vara en funktion av n variabler som har kontinuerliga derivator av andra ordningen i en öppen omgivning D av punkten ) A =.

Transkript

1 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler v 9 YLOS FOMEL FÖ FUNKIONE V FLE VIBLE. PPOXIMIONE. FELNLYS lors ormel väds l.. vid i umeris eräigr ii ells iii optimerig o iv ärledigr iom oli teis o mtemtis område. lors ormel v örst ordige Låt... vr e utio v vriler som r otiuerlig derivtor v dr ordige i e öppe omgivig D v pute.... t tt... P är e put i D såd tt strä P ligger i D. lors ormel eller lors utvelig v örst ordige rig pute är: L Uttret på ögersid ut dvs L lls lorpolom v örst ordige. Eempelvis lorpolomet v örst ordige rig pute ör utioe är För restterme r vi öljde smolis uttr:!! d L där θ θ L 0 < < θ. Etersom derivtor v dr ordige i ärete v pute eligt tgde är otiuerlig restterme i lorormel srivs som

2 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler v 9... B L där... B är egräsd är pute. Därmed går mot 0 om... går mot.... Med dr ord Dvs. utioe... pproimers med sitt lorpolom som är geerellt elre ä själv utioe. Felet vid de pproimtio är restterme. B lors ormel v dr ordige ör e utio v två vriler rig pute. Låt vr e utio som r otiuerlig derivtor v tredje ordige i ärete v pute. lors ormel v dr ordige rig är:. ]! ]! estterme srivs som B där B är egräsd är pute Om vi eter o därör vi sriv smm ormel på öljde sätt: ]! ]! estterme srivs som B där B är egräsd är Uttret på ögersid ut lls lorpolom v dr ordige i poteser v o : ]! ]!

3 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler v 9 eller i poteser v o : ]! ]! lors ormel v dr ordige ör e utio i tre vriler rig pute är l l l l l ]! ]! estterme srivs som l B l där l B är egräsd är 000 D YLOS FOMEL V ODNING K FÖ FUNKIONE V N VIBLE Låt... vr e utio v vriler som r otiuerlig derivtor v ordig i e omgivig v pute.... Bete... P o L. lors ormel eller lors utvelig v ordig rig pute är: d d d P!!! L Dieretiler d... d i ovståede ormel eräs med jälp v öljde smolis uttr: d L d L j i j i j i... d L För restterme gäller!! d L

4 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler där θ L θ 0 < θ <. ÖVNING: Uppgit. Bestäm dr ordiges lorpolom rig pute 00 till utioe 7 e ge resultt i poteser v i ii - - Lösig: 00 e 8 e 00 0 ; 00 0 e 4 e 00 4e 00 0 e 4 e 00 Sustitutio i ovståede ormel ör tlorpolom v dr ordige ger 8 0 0] 0!! dvs 8 ] Svr : i 8 ii v 9

5 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler Uppgit. Bestäm dr ordiges lorpolom rig pute till utioe 4 ge resultt i poteser v i ii - - Lösig: 4 6 ; ; 6 6 Sustitutio i ovståede ormel ör tlorpolom v dr ordige ger 6 6 Svr i 6 6 ] ii 6 6 Låt är e utio i de öpp mägde D som ieåller pute. Uppgit. lorutvel utioe l rig pute 000 t o m drgrdstermer. ] ] Svr: l l v 9

6 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler estterme l B l där B l är egräsd är 000. PPOXIMIV BEÄKNING Uppgit 4. Betrt utioe r l r 4. Bestäm lorpolomet v örst ordige rig pute P dvs r. Berä pproimtivt.. o jämör med det värde som du år med e miiräre. ips: Om du ter tt det är elre tt ter uttr då du t eteig till l 4 Lösig: l r 4 r 4 r r 4 l r 4 r 4 r lorpolomet är 4 r 8 eller ortre 4r 8 7 l 8 8 Vi pproimtivt erär.. geom tt sustituer r.. i polomet 4 r 8 : r 4 r Svr. 4 r miiräre ger märig: Bättre pproimtio år vi om vi väder lorpolom v ögre grd. 6 v 9

7 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler FELNLYS Låt... vr e utio v vriler som vi vill erä i pute P.... tg tt m geom mätig äer ärmevärde... till.... Då är L där L är i llmät oäd ele i mätigr. Sustitutio v mätvärde... i utioe ger resultt... som är ett ärmevärde till det et värdet.... För tt estämm tillörlitiget vid eräige uppsttr vi elet Frå lorormel v örst ordige rig pute L ** år vi L o geom tt väd soluteloppet på vrje lede L Med jälp v trigeloliete ör soluteloppet år vi så llde elortpltigsormel: < L *** ~ märig: eet < utläses " pproimtivt midre ä". ~ / Uppgit. Vi vill erä värdet v utioe i pute P. Mätigr v o vruds till el tl o ger ± 0. 0 ± 0. o ± 0.. Dett srivsätt etder tt vi r mätvärde 0 o med motsvrde 7 v 9

8 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler eluppsttigr o 0.. Bestäm utioes värde i pute 0 o uppstt elet. Lösig: Futioes värde i pute 0 är / Vi därmed sriv P 6. Vd vi säg om tillörlitliget ör vår pproimtio? Prtiell derivtor v örst ordige i pute : / 0 7 / / Felortplttigsormel ger < ~ oter soluteloppet rut vrje term < ~ lltså gäller eluppsttige <. Vi sriv resultt på öljde sätt... 6± ~ dvs det et värdet v... ligger pproimtivt mell o märig. Felgräse i vårt ll är väldigt stort i jämörelse med utioes pproimtiv värde 6. För tt örättr oggret m örsö gör mätigr med ler orret deimler. 8 v 9

9 rmi Hlilovi: EX ÖVNING lors ormel ör utioer v ler vriler märig. För e så eel utio som / som väer med / vseede på o o vtr med vseede på -vriel vi uppstt elet diret med jälp v elemetär mtemti. Eligt tgdet ± 0. 0 ± 0. o ± 0. r vi o... Därör lir utioe störst om. väer m..p. 0. väer m..p. o. vtr m..p. : / m. 0.. Futioe lir mist om o. ju större desto midre : 4.0. / mi Därmed ser vi ut tt väd elortplttigsormel tt det et värdet ligger mell 4 o 877. För säerets sull vrudr vi itervllets övre gräs uppåt o edre gräs edåt. 9 v 9