t) = 0 t t s(6) = = 0 7 = 6 s(t) = 0 t t s(0) = = 0 s(t) = 0 t t s( ) = 0 ( ) ( ) ( ) = = d) s(t) = 0 t t s(0,) = 0 0, 0, 0, = 0 0, = 7, 06 N(p) = 000 0p N(70) = = = 600 Om biljette kostr 70 kr kommer 600 åskådre. 07 y (,) är bsketbolles öjd över golvet, m frå utkstet. y(, 0) är bsketbolles öjd över golvet,0 m frå utkstet. y(,) y(,0) är lltså skillde i öjd över golvet är bolle rört sig frå,0 m till, m frå utkstet. y(,) y(,0) =, +,, 0,, (, +,,0 0,,0 ) =,, 0,,,,0 + 0,,0 = 0,7 08, 09 Se fcit oc uppgift 07. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
2 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0,,, Eempel som löses i boke., Ledig: Hur måg y blir det? Ledig: -termer k br läggs iop med dr -termer, kostttermer ( re tl) k br läggs iop med dr kostttermer. Ledig: Se -uppgifte. d) Ledig: t -termer k br läggs iop med dr t -termer, t-termer k br läggs iop med dr t-termer. 6 Se uppgift oc fcit. 7, 8 Se uppgift 0, oc fcit. 9 + = + = ( + ) 9 = = ( ) 6 + = + = ( + ) d) Se fcit 0 + = + = ( + ) Se löst eempel oc fcit Se fcit 0 = 6 6 = 6 ( ) Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. ( +)( +) = = + +6 ( )( +) = + 0 = 0 (y 6)(y 7) = y 7y 6y + = y y + d) (y +)(7y ) = y y +y = y +y ( +)( ) = 6 (y 9)(y +9) = y 8 ( )( +) = () = 6 d) (0 6y)(0 +6y) = 0 (6y) = 00 6y Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 ( +8) = = (y 9) = y 8y +9 = y 8y +8 ( +) = () + + = d) ( y) = 0y +(y) = 0y +6y 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
3 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 +( +)( ) = = + 6 (y +7)(y 7) +0 = y 7 +0 = y + ( 6) = ( +6) = + 6 = 6 9 ( +) (6 +9) = (är står eg. (+6 ) = = ( +6)( 6) 6 = 6 6 = 7 0 ( +7)( 7) = 0 ( 9) = 99 0 ( +) = ( + + ) = +6 + = 6 + ( +) ( +) ( = ( + + ) + = +0 ( +) 7( +) ( 7 ) = + 7( + + ) +7 = 7 (y+) (y ) = y +0y+ (y 0y+) = y +0y+ y +0y = 0y (+) (+)( ) = () ( () ) = ( ) ++ t(t t ) t (t )+t = t 0t t ( t t )+t = 6t 7t t Eempel som löses i boke. ( + ) = + + = + = = ( ) = ( 0) + = = 0 = =, ( + )( ) ( 6) = 8 + 6= 8 = 8 = d) (+ )( ) = ( + )( ) ( 6+ ) = ( 6) + + = 8 = = 0,, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 ( ) = ( )( + ) = = ( +) = ( +)( + + ) = = Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 V( q) = 90 q T( q) = 90q 800 q+ 0,q = 0,q + 7q 800 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,, Eempel som löses i boke. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
4 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = 8 =± 8 = 9 = 9 = =± = = t = 7 t = 6 t =± 6 t = 6 t = 6 d) ( y ) = 6 y =± 6 =± 8 y = 8+ = y = 8+ = ( + ) = 0 st om tige = 0 eller om + = 0 dvs. = ( 8) = 0 tige = 0 dvs. = 0 eller 8 = 0 dvs. = 8 ( ) = 0 tige = 0 eller = 0 dvs. = d) + = ( + ) = 0 tige = 0 eller + = 0 dvs. = 6 = 8 8 = 0 ( ) = 0 Atige = 0 dvs. = 0 eller = 0 dvs. = 8 = ( Om A = B så är B = A dvs. ) = 8 8 = ( ) = 0 Atige = 0 dvs. = 0 eller = 0 dvs. = ( +)( ) = 0 tige + = 0 dvs. = eller = 0 dvs. = d) ( )( +) = 0 tige = 0 dvs. = eller + = 0 dvs. = 7 + = 0 = ± = ± = = + 8 9= 0 = ± ( ) + 9 = ± = = 9 y y = y = ± + = ± y = y = d) t + t+ = 0 t =, ± 6, =, ±, t = t = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
5 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8, oc Se fcit oc de löst eemple uppgifter. Kotkt di lärre om du beöver jälp. y y + = 0 y y+ = 0 y = + ± ( ) = ±. Eftersom tlet uder rottecket är egtivt så skr ekvtioe reell lösigr. 9 Se fcit, löst uppgifter oc löst eempel. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0, = 0 (Mult. överllt med ) = 0 = ± ( ) = ± = 00,de egtiv rote måste m turligtvis förkst dvs.00 fjädrr k producers för 000 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke = 0. Sätt = t. Det medför tt vi får följde ekv. t +6t 0 = 0 t = ± (9 + 0) = ± 9 = ± 7 dvs. Atige är t = som betyder tt = eller tt t = 0 som betyder tt = 0.Dett är dock omöjligt ty = = ± = 0. Sätt tt = t, det medför tt t 0t +9 = 0 t = ± ( 9) = ± 0 lltid t = 9 dvs. = = 9 ger, t = dvs. = ger = = = 7 8 = 0 = t ger t = ± (+ 8) = ± dvs. t = ger = = t = förksts = 0 med = t så t t = 0 t = ± (+ ) = ± t = ger = = t = förksts NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
6 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 ( ) ( ) = 0 med = t så får vi t t = 0 t = ± ( + ) = ± t = 6 dvs = = 9 som ger = t = dvs = förksts 9 ( + ) 6( + ) +6 = 0 + = 8 ± (6 6) = 8 ± medför tt = ± = oc = ( +) ( +) + = 0 med + = t så får vi t t + = 0 t = ± ( 6 ) = ± t = 9 medför tt = dvs. =, t = 6 medför tt = dvs. = = = 60 = (kvdrerig på båd sidor ger) = ( + ) + = 9 = 7 = (kvdrerig ger) ( ) = = 9 med smm förfrde = 0 = me om m prövr de är lösige i ursprugsekvtioe så iser m tt dett är e flsk rot dvs ekv. skr lösig d) ( + ) = (kvdrerig ger) + = 9 = 8 = 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
7 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 + = 0 Subst. = t medför t t+ = 0 t = 7 ± (9 ) = 7 ±, 0 t = 7+ ger, t = 7, 0 ger,8,8 6 = 0 Subst. = t medför t 6t = 0 t = ± (9+ ) = ± 0 = ± (+ 0) ±, 8 ( t = 0 ger ig reell rötter) y E skärigspukt iebär e rot. Kurvor som är ritde är y = ( ) oc y = obs! ( vdsomelst) 0 lltid y Här r vi två skärigspukter dvs. två rötter ämlige = oc =7 6 Se lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
8 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6, 66 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 67 Se lösigsförslg i fcit. 68 Eempel som löses i boke. 69 p ( ) = 0 ger ekv. + ( 9) = 0 som r lösige tige så är = 0 (som ju är de e rote direkt ut vidrerbete) eller så är +9 = 0 dvs. = 9 p ( ) = 0 ger ekv. ( )( + 7) = 0 ger tige = 0 dvs. = eller + 7= 0 dvs. = 7 70 Nollställe, p( ) = 0, då = oc då = 0 Nollställe för = 0 oc för = 7 f( ) = ( )( 7) 7 Vi söker ollställe till 0+ 6 = 0 = ± ( 6) = ± = 8 = ger fktor 8 ger fktor oc eftersom de kostt fktor frmför - terme är så får vi p ( ) = ( 8)( ) Vi söker ollställe till + 6= 0 = ± = ± = ger fktor = ger fktor oc eftersom de kostt fktor frmför - terme är så får vi g ( ) = ( )( ) 7 y-el skärs då = 0 som istt ger p = (0+)(0+) = 0 dvs i pukte (0; 0) -el skärs då p = 0 som istt ger ekv, ( + )( + ) = 0 vilke r rötter = oc = dvs i pukter ( ; 0) oc ( ; 0) = 0 ger p = 6(0 )(0 9) = 08 dvs skär y-el i (0; 08) p = 0 ger 6( )( 9) vilke r rötter = oc = 9 dvs skär -el i pukter (; 0) oc (9; 0) = 0 = 0 = ± ( + ) = ± = motsvrr fktor = motsvrr fktor 7 + Kostt fktor 7 är dock kvr i fuktioe 7 äve om de dels bort vid ekvtioslösige. Dett ger ( ) = 7( )( + ) 7 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
9 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 z + z+ = 0 z = 0 z = ± ( + ) = ± z = motsvrr fktor z z = motsvrr fktor z + Kostt fktor är dock kvr i fuktioe äve om de dels bort vid ekvtioslösige. Dett ger p ( ) = ( z )( z+ ) 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 76 p ( ) = 9= ( 9) = ( + )( ) (kojugtregel) f( t) = t t = (t t+ ) = (t+ ) (kvdrerigsreg.) 77 Givet : p() = k( +)( ), pg. ollställe där k är e kostt som återstår tt bestämm. Me p(0) = 8 medför tt k(0+)(0 ) = 8 dvs 6k = 8 vilket ger k = oc vi får p() = ( +)( ) 78 f( ) = ( + 0)( 0) eller g( ) = ( 0)( + 0) 79 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 80 Se lösigsförslg i fcit. 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 Nämre = 0 då 9 = 0 dvs då = 9 Bråkuttryck är ite defiierde om ämre = 0 som de ju är är för = 9 0 För z + = 0 dvs då z = 7 För z = 7 06 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 07 Då +8 = 0 dvs för = + 8 är lltid 0 : j till oc med 8 vrför uttrycket är defiierde för ll Då z = 0 dvs för z = ± d) Då t = 0 dvs för t = ± NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
10 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 08 u ( ) = 7+ medför tt u () = 7 + = u( ) 7 + = medför tt ( ) u = = = f( ) = medför tt f () = = = 9 7y + 9 g( y) = medför tt g() = = = y 0 G ( ) = G() = medför tt G (0) = 0 = 00 G ( ) = medför tt 0 00 G (0) = = = 0 0 R( ) = + 8 medför tt R () = + 8 = 6 R ( ) = medför tt R() = = = 0, G() = = G() = = = G() = = d) G() = = = u = = = 8 värde sks ty ämre = 0 ( ) + 7 u = u = = = d) värde sks Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 800, , , , st. 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
11 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel G(00) G(00) = + + 0, 00 0, 00 = Dvs de miskr med kr per eet. 8, 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0,,, Eempel som löses i boke. Se fcit 6 = z z = 7 = 9 7 t t d) = = = 8 b = b 7 y y d) = 7 = b b y y = 8 ( + ) = + ( + ) = + 9, 0 Se lösigsförslg i fcit. + = ( + )( ) ( + ) = ( + )( ) k ej förkorts ty täljre k ite fktorisers d) b b = ( b b, Se fcit 7 = 7 9 = 7 y y = 7 d) 70 = = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
12 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 y y = 6 y 8y = 6y 8y y 6y y = 6y 8y d) y y 8y 7 y = = 8y 8y 6, 7 Eempel som löses i boke. 8 ( + )( ) = + ( + ) + = + ( + )( ) = ( + ) d) ( ) = 9 ( + )( ) + = ( ) ( + )( ) = ( + ) ( + )( ) = + ( ) d) = 8( ) ( ) 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. ( + / ) = = = ( / ) 6 y ( ) 8 9y = y ( + ) + y Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. ( ) + ( ) 6 ( 8) = 8 ( + )( ) = ( + ) ( 7) = ( 7) d) ( y ) = ( y+ )( y ) y+ NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
13 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 ( ) ( ) = = ( ) ( )( y ) = = y ( ) ( ) ( b = = b ( ) d) ( )( 97q) = = 97q ( ) 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 9, 0 Se lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke = = = d) + 7 = = 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Mult. överllt med 6 ger + = = = z = z z = y y = 6 y = 0 d) Mult. överllt med t ger + t = t t = 0 t = 0 6 Mult med överllt oc förkort. Det ger (y ) (9 y) = 0 9y 6 + 8y = 0 7y = y = ( ) (9 y ) y = = 7 Mult. med överllt ger ( s ) + (s 7) (s ) = 0 s + 6s 8s+ = 0 s = ( s ) + ( s 7) ( s ) s + 6 s 8 s + = = s 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
14 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = 96 Mult. överllt med = = ± = ± 80 ( ) Atige tillverks det 80 eller 00 eeter 60 Se lösigsförslg i fcit. 6 Eempel som löses i boke. 6 6 = (mult. med överllt) Ige ämre får vr 0 så om vi i de uppgift får resulttet = 0 så måste dett svr förksts 6 = + 6= 0 7 = ± ( + ) = ± = = 6 Förutsättig: får ite vr 0. 7 = 7 = = ± ( + ) = ± = 9 = = Mult överllt med oc förkort (äve är måste 0). I just det är fllet med ett bråkuttryck på vrje sid så kllr m det också för korsvis multipliktio. ( 9) = ( + ) = 0 = 6 ± (6 + ) = 6 ± = 6+ = 6 d) 0, 0,8 =, 0 0 ( + 0, ) = 60, + = 0 = 0, ± (906,0 ) = 0,± 9,9 = 60 = 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
15 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = + + Här k m turligtvis gör som i tidigre uppgifter dvs multiplicer. överllt med + oc förkort me istället gör vi u såär ( ) 6 6 = = 6 = ( +) (Korsvis mult ty = ) = = 6 t + = + t t t = t ( t ) = vilket ldrig är st dvs ekv skr lösig Att förkortige till är ok beror på förutsättige t z 8 + = z+ 6 z+ 6 z 8 = z + 6 z 8 = (z +6) z 8 = z 6 z = z = d) s = s s s = s 6 = som ldrig är st dvs ekv skr lösig =, y 0 y y y + y 6= 0 y = ± + = ± y = y = y 0 =, y 0 y y yy ( ) = 0 y y 0= y = ± + = ± y = y = 6, 66, 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 68, 69 Eempel som löses i boke = = = = 8 = = 8 0 d) = = 7 = = 6 6 = = 7 z z z = = 9z 0 76 y = = y y y d) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
16 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = 6 = = = d) 6 = = = = 6 = = = d) = z z 7 y = = 6 y ( + y ) = = 6 ( + y) b b b c c = 6c d) = ( + ( + ( + 7 b = = 8 b y y y = = y 6 ( + ) 0 = = ( + ) d) ( 7) = = 6 ( 7) 76 = ( + ) + = 7 = d) = 77 y y b b = = y y = d) b = b 78 d) ( ) b b b b = = b ( + ( + b +b ( ) y y y = = y ( + )( ) ( + ) + ( ) = = ( + )( ) + + y ( y)( y) ( y)( y)( y) ( y) y + = + = = + y ( y) ( + y) ( y) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
17 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 79 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 80, 8 Se lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 0 f () = 6. = f (0) = 6. 0 = f ( ) = 6. ( ) = d) f ( = 6 g () = +. = 0 g (0) = = 0 g ( ) = ( ) +. ( ) = d) g ( = b + b 0 f ( + ) =. ( + ) = + = + f ( + ) =. ( + ) = + 06 g ( ) = ( ) = + = + g ( + ) = ( + ) = + + = f ( ) = ( ) = + = f ( ) ( ) = = + = 08 d) f (0) = = f () = + = f ( + ) = ( + ) ( + ) + = = + + f( + ) = ( + ) ( + ) + = Se lösigsförslg i fcit. 0 f ( ) = ( ) = = f ( ) = ( ) = ( f ) ( ) ( ) = = 9 d) f( /) = ( /) = / Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. = 8 = 9 =± 9 =± Då = så är fuktiosvärdet (y-värdet) = 0 För = 0 oc = så är y-värdet = Då = 6 är f () = d) För = oc = smt = så är y-värdet = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00,
18 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. f ( + = ( + = + b f ( + f ( = + b = + b 0 f ( f ( = ( ) (. ) = = 0 d) (f () f ( ) = ( ) ( ) = = Se lösigsförslg i fcit. 7 ( ) () ( ) ( ) ( ) f + f = = ( + 7) = = f( + ) f( ) ( ) ( ) ( + ) = = ( + + ) = = + + f ( ) = ( ) = = d) f ( ) = ( ) = ( + ) = 8+ = 7 f ( ) = = ( ) f( + ) f( ) + ( ) ( + + ) ( ) = = = + ( ) = = 9 Se fcit 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,, Se lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. ( ) + k = = = = ( ) + 6 k = = ( ) k = = 0 7 d) Nämre = 0 medför tt k-värde sks NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
19 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 y ( ) = ( ) y+ = ( ) y ( ) = ( ) y+ = ( ) 7, 8 Se fcit 9, 0,, Se bokes ledig. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. y = ( +) + medför tt y = för = 0 oc för = dvs symmetrilije är mitt emell =, y = 0( ) + ger = 0 + = 6 y = ( 6) + dvs mi för = y = ( 8) + dvs m för = = 0 = ± (9 ) = ± dvs i pukter (; 0) oc (; 0) 0 + = = 0 = ± ( ) = ± dvs i pukter (7; 0) oc (; 0) + 6 = 0 + = 0 8 = ± ( + ) = ± d) + = 0 + = = ± ( + ) = ± dvs i pukter (; 0) oc ( ; 0) dvs i pukter (; 0) oc ( ; 0) 8 Symmetrilije = ger y = 6. + = mipukte är (; ) Symmetrilije = ger y = ( ) 6( ) = mpukte är ( ; ) Symmetrilije = ger y = ( ) + 0( ) + = mipukte är ( ; ) d) Symmetrilije = ger y =. +. = 0 mpukte är (; 0) 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
20 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke = 80 = = 80 = = 80 = 0 0 Se fcit d) = = = 0 0 = = = 0, 8 = = = 0, = = =, d) 0 6 = = = 0, ( ) = = = ( ) + 7 = = = 6 i( ) ( ) = = ( ) i( ) d) ( ) = = = = 8 ( ) = = i = = 7 d) 9 9 ( 7) + 7 = 9 = 9 = = = = = = = 7 6 d) = = = = = i = 9 8 y = 6 i i y = 7 ( ) 7 = = 7 d) 7 = Se bokes ledig. ( ) ( ) + + = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
21 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = ( ) d) + = ( + ) Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. + + = = + = = = + + = = + d) + = = = Med detär mer vi tt vlig divisio oc div. med poteslge sk stämm överes E. med vlig div. så är = ty täljre oc ämre lik stor 0 Med poteslge så är = = 7, 8 Se lösigsförslg i fcit. 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 Se lösigsförslg i fcit. 0 0 = = vilket betyder tt = eftersom svret blev det dr tlet + ( ) 0 = = = som ju är lik med el. Me då måste = oc = för tt vlig divisio sk stämm,, Eempel som löses i boke. 6 7 = 00 = 0 = = d) 0,0 = 0, + 8 = 000 = 0 = = d) 0,008 = 0, = 6 = = = d) = = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
22 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel = = = = = = d) = = = ( ) ( ) 7 = = 9 = d) ( ) ( ) ( ) = = 8 = = ( 8) ( ) 9 = = 7 d) = = 8 ( 7 ) = =, Se fcit Se bokes ledig. = 7 = 7 ( ) = 7,9 ( ) = =± =± där de pos. rote är =, ( ) =, =, =,, d) ( ) = 00 =± 00 =± 00 där de pos. rote är 0 = 00,8 d) 8 8 = 8 =± 8 8 =± 8 som ger svret = = = =, = 0, = 0, = 0, 0,8 = 8 8,0 = = =,7 =,7 =,7, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
23 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 6 Iverterde värdet till är 7 7 Iverterde värdet till 0, 0, = är 0, 7 d) 8 9 d) = 8 = 8 = 6 = = = = 8 = = + = = 8 + = 7 = = = =,9,9 = 9, = 9, 6,,,, 6,7 6,7,6 = 6,7 = =,, 6, 6 = =, = 00 = =,6 7 7 = 0 = , 0, 0, 0, 6 = = 6 = = = 0,0 0, 6 6 0, 0 m = 0 me 0, = = dvs 0, m, = 0 m= 0, 0π 0 π m = 0π m = m= Se lösigsförslg i fcit. 7 = 7 6 = = = = d) = = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
24 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se lösigsförslg i fcit. = = = = ( ) = = = = = 8 = ( ) 6 = = = 8 d) 6 = = + + = ty om A=B så är B=A ( ) ( ) 8 8 ( ) + =± =± då det u frågs efter de positiv lösige så blir de =+ 8 0,09 = = = = 6 7 =, 0 =, 0, dvs skärigspukt : (,;,0) 8 = = + = ( +) S S S = B + + = + = B 00 B S S = = B B 9, 0 Se lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke. y = 7, 0, 0, = 7,9 = = 0,9 7,9 7, L= L = d) 0 =,06 de förädrigsfktor iebär tt de årlig ökige vrit c.,6% NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
25 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se bokes ledig. 6 K K = där är förädrigsfktor oc K kros köpkrft = = 0,9, vvikelse frå,00 iebär e årlig miskig med c. % 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit = 000 =,6 =,6,08 där är ädrigsfktor vrför de årlig rät blir c. 8% = 000 = = 0,6 9 9 e miskig med c. 6% 60 6 s = där s är sid i cm π r s = 6,08 cm = där r är klotets rdie i cm r = r =,7,77 π π 0,9 y y 0 y = c = = = 0,0 A c c 0 6 P(0) = 0, 0768(80 0),8 = 0, 0768(0),8 88poäg ( ),8 000 = 0, 0768(80 t) 80 t = 0, 0768,8 000,8, t = t = ,0768 0,0768 sekuder 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit = 0000 = =,07 dvs. påståedet stämmer då ju rät är är c.,7% 8 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 66 y = 8,9 0,8 st 0,8 0,8 0, ,9 00 8,9 8,9 06 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
26 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel dvs re bör överstig 000 km Se fcit 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0, 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 8 = 6 = = = 9 = 7 7 = 7 = = 06, 07 Se fcit d) 0 = = = lg 0 0 lg 0, 699 = = = lg 0 0 lg, = = = lg lg 000, 699 = = = lg0,0 0, lg 0, 0,7 09 lg 0, = lg0 = lg0 = = lg 0,00 = lg0 = lg0 = = 0, Se fcit Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,,, Eempel som löses i boke. 6 Se fcit 7 8 lg8 = 8 lg = lg8 lg= lg8 = lg lg = lg = lg lg = lg = lg 0 lg = lg 0 lg lg = lg lg = lg = lg = lg 6 + lg lg = lg 6 = 0 = ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
27 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 9.08 =,08 = lg,08 = lg lg lg, 08 = lg = 0, 0 lg, ,6 = 8 0,6 = lg 0,6 = lg 9 lg =, 79 lg 0,6 0 0 = 0 = lg = lg 0 lg 0 lg = lg = 0, lg d) 0 0 = = = lg ,6 lg 0, = lg =,6 67 0,6 lg 0, 0,6 0,6 0,6 67 0, 0 0, lg 0, lg 0 Se fcit lg = lg + lg lg = lg + lg ( ) lg = lg 9 + lg 8 lg = lg 9 8 = 7 lg = lg 0 lg = lg 0 lg0 0 lg = lg 0 lg0 lg = lg = 0, 0 000, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,0 0 0,0 = 0,0 = (div. tillåte ty.0 0 för ll ),0 0,0,0,0 lg = lg = lg,0,0 lg lg,0 = =,0 lg,0 Se bokes ledig. 6, 7 Se lösigsförslg i fcit. 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
28 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 9, 0 Eempel som löses i boke., Se fcit,, Se lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit 7 Se lösigsförslg i fcit. 8, 9 Eempel som löses i boke. 0,,, Se fcit,, 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 7 Se lösigsförslg i fcit. 8 Eempel som löses i boke. 9 Se lösigsförslg i fcit. 0 t N = N0 där N0 är mägde frå börj oc N är mägde efter tide t, är förädrigsfktor Hlverigstide 8,0 dyg medför tt 8,0 8,0 0.N0 8,0 8 0,N0 = N 0 = = 0, = 0, N 0 0, 0N0 = N 0 0, 0, = 0, 0 t t 8 ( ) 6 8 lg0, = lg0,0 lg0,= lg0 t = = dyg 8 lg0, lg0, mo u vet vi förädrigsfktor vrför ( ) 8 8 0, 0, = 0, = 0, (se uppg. ov) t t 0, 0, t 0, = 0,0 lg 0, = lg 0,0 ilg 0, = Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0, t 60, t = 00 år lg 0, t,8,8,8 0 = 0 = 0, = 0,,8 p () = 0 0, 67 P p = 0 0,,8,8 0 0,,8 0,,8 lg 0, lg = = = 0 0 0,8 lg 0 0 lg 0, = lg =, 7 km,8 0 lg 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
29 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Pg lverigstide så blir förädrigsfktor 0,7 0 0, då får vi ekv. t t 0 0,7 0, = 088 0, lg 0, = lg ,7 0 lg t lg 0, = lg t =,9 0 0, lg 0, 9 år, 6 Se lösigsförslg i fcit. 7, 8 Se bokes ledig. 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 60, 6 Se lösigsförslg i fcit. 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se lösigsförslg i fcit. 6 Pukter är (; ) oc (0; ) vrv de sere pukte medför tt m = då r vi tt y = k+ givet oc med (; )istoppt för (; y) så får vi = k. + dvs k = som ger y = + 6 Nollställe vläser vi till oc :e pukte (0; ) istt för (; y) så får vi + som medför tt y k( )( ) ( )( ) ( )( ) = k 0+ 0 k = k = y = + = + med de 66 Se lösigsförslg i fcit. 67 Vi vläser pukter till (; ) oc (; ) som ger k = = = Vi vet då tt y = +m som med ågo v dom två giv pukter istt säg te e (; ) 6 9 = + m m= + = som ger svret 9 y = +. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
30 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 68 Kurv följer regel y = C. Vi vläser pukter till (; 00) oc (; 0) som ger ekvtiossystemet = C = C 00 () 0 () 00 frå () så får vi tt C = 00 0 som i () ger 0 = = = 0, = 0, 00 som återistt i () ger C 0, = 00 C = 00 y = 00 0, 69 Se lösigsförslg i fcit. 70 Adrgrdskurv tgerr i pukte (0 ;) dvs r ett dubbelt ollställe där Då vet vi tt = ( ) y C = C 0 C = y = Se lösigsförslg i fcit. med pukte (0; ) istt där så k vi bestämm C ( ) ( ) NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
31 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 Löeökig per måd: 00 kr Förädrig i årslö = 00 kr = 800 kr OBS! Fel i fcit Sktteöjig per måd: 76 kr 76 kr = 00 kr Förädrig i sktt per år y = 00 kr = 00 kr 0 s = 0 m s = s s = 0 m s = 0 m s = 0 m s = s s = 0 m s = 70 m 0 s = m s = s s = m s = 0 m s = m s = s s = 0 m s = m 06 Förädrige K = K(7) K() ( ) (00 ) K = = + = Svr: Kostde ökr 000 kr. 07 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 08, 09, 0 Eempel som löses i boke. = =.00 y = 8 8 = y = = 6 Löeökig per måd: = 7000 kr 670 kr = 60 kr Sktteöjig per måd: y = 080 kr 980 kr = 00 kr y 00 = 0,8 = 8% 60 = 0 8 = y = 6 = 0 y 0 = = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
32 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel y ( ) C C/ = = ( 8) De geomsittlig temperturöjigstkte mell kl 8 oc kl vr C/. Eftersom det stå per år skll m del med tide i år räkt y ( ) persoer = = 790 persoer/år (000 90) år y ( ) persoer = = 800 persoer/år ( ) år OBS! Fel i fcit 6 y (708 ) persoer = = 87 persoer/veck 80 persoer/veck ( ) veckor y (998 ) persoer = 00 persoer/veck (8 0) veckor 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 s (0 0) m = 6,7 m/s t (,0,0) s 9 0 p = p(00) p(00) = ( ,6 00 ) ( ,6 00 ) = 600 Dett är de totl beräkde vistädrige om m ökr tillverkige frå 00 eeter till 00 eeter. q = = 00 p 600 = = 6 q 00 Dett är geomsittlig vistädrige per eet om m ökr tillverkige frå 00 eeter till 00 eeter. y 7 = m/s = 0 m/s, Rkete stiger med e stiget v 0 m/s y 0 80 = m/s = 0 m/s, Rkete fller med e stiget v 0 m/s 8 N(,0) N(,) 00 +,6,0 00,6,,6(,0, ) = = =, 0, 0, 0, N(,0) = ,0 +,0 = N(,) = , +, = ,7 N(,0) N(,) ,7 = = 0, 00, 0, 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
33 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel f() t = t 6t+ 0 f (0) = 0 f () = + = f() f(0) 60 0 = = 0 0 f() t = t 6t+ 0 f f () = = (6) = = 00 f(6) f() 00 = = 7 6,, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. 7 Eempel som löses i boke. 8 f() f(0) = = 0, 0 f(0) f(6) = = 0,7 0 6 f(6) f() = = d) 6 f() f(0) = = Se fcit. f( ) = f f = = () = = () f() f() = = f() f() = = 6 f(0, ) f(0, ) = = 0,6 0, 0, 0, Svr: Medellutige är störst i itervllet 0, < > 0, f() f() 8 f( ) = = = = f() f() f( ) = = = = 8 6 f(6) f() = = 6 6 f() f( ) ( ) 6 ( ) = = ( ) Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
34 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel ( ) (6 ) k = = = = Beräk vd uttrycket 6 + blir om ärmr sig = 6 y = k+ m = 9 = 6 + m m = 9 y = 9 k = 6 Svr: De sökt ekvtioe är y = 6 9 Lös uppgifte på smm sätt som. De pukter du beöver är (-, ) oc (( +), ( +) ). Kotkt di lärre om du beöver mer jälp (0 ) (0 ) 0 6 (6 ) + + k = = = 0+ 0 = 6 Beräk vd uttrycket 6 blir om ärmr sig = 6 y = k+ m = 0 0 = m m = 0 y = 0 k = 6 Svr: De sökt ekvtioe är y = 6 6( ) ( ) 8 ( ) + + k = = = + = Beräk vd uttrycket blir om ärmr sig 0 0 = y = k+ m = 8 = + m m = 6 y = 8 k = Svr: De sökt ekvtioe är y = + 6 f k = = = () f() + = f k = = = () f() + = 6 8 Se fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
35 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel f( + ) f() k = + ( ) f ( + ) = ( + ) ( + ) = + k = = f () = = går mot oll = k = Svr: Kurv r lutige i = 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 f( ) = f( + ) = ( + ) = + f( + ) f( ) + = = = f( ) = f ( + ) = ( + ) = ( + + ) = f( + ) f( ) + 0+ (0+ ) = = = 0 + f( ) = 6 f( + ) = 6 ( + ) = 6 f( + ) f( ) 6 6+ = = = d) f( ) = + f ( + ) = ( + ) ( + ) + = ( ) ( ) f + f = + ( + ) = = = + Grfe till f (t) visr ur lågt (i meter) kul rullt efter t sekuder. Kuls stiget efter t sekuder är de lutig som tgete till grfe vid motsvrde tidpukt. I de uppgift skll du lltså t red på lutige på kurv för t =, s. f( t) = t oc f( t+ ) = ( t+ ) = t + t+ f( + ) f( ) t + t+ t ( t+ ) v= = = = t+ Om t =, oc = 0 blir v =, m/s Svr: Efter, s är kuls stiget,0 m/s. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
36 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Bestäm först differeskvote Sätt därefter i =. f( ) = + f ( + ) f( ) f( + ) = ( + ) + ( + ) = f( + ) f( ) + + (+ + ) k = = = = + + Om = oc = 0 blir k = + Svr: Lutige är k = +., Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. på smm sätt som i uppgift 0. Kpitel. 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 Riktigskoefficiete för kurvs tget då = är egtiv Riktigskoefficiete för kurvs tget då = 0 är oll Riktigskoefficiete för kurvs tget då = är positiv + d) Riktigskoefficiete för kurvs tget då = 7 är egtiv Kotkt di lärre om du tycker tt det är är svårt! 0 f () = 78 betyder tt på sekuder r kroppe fllit 78 m Derivt är e förädrigstkt. f () = 0 betyder tt efter sekuder är kroppes stiget 0 m/s. 06 f (00) = 0000 betyder tt producer 00 eeter kostr 0000 kr. Derivt är e förädrigstkt. f (00) = 60 betyder tt mrgilkostde för de udrde eete är 60 kr. (produktioskostde ädrs 60 kr då m tillverkr de udrde eete). 07 f () = 60 betyder tt klock 0.00 är temperture i vrmvtteberedre 60 C. Derivt är e förädrigstkt. f () =,0 betyder tt klock.00 sjuker temperture i vrmvtteberedre med C/. 08 Se fcit. Kotkt di lärre om du tycker tt dett är svårt eller krågligt. 09, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se fcit. Kotkt di lärre om du tycker tt dett är svårt eller krågligt. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se fcit. Kotkt di lärre om du tycker tt dett är svårt eller krågligt. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
37 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Eempel som löses i boke. 7 d) f f ( ) = + () = + = 0 f f ( ) = + ( + ) = ( + ) + = f ( + ) f() = = + 6 f( + ) f() + 6 ( + 6) = = = Se fcit. ( + ) + ( + ) = = = = f( + ) f( ) ( + ) + 9 f ( ) = = = = f () = f( ) = 0 är oberoede v (grfe till f( ) = 0 är e rät orisotell lije). Eftersom fuktiosvärdet ldrig ädrs (grfe lutr ite) är derivt oll. 0, Se lösigsförslg i fcit. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit.,, Eempel som löses i boke. 6, 7 Se ledig i fcit. 8 Se bokes ledig oc fcit. 9 Hur fort temperture ädrs mi efter tt steke tgits ur uge, dvs y (). Jämför ditt svr med fcit. Avviker ditt svr mycket räkr du om uppgifte. Blir det ite bättre då kotktr du di lärre. 0 Jämför ditt svr med fcit. Avviker ditt svr mycket räkr du om uppgifte. Blir det ite bättre då kotktr du di lärre.,,, Se fcit. Kpitel. 0, 0 Eempel som löses i boke. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
38 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0, 0, 0, Se fcit oc uppgift 0. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 06, 07, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 Se fcit. f( ) = f = + ( ) 0, + = 8+ = 0 = ± 6 = ± =, = f( ) = f = + + ( ) , + + = = 0 = ± 6 = ± =, = 8 f( ) = + 7 f( + ) f( ) ( + ) + 7( + ) = = f ( ) = lim + 7+ = = + 7+ Ledig: y = + k ses som Vilke fuktio ger derivt? Vilke fuktio ger derivt? Vd r derivt 0? Se lösigsförslg i fcit., 6, 7 Eempel som löses i boke. 8 Uppgifte k löss på två sätt: Altertiv ( råräkig geom tt sätt i giv värde direkt) s s(,0 + ) s(,0) s(,) s(,0) = = = t 0, + 0, 0,, 0,0,0 m/s = 9 m/s Altertiv (förekl först, därefter sätts giv värde i) s s( t+ ) s( t) 0( t+ ) ( t+ ) 0t+ t = = = 0 0t t t =,0 oc = 0, 0 0 0, m/s = 9 m/s NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
39 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Uppgifte k löss på två olik sätt: Huvudltertiv (väd deriverigsregler v= s = 0 0 t = (0 0, 0) m/s = 0 m/s Altertiv (om du vät ltertiv i -uppgifte utyttjr du resultte därifrå) s s( t+ ) s( t) = = 0 0t t t =,0 ger lim 0 0t = (0 0 ) m/s = 0 m/s 0 9 Nt ( ) = 00 + t N () t = t = 8t N = = () f( ) = 0 + 0, f = + 7 ( ) 0 0, f = + = 7 (00000) 0 0 0, 0, yt t t t ( ) = 0, 0, ,0 + 0 y t = t t + ( ) 0, 0,000 0,0 y () = (0, 0, ,0) C/s, C/s y (80) = (0, 80 0, ,0) C/s, C/s Tq ( ) = q 0, q T ( q) = 80 0,8q T (80) = 80 0,8 80 kr/eet = 6 kr/eet T (0) = 80 0,8 0 kr/eet = 68 kr/eet f () t = t 0,t f () t = 0,8t f () = 0,8 =,6 ökr med 600 deltgre f (6) = 0,8 6 = 0, ökr med 00 deltgre f (8) = 0,8 8 =, miskr med 00 deltgre V( ) = 0 0, V ( ) = 0 0,0 V ( ) = 0 0,0= 0 0,0= 0 = 00 V ( ) = 0 0, 0= 0 0, 0= 0 = 00 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
40 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel y = 0, , 0+ 8,89 y = 0, , 0 y (0) = 0, , 0 = 0, År 00 ökr folkmägde med 9680 persoer y (0) = 0, ,0 = 0,008 År 00 miskr folkmägde med 80 persoer 6 Eempel som löses i boke. 7 k = f ( ) = f( ) = f = ( ) 6 k = f = = ( ) 6 ( ) 9 f( ) = f ( ) = 8 0 k = f = = ( ) 8 ( ) 0 ( ) 6 8 Beräk först tgetes riktigskoefficiet f( ) = f ( ) = k = f () = 8 = Aväd k-form eller epuktsformel för tt bestämm tgetes ekvtio Altertiv : k-form = y = 0 k = y = k+ m 0= + m m= Svr: y = Altertiv : epuktsformel = y = 0 k = y y k = ( + ) y 0= Svr: y = 9 = y = y = + = () ( ) 8 ( ) Tgerigspukte är (, ) k = y ( ) = 0 ( ) + 8= Tgetes riktigskoefficiet är = ( ) + m m= 0 Tgetes ekvtio är y = 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
41 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0 Löses på smm sätt som uppgift 9. Kotkt di lärre om du beöver jälp. Tgete är prllell med y = 6 k = 6 Beräk för vilket som k = 6 y = f( ) = 7 k = y = f ( ) = = 6 = Beräk vd y är då = y = f() = 7 = Svr: I pukte (, ) är tgete prllell med y = 6. Se bokes ledig oc lösigsförslget till uppgifter 9 oc. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp., Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. f () t =,t 0,t f () t =, 0,t f () =, 0, =,8 ökig med 800/år f () t =, 0,t = 0,8 0, t =,6 t = 8 Efter 8 år ökr tlet deltgre med 800 pers/ år (Kommetr: Väldigt lågvrigt projekt) 6, 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 Sätt y = K( ) där y är kostde i kr oc är tlet producerde burkr. K(000) = 0000 kr K (000) = kr/burk Uder förutsättig tt K ( ) är kostt i itervllet blir kostde y = ( ) kr = 00 kr 9, 0, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke., Se uppgift oc fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 6, 7 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
42 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 Se fcit. 0, T ( ) =, T (0, 7) =, 0, 7 jordberdier/år. 9 0,7 0,7 y ( ) = 0, 0, = 0,7 y = 0,7 (7) 0,7 7 m /kg 0,0 m /kg E perso som är 80 cm låg oc väger 7 kg kommer vid e viktuppgåg tt ök si kroppsyt med, dm för vrje kilo som persoe ökr i vikt. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se lösigsförslg i fcit., Eempel som löses i boke., Se uppgift oc fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 6 Se uppgift oc lösigsförslg i fcit. 7, 8 Se fcit. 9 Se fcit oc Ledig: dy d oc D är ltertiv beteckigr för y. 60 y ( ) = 6e y y = 6e e = 6e 6e =0 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 6 b f ( ) = e be b f ( ) = be + be 0 c = för c 0 f (0) = b + b = b 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se fcit. Kotkt di lärre om du vill diskuter dett mer. 66, 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 68 Se lösigsförslg i fcit. 69 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
43 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 70 Se lösigsförslg i fcit. 7 Eempel som löses i boke. 7, 7 Se uppgift 9 oc fcit. Glöm ite tt e Kotkt di lärre om du beöver jälp. l =. 7 Hur m byter till bse 0 beskrivs i uppgift 0. Hur m byter till bse e beskrivs i uppgift 7, Metod. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7 Ledig: 0 = oc e b = b. Kotkt di lärre om du beöver jälp. lg l Ledig: Utyttj deriverigsregel om y ( ) = så är y ( ) = l. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 78 Ledig: Deriver term för term precis som vligt. 79 Se lösigsförslg i fcit. 80 y ( ) = 0 y ( ) = 0 l0 = 0 y = y = = 0 (0) 0 k = y = = 0 (0) 0 l0 l0 Sätt i dett i epuktsformel y y = k( ) y = l0( 0) y = l0 + = 0, y = y = = 0, (0,) 0 0 k = y = = 0, (0,) 0 l0 0 l0 Sätt i dett i epuktsformel y y = k( ) y 0 = 0 l0( 0,) y = 0 l0 0, 0 l , 8 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 Eempel som löses i boke. 8 Se bokes ledig oc svret i fcit. 8 Ledig: Bestäm K (00). NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
44 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 86, 87 Se bokes ledig. 88 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 89 Se fcit. 90 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 9 y ( ) = 0 00e y k () = 0 00e = k 00e = 67 e k = 67 / 00 k k = l(67 / 00) l(67 / 00) k = 0,0 y ( ) = 00ke k y () = 00ke k Sätt i k-värdet frå -uppgifte o y () C / mi 9, 9, 9, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 9, 96, 97, 98 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
45 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0 Eempel som löses i boke. 0, 0, 0 Se fcit. 0, 06 Se bokes ledig oc fcit. 07 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 08 Eempel som löses i boke. 09 y ( ) = 8+ y ( ) = 8= 0 = Bestäm y-koordite geom tt sätt i = i y ( ) y () = 8 + = Etrempukt i (, ) Sätt i ett tl, vilket som elst som är midre ä, i y ( ) oc se om resulttet är ett positivt eller egtivt tl. Välj gär ett tl som är lätt tt räk med. Eempelvis y (0) = 0 8 < 0 tecket är d) Sätt i ett tl, vilket som elst som är större ä, i y ( ) oc se om resulttet är ett positivt eller egtivt tl. Välj gär ett tl som är lätt tt räk med. Eempelvis y (0) = 0 8 > 0 tecket är + e) Teckeföljde är 0 + Miimipukt Stämmer med det du og kommer iåg om drgrdsfuktioer frå B-kurse: Positiv koefficiet till drgrdsterme betyder tt fuktioe tr ett miimivärde (grfe r forme v e gld mu). 0 y ( ) = + y ( ) = 6+ = 0 = Bestäm y-koordite geom tt sätt i = i y ( ) y = + = Etrempukt i (, 6) () 6 Sätt i ett tl som är midre ä oc ett som är större ä i y ( ) oc se om resulttet blir ett positivt eller egtivt tl. Välj tl som är lätt tt räk med. Eempelvis y (0) = > 0 tecket är + oc eempelvis y (0) = < 0 tecket är Teckeföljde är + 0 Mimipukt NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
46 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Räk på smm sätt som i uppgifter Se resulttet i fcit. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. Tgeter till grfe r positiv riktigskoefficiet, f( ) > 0, fuktioe är väde för >. Tgeter till grfe r egtiv riktigskoefficiet, f( ) < 0, fuktioe är väde för 0 < <. Se bokes ledig. 0 + miimipukt + 0 mimipukt Se fcit. f ( ) = 8 f ( ) = 8 8 = 0 6 = 0, =± f( ) = + f = ( ) 6 6 = 0, 8= 0 = ± + 8 = ± f( ) = f ( ) = f ( ) = 0 0 0, = = =± Sätt i Sätt i = f = f = = + = i ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 = f = f = = = i ( ) () 8 6. Sätt i ågot -värde som är midre ä i f ( ). Eempelvis = f = = > 0 ( 0) ( 0) Sätt i ågot -värde som är mell oc i f ( ). Eempelvis = 0 f (0) = 0 = 0 < 0. Sätt i ågot -värde som är större ä i f ( ). Eempelvis = 0 f (0) = 0 = 00 > 0 d) Teckevälige är ger kurvforme är Mimivärde för = Miimivärde för = 6 Räk på smm sätt som i uppgift. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7 Det grudläggde sättet tt lös e såd är uppgift är tt sök upp etrempukter med jälp v derivt, dvs lös ekvtioe derivt = 0 oc sed gör e värdetbell. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
47 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Att räk ut måg fuktiosvärde i e värdetbell för d, k vr gsk rbetsmt oc tråkigt. T jälp v e grfisk miiräkre geom tt räk med listor eller väd ågot lämpligt dtprogrm. Se kurvor i fcit. 8, 9 Se uppgift 7 0 Grfe ser ut tt br ett etremvärde, i dett fll ett miimivärde. Därför bör m misstäk tt det är e drgrdsfuktio med positiv koefficiet frmför drgrdsterme. uppfylls edst v fuktio c. Studerr m grfe ärmre ser m också tt symmetrilije går geom = uppfylls edst v fuktio c oc tt de r ollställe vid = oc = uppfylls edst v fuktio C. f( ) = + f = = ( ) ( ) f ( ) = 0 f f (0) 0 0 () 7 = 0 = = + = = + = De lokl etremvärde är oc 7. Eftersom > 7 är pukte (0, ) ett mimivärde oc pukte (, 7) ett miimivärde. f( ) = 8 + ( ) = 6 6 = f f = ( ) 6( 6 7) f ( ) = 0 = ± 9+ 7 = 7 = f, (7) = + = f ( ) = = De lokl etremvärde är oc 87. Eftersom > 87 är pukte (, ) ett mimivärde oc pukte (7, 87) ett miimivärde. Räk som i uppgift., Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se uppgift. 6 Se bokes ledig. 7, 8, 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 0 Ledig: Vilke term ger det störst bidrget till summ om är stort? Udersök själv geom tt sätt i ett riktigt ög värde på. Ledig: Vilke termer ger det störst bidrget till summ om är litet? Udersök själv geom tt sätt i värde på som är väldigt är oll. d) Se fcit För stor domierr -terme. För små är y. Se fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
48 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel, Se fcit. Ledig: Vilke term ger det störst bidrget till summ om är stort? Udersök själv geom tt sätt i ett riktigt ög värde på. Ledig: Vilke termer ger det störst bidrget till summ om är litet? Udersök själv geom tt sätt i värde på som är väldigt är oll. d) Se fcit Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Se bokes ledig. 7 E llmä formel för e tredjegrdekvtio är på domierr tredjegrdsterme. f ( ) b c d = För stor värde Grfe till e tredjegrdsfutio ser oftst ut som eller. Vilket tecke r fuktiosvärdet för stor egtiv tl? Test med t e = Vilket tecke r fuktiosvärdet för stor positiv tl? Test med t e = , 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke., Se fcit. Hör v dig till di lärre om du beöver jälp. I etrempukter oc på itervllgräser. Se fcit. f (0,) = 0, 6 0, + 9 0,+ = 6, f () = = 7 f () = = f (,) =, 6, + 9,+ =, m:,, mi: f( ) = + 8 f ( ) = 6 f = = =± ( ) 0 0, Bestäm f(,), f( ), f(), f(,9) f f f f = + = = + = m: 0, mi:, = + = = + = (,) (,) (,) 8, ( ) ( ) ( ) 8 0 () 8 (,9),9,9 8,08 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
49 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 7 f( ) = f ( ) = f ( ) = = 0 =, ±, 000 = = 0, Bestäm f(8), f(), f(0), f(0) f f f f = + = = + = = + = = + = (8) () (0) (0) m: 000, mi: Se lösigsförslg i fcit. Kpitel. 0 Eempel som löses i boke. 0 Ställ upp fuktioe: yt () =,8t + 9,6t+ 8, Age defiitiosmägde: Det mist t-värdet är 0. T red på vilket det ögst värdet på t är: yt ( ) = 0 t t 8 = 0 t = ± t = förksts t = är OK 0 t Sök derivts ollställe: y () t = 9,6t+ 9,6 t = y () t = 0, Gör e tecketbell: m y 8, 0 y t 0 Svr: Rkete år m över vet. 0 Ställ upp fuktioe: y ( ) = Age defiitiosmägde: Det mist -värdet är 0. Det går ite tt ge ågot mimlt värde på med jälp v det vi vet om revy. > 0 Sök derivts ollställe: y ( ) = = 00 y ( ) = 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
50 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Gör e tecketbell: Svr: Priset 00 kr ger miml itäkt. 0 y ( ) =, +, 0, y ( ) =, 0,8 =,/ 0,8 y ( ) = 0 y(,/ 0,8),8 Svr: Bolle år,8 m över golvet. 0, 06 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 07 yt () = 0,t t+ 0 y () t = t t = y () t = 0 y() =, m y y Svr: Klock 0.00 vr det som kllst. Då vr det, C. 08, 09 Se fcit oc uppgifter 0 oc 0. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Are är A ( ) = (6 ) = 6, Defiitiosmägde är 0 8 A ( ) = 6 A ( ) = 0 = 9 A(9) = 9 8 = 6 m y y Svr: Måtte 9 cm 8 cm ger miml tvärsittsre. se fcit Ledig: V( ) = I( ) T( ) Ledig: V( ) > 0 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
51 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel d) V ( ) = + + V ( ) = 0 = förksts V = ±, () 6 8 = + + = m y 8 y Svr: Miml vist är 8000 kr. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. y 0 k = = =, Klock 0.00 sjuker temperture med C per timme. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6 Lös uppgifte på smm sätt som uppgift. Itäkte är Iq ( ) = 700 qkr Viste är V( q) = I( q) T( q) = q 900q V ( q) = 6q 800q+ 6 V ( q) = 0 q = förksts q = är OK V () 000 q = 0 ± 6 + 6q 00 kr Ledig: Beräk V() oc V () 7 A= y = y = 800 L ( ) = + L= + y 800 L ( ) =, =± 0 L ( ) = 0 Bild v prkerigspltse y = 0 förksts = 0 är OK Svr: Prkerigspltse skll vr 0 m 0 m NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
52 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 8 Se figure ed. sid flik sid botte sid lock 00 cm Färdig låd cm cm cm cm sid 60 cm cm flik (80 -) cm (00-) cm 60 Vi får volymsfuktioe: V( ) = (00 ) = Eftersom pppskiv är 00 cm bred blir defiitiosmägde 0 0. När 'volymfuktioe' är lgebriskt formulerd, k vi fi låds störst volym geom tt deriver volymsfuktioe oc sätt derivt till oll V ( ) = = 0 + = ± 70, = = 00 / 67 förksts ty ligger utför defiitiosmägde = 0 M bör försäkr sig om tt de lösig motsvrr ett (loklt) mimum: V() m mi V'() / Vi k kostter tt det är ett mimum för = 0. Sätt i = 0 i V( ) V(0) = cm = 7 dm Svr: Låds miml volym blir 7 liter 9 Beräk först de orisotell ktetes lägd i de rätviklig trigel: Rektgel i figure delr v två midre, rätviklig triglr, ur de stor trigel. Dess är båd likformig med de stor trigel. Vi k teck reltioer: y 0 = = / y = Vi k u teck bottere som fuktio v : A ( ) = 0 Geom tt udersök refuktioes derivt, k vi bestämm miml "usstorleke" (miml bottere): A ( ) = 0 0 / = 0 = Kotroller tt dett är ett mimum! Sätt i = i A(). Svr: Miml bottere för uset är 0 m 8 0 = NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
53 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se skisse i fcit. Kotkt di lärre om du vill diskuter de uppgift.,, Se bokes ledig oc fcit. Eempel som löses i boke. 6 ( ) T( ) = T ( ) är OK me 0 förksts ty T(0) 0 T ( ) = 0 T () = Kotroller tt T () är ett mimivärde! 0 T( ) 0 0 T ( ) + 0 Svr: Miml re är reeeter. 7, 8, 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. f f ( ) =, 0 oc > 0 ( ) > 0 f ( ) =, 0 oc < 0 f ( ) = 0 för =± Se tecketbelle i fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp.,,,, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6, 7, 8 9, 0 Eempel som löses i boke. Se bokes ledig oc lösig i fcit. 0 0 y = + y = y = 0 0 = 0 = =±, 0 0 y = + y = y = 0 0 = 0 = 8 = y = y ( ) = y () = Sätt i i epuktsformel: y = ( ) y = +. Se skisse i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
54 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel y ( ) 0, = y ( ) = 0, y() = 0,0 Svr: km frå skorstee miskr föroreigr med 0,0 ppm per km. Se bokes lösigsförslg i fcit. 6 f( ) = + f ( ) = f ( ) = 0 för =± Gör e teckestudie, förslgsvis bserd på = ± 0, =± oc =± 0, Observer tt vrke f ( ) eller f ( ) är defiierd för = 0. Se kurv i fcit. f ( ) = f ( ) = + f ( ) > 0 för ll Att derivt till de fuktio är lltid större ä 0, betyder tt fuktioe skr lokl etremvärde. Gör e värdetbell bserd på ågr lämplig -värde. Se kurv i fcit. 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 8 Fel svr i fcit. Bestäm derivt y oc sätt de till 0 för tt fi fuktioes etrempukter y = y = 8000 y = 0 = = 600, =± 60 = 60 förksts = 60 är OK Kotroller tt = 60 ger e miimipukt, teckestudie eller rit grfe till y. 60 dtorer per sädig ger lägst frktkostde. Om m säljer 600 dtorer skll m skick 600 = 60 pket om m öskr så låg 60 frktkostd som möjligt. 9, 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Eempel som löses i boke. k k Deriver term för term. Fuktioe f ( ) = e r derivt f ( ) = ke. f ( ) = y = e + e f ( ) = y = e + e b ) f( ) = y = e + e f ( ) = y = e 0, e = e e 0, 0, 0, 0, 0, f ( ) = e f ( ) = 0, e f () = 0,e = 0,e 0, 0,0 f ( ) = e f ( ) = 0, e = e f () = e = e 0, 0, 0, 0, NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
55 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel f( ) = e f( ) = + e f ( ) = e f ( ) = e e = 0 f ( ) = 0 f ( ) = 0 e e = 0 = = l e = = l = l Kät: f( ) = e oc f (0) = 6 f ( ) = e 0 f (0) = e = = 6 = = l b 6 Du kommer väl iåg tt b= e? Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 7 Deriver fuktioe. Let lokl etremvärde. Koll tecket för derivt till öger oc till väster om evetuell etremvärde. Där derivt är egtiv är fuktioe vtgde. f ( ) = e f ( ) = 0 e = = l= 0 f ( ) = e > 0 väde fuktio f () = e< 0 vtgde fuktio Svr: Fuktioe är vtgde för > 0. f ( ) = + e f ( ) = 0 e = Går ej tt lös ty f ( ) > > 0 lltid väde fuktio Svr: Fuktioe är väde för ll. e lltid > 0 8 Se puktlist i tipse till uppgift 7 ov. f ( ) = + e f ( ) = 0 e = = l, l f (l) = + e < 0 vtgde fuktio f = + > l (l ) e 0 väde fuktio Svr: Fuktioe är väde för > l,. 9 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
56 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel 60 0,0 Kät: y ( ) = 0 + 7e Sökt: De för vilk y( ) < 0 0,0 0 7e 0 0,0 7e 0 e + < 0,0 < < 0, 0 0,0 < l 0,0 l 0, 0 > 6 0, 0 Efter 6 miuter är kffet kllre ä 0 C. 0,0 0,0 y ( ) = e y ( ) = 0,0 7e y = 0,0 0 (0) 0,0 7e 0,9 Kffets tempertur miskr 0,9 C per miut 0 miuter efter A ällde upp det. 6 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 6, 6, 6 Se bokes ledig oc svret i fcit. Kotkt di lärre om du vill jälp. 6, 66 Se bokes lösigsförslg i fcit. 67 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 68 Eempel som löses i boke. 69, 70, 7 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 7 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 7, 7 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. 76, 77, 78 Se fcit. Kotkt di lärre om du beöver jälp. 79 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
57 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel Kpitel. 0, 0, 0, 0 Eempel som löses i boke. 0 = = = = = = = 7 = = 0 = + = = = + = = + 6 = = = + 8 = = + 06 = +, = + 6 = 6 + = = + = = + = 69 = 69 + = = +, = + = + = 6 = 6+ = 9 = 8+ = = + = 07 Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. 08 = = = = 6 = 0, = 0, = = =,0 = Se fcit oc uppgift 08. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. 0 Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. ( + ), = = = ( ) 9 = = = (9 ) 7 9 = = = (9 ) = + +, = = = + = + = = + = + = = + = + = 8 NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
58 Kompletterde lösigsförslg oc ledigr, Mtemtik 000 kurs C, kpitel + + = = = = = = = = = = = Om du r dr lösigr ä de i fcit k du kotkt di lärre om du vill diskuter di lösigsförslg. K du itt ågo rekursiosformel som ger smm tlföljd? Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se lösige i fcit. 6 Rekursiosformel k skrivs om som vilke formel som elst: = + = + + Med jälp v de y formel k vi beräk det föregåede tlet i tlföljde. = = = = = = 0 = = 0 = 8 7 Se lösige i fcit. 8 Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp eller vill diskuter ditt lösigsförslg. 9 Kotkt di lärre om du beöver mer jälp eller vill diskuter ditt lösigsförslg. 0 Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Lös ekvtioe 00 >. Täk på tt skll vr ett eltl. > 9 < 9 < <, Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. Se bokes ledig. Kotkt di lärre om du beöver mer jälp. Se bokes ledig oc lösigsförslg i fcit. NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 00
Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor
Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler:
Läs merRättande lärare: Niclas Hjelm & Sara Sebelius Examinator: Niclas Hjelm Datum: Tid:
TENTAMEN Kursummer: HF00 Mtemtik för bsår I Momet: TENA /TEN Progrm: Tekiskt bsår Rättde lärre: Nicls Hjelm & Sr Sebelius Emitor: Nicls Hjelm Dtum: Tid: 08-06-0 :00-7:00 Hjälpmedel: Formelsmlig: ISBN 978-9-7-779-8
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1
Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att
Läs merKapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a
Kompletterde löigförlg och ledigr, Mtemtik 000 kur C, kpitel Kpitel. 0, 0, 0, 0 Exempel om löe i boke. 0 ) 7 0 + + + 6 + 8 + 06 ) +, + 6 6 + + + 69 69 + +, + + 6 6+ 9 8+ + 07 Se boke ledig. Kotkt di lärre
Läs merÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.
ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst
Läs mer1 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel TAYLORS FOREL Tylors ormel krig pukte Om uktioe oh dess + örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet [, ] eller [,], dvs vi tillåter < då gäller. som ligger
Läs mersom är styckvis kontinuerlig och har styckvis kontinuerlig derivatan. Notera att f (x)
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR cosiusserier,siusserier SINUSSERIER OCH COSINUSSERIER I föregåede lektio (stecil om Fourierserier) hr vi vist hur m utvecklr e periodisk fuktio i e trigoometrisk serie K vi
Läs merIntegraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi
Itegrler Frå le: Itegrler Beräkigsveteskp I/KF Trpetsformel oc Simpsos formel Itegrler Itegrler Frå le: Frå le: Adptiv metod (dptiv Simpso) Lösig v itegrl i Mtl: är itegrde är kotiuerlig fuktio: väd itegrl.
Läs merKompletterande material till kursen Matematisk analys 3
Kompletterde mteril till kurse Mtemtisk lys 3 Augusti 2011 Adrzej Szulki 1 Supremum, ifimum och kotiuerlig fuktioer I ppedix A3 i [PB2] defiiers begreppe supremum och ifimum. mooto tlföljder är ekvivlet
Läs merc k P ), eller R n max{ x k b dx def lim max n f ( def definition. [a,b] om
RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIO ONEN AV INTEGRALI LEN f ( x) dx Låt f ( Låt P={xx 0,x 1,...,x } där = x 0 x 1,..., x = =, vr e idelig vv itervllet [,]. I vrje delitervll [x -1, x ] väljer och e put c. Alltså
Läs merKapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.
Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel
Läs mer11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET
498 11. INTEGRALBEGREPPET Defiitio 11.16 R är e obestämd itegrl. De beteckr e primitiv fuktio till f(x). Vi smmfttr skillder mell bestämd och obestämd itegrler: Obestämd itegrl: itegrle skr gräser. De
Läs merf(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.
Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V
Läs merINTEGRALKRITERIET ( även kallas CAUCHYS INTEGRALKRITERIUM )
Armi Hlilovic: EXTA ÖVIGA Cuchys itegrlriterium ITEGALKITEIET ( äve lls CAUCHYS ITEGALKITEIUM ) POSITIVA SEIE Defiitio E serie är ositiv om 0 för ll Eftersom delsummor v e ositiv serie bildr e väde ositiv
Läs merI den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
rmi Hliloic: EXTR ÖVNINGR EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Defiitio. Egeektor och egeärde för e lijär bildig Låt V r ett ektorrum och T : V V e lijär bildig frå V till V. Om det fis e ollskild ektor och e sklär
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merDel A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.
Läs merAnalysens grunder. Tomas Ekholm Niklas Eriksen. Matematiska institutionen, 2001 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse
VK Alyses gruder Toms Ekholm Nikls Erikse Mtemtisk istitutioe, 200 Fisiert v Mrie och Mrcus Wllebergs Stiftelse Grekisk lfbetet lf A α iot I ι rho P ρ bet B β kpp K κ sigm Σ σ gmm Γ γ lmbd Λ λ tu T τ delt
Läs mer16.3. Projektion och Spegling
6.3 Projektio oh Speglig 67 6.3. Projektio oh Speglig Exempel 6.4. Bestäm mtrise för projektioe P v rmmet vikelrät mot plet W : x y z = 0. Bestäm okså ilde v svektorer e, e, e 3 oh w = e + e + 3e 3. (N-s.
Läs merFORMELBLAD cos( ) cos cos. 21. sin( ) sin cos. 23. tan TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER I RÄTVINKLIGA TRIANGLAR. Pytagoras sats:
TRIGONOMETRISKA FORMLER... si 0 si 6 FORMELBLAD HF700, Bggproduktio 6. si cos 7. si45 si 4 si( ) t( ), cos( ) cos( ) cot( ) si( ) 8. cos( ) coscos sisi si 60 si 4. 9. cos( ) coscos sisi cos 0 cos 6 5.
Läs merProblem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
Läs merDIAGONALISERING AV EN MATRIS
Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr
Läs merTNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter
TNA00 Matematisk grudkurs Övigsuppgiter Iehåll: Uppgit Uppgit 8 Uppgit 9 6 Uppgit 7 5 Uppgit 55 60 Facit sid. 8-0 Summor, Biomialsatse, Iduktiosbevis Ivers uktio Logaritmer, Expoetialuktioer Trigoometri
Läs merTentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)
KTH-Matematik Tetameskrivig, 2008-0-0, kl. 4.00-9.00 SF625, Evariabelaalys för CITE(IT) och CMIEL(ME ) (7,5h) Prelimiära gräser. Registrerade å kurse SF625 får graderat betyg eligt skala A (högsta betyg),
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs mer1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekviosssem med oek m m m m ss) och m ekvioer: E lföljd -ippel) s s s är e lösig ill
Läs mervara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna
Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr
Läs merFÖ 5: Kap 1.6 (fr.o.m. sid. 43) Induktionsbevis
FÖ 5: K.6 fr.o.m. sid. Idutiosevis Fultet och iomiloefficieter Defiitio v! "-fultet" och iomiloefficieter " över " Disussio och evis v egeser.7 och.8. och.7 för ll =,,,...,.8 Av.8 följer t.e. tt, och Disussio
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grudkurs Tetame 07-0- - Lösigsskiss. a) Svar: x ], [ [, [. 4x x + 4x 4x (x + ) 0 0 x x + x + x + 0 //Teckeschema// x ], [ [, [ b) I : x I : x I : x x x + = 4 = 4 Lösig sakas x + x + =
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs mer1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs merNågot om funktionsföljder/funktionsserier
mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer
Läs merJag läser kursen på. Halvfart Helfart
KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merLektionssammanfattning Syra-Bas-Jämvikter
Lektiossmmfttig SyrBsJämvikter Det fis ytterligre e typ v jämvikter som vi sk t upp i vi käer oss öjd. Nämlige Syrsjämvikter. De type v jämvikter väds huvudsklige för svg syror oh ser. Ett exempel på e
Läs merNEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs mer= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Läs merInledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan
Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x
Uppgift 1 a) Vi iför slackvariabler x 4, x 5 och x 6 och löser problemet med hjälp av simplexalgoritme. Z -2-1 1 0 0 0 0 x 4 1 1-1 1 0 0 20 x 5 2 1 1 0 1 0 30 x 6 1-1 2 0 0 1 10 x 1 blir igåede basvariabel
Läs merRepetitionsuppgifter i matematik
Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs merär ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer
Läs merDigital signalbehandling Alternativa sätt att se på faltning
Istitutioe för data- oc elektrotekik 2-2- Digital sigalbeadlig Alterativa sätt att se på faltig Faltig ka uppfattas som ett kostigt begrepp me adlar i grude ite om aat ä att utgåede frå e isigal x [],
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio
Läs merwww.kitas.se Kitas Frisörgymnasium Nytänkande och kvalitet
www.kits.se Kits Frisörgymsium Nytäkde och kvlitet Stimulerde miljö på Mgsisgt Kits Frisör är e lite friskol med 90 elever som erbjuder e kretiv och ispirerde miljö. Utbildige är yrkesförberedde, håller
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merSvar till tentan
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Prov i matematik ES, K, KadKemi, STS, X ENVARIABELANALYS 0-03- Svar till teta 0-03-. Del A ( x Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y = f (x =
Läs merSANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.
Läs merFAFF Johan Mauritsson 1. Geometrisk optik - reflektion och brytning. Våglära och optik. Geometrisk optik - reflektion och brytning
Våglär och optik Geometrisk optik - relektio och rytig FFF30 JOHN MUITSSON Geometrisk optik system Geometrisk optik - relektio och rytig elektioslge rytigslge (Sell s lg) Totlrelektio 3 4 Ljusets utredig
Läs merHöftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund - Exempel på tavlan
Höftledsdysplasi hos dask-svesk gårdshud - Exempel på tavla Sjö A Sjö B Förekomst av parasitdrabbad örig i olika sjöar Exempel på tavla Sjö C Jämföra medelvärde hos kopplade stickprov Tio elitlöpare spriger
Läs merTentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/
Tetme me löigr i IE4 Reglertei Måg 6/ 9.-. Allmä iformtio Emitor: Willim Sqvit. Avrig lärre: Willim Sqvit, tel 8-79 4487 Cmpu Kit, Tetmeuppgifter behöver ite återläm är u lämr i i rivig. Hjälpmeel: Räre/rfräre.
Läs merRäkning med potensserier
Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som
Läs mer(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs mern i 0 i x x i för k 1, 2,, n i 1 Något om några Grundbegrepp och Mathematica q i 1 q q 2 q n 1 qn 1 x a a,b n n k k n k n i 0 1 q
HH/ITE/BN Grudegrepp och Mthemtic Något om ågr Grudegrepp och Mthemtic Bertil Nilsso 08-08-5 p q p, q, q 0 i0 q i q q q q q k k k i0 i i för k,,,, siπ 0 \ i i c c i i, 0 Grudegrepp och Mthemtic HH/ITE/BN
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl
1 Matematiska Istitutioe, KTH Tetame SF1633, Differetialekvatioer I, de 22 oktober 2018 kl 08.00-13.00. Examiator: Pär Kurlberg OBS: Iga hjälpmedel är tillåta på tetamesskrivige. För full poäg krävs korrekta
Läs mer5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN
48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merStort massflöde Liten volym och vikt Hög verkningsgrad. Utföranden Kolv (7) Skruv (4) Ving (4) Roots (1,5) Radial (2-4) Axial (1,3) Diagonal.
Komressorer F1 F Skillad mot fläktar: Betydade desitetsförädrig, ryk mäts ormalt som absolut totaltryk. vå huvudgruer av komressorer: Förträgigskomressorer urbokomressorer Egeskaer Lågt massflöde Höga
Läs merGeometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260
FF60 Geometrisk optik vildig med liser och speglr Geometrisk optik F7 eflektio och rytig F8 vildig, liser och speglr system F9 istrumet Geometrisk optik vildig med liser epetitio: eflektio och rytig rytig
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH
1 Matematiska Istitutioe KTH Lösig till tetamesskrivig på kurse Diskret Matematik, momet A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, de 5 jui 2009 kl 08.00-13.00. DEL I 1. (3p) Bestäm e lösig till de diofatiska
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merTenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2
Teta i MVE5/MVE95, Komplex (matematisk) aalys, F och TM/Kf 6, 8.3-.3 Hjälpmedel: Formelblad som delas ut av tetamesvaktera Telefovakt: Mattias Leartsso, 3-535 Betygsgräser: -9 (U), -9 (3), 3-39 (4), 4-5
Läs merSannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merTENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare
Istitutioe för dt- och eletrotei 5-5-4 TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletro- och dtigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 3 KURSBETECKIG LET39 96 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merLinköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.
Exempeltetame 3 (OBS! De a te ta m e ga vs i a ku rse delvis bytte i eh å ll. Vis s a u ppgifter s om i te lä gre ä r a ktu ella h a r dä rför ta gits bort, vilket m edför a tt poä gs u m m a ä r < 50.
Läs merVINDKRAFTFAKTA. Teknik och säkerhet. Teknik. Säkerhet
VINDKRAFTFAKTA Tekik och säkerhet Tekik Aktuell vidkrftverk bedöms få e vhöjd på som mest 14 meter och e rotordimeter på mell 8-13 meter. Ovsett Totlhöjd verkstyp kommer totlhöjde ite tt överstig 185 meter.
Läs merApproximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden.
Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR MINSTAKVADRATMETODEN Mistvdrtetode. INLEDNING frå lijär lger) Låt vr ett olösrt sste dvs. ett sste so sr lösig). Vi sriv ssteet på fore A = ss ) där...... A, och................
Läs merREGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:
CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal
Läs merGeometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som
Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor
Läs mer4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merStudentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.
KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merTentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00.
Tekiska Högskola i Lud Istitutioe för Elektroveteskap Tetame i Elektroik, ESS010, del 2 de 14 dec 2009 klocka 14:00 19:00. Uppgiftera i tetame ger totalt 60p. Uppgiftera är ite ordade på ågot speciellt
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl
TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs mer