I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära."

Oskar Martin Pettersson
för 7 år sedan
Visningar:

1 STUDIEAVSNITT 4 EKVATIONER I de vni k vi i på den enkle formen v ekvioner de linjär. ALGEBRAISK LÖSNING AV EKVATIONER Meoden när mn löer ekvioner v för grden, llå ekvioner om innehåller -ermer men ej ermer v pen,,... är hel iden denmm:. Uför prenemuliplikion.. Sml -ermern på en idn v likmedeckne och konnern (/iffrorn) på den ndr.. Gör fri på en idn. När mn flr över en erm från en idn ill den ndr i ekvionen måe mn komm ihåg b ecken. EXEMPEL Lö ekvionen: 4 = (, ) * * * 4 = (, ) 4 =.,. Uför prenemuliplikion 4 = = - Sml -ermern på en idn = - / - = Gör fri - =

.. är hel iden denmm:. Uför prenemuliplikion.. Sml -ermern på en idn v likmedeckne och konnern (/iffrorn) på den ndr.. Gör fri på en idn.

2 78 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER Här får vi llå vre = -. De går lä konroller de är rä. Vi oppr hel enkel in - iälle för i de urprunglig urcke och konrollerr de ger reule 4. Konroll: (, -) =. (, + ) =. 8, = , = 4 OK! EXEMPEL Lö ekvionen: ( ) 4( ) = * * * ( ) 4( ) = + 8 = 0 4 = 0 = = = /0 =, Konroll: (, ) 4(.,) = (0,) 4(0) = 0 = OK! ÖVNINGAR Lö följnde ekvioner 40 ) = b) 0 = / 8 4 = 4 d), = 4, 40 ) 4 8 b),74 0, 0,4 d) 0 8

3 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER 7 40 ) 8 + = -8 b), = 0 = - d) - = ) = - b) 4 = - = d) 4 = ) + = 0 b) 80 + = 0 0, = 8 d) 00 0, =, 40 ) b) 7 4, d) ) + ( + ) = + b) ( + )( + ) = ( + ) + = + d) 7 = ) ( + ) ( ) = 4( ) b) ( )( + ) ( ) = - = ( + )( ) ( ) d) 8 + ( 8) = 4 ( 0,4) 40 ) ( ) = b) ( + ) 4( + ) = 7 ( ) ( + ) ( )( + ) = 4 d) ( + )( ) ( ) = 40 ) 7 4

)( + ) = ( + ) + = + d) 7 = + 408 ) ( + ) ( ) = 4( ) b) ( )( + ) ( ) = - = ( + )( ) ( ) d) 8 +

4 80 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER b) ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) = ( + )( + ) d) ( ) ( + ) ( 0) = 0 PROBLEMLÖSNING MED EKVATIONER Om en iffr i e problem är okänd kn mn beeckn den med bokven och förök räkn om om mn vie vd hde för värde. På å vi kn mn få en ekvion om i bä fll enkel kn lö. E eempel illurerr. EXEMPEL Hur mcke ven k illä hg v en 0%-ig llöning för lhlen k bli %? * * * Ang hg ven k illä. Mängd l: 0 % v hg = 0,0. hg = 0, hg Tol vik efer hg ven ill: + Genom divider viken l med olviken k % = 0, få. Vi får llå ekvionen: 0, 0, 0, 0, ( ) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,4 0, 0,4 0, Svr: Genom illä hg ven blir blndningen %-ig.

EXEMPEL Hur mcke ven k illä hg v en 0%-ig llöning för lhlen k bli %? * * * Ang hg ven k illä. Mängd l: 0 % v hg = 0,0.

5 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER 8 ÖVNINGAR Säll upp ekvioner för lö följnde problem 4. Kuren på en kie hr under e år ök med 0 % ill 0 kr. ) Vd blir ändringfkorn i eemple? b) Om kuren före ökning beeckn med, vilken ekvion kn då äll upp? Vd ger ekvionen för löning, vilken vr kuren före ökningen? 4. En rekngelformd prov ulgd i kogen är 44 m. Längden på en idn är meer. Beräkn längden v den ndr idn. 4. Du k lägg u en cirkulär prov i kogen med ren 00 m. Vilken rdie k du välj? Räkn med π är. 44. Du k lägg u en cirkulär prov i kogen om hr lik or re om en rekngel med idorn 4, och 0 m. Vilken rdie k du välj? π 4. Du k lägg u en cirkulär prov i kogen om hr lik or omkre om en kvdr med idn m. Vilken rdie k du välj? π 4. En peron får bel % i k och får efer k u 00 kr neo vrje månd. Vilken är henne bruolön? Lö probleme genom äll upp en ekvion där beecknr bruolönen. 47. I kogen nvänd olik ä räkn kubikmeer. Om mn hr volmen under brk kn mn för ll få volmen på brk (inkluive brk) genom lägg på 0 %. Ang vi hr 00 m ll på brk, hur mcke movrr de under brk? Sä upp en ekvion där beecknr volmen ll under brk. Hur mång m under brk blir de? 48. E kogbeånd om innehåller m del upp i vå delbeånd A och B där B är re gånger å or om A. Ugå från virkeförråde är jämn fördel över relen. Hur mång m hmnr i A och hur mång i B? Lö probleme genom en ekvion där beecknr nle kubikmeer i del A.

Beräkn längden v den ndr idn. 4. Du k lägg u en cirkulär prov i kogen med ren 00 m. Vilken rdie k du välj? Räkn med π är. 44.

6 8 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER 4. Hur mcke ven k illä kg v en 0%-ig llöning för blndningen k bli %-ig? Lå beeckn nle kg ven om illä. Säll upp och lö en ekvion för probleme. PYTHAGORAS SATS För rävinklig ringlr gäller Phgor. Om du.e. r re ändickor å kn du ine bild en rävinklig ringel med hjälp v de. Om du lägger vå ickor å de bildr en rä vinkel å räcker ine den redje ickn ill för få konk med de båd ndr. Annorlund urck beämmer längden på keern (idorn om bildr rä vinkel med vrndr) hur lång hpoenun k vr. De uppäcke den grekike filoofen och memikern Phgor c 0 f.kr. I ll rävinklig ringlr med keern och b och hpoenun c å gäller Phgor : + b = c c Vid prkik räkning är de vikig håll red på vilk idor om är keer ( och b i figuren ovn) och vilken id om är hpoenu (c i figuren). Den lill frknen i nedre vänr hörne mrkerr vinkeln melln idorn och b är rä (0 ). b

Om du lägger vå ickor å de bildr en rä vinkel å räcker ine den redje ickn ill för få konk med de båd ndr.

7 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER 8 EXEMPEL 4 I en rävinklig ringel är keern repekive 4 cm lång. Beäm längden på hpoenun. * * * Ang hpoenun är cm lång. Phgor ger följnde ekvion: 4 [cm] 4 Svr: Sidn mrkerd med är cm lång. EXEMPEL Hur lång är räckn mrkerd med i figuren nedn? 80 [m] 00 * * * Nu är de ine hpoenun un keen om är okänd. Phgor ger: [m] 0 Svr: Sidn mrkerd med är 0 meer.

Phgor ger följnde ekvion: 4 [cm] 4 Svr: Sidn mrkerd med är cm lång.

8 84 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER ÖVNINGAR Använd ekvioner för lö nednående problem. 40. Beäm längden på idn mrkerd med i nednående vå figurer. Svr vrund ill närme hell E räd hr brui v enlig figuren nedn å de bildr en ringel mo mrkplne. Uppk hur hög de urprungligen vr. Svr i meer vrund ill en deciml.,0 4,0 4. Beräkn den redje idn i en rävinklig ringel där hpoenun är mm och en ke mm. Svr i hel mm. 4. Beräkn längden på digonlen i en rekngel vr en id är 80 m och ndr 0 m. Svr vrund ill hel meer. 44. Beräkn hel ringeln re genom för beämm höjden mo ben. Enheen på räckorn är i m. Svr i hekr med en deciml

Svr i meer vrund ill en deciml.,0 4,0 4. Beräkn den redje idn i en rävinklig ringel där hpoenun är mm och en ke mm. Svr i hel mm. 4. Beräkn längden på digonlen i en rekngel vr en id är 80 m och ndr 0 m.

9 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER 8 FÖRLÄNGA OCH FÖRKORTA I e pråk kn mn of urck mm k på fler olik ä. På mm ä kn mn i memiken urck e l eller en memik funkion på fler olik ä. T.e. bråke ½ En hlv imm är ju demm om kvrr (v ol fr) eller demm om re iominuerperioder (v ol e) och 0 minuer (v ol eio). I mång mmnhng vill mn urck e bråk på e å enkel ä om möjlig. Formen / är e enklre ä än 0/0. Om vi.e. k förenkl bråke 0/0 får vi: Eferom vi hr muliplikion med 0 både över och under diviionrecke å kn denn fkor förkor bor. På movrnde vi kn nin förkor bor enre. På mm ä kn e urck med bokäver förenkl genom mn förkorr bor gemenmm fkorer över och under bråkrecke. Här nedn unjr vi 0 kn kriv om om. 4 och om Moen ill förkor e bråk är förläng de. När vi går från / ill 0/0 kn mn äg vi förläng bråke med 0. Vi hr ju då muliplicer både äljren och nämnren med denn fkor. På movrnde vi kn mn förläng e urck med bokäver. I eemple nedn hr jg förläng med 48, d.v.. muliplicer med 48 både ovnför och under de lång bråkrecke A de här i ämmer kn vi konroller m.h.. räknereglern för bråk (inverer bråke under de lång bråkrecke):

På movrnde vi kn nin förkor bor enre. På mm ä kn e urck med bokäver förenkl genom mn förkorr bor gemenmm fkorer över och under bråkrecke. Här nedn unjr vi 0 kn kriv om om. 4 och om.

10 8 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER I vi lägen kn llå l förenkl genom mn för förlänger dem. ÖVNINGAR 4. Förläng följnde kvoer å du får en kvo med nämnre 8 ) b) 7 e) d) f) 4. Br u bokven ur följnde urck och förkor edn. ) b) d) Förenkl för äljren. Br därefer u och förkor. ) ( ) 4 b) ( )( ) ( )( 4) d) ( )( 4) ( ) 4

Förläng följnde kvoer å du får en kvo med nämnre 8 ) b) 7 e) d) f) 4.

11 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER Förenkl följnde genom för förläng med i uppgif ) och med i uppgif b). ) b) LÖSA UT VARIABLER UR UTTRYCK En nnn hnering om vi kommer h n v under den här kuren är kunn lö u en vribel (bokv) ur en formel. Ang.e. vi vill lö u bokven ur formeln: v För få enm på höger id måe vi bli v med. Genom muliplicer med på båd idor får vi: v v v Allå är: =. v. Arbegången är llå ek denmm om när vi löer följnde enkl ekvion (om mn här låer movr de om vr ovn). Eller hur? Vi kn llå nvänd mm eknik om när vi löe ekvioner för lö u en vribel ur en formel. Jg k någr vnlig

Genom muliplicer med på båd idor får vi: v v v Allå är: =. v. Arbegången är llå ek denmm om när vi löer följnde enkl ekvion (om mn här låer movr de om vr ovn).

12 88 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER eempel ill. På väner id i eempelrun löer jg för en ekvion v mm p å du kn e prllellen. Därefer löer jg u bokven i höger del v eempelrun. EXEMPEL Lö ekvionen Lö u ur formeln v * * * * * * T u MGN. Här blir MGN = MGN = Muliplicer ll ermer med MGN: Muliplicer: v v v v EXEMPEL 7 Lö ekvionen 8 0, 8 0, 0, 0, 8 0, Lö u ur formeln v r * * * * * * v r v r v r

Därefer löer jg u bokven i höger del v eempelrun.

13 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER 8 EXEMPEL 8 Lö ekvionen 8 Lö u ur formeln * * * * * * T u MGN. Här blir MGN = MGN = Muliplicer ll ermer med MGN: Muliplicer: EXEMPEL Lö ekvionen nedn. Lö u ur nednående formel. * * * * * * 8 8 ) ( ) ( Br u på höger id: ) (

Här blir MGN = MGN = Muliplicer ll ermer med MGN: Muliplicer: 4 4

14 0 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER EXEMPEL 0 Skriv funkionen där är ulö, ill höger i eempel, på en end rd med å få preneer om möjlig. * * * E lång bråkreck innebär vi behöver en er prene. I de här flle är dock de om år ovnför bråkrecke,, redn klr å vi behöver ingen prene där. Svr: = / ( ) ÖVNINGAR 4. Lö u ur följnde formler. ) b) d) 40. Lö u z ur följnde formler. ) 4 z 0 b) 4z 0 0 7z d) z 7z 4. Lö u r ur följnde formler. ) r b) d) 4 z r r z r 4. Lö u ur följnde formler. ) ( b) ( )( ) b) 0 7( ) d) 4

I de här flle är dock de om år ovnför bråkrecke,, redn klr å vi behöver ingen prene där. Svr: = / ( ) ÖVNINGAR 4.

15 STUDIEAVSNITT 4: EKVATIONER 4. Lö u den bokv om år innnför prene efer följnde formler. ) = v. () b) m d (V) V v v 0 () d) f kr (f) 44. Skriv formlern för de ulö vriblern i uppgif 4 på en end rd, med å få preneer om möjlig.

Relevanta dokument

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära. STUDIEAVSNITT EKVATIONER I de vsni sk vi i på den enklse fomen v ekvione de linjä. ALGEBRAISK LÖSNING AV EKVATIONER Meoden nä mn löse ekvione v fös gden, llså ekvione som innehålle -eme men ej eme v pen,,...