Approximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Approximationen med den här metoden kallas minstakvadratmetoden."

Lina Magnusson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR MINSTAKVADRATMETODEN Mistvdrtetode. INLEDNING frå lijär lger) Låt vr ett olösrt sste dvs. ett sste so sr lösig). Vi sriv ssteet på fore A = ss ) där A, och För e vetor vi etrt de så llde residulvetor r ) = A *); Uttrcet r r r r visr hur pss väl e vetor stisfierr ssteet. O ssteet ss ) hr e lösig 0 då är r 0 ) = A 0 = 0 ) O ssteet är olösrt då vi estä e vetor so iierr lägde v residulvetor dvs so iierr uttrcet r r r r. Approitioe ed de här etode lls istvdrtetode. MINSTAKVADRATMETODEN: Vi ultiplicerr ss ) A = frå väster ed trspotet A T, och får A T A = A T ss ), så llde orlsste. Därefter löser vi det ssteet ss ); lösige till ss) iierr lägde v residulvetor. Egesper för orlssteet:. Norlssteet är vdrtist, evtioer och oet. Norlssteet ss) är lltid lösrt och h et e eller oädligt åg lösigr.. O orlssteet hr oädligt åg lösigr då vrje såd lösig iierr residulvetor.

2 Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mistvdrtetode. Eepel. Ssteet är uppert olösrt. i) Bestä de vetor so iierr residulvetor. ii) För dett estä residulvetor r )=A -. Lösig ) Vi sriver ssteet på trisfor A= *) ) Ssteet *) ultiplicerr vi ed A T och får orlsste A T A = A T dvs: 0 orlsste på trisfor) Vi sriver ssteet på fore 0 **) och får lösig till **) = / och =. Alltså /. ii) Residulvetor är r )=A - = 5/ 5/ / / / / / / / och felet = r ) = ) / ) / ) / ) /. ===============================================

3 Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mistvdrtetode. KURVANPASSNING MED MINSTAKVADRATMETODEN. Vi väd ist vdrt-etode MK-etode) för tt pss e urv f ) ed oäd oefficieter t e, c eller e ) till eperietdt ätdt) Y=,,... ), X=,,... ) Vi ildr ett evtiossste f ) f )... f ) ed oäd oefficieter,,... Efterso ll puter, ) ite ligger i llä fll) på urv =f) sr ssteet lösig. Vi väder MK-etode och estäer oefficieter,,... så tt vdrtsu [ f )] v.s ) iiers. Dett är evivlet ed tt lägde v residulvetor iiers.) Kurv f ) lls, io sttistie, regressiosurv. Tpe v urv t e, c, e,...) estäer vi eligt teoretis usper o proleet so vi udersöer. O det ss teoretis odell så plottr vi puter, ) och därefter väljer vi urvs tp. Vi äve test fler odeller och oll vile so gör ist felet eligt v.s ). Eepelvis, i edståede Fig ed puter, ), vi t tt det fis ett lijärt sd, ell X och Y. Sdet i Fig är uppert ite lijärt. Vi t. e. försö gör urvpssig ed urv c.

4 Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mistvdrtetode. LINJÄRA MODELLER Apssig v till ätdt X, Y. METOD li lg) Vi ildr ett evtiossste... ed oäd oefficieter och. Därefter sriver vi ssteet på trisfor dvs ss ) Därefter ultiplicerr vi trisevtioe ed A T och löser ssteet A T A= A T B ss ) A B Vi ser frå ss tt efter ultiplitio ed A T ss srivs på fore i i i i ss ) i i REGRESSIONSKOEFFICIENT C X, Y ) Regressiosoefficiet r väds so ett ått på hur str är LINJÄRT sd ell vriler. Uttrcet i täljre C X, Y ) ) )) lls ovris. Egesper: r. O puter i, i ) ligger et på lije =+ och > 0 resp <0) då är r= resp r=- ). Ju ärre r = eller ) desto strre lijärt sd ell X och Y. O r är är 0 då fis det iget lijärt sd ell X och Y e då fis ett t icelijärt sd ell vriler t e poloil, epotetil, logritist eller trigooetrist sd). ==================================================

5 5 Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mistvdrtetode. Eepel. Lijär istvdrtpssig) ) Apss lije eligt ist vdrt-etode till ätdt X 0 Y och estä lägde v residulvetor. ) Berä ovrise )) ) ), N Y X C Evivlet forel ) ), N N Y X C c) Berä orreltiosoefficiete Y X C r ),. Är det riligt tt t tt det fis ett lijärt sd ell s. v, X och Y? Lösig: Lägg äre till tt och är oet.) Vi sustituerr X 0 Y i evtioe och får följde olösrt) sste 0 so vi sriv på trisfor 0 Vi ultiplicerr evtioe frå väster ed T A 0 och får 5 so srivs so /0 5 / Vi ritr puter och lije i s oorditsste:

6 Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mistvdrtetode. 9 /0 Svr : ; r= 7 /0 5 0 /0 och r. 05 /0 ) Svr: C X, Y ) = N) = 5.5 ) N C X, Y ) c) r Vi ccepter tgde o ett lijärt sd o r ligger är eller -. I vårt fll är r=0.577 lågt frå och därför vi ite påstå tt det fis ett lijärt sd ell X och Y. Eepel. istvdrtpssig ed e prel) ) Apss lije c eligt istvdrtetode till ätdt X 0 Y och estä lägde v residulvetor. Lösig: Vi sustituerr X 0 Y i evtioe c och får följde olösrt) sste 0 0 c 0 0 c so vi sriv på trisfor c c 9 c T Vi ultiplicerr evtioe frå väster ed A 0 och får

7 Ari Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR 9 5 c Härv efter cet eräig) 7 Mistvdrtetode., / 5, c / 0 och / 5) /0. Asoluteloppet v residulvetor= 0 0 /0 /5 /0 0 = 0. 7 / /0 9 /0 Aärig: Felet i de lijär pproitioe i eepel är c 5 gåger större. Vi ser i edståede grf tt prel, på ett r sätt, pproierr giv puter cet ättre ä lije i eepel. Grfe till puter och prel / 5) / 0 :

Relevanta dokument

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =. Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a