NOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "NOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN."

Transkript

1 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR NOLLRUMMET och BILDRUMMET ill e lijärildig. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN. NOLLRUM (Kerel (kär i kuroke Defiiio. Lå T r e lijär ildig frå R ill R. Mägde ll ekorer i R o ild på ollekor i R kll ildige ollru ( eller kär och eeck ed ker(t eller Null(T. Solik ekrier i ollrue på följde ä ker( T { R : T ( } O T ge på rifore T ( A då är ker( { T R : A } Med dr ord ollrue är löigägde ill ekioe ( T BILDRUM (ärderu ärdeägd Defiiio. Lå T r e lijär ildig frå R ill R. Mägde ll ilder ( ll fukioe ärde T ( i R kll ildige ildru (oer: ärderu ärdeägd och eeck ed i(t. Solik ekrier i ildrue på följde ä i( T { T ( : Ekile defiiio: i( T { R R } : T (. för ågo Allå k i(t defiier o ägde ll d A hr i e löig R. R } R för ilk ekioe T ( För e gie ri A p k i geo T ( A defiier T : R R. Därför defiierr i ildru I(A och ollru ker(a för e ri elig följde. Defiiio. Nollrue ker(a ill e ri A p defiier o ägde ll - dieioell ekorer o ifierr ekioe A. Defiiio. (Bildrue ill e ri Lå A r e ri pe. Bildrue ill A eeck i(a och defiier o I( A { A R }. Efero Sid 5

2 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR p( A er i ildrue i de här flle pä upp rie koloekorer i (T p(. E och dieioe ildrue k eä ed hjälp de koloer o rr o ledde eor i rie rppfor. Eepel. Agör o ågo ekorer ( ( eller c ( illhör ollrue ker( T. Beä ollrue ill ildige T frå R ill R då T ( ( c O ll ekorer i orrue hr i rpuker i origo då ildr ll ädpuker e ägd i R. Tolk de ägd geoerik ( e puk e lije e pl eller hel R Löig: Vi eräkr T ( ( ( Efero ( T illhör ekor ollrue ker( T. De dr ekor ( illhör INTE ollrue ker( T för T ( (7 Vekor c ( illhör ollrue ker( T för T ( c (. Vi eäer löigägde ill ekioe ( T. T hr i Frå ( ( o ger å klär ekioer: ( ( i äder Gueliiioe Sid 5

3 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Vi hr å ledde riler och e fri riel o i eeckr ed. Löige och krier i på ekorfor ( ( ( Däred är ker (T { ( } där rierr fri. c O rpuker ligger i origo då ildr ll ädpuker { ( } e lije i R (o går geo origo. Sr: Se oåede löig. ker (T { ( } c E lije i R (o går geo origo. Eepel. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o defiier ( T Beä ildige ollru (kär ker(t Beä e ill ollrue c Beä ollrue dieio. Löig: Vi eäer löigägde ill ekioe ( T. Frå ( T hr i o i krier o klär ekioer: See hr å ledde riler och å fri riler och. See löig. För få ollrue krier i löigr på ekorfor ( och eprerr - och -dele : Sid 5

4 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Aildige ollru är ker(t ker(t { }. Vi äger ollrue pä upp å ekorer och leri eeckr ker(t p( Vi er ollrue är e ägd ll lijär koiioer o ild ed hjälp å ( upper lijär oeroede ekorer och o därför ugör e ill ollrue. Däred är ollrue dieio le ekorer ( le fri riler Sr: ker(t { } eller ( leri ker(t p( E ill ollrue är. c di(ker(t. Eepel. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o hr rie A d A T ( Sid 5

5 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Beä ildige ollru (kär ker(t Beä e ill ollrue c Beä ollrue dieio. d Vilke ägd ildr ädpuker ill ollrue ekorer o rpuker ligger i origo?. Löig: Vi löer ekioe T ( d A eller Morde ekioe är o hr löig. See hr å ledde riler ige fri riel och ed de riil löige o i krier på ekorfor:. Sr: ker(t { } Nollrue o eår r e ollekor hr ige. (elig defiiioe eår e oeroede ekorer och däred k ie iehåll c di(ker(t. d E puk (origo Eepel. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o hr rie A d T ( A Beä ildige ollru (kär ker(t e ill ollrue c ollrue dieio. d rie rg. Sid 5 5

6 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR e o ågo ekorer illhör ollrue ker( T. Löig: Vi löer ekioe A eller 5 Morde ekioe är See hr ledde riel och fri riel. See löig u u 5. För få ollrue krier i löigr på ekorfor ( och eprerr u- - - och -dele : u u u u 5 u Sr: ker(t p( Sid 6 5

7 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Vekorer är lijär oeroede och päer hel ollrue. Därför ildr ekorer e ill ker(t. c di(ker(t le ekorer ( le fri riler. d Mrie rg ed le rie oeroede rder le oeroede koloer le ledde eor i rie rppfor le ledde riler i rppfore för orde ekioe. e A Allå illhör ker(t. {Vi k kri korre ker(t } För de dr ekor gäller 8 A Däred illhör ie ker(t. { Vi k kri ker(t}. BILDRUMMET ( Ige i kuroke o illhör e lijärildig. O T defiier ed e ri A p då eår ildrue ll ekorer A T ( p( Allå ildrue ( o kll äe rie koloru i de här flle pä upp rie koloekorer Sid 7 5

8 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR (T i p(. E och dieioe ildrue k eä ed hjälp de koloer o rr o ledde eor i rie rppfor Eepel 5. Vi erkr e lijär ildig T ed rie A Beä ildige ildru i(t Beä e ill ildrue c Beä ildrue dieio. d Beä rie rg. e Agör o ågo ekorer illhör ildrue i( T. f Beä ll ekorer R åd ( T där. Löig: Bildru i(t pä up rie koloekorer och därför i(t p(. Aleri eeckig: i(t { z : z och är klärer o rierr fri}. För älj e ill p( äljer i (ör le lijär oeroede koloekorer; de koloer o rr o ledde eor i rie rppfor. Sid 8 5

9 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR ~ ~ Ledde eor fi i för och dr koloer och därför äljer i rie för och dr kolo o ill ildrue (kolorue. de redje koloekor är eroede de för å. Sr E ild koloekorer. Aärkig: Efero redje koloekor är e lijärkoiio för å hr i p( p( för rje lijär koiio o ikluderr redje ekor k urck ed hjälp de för å ekorer. Vi förlorr ige koiio o i r or eroede ekorer ld de o päer upp e uderru. Sr c Bildrue dieio är ( le ildrue ekorer le ledde eor i rie rppfor. d Mrie rg är ( le oeroede koloekorer le oeroede rdekorer le le ledde eor i rie rppfor. e För gör o illhör i(t uderöker i o ekioe A är koie ( d o ekioe hr i e löig. Frå A hr i See hr oädlig åg löigr. Vekor illhör ildrue i(t efero ee A är koie ( lör d de fi å A ( eller ( T De dr ekor illhör ie ildrue i(t efero ekioe A kr löig ( koroller jäl. All löigr ill ekioe ( T d ill ekioe A elig e-dele ge Sid 9 5

10 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR. Vi k kri de på ekorfor där är e godcklig reell l. Sr: I(T p( p( E är (. c di(i(t d Rg(A e illhör ildrue i(t. illhör ie ildrue i(t. f där är e godcklig reell l. Eepel 6. Vi erkr e lijär ildig T frå R ill R o hr rie A d A T ( Beä ildige ollru (kär ker(t e ill ollrue c ollrue dieio. d ildige ildru i(t e e ill ildrue f ildrue dieio. g rie rg. Löig: Vi löer ekioe A eller Morde ekioe är Sid 5

11 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR See hr ledde riel och fri riel. See löig. För få ollrue krier i löigr på ekorfor ( och eprerr u- - - och -dele : Sr: ker(t p( Vekorer är lijär oeroede och päer hel ollrue. Därför ildr ekorer e ill ker(t. c di(ker(t le ekorer ( le fri riler d ildige ildru i(t pä upp koloekorer där oeroede rr o ledde eor. Därför i(t p( e e ill ildrue är f ildrue dieio di(i(t ( le ledde eor i rie rppfor. g rie rg ( le ledde eor i rie rppfor. DIMENSIONSSATSEN O i erkr e ri A p och orde ekioe A Sid 5

12 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR efer i öerför ee ill rppfore er i ( le ledde riler ( le fri riler ( le ll riler d di( i(a di(ker(a eller rg(a di(ker(a Eepel 7. Tee 9 Uppgif 6 Berk e lijär ildig T : R R åd löigägde ill T ( ge där är e reell preer. Beä ollrue Ker(T Beä ildrue I(T Löig E ä lö uppgifer är för eä ildige ri och därefer Ker(A och I(A. Lå A r de ri o hör ill ildige T. Lå c d. Ekioe T ( k kri på fore A eller ( c d Vi k för eä A ed hjälp gie löig: Elig gde är e löig för rje R. Vi k därför älj ågr - ärde uiuer i och eä c och d. O i e äljer får i är e löig ill och därför gäller ( uiuer och i : ( c d O i äljer får i är e löig ill och därför( uiuer och i : Sid 5

13 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR ( c d Frå och eräkr i c och d. Vi k e grupper de ekioer o iehåller och : och och eä / och /. På ä frå c d och c d hr i c / och d /. / / Däred lir A /. / / Här hr i oedelr I(ASp( Sp(. För eä Ker(A löer i ekioe A eller / E fri riel. Därför. Allå Ker(TKer(A Sp ( ( Aärkig: Sp ( Sp ( Sr: Ker(TKer(A Sp ( I(T I(ASp(. Eepel 8. Tee --j Uppgif 7 (leri löig Beä ll lijär ildigr T : R R o uppfller följde å kr: Vekorer och ugör e för ollrue för T. Bildrue för T är lije ed rikigekor. Löig: Lå A r illhörde ildigri. Vi k eä A ed hjälp gi å kr. Bildrue för T är lik i(a p(k k k där k k och k är koloer i A. Sid 5

14 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Elig gde är ildrue i(a p(. Däred är rje kolo i A e lijär koiio ekor d hr fore för ågo. Lå k k och c k r koloekorer i A. Då är c A där i e c är kild frå. ( O ll c är då är A e ollri och i(a { } o ie äer ed år gde i(a p(. Vi eäer och c ed hjälp för illkore d i äder ekorer och o ligger i ollrue: Frå A hr i c d (ek Frå A hr i c c d c (ek Vi k älj c ( e godcklig l kil frå då är och. Här c A och z z T ( Vi k kri de på äe på följde for: z z T ( ( Sr: z z T ( ( (där är e godcklig l kil frå Sid 5

15 Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR eller T (. z z Sid 5 5

1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:

1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd: Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr

Läs mer

(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.

(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd. Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER

LINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER ri Hlilovic: EX ÖVNING Lijär vildigr v pukägder LINJÄ VBILDNING V PUNKE OCH PUNKMÄNGDE vildig v e puk Vi hr defiier lijär vildigr ell vå vekorru Vi k forell erk puker so orsvekorer och däred erk vildigr

Läs mer

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme

Läs mer

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1.

UNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjär hölje Definiion. (LINJÄR KOMBINATION Lå V ara e ekorrm. En ekor w är linjär kombinaion a,,, nn om de finn kalärer (al,,, nn å a ww nn nn Eempel.

Läs mer

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =. Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a

Läs mer

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN 48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på

Läs mer

Kapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a

Kapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a Kompletterde löigförlg och ledigr, Mtemtik 000 kur C, kpitel Kpitel. 0, 0, 0, 0 Exempel om löe i boke. 0 ) 7 0 + + + 6 + 8 + 06 ) +, + 6 6 + + + 69 69 + +, + + 6 6+ 9 8+ + 07 Se boke ledig. Kotkt di lärre

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp rmi Hliloic: EXR ÖVNINGR Lijär bildigr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fktioer bildigr Beteckigr och grdbegrepp Defiitio E fktio eller bildig frå e mägd till e mägd B är e regel som till ågr elemet i ordr

Läs mer

Formler, grundläggande statistik

Formler, grundläggande statistik Formler, grudläggade aiik Medelvärde N X μ σ Sadardavvikele, populaio Sadardavvikele, ickprov Sadardavvikele, räkevälig z Z-poäg z z r Pearo korrelaio, urpruglig r Pearo korrelaio, räkeväligare Oe ample

Läs mer

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

äkta Bredband, ett krav för framtidens multiservice nät?

äkta Bredband, ett krav för framtidens multiservice nät? äkta Bredband, ett krav för framtidens multiservice nät? U lf V in n e ra s D e s ig n c o n s u lta n t, C is c o S y s te m s 2 0 0 2, C is c o S y s te m s, In c. A ll rig h ts re s e rv e d. U lf V

Läs mer

Bröderna fara väl vilse ibland (epistel nr 35)

Bröderna fara väl vilse ibland (epistel nr 35) Brödera fara väl vilse ilad (epistel r 35) Text musik: Carl Michael Bellma Teor 1 8 6 Arr: Eva Toller 2008 Teor 2 6 8 Basso 1 8 6.. Basso 2 8 6 1.Brö- der - a fa - ra väl vil - se i-lad om gla - se me

Läs mer

============================================================ ============================================================

============================================================ ============================================================ Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Tillämpigr v iegrler TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. AREABERÄKNING Lå D vr e pl område mell e oiuerlig urv y f (), där f ( ), och -el som defiiers med, y f ( ), dvs D {(, y)

Läs mer

6 Strukturer hos tidsdiskreta system

6 Strukturer hos tidsdiskreta system 6 Sukue hos idsdiske ssem 6. Gudsuku Vi h se e idsdiske ssem i de fles fll k eskivs v diffeesekvioe [ ] [ ] [ ] De k uligvis häd de ol sseme eså v fle seie- elle pllellkopplde delssem, me de föäd ie esoemge.

Läs mer

Huvud metod för beräkning av massan för en av en kropp med densiteten ρ ( x, är trippelintegral

Huvud metod för beräkning av massan för en av en kropp med densiteten ρ ( x, är trippelintegral ri Hlilovic: EX ÖVNING Mss och tgdput ILLÄMPNING V INEGLE. MSSN OCH YNGDPUN MSSN Huvud etod för eräig v ss för e v e ropp ed desitete, är trippelitegrl, dd so hör till urse i flervriells. Me, ågr el prole

Läs mer

BALLERINA. Prima. look

BALLERINA. Prima. look b Mi TOP-li få TOPMl- äl! Ciy lic Ciy iy C y C P i c i f y li c y l äl li b J ä! Cy ä äi pi ö: bäppfyll j få böj bö M j P A i C b fö i! i l x c Hli TOPMl li å f Hli J äl i äl li på äll c ö cl jbb på ll

Läs mer

bruksanvisning/ user manual

bruksanvisning/ user manual bruksanvisning/ user manual IBU 50 - IBU 50 RF L ä s d e n n a b r u k s a n v i s n i n g f ö r s t! B ä s t a k u n d, T a c k f ö r a t t d u h a r v a l t a t t k -p ö pra o deun k t C. y lvii n dhao

Läs mer

Rotation Rotation 187

Rotation Rotation 187 6. Rotation 87 6.. Rotation Vi har tidigare i Exempel 6.5 isat hur man roterar rummets ektorer kring en axel parallell med en a basektorerna. Nu är i redo att besara frågan om hur man rider kring en godtycklig

Läs mer

4. Laplacetransformmetoder

4. Laplacetransformmetoder 4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Differeialekvaioer gör gre för e aeaik ekrivig av aika e i koierlig i åo fragår av exeple i avi 3.. E iffereialekvaio ekriver hr e vi variael eror av e eller flera

Läs mer

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile

Läs mer

Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa.

Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa. Fiskars avdelning pä Finlands Mässas 50-àrs jubileumsmässa. O Y F IS K A R S A B Verksamhetsberättelse för 1969, bolagets 86 verksamhetsär. E x t e m f ö r s ä l j n i n g o c h e x p o r t ( 1 0 0 0 m

Läs mer

Patie nts äke rhe ts be rätte ls e för Slotts s tade ns Läkarhus Re hab o Häls a år 2015

Patie nts äke rhe ts be rätte ls e för Slotts s tade ns Läkarhus Re hab o Häls a år 2015 Patie nts äke rhe ts be rätte ls e för Slotts s tade ns Läkarhus Re hab o Häls a år 2015 Ko s tn ad s s tälle n u m m e r 1 6 3 9 8 0, 1 6 3 9 9 8 I enlighet med 3 kap 10 patientsäkerhetslagen (2010:659)

Läs mer

I Kristus själv Stuart Townend/Keith Getry Arr: Thomas Hellsten

I Kristus själv Stuart Townend/Keith Getry Arr: Thomas Hellsten / K G vensk text: Åsa & ara urge I Kristus sälv tuart ownend/keith Getry rr: homas Hellsten Fiol/flöt 4 3 5 1 10 V 2 1I Kris tus Mm sälv ag fun nit liv Han är mitt lus, min kraft, min Mm 14 V sång En sä

Läs mer

( ) ( ()) LTI-filter = linjärt, tidsinvariant filter. 0. Svaret skall ges utan -tecken. 2. Ett LTI-filter har amplitudkarakteristiken A( ω) =

( ) ( ()) LTI-filter = linjärt, tidsinvariant filter. 0. Svaret skall ges utan -tecken. 2. Ett LTI-filter har amplitudkarakteristiken A( ω) = gamla eor maem me E, fk, del B (99) CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder, fk, delb, TMA98, 999-8-7, kl 85-5 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige)bea Ej räkedosa Telefo: OBS:

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

Jag vill inte vara ensam

Jag vill inte vara ensam Jg ill ine r ensm Krl-Gunnr Sensson G =132 f l m n o u s s s z f l l u z mp n s s n s s n s s n s s s s n s s n s s mps s n s s n s s n s s n s s n s s n ff s s s s s s s s s s s s mp s s s s s s s s s

Läs mer

M edlem sblad för H allsbergsn aturskyddsförening N r2 1999

M edlem sblad för H allsbergsn aturskyddsförening N r2 1999 M edlem sblad för H allsbergsn aturskyddsförening N r2 1999 Majviva En ca decimeterhög vacker viva med violetta blommor Majvivan är ganska sällsynt på öppen, fuktig, kalkrik mark. Kalkkärr mm. Minskande.

Läs mer

Försöket med trängselskatt

Försöket med trängselskatt STATISTISKA CENTRALBYRÅN m 1(5). Nilo Trägelkatt Förlag frå Ehete för pritatitik Ehete för pritatitik förelår att å kallad trägelkatt ka täcka i KI frå och med idex aveede jauari 26. Trägelkatte ave då

Läs mer

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar

KTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar KTH/ICT IX50:F7 IX305:F Göra Adero goera@th.e Statiti: Sattigar Statiti Vi all u tudera obervatioer av toatia variabler. Vad blev det för värde? Dea obervatioer alla ett ticprov (ample). Iom tatitie fi

Läs mer

Nr 3 år 2005 Med programmet för augusti - oktober

Nr 3 år 2005 Med programmet för augusti - oktober För Landskrona FBU-förening och 54:e HV komp. Nr 3 år 2005 Med programmet för augusti - oktober !"# $ $% #$ &'$ $ &($$) *!)$ ) +, -.$ $ / 01 1. )#*!.01.1 2. 123 4,1 4.!" # $%& '( ) * # +* +'(, +'( -./%

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel

= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel Tillampigar av Taylor- och Maclauriuvcklig ERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN då MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a Maclauris forml f f f f f f L R!!! f c där R och c är al som liggr mlla och! Amärkig Efrsom c liggr

Läs mer

Tre julvisor. för blandad kör SATB. I kärlekens tid. SATB a cappella, piano ad lib. œ œ œ. œ œ. œ œ. œ œ. J œ. bar lju bar. nen set.

Tre julvisor. för blandad kör SATB. I kärlekens tid. SATB a cappella, piano ad lib. œ œ œ. œ œ. œ œ. œ œ. J œ. bar lju bar. nen set. opran lt enor as (ad lib) Pno ext: Pernilla Rosin 6???? 1 er 2 er 3 er Do do do do do do do do do Do do do do do do do do do Do do do do do do do do do 1 er 2 er 3 er 1 er 2 er 3 er re ulvisor dụ för blandad

Läs mer

Fröding, Gustaf. Morgondröm : Gustaf Frödings kärleksdikt : fullständig : beslagtagen och frikänd / Gustaf Fröding. Stockholm : B. Alm (distr.

Fröding, Gustaf. Morgondröm : Gustaf Frödings kärleksdikt : fullständig : beslagtagen och frikänd / Gustaf Fröding. Stockholm : B. Alm (distr. Fröding, Gustaf Morgondröm : Gustaf Frödings kärleksdikt : fullständig : beslagtagen och frikänd / Gustaf Fröding Stockholm : B. Alm (distr.) 1916 EOD Miljoner böcker bara en knapptryckning bort. I mer

Läs mer

Höstvisa. I k k k k k kkk k j kz. l l l l. l l l l

Höstvisa. I k k k k k kkk k j kz. l l l l. l l l l Höstvis Musik: E. Tur, Text: Tve Jss S1 S2 A1 G =70 4 k 1.Vä-ge hem vr mc -ket låg ch ig e 4 k 4 kk k j - hr jg mött, srt blir kväl- lr- k-li - g ch se -. Km kk k j 1.Vä-ge hem vr mc -ket låg ch ig-e hr

Läs mer

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 219 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 27-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till

Läs mer

"#$%&&'()!*%++!,-!&*)./*.)!*%++!&/-00!12)!$34&/+%5(!)3**%56#*#)!789:!;<=<>?<@!

#$%&&'()!*%++!,-!&*)./*.)!*%++!&/-00!12)!$34&/+%5(!)3**%56#*#)!789:!;<=<>?<@! "#$ &'(')+(,-.+,/'0 1)2'0,3.)-+.4,4'5.)0'3'+0'0 6777809:-;9/3 809:-;9/3

Läs mer

Var är tvålen. o dk sj jz kkk. um ba - um. um um um um 2 4 j. stan - na upp ett tag och grub - bla, är det nå n som sett min tvål?

Var är tvålen. o dk sj jz kkk. um ba - um. um um um um 2 4 j. stan - na upp ett tag och grub - bla, är det nå n som sett min tvål? är våle Pver Rel rr. Erc Srby Spr Al1 Al 2 Ter Bss 1 Bss 2 Spr f f D G =80 Al f f D 1 Al f f D 2 Ter f f D l M Bss 1 jz d sj jz u b - u u - j u b - u u j s j jz u b - u u s j jz f f f N s v-drr ge- l-ve

Läs mer

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära. STUDIEAVSNITT 4 EKVATIONER I de vni k vi i på den enkle formen v ekvioner de linjär. ALGEBRAISK LÖSNING AV EKVATIONER Meoden när mn löer ekvioner v för grden, llå ekvioner om innehåller -ermer men ej ermer

Läs mer

Modell för fukt på vind Enligt figuren kan en energi balans ställas upp:

Modell för fukt på vind Enligt figuren kan en energi balans ställas upp: Mode för fk på d Eg fgre ka e eerg aas säas pp: förs för I fgre eda sas defoera för ärme oh fkaas. Om fgres koeoer föjs r ärmeaase (ge maera aas ha ågo ärmekapae (myke förekad mode oh ge sråg på sda eer

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl TEN HF9 Tetame i Matematik, HF9, Fredag september, kl. 8.. Udervisade lärare: Fredrik ergholm, Elias Said, Joas Steholm Eamiator: rmi Halilovic Hjälpmedel: Edast utdelat formelblad miiräkare är ite tillåte

Läs mer

Arborelius, Olof Per Ulrik. Olof Arborelius. : Minnesutställning anordnad af Svenska konstnärernas förening Stockholm 1916.

Arborelius, Olof Per Ulrik. Olof Arborelius. : Minnesutställning anordnad af Svenska konstnärernas förening Stockholm 1916. Arborelus, Olof Per Ulrk Olof Arborelus. : Mnnesutställnng anordnad af Svenska konstnärernas förenng 1916. Stockholm 1916. EOD Mljoner böcker bara en knapptrycknng bort. I mer än 10 europeska länder! Tack

Läs mer

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000 Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns

Läs mer

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11 rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:

Läs mer

( ) ( θ( n) 1. Ett kausalt tidskontinuerligt filter F har tillståndsekvationen

( ) ( θ( n) 1. Ett kausalt tidskontinuerligt filter F har tillståndsekvationen gamla eor maem me E, fk, del B () CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder fk, del B, TMA98, -8-, kl 85-5 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: Rolf Liljedal,

Läs mer

Lösning till TENTAMEN070104

Lösning till TENTAMEN070104 ösning ill TENTMEN0700 KURSNMN Meknik och hållfsheslär el eknik PROGRM: nn Sjöingenjörsprogre åk / läsperio //jnuriperioen KURSETEKNING N80 006 EXMINTOR Ms Jrlros TI FÖR TENTMEN 0705 08.0.0 HJÄPMEE NSV

Läs mer

Höstlov i Motala 2010

Höstlov i Motala 2010 Höstlv i Mtl 2010 1-5 vbr S prgrt ch läs tt s sr udr årt på: tl.s/ug Bwlig Mtl Bwlighll Öppttidr Mådg 1/11 13.00-16.00 Tisdg 2/11 12.00-16.00 Osdg 3/11 13.00-16.00 Trsdg 4/11 12.00-16.00 Frdg 5/11 12.00-16.00

Läs mer

ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)

ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN) Armi Hlilovi: ETRA ÖVNINGAR, S676 Ik-omog sysm Mrismod Sid v 0 ICKE-HOMOGENA DIERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEICIENTER I HOMOGENA DELEN Vi brkr sysm v lijär ik-omog DE v örs ordig md kos koiir

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys IV,

Lösningar till Matematisk analys IV, Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en

Läs mer

Köp hela häftet på www.arrakmusik.se (16 sidor)

Köp hela häftet på www.arrakmusik.se (16 sidor) ftontankar vid ridas ruta + komp ad li. irger öerg rr: nders Öman opran lt aryton 5 c c c E 6 1. 5.. 7 E m G 7 C m 1. rida ro sig lagt, månen skiner mild vid sin tys ta vakt på hennes fönsterplåt. 5. rida

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

STRUKTURSKISS - Helhetssyn på Campusområdet med omgivningar

STRUKTURSKISS - Helhetssyn på Campusområdet med omgivningar STRUKTURSKISS - Hlhy på Cpuåd d ii Udl fö fid blu i lik få J 2006 Gdkäd Kuyl 2006-01-25 Hållb häll li 1 ukui - Hlhy på Cpuåd d ii Udl fö fid blu i lik få Uppd D ld hökl bli i Cpu i Tllhä äll k på låiki,

Läs mer

2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et

2 Bj rkfeltbjon d r k èk =;:::;pè betecknar A:s olika egenv rden och n k r den algebraiska multipliciteten hos egenv rdet k. Om multipliciteten hos et 7. Egenv rden och egenvektorer L t A beteckna en n=n-matris. I vissa riktningar x 6= beter sig matrisen A enkelt i den meningen att x och Ax r kar vara parallella: Denition 7.. Talet s gs vara ett egenv

Läs mer

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna

vara en T- periodisk funktion som är integrerbar på intervallet ges av formlerna Armi Hlilovic: EXRA ÖVNINGAR FOURIERSERIER Deiitio (rigoometrisk serie Ett utryck v öljde orm [ cos( Ωx b si( Ω x är e trigoometrisk serie ] Amärkig: Först terme skriver vi som v prktisk skäl som vi örklrr

Läs mer

Vad gör vi på jobbet?

Vad gör vi på jobbet? Vad gör vi på jobbet? Eva Anskär, distriktssköterska Handledare: Agneta Andersson, Fil. Dr. Malou Lindberg, Docent. Bakgrund Administration - stor del av arbetstiden Som en del av vårdcentralens Lean-arbete

Läs mer

Uppgifter på värme och elektricitet Fysik 1-15, höst -09

Uppgifter på värme och elektricitet Fysik 1-15, höst -09 Uppgifter på äre o eektriitet Fyik 1-15, öt -09 1. n auiniukopp ar aan 10 g o teperaturen. I koppen ä 150 art atten ed teperaturen 85. Vad koer attnet teperatur att i id jäikt ed koppen? Borte från oginingen

Läs mer

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om exponentialfunktioner och logaritmer Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens

Läs mer

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 16/6 till och med 17/8 2014. www.skelleftebuss.se Tel.

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 16/6 till och med 17/8 2014. www.skelleftebuss.se Tel. Iformatio Dessa biljetter ka köpas på busse; - Ekelbiljett, ige fri övergåg till stadsbussara. - Rabattkort, rabatterade resor med ca 20 %, valfritt atal resor frå 6 resor och uppåt. - Periodkort, gäller

Läs mer

SCHEMA Vår 2016

SCHEMA Vår 2016 SCHEMA 15.12.14-16.06.12 Vår 2016 Utskriftsdatum 2015-12-21 Avvikande veckor Vikarier Vikarier 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Vecka. BJ CW PA BW? RJ PO MK

Läs mer

OV F IS K A R S A B. Verksamhetsberättelse för 1973 bolagets 90 verksamhetsàr

OV F IS K A R S A B. Verksamhetsberättelse för 1973 bolagets 90 verksamhetsàr F= OV F IS K A R S A B Verksamhetsberättelse för 1973 bolagets 90 verksamhetsàr Verksamhetsberättelse för 1973 A L L M Ä N E K O N O M I S K Ö V E R S I K T D en e k o n o m is k a u tv e c k lin g e n

Läs mer

Idrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola

Idrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola GOTHENBURG STUDIES IN EDUCATIONAL SCIENCES 355 Idrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola Magnus Ferry GOTHENBURG STUDIES IN EDUCATIONAL SCIENCES 355 Idrottsprofilerad utbildning i

Läs mer

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260

Geometrisk optik. Optiska system F9 Optiska instrument. Brytningsindex. avbildning med linser. Begrepp inom geometrisk optik. Brytningslagen FAF260 FF60 Geometrisk optik vildig med liser och speglr Geometrisk optik F7 elektio och rytig F8 vildig, liser och speglr system F9 istrumet Geometrisk optik vildig med liser epetitio: elektio och rytig rytig

Läs mer

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210. Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges

Läs mer

FÖRVAL TNINGSINFORMA TION FIAB AKTIEBOLAG. arg nr 556641-0048 ÅRS- REDOVISNING

FÖRVAL TNINGSINFORMA TION FIAB AKTIEBOLAG. arg nr 556641-0048 ÅRS- REDOVISNING -- FÖRVAL TNINGSINFRMA TIN FIAB AKTIEBLAG arg r 556641-0048 ÅRS- REDVISNING 2004 Styrelse för Förvaltigsiformatio FIAB Aktiebolag får härmed avge årsredovisig för räkeskapsåret 2004-01-0l -- 2004-12-31.

Läs mer

Beteckningar för områdesreserveringar: T/kem Landskapsplanering

Beteckningar för områdesreserveringar: T/kem Landskapsplanering kk mk mv se jl ma ge pv nat luo un kp me va sv rr rr A AA C P TP T TT T/kem V R RA RM L LM LL LS E ET EN EJ EO EK EP S SL SM SR M MT MU MY W c ca km at p t t/ kem mo vt/kt/st vt/kt st yt tv /k /v ab/12

Läs mer

Löneläget tsk o ortassar landet runt

Löneläget tsk o ortassar landet runt Löeäge sk o orassar de ru Väsmds äs Igågs ö 16 5 Väsmd ca 2 ö 17 5 s 22 986 Or ass ägs 21 76 högs 24 35 mede 23 262.. öeuppgifer för dvårde 29 i Jököpigs äs dsig. eö Löesp Löespridig Tdsköerska 21179 2118

Läs mer

B 51130S S STUDENTLOUNGE 0924 STUDENTKÖK FRD D 51130S PASS 195 H MTR 0941A ARKIV 0943A RFP HP I HÖJD FRD ARKIV

B 51130S S STUDENTLOUNGE 0924 STUDENTKÖK FRD D 51130S PASS 195 H MTR 0941A ARKIV 0943A RFP HP I HÖJD FRD ARKIV .0.0.0.0.0.0 0S0.0 0S0..0. S00 ST 0 IÅ RP 0 0 RP 0 RP 0 UTÖ S00 ST 00 L OTO 0 PSS 0 LTRL 00 ase-, örsal 0 R RP 0 afé. 0 ORRIOR 0 R 0 PSS TRPPUS 0 RP 0 - IO.TR 0 RP 0 RI RP Liu-Service 0S0 SÖ 0 LIU SRI

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}:

REGULJÄRA SPRÅK (8p + 6p) 1. DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följande NFA över alfabetet {0,1}: CD58 FOMEA SPÅK, AUTOMATE, OCH BEÄKNINGSTEOI, 5 p JUNI 25 ÖSNINGA EGUJÄA SPÅK (8p + 6p). DFA och reguljära uttryck (6 p) Problem. För följade NFA över alfabetet {,}:, a) kovertera ovaståede till e miimal

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

EU integration Internationell Politik

EU integration Internationell Politik EU g Ill Plk Mådg 11 j 2009 My 09 Idg A föå EU: plk y EU: hk vcklg EU: lk plkåd EU plk y föädg My 09 Ml Sg McCll 1 H yck yck d d v EU, d plk ch d?? 1= v gg ll 1= v hl dl My 09 S ll flk? Fö v ch v följd

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2016, kl. 8:15-12:15

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2016, kl. 8:15-12:15 Tenmen i Memik, HF9 sep 6, kl. 8:-: Eminor: rmin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Senholm, Elis Sid För godkän beg krävs v m poäng. egsgränser: För beg,,, D, E krävs, 9, 6, respekive poäng.

Läs mer

Affärsnätverka framgångsrikt

Affärsnätverka framgångsrikt Grt Thorto 2011 ffärätvr frmgågrit Cri Kivit CochHut i Siv B CochHut i Sivi B 08-333 131 - Lutmrgt 52, 113 58 Stocholm Migltilr t CochHut i Sivi B 08-333 131 - Lutmrgt 52, 113 58 Stocholm Migltilr t 1

Läs mer

DOKUMENTHANTERINGSPLAN Personal Antagen att gälla från och 2013-01-01 Dnr: 16/13 Handlingsslag. Gallras (=förstöres) Arkivläggs

DOKUMENTHANTERINGSPLAN Personal Antagen att gälla från och 2013-01-01 Dnr: 16/13 Handlingsslag. Gallras (=förstöres) Arkivläggs AFA (arbetsmarkades FörsäkrigsAktiebolag): skade-amäla (TFA=Trygghets Försäkrig vid Arbetsskada), AFA (arbetsmarkades FörsäkrigsAktiebolag): skade-amäla (TFA=Trygghets Försäkrig vid Arbetsskada), kopia

Läs mer

Ur Höga visan. 4. Stycket är i grunden skrivet för enbart kör, men solister kan, om så önskas, sjunga valfria delar för att öka variationen.

Ur Höga visan. 4. Stycket är i grunden skrivet för enbart kör, men solister kan, om så önskas, sjunga valfria delar för att öka variationen. ext ur ibel 2000 venska ibelsällskapet ångernas sång Musik: Eva oller 200 nvisningar 1 Grundtempot i stycket är 115 järdedelsslag per ut ariera det eter eget godtycke, så att texten kan sjungas på ett

Läs mer

Sjung och läs nu Bacchi böner (sång nr 57)

Sjung och läs nu Bacchi böner (sång nr 57) Sung läs nu Bacchi öner (sång nr 57) ext musik: Carl Michael Bellman Arr: Eva oller 009 Soprano 1 Soprano. Alto 1 Alto enor 1.Sung läs nu 1.Sung läs nu 1.Sung läs nu Bac - chi ö - ner, Bac - chi Bac -

Läs mer

Hade jag sextusende daler (sång nr 14)

Hade jag sextusende daler (sång nr 14) Hade ag sextusde daler (sång nr 14) Text och musik: Carl Michael Bellman Tor 1 c Arr: Eva Toller 2009. Tor 2 c. och Basso 1 c 1.Ha - de ag sex - tu - s - de. da - ler i kvar - ta - ler, i kvar - ta - ler.

Läs mer

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 17/ till och med 18/ Tel.

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 17/ till och med 18/ Tel. Iformatio Dessa biljetter ka köpas på busse; - Ekelbiljett, ige fri övergåg till stadsbussara. - Rabattkort, rabatterade resor med ca 20 %, fri övergåg iom 1 tim till stadsbussara (valfritt atal resor

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Kunskap för integration

Kunskap för integration Kunskap för integration Om makt i skola och utbildning i mångfaldens Sverige Rapport från Integrationspolitiska maktutredningen Stockholm 2004 SOU 2004:33 SOU och Ds kan köpas från Fritzes kundtjänst.

Läs mer

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp Elekro- och yeeknik Elekrika akiner och effekelekronik Sefan Ölund 7745 Tenaen i EJ00 Eleffekye, 6 hp Den 5:e augui 008, 4.00-9.00 i al K5, K5 och K53 Räknedoa och aeaik handbok (Bea) får använda. Tenaen

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Skyarna tjockna (epistel nr 21)

Skyarna tjockna (epistel nr 21) Skyarna tockna (epistel nr 21) Text musik: Carl Michael Bellman Arr: Eva Toller 2009 Tenor 1 3 8 Tenor 2 3 8... Basso 1 8 3 1.Sky - ar - na. tock - na, stär - nor- na. slock - na, stor - mar- na. Basso

Läs mer

Var kristtrogen fröjde sig

Var kristtrogen fröjde sig Aé ogler ar kristtrogen röjde sig Arrangemang Christian Ljunggren SATB calluna musik h ar krist-tro-gen ar krist-tro-gen ar krist-tro-gen ar krist-tro-gen ar kristtrogen röjde sig ar kristtrogen röjde

Läs mer

FRÖSET - SMÅLAND. Fröset 7:6 Hånger församling Värnamo kommun, Jönköpings län. www.skogsmark.nu S K O G S M A R K A B 1

FRÖSET - SMÅLAND. Fröset 7:6 Hånger församling Värnamo kommun, Jönköpings län. www.skogsmark.nu S K O G S M A R K A B 1 . FRÖSET - SMÅLAND Fröset 7:6 Hånger församling Värnamo kommun, Jönköpings län www.skogsmark.nu S K O G S M A R K A B 1 S K O G S G Å R D 2 9 H A ALLMÄNT L a n t lig t b o e n de me d b ra lä g e e n da

Läs mer

VI HJÄLPER DIG ATT SKAPA FRAMGÅNGSRIKA MÖTEN. [ eskilstunaconvention.se ]

VI HJÄLPER DIG ATT SKAPA FRAMGÅNGSRIKA MÖTEN. [ eskilstunaconvention.se ] VI HJÄLPER DIG ATT SKAPA FRAMGÅNGSRIKA MÖTEN [ ekiluacoveio.e ] ESKILSTUNA har ära 00 000 ivåare. Regioe har e ark föreagarradiio, e rik muikliv, och e expaiv högkola. Käd bl a för Aa, Guif, Ke, Parke

Läs mer

I SVs värld. Stenungsund Tjörn. Våren 2015. Lära något nytt? Se hela vårt utbud på www.sv.se/vast

I SVs värld. Stenungsund Tjörn. Våren 2015. Lära något nytt? Se hela vårt utbud på www.sv.se/vast 12 I SVs värld du m o s sse av? e r t l i irke ig ett c u d e öre f Har l göra i vil er d jälp? t! v ö h Vä s Beh ågo V ill S ig t d av Hör Våre 2015 Lära ågot ytt? Se hela vårt utbud på www.sv.se/vast

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET

11.7 Kortversion av Kapitel INTEGRALBEGREPPET 498 11. INTEGRALBEGREPPET Defiitio 11.16 R är e obestämd itegrl. De beteckr e primitiv fuktio till f(x). Vi smmfttr skillder mell bestämd och obestämd itegrler: Obestämd itegrl: itegrle skr gräser. De

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176 FÖROR So en sträng å gtrren och so tonern dn vs..., så börjr texten Ulrk Neuns underbr Kärleksvls. Vd kn vr ljuvlgre än gtrrens sröd och nnerlg ton so tllsns ed sången kn sk sådn stänng och rontsk tosfär.

Läs mer

Ställningsförankring. Ställningsförankring

Ställningsförankring. Ställningsförankring 183 S 14 ROE + GS 12... Sid. 184 Ögleskruv FI G... Sid. 186 Täckkåpor AD... Sid. 186 Ringmutter RI... Sid. 187 Ögleskruv GS... Sid. 188 184 S 14 ROE + GS 12 För ställningsinfästning: ögleskruv GS med fischer

Läs mer