1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:"

Christer Olofsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekviosssem med oek m m m m ss) och m ekvioer: E lföljd -ippel) s s s är e lösig ill sseme om susiuioe s s s sisfierr ll ekvioer i ss). Defiiio. Mägde v ll lösigr ill e ekviosssem klls ssemes lösigsmägd. Vi säger vå ssem är ekvivle om de hr smm lösigsmägd. ANTAL LÖSNINGAR. För e lijär ekviosssem gäller precis e v följde leriv:. Sseme hr precis e lösig.. Sseme hr oädlig måg lösigr. Sseme skr lösig. Sseme är ikosise) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får gör följde elemeär operioer med ekvioer u ädr ssemes lösigsmägd:. B pls på vå ekvioer. Muliplicer e ekvio med e l. Adder e mulipel v e ekvio ill e ekvio TOTALMATRIS När vi löser e lijär ekviosssem ss) räkr vi eds med ssemes koefficieer. Vi k skriv ll koefficieer i e ell som vi kllr ssemes olmris och räk eds med mrises eleme. Tolmris ill ss) m Om vi iför mriser m m m.

2 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio A och B m m m m då är olmrise A B) Amärkig: Mrise A klls ekviosssemes koefficiemris. Isälle skriv hel ekvioer räkr vi med rder i olmrise. Vi får gör följde elemeär rdoperioer u ädr ssemes lösigsmägd:. B pls på vå rder. Muliplicer e rd med e l. Adder e mulipel v e rd ill e rd GAUSSELIMINATION Successiv elimiio). Med hjälp v elemeär operioer överför vi sseme ill e ekvivle ssem på rppsegsform som är ekel lser och eveuell lös). Vi srr med de förs ekv. i sseme. De förs ekv väder vi för elimier i ll ekvioer föruom förs Om ie fis i de förs ekvioe d.v.s. om er vi pls med de ekvio där fis. ) Efer förs seg får vi följde ekviosssem ' ' ' ' m ' ' ' m ' ' ' m ss ) Därefer väder vi dr ekvioe och elimierr på smm sä frå ll dr föruom ekv dvs vi elimierr frå ekv ekv m). De k häd är elimierd efer förs seg frå ll ekvioer uom förs då går vi direk ill. All eveuell skriver vi lägs ed i sseme. A vi får eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer och därför k försumms. A) Får vi ågo gåg e ekvio v p där e ) hr sseme INGEN LÖSNING. Självklr ehöver vi i de fll ie gör fler räkeoperioer)

3 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio B) Om flle A ie förekommer är sseme lösr. Vi forsäer ills vi får sseme på rppsegsform: ' ' ' k k ' ' eveuell ' ' lägs ed i sseme Då löser vi u de ledde vriler. All dr om de fis ågr föruom ledde vrierr fri fri vriler). Vi hr följde vå fll för kosise) lösr ssem: B. PRECIS EN LÖSNING om sseme är kosise lösr) me hr ig fri vriler. B. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om sseme är kosise lösr) och hr mis e fri vriel. Amärkig: Vi iför e prmeer för vriel som vrierr fri. Vi k uför Gusselimiio med hjälp v ssemes olmris geom överför olmris ill rppsegsform Eempel på rppsegsform: 8 E olmris hr rppsegsform om Eveuell ollrder är lägs ed E e ledde e) är de förs icke-oll eleme i vrje rd som ie esår er v ollor. De ledde eor sår lägre ill höger ju lägre ed vi läser - Ledde eor svrr mo ledde vriler om de sår i förs dele v olmrise. - Vi iför e prmeer för vrje vriel som ie hr ledde e för vrje vriel som vrierr fri). A) INGEN LÖSNING om e ledde e sår i dr dele v olmrise på rppsegsform.

4 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio Eempel för ige lösig olmrise ) Mosvrde ssem: e ledde e i dr dele v B) Om flle A ie förekommer då är sseme lösr: B. PRECIS EN LÖSNING om sseme är kosise lösr) me ig fri vriler. 9 8 Eempel för precis e lösig re ledde eor och re vriler ig fri vriler). Lägg märke ill e ollrd ie eder uomisk oädlig måg lösigr u e ekvio är e lijär komiio v dr!!! Mosvrde ssem: 9 8 Amärkig Vi upprepr sis ekvioe eder e ekvio är e lijär komiio v dr ekvioer och därför k försumms.) B. OÄNDLIGT MÅNGA LÖSNINGAR om sseme är kosise lösr) och mis e fri vriel. 9 8 Eempel för oädlig måg lösigr vriler e fri vriel). Mosvrde ssem: vå ledde eor och re 9 8 EXEMPEL. ) Lös sseme

5 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekviosssem. Gusselimiio 9 ) Age ssemes lösigsmägd.. Lösig: ) ) 9 ekv ek ekv ek Vi hr få rppsegs form och löser u de ledde vriler. Vi örjr frå de sis ekvioe: och d.v.s. Precis e lösig: d.v.s. ig fri vriler) Lösigsmägde esår v precis e puk ). Vi k äve skriv lösigsmägde {)}. Svr: ) Precis e lösig: d.v.s. ig fri vriler) ) Lösigsmägde {)} Lösig med hjälp v ssemes olmris: 9 ~ ) ) rd rd rd rd rppsegsform När vi får rppsegsform skriver vi mosvrdeekvios ssem Härv Svr: ) Precis e lösig: d.v.s. ig fri vriler) ) Lösigsmägde {)}.. ) Lös sseme ) Age ssemes lösigsmägd. Lösig:

6 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Svr: Sseme hr ige lösig. v Lijär ekviosssem. Gusselimiio Lösig med hjälp v ssemes olmris: ~ rppsegsform) Ige lösig efersom e ledde e fis i dr dele v olmrise. Svr: ) Sseme hr ige lösig. ) Lösigsmägde " de omm mägde").. ) Lös sseme 8 ) Age ssemes lösigsmägd. Lösig: 8 Svr: Oädlig måg lösigr: där och är godcklig l. Vi k eeck och s och eskriv lösige med hjälp v vå prmerr: s s där s är godcklig l Lösig med hjälp v ssemes olmris: ~ rppsegsform) 8 Lösr ssem ige ledde e i dr dele). E ledde e me re vriler och. Vi k lös u e vriel ledde ). Två dr och vrierr fri. Oädlig måg lösigr: Mosvrde ssem på rppsegsform där och är godcklig l. Vi k eeck och s och eskriv lösige med hjälp v vå prmerr: s s där s är godcklig l Svr: ) Oädlig måg lösigr: s s

7 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekviosssem. Gusselimiio ) Lösigsmägde är mägde v ll puker ) s s där s är vilk som hels) reell l. Vi k formell skriv lösigsmägde { R s s s ) : }.. Lös följde ssem med vseede på och ) ) c) Lösig: ) Ige lösig Svr ) Ige lösig ) Svr ) Ek e lösig. c) där är e godcklig l oädlig måg lösigr.) Svr c) Oädlig måg lösigr.. Lös följde ssem med vseede på och ) ) Lösig: ) Svr )

8 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 8 v Lijär ekviosssem. Gusselimiio ) Svr ) Ige lösig Ige lösig. Lös följde ssem med vseede på och för ll värde på prmerr och Lösig: ) Vi hr följde fll: A) Sseme hr ek e lösig: B) och dvs Sseme hr följde form: där. Allså skr sseme lösig i de fll. B) och dvs Sseme hr följde form: Vi löser u frå de förs ekvioe och får: där är e godcklig l oädlig måg lösigr) eller Svr : A) Sseme hr ek e lösig:. B) och Sseme hr INGEN lösig. B) och Sseme hr oädlig måg lösigr: där ä e godcklig l. 8

9 9 v Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekviosssem. Gusselimiio. Lös följde ssem med vseede på och för ll värde på prmerr och Lösig: ) ) Vi hr följde fll: A) Sseme hr ek e lösig: B) och dvs Sseme hr följde form: där. Allså skr sseme lösig i de fll. B) och dvs Sseme hr följde form: Vi löser u ledde vriler och och får: och där är e godcklig l oädlig måg lösigr) eller där är e godcklig l. Svr : A) Sseme hr ek e lösig:. B) och Sseme hr INGEN lösig. B) och 9

10 Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Sseme hr oädlig måg lösigr: där ä e godcklig l. v Lijär ekviosssem. Gusselimiio

Relevanta dokument

(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.

(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd. Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr