KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS"

Ellen Jonasson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme V kn kriv på ek e ä om en linjär kominion v vv vv vv nn vv vv nn vv nn Vi kn ockå äg hel vekorrumme V pänn upp v vekorern om vi kriver V (vv vv vv nn ) Tl nn kll : koordiner i en och kll koordinvekor i en n Vi kriver [ n Egenkper för koordinvekorer: Följnde egenkper följer direk från definiionen v en koordinvekor: [ u v [ u [ v [ λ v λ[ v [ λ v λ v λ v λn[ n n n [ v Eempel Lå V vr rumme R med ndrden S ( i j k ) eäm koordiner för vekorn där ) i j 5k ) i c) j c) k Svr: ) [ S ) [ S c) [ S d) [ S 5 Anmärkning: När vi hr koordiner i ndrden rukr vi idenifier vekor och vi kriver på enkel ä e och illhörnde koordinvekor [ S Sid v

koordinvekor i en n Vi kriver [ n Egenkper för koordinvekorer: Följnde egenkper följer direk från definiionen v en koordinvekor: [ u v [ u [ v [ λ v λ[ v [ λ v λ v λ v λn[ n n n [ v Eempel Lå V vr

2 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri 5 men om vi hr vå ( eller fler) er i mm uppgif måe vi nge (eeckn) vilken illhör en given koordinvekor Eempel Lå Vpn( ) och i) Vi ( ) är en ill underrumme V ii) Vi vekorn ligger i underrumme V och eäm koordinvekorn för i den ny en Löning: i) Vekorern v och v är linjär oeroende eferom ekvionen y hr end den rivil löningen Därmed ildr v och v en ill pnne Vpn( v v ) ii) Vekorn ligger i pnne Vpn( v v ) om och end om är en linjär kominion v v och v dv om följnde ekvionen v v hr (min) en löning Från hr vi om gör och Eempel Lå 4 vr en vekor i rumme R given i ndrden S ) ( j i Vi inför en ny ) ( v v med v och v Sid v

ekvionen y hr end den rivil löningen Därmed ildr v och v en ill pnne Vpn( v v ) ii) Vekorn ligger i pnne Vpn( v v ) om och end om är en linjär kominion v v och v

3 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri ) eäm koordinvekorn för i den ny en ( v v ) ) eäm koordinvekorn för v i den ny en c) eäm koordinvekorn för v i den ny en Anmärkning: Eferom vi hr vå er uppgifen ndrd en S och en ny kunde vi kriv koordinvekorern på e mer preci ä 4 [ S [ v S [ v S men om g när de hndlr om ndrd en rukr vi undvik eeckn en Löning: ) Vi löer ekvionen dv 4 v v 4 y() Meod Vi kn lö yem med e Gumeoden vi får koordiner och Därmed hr vi koordinvekorn i en [ ) Vekorn v hr koordiner och i en ( v v ) eferom v v v llå [ v c) Vekorn v hr koordiner och i en ( v v ) eferom v v v llå [ v Vi vir en meod ill (meod ) för eämning v den ny koordinvekorn De känn onödig komplicer å enkel prolem men meoden nvänd i mång olik vårre prolem med ye Meod Vi kn kriv yeme (y) på mriformen och nvänd invermri för eämm den ny koordinvekorn Från (y ) Sid v

yem med e Gumeoden vi får koordiner och Därmed hr vi koordinvekorn i en [ ) Vekorn v hr koordiner och i en ( v v ) eferom v v v llå [ v c) Vekorn v hr koordiner och i en ( v v ) eferom v v v llå [ v

4 4 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri 4 (*) Vi eecknr yeme koefficien mri med P Från 4 (*) hr vi ( med hjälp v invermrien) [ [ P 4 Allå [ Svr ) [ ) [ v [ v Mrien P i ovnående eempel kll ASYTESMATRIS Lägg märke ill kolonner i yemrien är koordinvekorer (i ndrden ) för de ny vekorer kolonn är och kolonn är I ovnående eempel hr vi 4 P eller [ [ S P Med ndr ord vi muliplicerr koordinvekorn i den ny en och får koordinvekorn i den gml en S Därför kll S ASYTESMATRISEN från ill S och eeckn (i mång öcker men ine i ll) P S P ASYTESMATRIS Lå ) ( n vr en i e vekorrum ( eller underrum) V Lå ) ( n vr en nnn i mm rum Sid 4 v

ovnående eempel hr vi 4 P eller [ [ S P Med ndr ord vi muliplicerr koordinvekorn i den ny en och får koordinvekorn i den gml en S Därför kll S

5 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 5 yemri An en vekor hr koordinvekorn [ hr koordinvekorn [ y i en yn Vilke mnd råder då melln [ och [? n i en och mm vekor Vi hr [ [ y y y n n (enlig egenkper för koordinvekorer) y [ y[ yn[ n (om kn kriv på mriform) y [[ [ [ n y n [[ [ [ n [ Allå [ P[ y eller P n y n där mrien P [[ [ [ n är e mnd melln koordiner för mm vekor i vå olik er och Mrien P [[ [ [ n kll yemrien från -koordiner ill - koordiner (eller korre yemrien från ill ) Mn kn vi en yemri är llid INVERTERAR Från ovnående följer vi eämmer en yemri från en ill en på följnde ä: För eämmer vi koordinvekorer för n och därefer kriver dem om kolonner i en mri P Mrien P är då yemri från ill Då gäller [ P[ (*) (P omvndlr -koordine ill -koordiner om vi kn korre eeckn P P ) P Från (* hr vi [ [ ( dv P - omvndlr -koordine ill -koordiner llå P P - ) Därför P ( P ) - Sid 5 v

melln koordiner för mm vekor i vå olik er och Mrien P [[ [ [ n kll yemrien från -koordiner ill - koordiner (eller korre yemrien från ill ) Mn kn vi en yemri är llid INVERTERAR Från ovnående följer vi

6 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 6 yemri Om vi e hr e redimenionell vekorrum/underrum V och med vå er ( ) och ( ) för eämm ye mri PP urycker vi i en ( ) Lå p p p q q q r r r (***) då är koordinvekorern p [ p p p och P p p [ q q q q q q r r r [ r r r Eempel 4 Lå ( ) och ( ) vr vå er i e -dimenionel vekorrum Lå vidre ) eäm yemri från ill ) eäm yemri från ill c) eäm [ om [ d) eäm [ v om [ v 5 Löning: Vekorn koordinvekorn ( i en) är m koordinvekorn för är Därmed är P yemri från ill ( om vi eecknr S ) Sid 6 v

Eempel 4 Lå ( ) och ( ) vr vå er i e -dimenionel vekorrum Lå vidre ) eäm yemri från ill ) eäm yemri från ill c) eäm [ om [ d)

7 7 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri Svr ) P ) P P - c) [ [ [ P d) [ [ P 4 5 Eempel 5 Lå V vr underrumme ill R om eår v ll vekorer ådn koordiner ifierr ekvionen ) Vi V pn( ) och ) ( där ildr en i V ) Vi ) ( där är ockå en i V c) eäm yemrien från ill Löning: ) Vi underöker vilk vekorer ifierr ekvionen Allå en lednde vrieln och vå fri Därmed och underrumme V eår v oändlig mång vekorer v följnde yp: där vrierr fri Med ndr ord Sid 7 v

ockå en i V c) eäm yemrien från ill Löning: ) Vi underöker vilk vekorer ifierr ekvionen Allå en lednde

8 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 8 yemri Vpn( ) ( och därmed e underrum med dimenionen ) Eferom är oeroende ( konroller jälv) vekorer om pänner upp V ildr de en för V ) Vekorern och ligger ockå i V eferom der koordiner ifierr ekvionen Deuom är linjär oeroende ( konroller jälv) Vi hr oeroende vekorer i e - dim rum V; därför ildr vekorern en i V c) För eämm yemrien från ill eräknr vi koordin vekorer för ( i en ) För löer vi ekvionen y dv y och får och y Vi hr få koordinvekorn för [ ( de är kolonn i mrien P) På mm ä eämmer vi [ ( de är kolonn i mrien P) Därmed P Svr c) P Eempel 6 Sid 8 v

vekorer i e - dim rum V; därför ildr vekorern en i V c) För eämm yemrien från ill eräknr vi koordin vekorer för ( i en ) För löer vi ekvionen y dv

9 9 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri Lå ) ( och ) ( vr vå er i e -dim vekorrum V eäm yemriern ) P från ill och ) P från ill om vi hr följnde relioner melln vekorern (y ) Löning ) För eämm yemriern P från ill löer vi u vekorern ur yeme (y ) och får: Därmed P ) För eämm yemriern P från ill löer vi u vekorern ur yeme (y ) och får: Därmed P ( Alerniv kunde vi eräkn P (P ) - men mer eräkning kräv för ä) ye nvänd of för få en enklre ekvion för en kurv i y-plne eller en y i D-rumme peciell vid underökning v ndrgrdkurvor och yor Eempel 6 En kurv hr i y-plne (med ndrden) hr ekvionen 6 y y Sid 9 v

löer vi u vekorern ur yeme (y ) och får: Därmed P ( Alerniv kunde vi eräkn P (P ) - men mer eräkning kräv för ä) ye nvänd of för få en enklre ekvion

10 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri ) eäm kurvn ekvion i de ny koordinyeme med en om ild v vekorern [ [ ) Ri kurvn Löning: yemrien från den ny en ( ) ill ndrden är P S P eeckn de ny koordiner med u och v Smnde melln gml och ny koordiner u u är P dv y v eller y v u v (*) y u v Vi uiuerr (*) i kurvn ekvion y y 6 och får ( u v) ( u v)( u v) ( u v) 6 ( förenkl) u v 6 om är en ellip i uv-koordinyeme Vi uiuerr v i ekvionen u v 6 och får kärningpunker med u-eln Elipen kär u-eln i punkern u ± ± 4 v och v-eln i punkern u v ± 6 ± 45 (uiuer u i u v 6 ) Noer längdenhe i de ny uv-yeme eäm v ny vekorern [ [ Grfen ill y y 6 i y-plne dv ill u v 6 i uv-plne: Eempel 7 En kurv hr i y-plne (med ndrden) hr ekvionen y y y ) eäm kurvn ekvion i de ny koordinyeme med en om ild v vekorern [ [ ) Ri kurvn Sid v

uv-koordinyeme Vi uiuerr v i ekvionen u v 6 och får kärningpunker med u-eln Elipen kär u-eln i punkern u ± ± 4 v och v-eln i punkern u v ± 6 ± 45 (uiuer u i u v 6 ) Noer längdenhe i de ny uv-yeme

11 Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR yemri Svr: u ) Suiuionen y v eller u v y u v (*) leder ill ekvionen 4u v eller v u ) Grfen ill y y y i y-plne dv ill v u i uv-plne: Sid v

Relevanta dokument

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1.

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjär hölje Definiion. (LINJÄR KOMBINATION Lå V ara e ekorrm. En ekor w är linjär kombinaion a,,, nn om de finn kalärer (al,,, nn å a ww nn nn Eempel.