vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten )

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i närheten av punkten )"

Ulla-Britt Månsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler TYLORS FORMEL FÖR FUNKTIONER V FLER VRIBLER PPROXIMTIONER FELNLYS Tlors ormel äds l id i umeris eräigr ii ells iii optimerig o i ärledigr iom oli teis o mtemtis område TYLORS FORMEL V FÖRST ORDNINGEN Låt r e utio riler som r otiuerlig deritor dr ordige i ärete pute Tlors ormel eller Tlors utelig örst ordige rig pute är: R L * märig : Det speiell llet 000 lls Mluris ormel märig : Ild etes Δ Δ L o därmed R Δ Δ Δ L ** Uttret på ögersid ut R ds T L lls Tlorpolom örst ordige Eempelis Tlorpolomet örst ordige rig pute ör utioe z är z z z T För restterme R r i öljde smolis uttr:!! C C d R Δ Δ Δ L

2 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler där C θ L θ 0 < θ < Etersom deritor dr ordige i ärete pute eligt tgde är otiuerlig restterme R i Tlorormel sris som R L B där B är egräsd är pute Därmed går R mot 0 om går mot Med dr ord T Ds utioe pproimers med sitt Tlorpolom som är geerellt elre ä själ utioe Felet med de pproimtio är R Uppgit Bestäm Tlorpolom örst ordige ör öljde utioer rig gi puter: z z l z rig pute 000 z z rig pute z si z rig pute 0 rig pute Lösig: Först estämmer i utioes ärde o prtiell deritor örst ordige i pute 000: Futioes ärde i pute är Prtiell deritor örst ordige i pute 000: z z z z z z z z z

3 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler Tlorpolomet är T z z z z 0 z T z z är lltså Tlorpolom örst ordige till utioe z Sr : T z T 6 8 z T z 0 d T 7 PPROXIMTIONER Uppgit Betrt utioe z l Bestäm Tlorpolomet örst ordige rig pute P äd Tlorpolomet i ör tt erä pproimtit o jämör med det ärde som du år med e miiräre Lösig: l Tlorpolomet rig pute P lir T eller T 7 Vi pproimtit erär geom tt sustituer i Tlorpolomet Med e miiräre år i

4 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler Sr T 9 miiräre ger Uppgit Betrt utioe z r l r Bestäm Tlorpolomet örst ordige rig pute P ds r Berä pproimtit o jämör med det ärde som du år med e miiräre Tips: Om du ter tt det är elre tt ter uttr då du t eteig till z l Lösig: l r r r r l r r r Tlorpolomet är T r 8 eller ortre T r 8 7 l 8 8 Vi pproimtit erär geom tt sustituer r i polomet T r 8 : r r Sr T r 8 6 miiräre ger 98898

5 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler FELNLYS Låt r e utio riler som i ill erä i pute P tg tt m geom mätig äer ärmeärde till Då är Δ L Δ där Δ L Δ är i llmät oäd ele i mätigr Sustitutio mätärde i utioe ger resultt som är ett ärmeärde till det et ärdet För tt estämm tillörlitiget id eräige uppsttr i elet Δ Frå Tlorormel örst ordige rig pute Δ Δ L Δ R ** år i Δ Δ Δ L o geom tt äd soluteloppet på rje lede Δ Δ Δ L Δ Med jälp trigeloliete ör soluteloppet år i så llde elortpltigsormel: Δ < Δ Δ L Δ *** märig: Teet < utläses " pproimtit midre ä" / Uppgit Vi ill erä ärdet utioe z z i pute z Mätigr o z ruds till el tl o ger ± 0 0 ± 0 o z ± 0 Dett srisätt etder tt i r mätärde 0 o z med motsrde eluppsttigr Δ 0 Δ 0 o Δz 0 Bestäm utioes ärde i pute 0 o uppstt elet

6 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler Lösig: Futioes ärde i pute 0 är / Vi därmed sri P 6 Vd i säg om tillörlitliget ör år pproimtio? Prtiell deritor örst ordige i pute : z z / 0 7 z z / 0 6 z z z 6 / z Felortplttigsormel ger Δ < Δ Δ Δz z oter soluteloppet rut rje term Δ < lltså gäller eluppsttige Δ < Vi sri resultt på öljde sätt 6 ± ds det et ärdet ligger pproimtit mell 6 0 o 6 86 märig Felgräse i årt ll är äldigt stort i jämörelse med utioes pproimti ärde 6 För tt örättr oggret m örsö gör mätigr med ler orret deimler / märig För e så eel utio som z z som äer med / z seede på o o tr med seede på z-riel i uppstt elet diret 6

7 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler med jälp elemetär mtemti Eligt tgdet ± 0 0 ± 0 o z ± 0 r i 9 0 o z Därör lir utioe störst om äer mp 0 äer mp o z tr mp z: 876 / m 0 Futioe lir mist om 9 o z ju större z desto midre : 0 / mi 9 Därmed ser i ut tt äd elortplttigsormel tt det et ärdet z ligger mell o 877 För säerets sull rudr i iterllets öre gräs uppåt o edre gräs edåt Uppgit I e rätilig trigel är poteus 0 ± 0 m o e iel 6 ± 0 grder Bestäm ärliggde tete o uppstt elet med jälp elortplttigsormel Tips Derierigsormel os' si gäller edst om iel är i rdier Lösig Först erär i pproimtit tete : o os 0os6 8 Vi uppsttr elet med jälp elortplttigsormel ör uttret ds utioe tå riler os Etersom i äder deritor i ormel måste i äd rdier i eräigr Vi r 0 0 m Δ 0 m 6π / rdier Δ 0 π / rdier 0 Prtiell deritor örst ordige i pute : 7

8 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler 8 os si Eligt ormel Δ Δ < Δ r i < Δ ds < Δ 066 lltså ± Sr: ± B TYLORS FORMEL V NDR ORNINGEN FÖR EN FUNKTION V TVÅ VRIBLER Låt är e utio tå riler som r otiuerlig deritor tredje ordige i ärete pute Tlors ormel dr ordige rig är: R ]! ]! Restterme R sris som B R där B är egräsd är 00 Uttret på ögersid ut R lls Tlorpolom dr ordige : ]! ]! T Om i eter o därör i sri Tlorpolom i poteser o ds på öljde sätt:

9 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler 9 ]! ]! T Uppgit 6 Bestäm dr ordiges Tlorpolom rig pute 00 till utioe 7 e ge resultt i poteser i ii - - Lösig: 8 00 e 0 00 ; e 0 00 e e 00 e 0 00 e e 00 Sustitutio i oståede ormel ör tlorpolom dr ordige ger ] 0! 0] 0! 8 T ds 8 T Sr :

10 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler i T 8 ii T Uppgit 7 Bestäm dr ordiges Tlorpolom rig pute till utioe ge resultt i poteser i ii - - Lösig: 6 ; ; 6 6 Sustitutio i oståede ormel ör tlorpolom dr ordige ger T 6 6 Sr i T 6 6 ] ii T 6 6 ] ] 0

11 rmi Hliloi: EXTR ÖVNINGR Tlors ormel ör utioer ler riler C TYLORS FORMEL V ORDNING K FÖR FUNKTIONER V N VRIBLER ej oligtoris i år urs Låt r e utio riler som r otiuerlig deritor ordig i ärete pute Bete P o Δ Δ L Tlors ormel eller Tlors utelig ordig rig pute är: P d d L d R!!! Dieretiler d d smolis uttr: i oståede ormel eräs med jälp öljde d Δ Δ L Δ d Δ Δ L Δ d Δ Δ L Δ För restterme R gäller R d C!! Δ Δ L Δ där C θ L θ 0 < θ < C

Relevanta dokument

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =.

vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =. rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler v 9 YLOS FOMEL FÖ FUNKIONE V FLE VIBLE. PPOXIMIONE. FELNLYS. --------------------------------------------------------------------------------------------