Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR MASSCENTRUM. vara punkter med motsvarande massor m. . Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR MASSCENTRUM. vara punkter med motsvarande massor m. . Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller"

Ingvar Jakobsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 ri Halilovic: EXTR ÖVNINGR Masscetru MSSCENTRUM Låt P, P,, P vara pukter ed otsvarade assor,,, O O beteckar origo och T asscetru då gäller ( OP OP OP OT = ) (*) där = ärkig: Uttrcket ( OP OP OP ) kallas viktade edelvärdet av positiosvektorera OP, OP, OP =========================================================== ÖVNINGR Uppgift ta att assora 5 kg 0 kg kg kg och kg är beläga i puktera P =(,0,0), P =(,,), P =(,,), P =(,,) respektive P 5 =(,,) (lägdehet=eter) Bestä asscetru Lösig: Först = = OT = ( OP+ OP+ + 5 OP5) = 5 (,0,0) + 0 (,,) + (,,) + (,,) + (,,) = (,0,) ( ) Svar: Masscetru är pukte (,0,) (97, 6667, 97) Uppgift ta att assora kg 5 kg 6 kg och 0 kg är beläga i puktera P =(,,), P =(,,), P =(,,) respektive P =(,,) (lägdehet=eter) Bestä asscetru Svar: Masscetru är pukte (,6,57) = (, , 8) av 5

2 ri Halilovic: EXTR ÖVNINGR Masscetru Masscetru för saasatta kroppar: Låt K vara e kropp so är saasatt av ekla kroppar K, K,, K vars delkropparas asscetra är käda och ligger i puktera P, P,, P ta vidare att delkropparas assor är,,, Då ka vi betrakta delkroppar so puktassor beläga i puktera P, P,, P och aväda forel (*) för att bestäa asscetru T för hela kroppe K Däred blir OT = ( OP+ OP + + OP ) Uppgift E kropp K består av två delar K och K Delkroppe K är e hooge kub ed desitete ρ = 000kg / Kubes kat har lägde Delkroppe K är ett hooget klot ed radie och desitete ρ = 000kg / Klotet är placerat på kube eligt edaståede figur Iför ett koordiatsste ed origo so ligger i ett av kubes hör och bestä asscetru till kroppe K z r= a= Lösig: Kubes asscetru ligger i P =(,,) Kubes assa är = 000 = 000 kg 8000 Klotets asscetru ligger i P =(,,) Klotets assa är = π 000 = π kg Masscetru får vi ur OT = ( OP+ OP ) 8000 = 000 (,, ) + π (,, ) π π + π = (,, ) = (,, ) (,, π + π 96) av 5

3 ri Halilovic: EXTR ÖVNINGR Masscetru + π Svar: T= (,, ) (,, 96) + π Uppgift E tu skiva är gord av hooget aterial (desitet ρ = kostat) Ett hör är placerat i origo (Se edaståede figur där lägdehet=eter) 0 ta att de tua skiva har tockleke h=00 Bestä skivas asscetru Lösig: Vi delar skiva i två delar: Del har e kvadratisk bas ed sida och asscetru i pukte P =(05, 5, 00) Del har e rektagulär bas vars sidor är och och asscetru i pukte P =(5, 05, 00) P P 0 Del har assa = vole ρ = aρea h ρ = h ρ Del har assa = vole ρ = aρea h ρ = h ρ Vi ersätter del ed puktassa i pukte P och del ed assa i pukte P och bestäer asscetru för de två puktassora: OT = (hρ OP+ hρ OP) ( vi brter ut och förkortar h ρ ) (hρ + hρ) OT = ( (05, 5, 00) + (5, 05, 00) ) OT = ( 5, 075, 00) Svar: Masscetru är pukte ( 5, 075, 00) av 5

4 ri Halilovic: EXTR ÖVNINGR Masscetru Masscetru för tua hoogea skivor: Låt K vara e hooge tu skiva ed höde h so är gord av hooget aterial (desitet ρ = kostat) so är saasatt av delskivor K, K,, K vars asscetra är käda Betecka basareor till delskivor ed,,, (Höde av vare delskiva är h) Då är assa av delskiva K lika ed = h ρ De totala assa av skiva K är = = hρ Vi ka substituera detta i forel för OT och förkorta h ρ OT = ( OP eller + OP + + OP ) = hρ ( h ρ OP + h ρ OP + + h ρ OP ) OT ( OP OP OP = ) där är de totalarea av skivas basta = ärkig Efterso z-koordiate för asscetru T är h/ (o edre base ligger i plaet) ka vi äve betrakta probleet so "tvådiesioellt" och bestäa cetrus - och -koordiat ed OS = ( OQ+ OQ + + OQ ) (**) där S=( 0, 0 ) beteckar första två koordiater till asscetru T och koordiater till asscetra P, Q beteckar, Uppgift 5 E tu skiva är gord av hooget aterial (desitet ρ = kostat) Ett hör är placerat i origo Skivas basta visas i edaståede figur ( där lägdehet=eter) av 5

5 ri Halilovic: EXTR ÖVNINGR Masscetru D E C B 0 Bestä skivas asscetru Tips: E triagel ed hör i puktera (, ), (, ) och (, ) har cetru i pukte S = (, ) Lösig: Efterso z-koordiate för asscetru T är h/ har vi kvar att bestäa cetrus - och - koordiat Vi betraktar probleet so tvådiesioellt och aväder forel (**) Först delar vi skivas bas i två delar ed käda cetra: D E C B 0 i) Del är rektagel BCE ed area = = och cetru i Q = (, ) ii) Del är triagel CDE ed area = /= Triagels cetru ligger i pukte Q = (, ) = (, ) Bases cetru ges av OS = ( OQ+ OQ ) = (, ) + (, ) =, Skivas asscetru är T = 7,, h Svar: T = 7,, h av 5

Relevanta dokument

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. n. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller ===========================================================

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. n. Om O betecknar origo och T masscentrum då gäller =========================================================== rin Halilovic: EXTR ÖVNINGR Masscentru MSSCENTRUM Låt P P P n vara punkter ed otsvarande assor n O O betecknar origo och T asscentru då gäller OT OP OP n * där n närkning: Uttrcket OP OP n kallas viktade