EXAMENSARBETE. Lyftkraftsberäkning för vingprofiler. Virvelpanelmetoden. Tobias Roos. Teknologie kandidatexamen Rymdteknik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "EXAMENSARBETE. Lyftkraftsberäkning för vingprofiler. Virvelpanelmetoden. Tobias Roos. Teknologie kandidatexamen Rymdteknik"

Transkript

1 EXAMENSARBETE Lyftkraftsberäkig för vigprofiler Virvelpaeletode Tobias Roos Tekologie kadidateae Rydtekik Luleå tekiska uiversitet Istitutioe för tekikveteskap och ateatik

2 Abstract The proble preseted i this report is that of fidig a ethod to calculate the lift force fro a sigle-eleet airfoil of arbitrary shape. A uber of restrictios are used i order to siplify calculatios while retaiig reasoable accuracy. The proble is solved for the two-diesioal case oly ad o fiite-wig effects are take ito accout. Furtherore, iviscid ad icopressible flow is assued. The ethod used to solve the proble is the vorte pael ethod, with vorte sigularities distributed over siplified airfoil geoetry. The resultig velocities are the used to calculate the pressure distributio ad lift of the airfoil. Copariso with wid tuel tests ad data fro coercial software show the liits of the developed progra. There is a good agreeet betwee eperietal- ad calculated values up util the agle of attack where the airfoil stalls, after which the progra caot predict the value of the lift coefficiet. The progra should therefore ot be used to aalyze such coditios if correct results are to be obtaied, but rather oly be used for relatively sall agles of attack where the airfoil does ot stall.

3 Förord Detta arbete, vilket utfördes vid sida av ordiarie studier, har varit ycket givade och lett till e ökad förståelse av både prograerig, ueriska etoder, aerodyaik och ströigslära. Det är i förhoppig att läsare skall kua ta del av dea kuskap och att de skall vara givade på saa sätt. Här vill jag också ge ett stort tack till professor Has Åkerstedt vid Luleå tekiska uiversitet för de hjälp och det stöd ha gett uder arbetets gåg. Tobias Roos Kirua April, 2

4 Iehållsförteckig. Iledig, ål och syfte Teori Ströigslära allät Grudläggade atagade och begräsigar Kotiuitetsekvatioe och ikopressibilitet Navier-Stokes och icke-viskös ströig Ytterligare begrepp Potetialströig Virvellösige Virvelfördelig Adra etoder Geoförade Virvelpaeletode Skapadet av paeler Beräkig av påverkaskoefficieter Beräkig av tryckfördelig, lyftkraftskoefficiet och lyftkraft Prograkode Iitierigsfas Iitierigsfas Huvudberäkigsfas del Huvudberäkigsfas del Huvudberäkigsfas del Resultatberäkig lyftkraftskoefficiet och tryckfördelig Stödprogra Geoetrigeerator för fyrsiffriga NACA-vigprofiler Paelgeerator för föreklad geoetri Grafiskt avädargrässitt Resultat Jäförelse test i vidtuel Jäförelse COMSOL Multiphysics Diskussio och slutsatser Överesstäelse och begräsigar Teori Aerodyaik Prograerig Vidare utvecklig Viskositet Kopressibilitet Övriga förbättrigar... 3 Refereser Bilaga A: Prograkod... 34

5 . Iledig, ål och syfte E stor del av de trasporter so sker idag världe över sköts ed hjälp av flygpla. Föråga hos e flygfarkost att lyfta frå arke och röra sig fritt geo lufte ka tyckas självklar, e det a ite bör glöa i saahaget är att det hadlar o ett föreål so är avsevärt ycket tygre ä lufte det färdas geo. Ma ka låta sig luras av de ofta eora otorer so fis på, till eepel, valiga passagerar- och fraktflygpla. Dessa skulle, vid e första ablick, kua tyckas vara e öjlig förklarig till hur dessa stora flygaskier ka ta sig upp i lufte och staa där, då de geererar e oerhörd kraft. Detta är dock e ite helt korrekt förklarig, då otoreras huvuduppgift ite är att ge lyftkraft istället är uppgifte att se till att vigara rör sig tillräckligt fort geo lufte för att dessa skall kua skapa de kraft so behövs för att få plaet att lyfta frå arke. Hur dea lyftkraft skapas och hur stark de blir vid e viss utforig på vige, sat hur detta ka beräkas, är vad so koer att behadlas i dea rapport. Föruto de uppebara ytta ed att kua beräka lyftkrafte frå vigara på ett flygpla fis äve ett stort atal adra tilläpigsöjligheter för progra so ka räka på luftströigar. Bilidustri är ett oråde so också ofta aväder aerodyaiska beräkigsodeller och detta ka tyckas vara aturligt äve här hadlar det o ett föreål so rör sig geo lufte. Detsaa gäller för de eora vigar so driver geeratorera på vidkraftverk och rotorblade på e helikopter. Tilläpigsoråde so ite alltid är lika uppebara är beräkigar av påfrestigara på broar och skyskrapor sat flöde i turbier och rut propellrar. Saafattigsvis aväds olika ströigsekaiska beräkigsodeller io ett stort atal oråde där atige ett föreål rör sig geo e vätska eller gas, eller där e vätska eller gas ströar rut ett föreål. På grud av de stora ägde öjliga tilläpigar har behovet av att utveckla beräkigsodellera historiskt sett varit stort och utvecklige har uder de seaste hudra åre gått sabbt fraåt. Ett flertal odeller eisterar, ed varierade grad av eakthet och ed olika avädigsoråde. De olika odellera tilläpas ed vissa specifika begräsigar, där atagade grudade i de bakoliggade teori görs beroede på vad odelle skall avädas till. Målet för detta eaesarbete är därför uppdelat i två delar: e teoretisk kuskapsdel och e er tilläpad prograerigsdel. Dessa två delar är dock ite helt separata, uta kuskapera so ihätats uder första dele av arbetet tilläpas i dess seare del. E kortfattad beskrivig av arbetets olika delar följer eda. Teoretiska studier Arbetets första del består so äts av teori. Dea teoridel har so ål att ge kuskap o ströigsekaike och dess tilläpigar, de ekvatioer so aväds, öjliga begräsigar och atagade so förekoer sat ågra av de beräkigsodeller so ka avädas. Prograerig De adra dele av arbetet består av skapadet av det progra so utför lyftkraftsberäkigara. Här ikluderas också skapadet av olika hjälpprogra, såso ett progra för skapadet av vigprofilskoordiater och ett grafiskt avädargrässitt. Äve här förekoer e del teori, då det fordras kuskap o de ueriska etoder so ka avädas för dea typ av progra. Det övergripade syftet ed arbetet är e kobiatio av båda ovaståede oråde, dels att ge kuskap o olika beräkigsodeller so ka avädas och teori bako dessa och dels tilläpige av dea kuskap geo färdigställadet av prograet.

6 2. Teori Teoridele av dea rapport utgör so äts ova e stor del av det totala arbetet. Ett av arbetets delål är just ihätig av teoretisk kuskap, vilke krävs för att kua uppå det adra delålet: färdigställadet av ett beräkigsprogra baserat på just dea teoretiska kuskap. Detta avsitt koer att behadla all de bakoliggade teori so krävts för färdigställadet av beräkigsprograet och de oråde so däred tas upp iefattar allä ströigslära, öjliga begräsigar och förekligar, lösigar till ekvatioer och dessa lösigars tilläpigar, variater av beräkigar på föreklade odeller av vigprofiler och till sist ågra av de etoder so ka avädas för lyftkraftsberäkigar på godtyckligt forade vigprofiler. Neda följer e geogåg av dessa olika oråde. 2. Ströigslära allät Att grudligt beskriva och förklara ströigslära ligger utaför raara för dea rapport och läsare förvätas däred ha e åtistoe grudläggade förståelse för de olika begrepp och etoder so förekoer io orådet. Läsare förvätas äve vara bekat ed de begrepp so aväds io grudläggade fysik, ekaik och kieatik. Dock förklaras i det första av de edaståede styckea de grudläggade defiitioer och sabad so aväds seare i tete. 2.. Grudläggade atagade och begräsigar För att udvika oödiga och icke-relevata förklarigar och beräkigar koer ett atal grudläggade atagade och begräsigar avädas. Det första av dessa berör sättet att betrakta luftströe. Ett öjligt sätt att se på dea är att studera varje eskild partikels rörelse och därefter suera dessa rörelser, ed ett tillvägagågssätt so i klassisk ekaik. Detta är dock ite särskilt praktiskt eller es öskvärt, då viktig iforatio går förlorad i ägde av positioer och hastigheter för alla partiklar och e överblick blir däred svår att uppå. För att uderlätta beräkigar och förståelse aväds istället oftast ett aat sätt att betrakta ströe på, där a istället för att betrakta varje partikels rörelse istället beskriver hastighete hos ströe i varje pukt. Mateatiskt ka detta betraktelsesätt skrivas so u u(, y, z, t) v v(, y, z, t) w w(, y, z, t) (2.) där u, v och w står för luftströes hastighetskopoeter i pukte (, y, z) vid tide t. Detta sätt att betrakta ströe på uderlättar vid jäförelse ed eperietella data sat ger e bättre överblick över de iforatio so fis. Betraktelsesättet so beskrivits ova kallas e Eulersk beskrivig och är e av de er aväda beskrivigara io ströigslära. (Douglas, Gaziorek, Swaffield, & Lye, 26) Detta betraktelsesätt koer geogåede att avädas i dea tet. Värt att otera är att beskrivige ova utgår frå att ett kartesiskt koordiatsyste aväds. Ett sådat koordiatsyste är beräkigsässigt ekelt att aväda och då dea tet edast behadlar tvådiesioella proble sakas skäl för att iföra adra koordiatsyste såso polära eller sfäriska. E aa begräsig so här koer att tilläpas är tidsoberoede; för e diskussio rörade tidsberoede luftströar och beräkigar ivolverade dessa hävisas läsare till kapitel sju. Här atas att föreålet so skall studeras, i detta fall e vigprofil, rör sig ed kostat hastighet geo lufte och att dea luft i övrigt ite uppvisar ågra förädrigar över tid. Koordiatsysteet so aväds är so äts ova kartesiskt och det är statioärt relativt vigprofile. Dea defiitio av koordiatsysteet öjliggör just tidsoberoede, vilket ka 2

7 illustreras delvis ed edaståede figur. t=t t=t V Figur 2.: Illustratio av flödesfält och koordiatsyste Då vigprofile rör sig ed kostat hastighet och koordiatsysteets origo är fäst vid vigprofile har luftströe, i detta koordiatsyste, e kostat hastighet relativt vigprofile. Dea hastighet beteckas V. I figur 2. visas koordiatsysteets - och y-alar sat ett eepel på e partikel i luftströe vid två olika tidpukter, t och t. Lijera so sys rut vigprofile är de baor partiklara koer att följa (här visas edast e partikel) och dessa baor är oberoede av tidpukte. Relativt vigprofile koer e partikel so tillförs luftströe vid e specifik positio alltid följa saa baa. Själva luftströe och flödesfältet ädras däred ite ed tide, äve o varje eskild partikels positio förädras Kotiuitetsekvatioe och ikopressibilitet E av de viktigare ekvatioer so aväds io ströigslära är kotiuitetsekvatioe. I e av dess grudläggade forer ser de ut på följade sätt: (Chalers Tekiska Högskola, 2) V t, (2.2) där ρ är desitete, t tide och V luftströes hastighetsvektor. Dea ekvatio ka reduceras geo tilläpige av e av de begräsigar vilka äts ova: ikopressibilitet. Detta begrepp iebär att desitete för varje eleet i luftströe är kostat och de första tere i ovaståede ekvatio ka däred strykas. Kvar bli då e reducerad variat, V, (2.3) vilke är kotiuitetsekvatioe för ikopressibel ströig. (Potter, 28) Då ikopressibel ströig atas för alla beräkigar i dea rapport är det däred ekvatio 2.3 so fortsättigsvis koer att avädas Navier-Stokes och icke-viskös ströig E aa grupp viktiga ekvatioer, so äve de koer att avädas i beräkigara och förklarigara eda, är Navier-Stokes ekvatioer. Dessa ka i ett tvådiesioellt kartesiskt koordiatsyste, vilket aväds här, uttryckas på följade sätt: u u 2 u v ( V u) f 2 ( V ) (2.4) t 3 y y v p v 2 u v ( V v) f y 2 ( V ), (2.5) t y y y 3 y där ρ är desitete, t tide, u och v luftströes hastighetskopoeter, f och f y 3

8 kraftkopoeter, μ viskositetskoefficiete och V luftströes hastighetsvektor. Äve dessa uttryck ka föreklas och ed hjälp av begräsigar skrivas på reducerad for. E ytterligare begräsig so ka avädas är att μ i ovaståede ekvatio ka atas vara kostat. Detta ger ett föreklat uttryck V 2 ( V V ) f p V ( V ), (2.6) t 3 där variabler och kostater har saa betydelse so i ovaståede ekvatioer 2.4 och 2.5; observera äve att dea ekvatio slår saa ekvatioera i - och y-led. (Kudu & Cohe, 2) Detta uttryck ka u föreklas ytterligare geo att ikopressibilitetsvillkoret frå ekvatio 2.3 sätts i, vilket ger sabadet ( V V V ) f p 2 V. (2.7) t E föreklig so koer att avädas geogåede i dea rapport är försuadet av viskösa effekter, vilket edför att μ ka atas vara lika ed oll. Då detta sätts i i ovaståede ekvatio och båda lede divideras ed desitete ρ fås ett uttryck på fore V t V V f p, (2.8) vilket beäs Euler-ekvatioe (Nakayaa & Boucher, 2) och dea koer tillsaas ed kotiuitetsekvatioe 2.3 att avädas i edaståede beräkigar. Villkoret för dess avädig är dock att viskösa effekter ka försuas och då krävs kuskap o är detta gäller. E avädbar storhet för att bestäa o dea begräsig ka tilläpas är Reyoldstalet, Re. Detta ka uttryckas ed sabadet V L Re, (2.9) där ρ är desitete, μ viskositetskoefficiete, L refereslägde (här lägde på vigprofiles korda) och V storleke på luftströes hastighetsvektor. Reyoldstalet aväds ofta vid praktiska tilläpigar och detta beror delvis på att det gör jäförelser ella odeller i olika skala lättare det so krävs är att Reyoldstale är lika, ågot so aväds i blad aat vidtular. (Aderso, 27) Vid ispektio ka ur ovaståede forel utläsas att ett stort Reyoldstal iebär e relativt övriga variabler lite viskositetskoefficiet μ; då μ ova atagits vara ~ ger detta följaktlige stora Reyoldstal. Alltför stora tal gör dock att adra effekters påverka ökar arkat och i dea rapport koer Reyoldstale för de studerade ströigara därför i huvudsak begräsas till orådet krig 5-7. Detta otsvarar ugefär de Reyoldstal so återfis för luftströar krig idre propellerflygpla. (Katz & Plotki, 2) Det fis proble förkippade ed att helt igorera de verka viskositete ka ha på ströige och vissa oråde i luftströe påverkas ärkbart er av viskositetes effekter ä adra. Detta rör fräst de luft so fis allra ärast vigyta. E illustratio av luftes hastighetsprofil i detta oråde ka ses i edaståede figur, där V är luftströes hastighet relativt vigprofile. 4

9 Figur 2.2: Hastighetsprofil i grässkiktet Ur figure ka utläsass att hastighete hos lufte vid vigyta är lika ed oll för att därefter sabbt öka och orådet för dea sabba hastighetsökig kallas grässkiktet. Här får viskositete lufte att sakta er ära vigyta och skillade ot e helt icke-viskös odell är stor: för e viskös odell är radvillkoret att vid vigyta skalll både oral- och de tagetiella hastighetskopoete för luftflödet vara lika ed oll, eda det i fallet för e icke-viskös odell edast gäller för oralkopoete. Detta har stor betydelse i beräkigar. (Nakayaa & Boucher, 2) För att udvika behovet av att ikludera viskösa effekter i beräkige av hela ströige ka probleet därför delas upp i två delar. I de första av dessa delar betraktas ströige so icke- relativt storleke på hela vige är försubar. Kravet att oralhastighete hos ströige skall viskös. Radvillkoret för oralhastighet atas då gälla vid vigyta, då grässkiktets tjocklek vara lika ed oll vid yta är ett sätt att ateatiskt beskriva att lufte ite ströar geo vige. De tagetiella hastighetskopoete vid viges yta beräkas också i de icke-viskösa lösige. Dea aväds därefter so radvillkor i ästa steg, där de viskösa effektera i grässkiktet beräkas. (Pozrikidis, 29) Här koer edast det första steget behadlas, det vill säga de icke-viskösa lösige. Dea krävs för att beräka tryckfördelige över vigprofile och däred äve lyftkraftskoefficiete. E kort diskussio o viskösa effekter, grässkikt och utökade beräkigsodeller fis i kapitel Ytterligare begrepp För att kua hitta de icke-viskösa lösig so äs i stycket ova krävs först kuskap o ytterligare ågra grudläggade begrepp och därefter äve kuskap o de etoder och ekvatioer, där dessa begrepp aväds, so krävs för lösige. Dessa oråde koer att behadlas i detta och ästföljade avsitt. De grudläggade begrepp so koer att behadlas först är vorticitet och cirkulatio, då de utgör grude för åga av de övriga begrepp so aväds Vorticitet och cirkulatio För att kua förklaraa begreppet vorticitet ka först e ifiitesial bestådsdel i ströige studeras; för ekelhetes skull ka e rektagulär geoetri avädas, se figur. 5

10 Figur 2.3: Ifiitesialt flödeseleet Vorticitete ζ ka då skrivas so dubbla vikelhastighete ω, det vill säga 2 V. (2.) Dea ekvatio ka u avädas för att defiiera ett uttryck för cirkulatioe. Med hjälp av Stokes sats (Adas, 26)ka visas att följade sabad gäller: S V ds ds V dl. S C (2.) Här är V luftströes hastighetsvektor, oralvektor till yta S, ds ett fiitesialtt yteleet av saa yta, ζ vorticitete, C kurva rut yta S och dl ett lägdeleet av C. I detta sabad är cirkulatioe Γ lika ed högerledet, vilket betyder att V dl. C (2.2) Ytterligaree ett begreppp so förekoer är rotatio. För e ströig so har rotatio gäller att V (2.3) och för e ströig so sakar rotatio, det vill säga är rotatiosfri, gäller att V. (2.4) Effekte detta har på ströige illustrerass i figure eda. 6

11 Figur 2.4: Ströig ed och uta rotatio Vid höga Reyoldstal är ströige, i de oråde de ka betraktas so icke-viskös, äve rotatiosfri. Då ströigara i dea tet geogåed de har höga Reyoldstal och asess icke- är viskösa koer de i resterade del av tete äve ases vara rotatiosfria. Då ströige rotatiosfrii ka följade sabad avädas: (Katz & Plotki, 2) (, y) P P ud vdy. (2.5) Här gäller att Φ är hastighetspotetiale i pukte P(,y), u och v är hastighetskopoeter i - respektive y-riktig och P är e godtyckligg referespukt. Hastighetsvektor V ka ur hastighetspotetiale erhållas geo sabadet V, (2.6) ett sabad so seda ka sättass i i ekvatio 2.3 (kotiuitetsekvatioe) vilket ger följade ekvatio: 2, (2.7) vilke är Laplace-ekvatioe. Dea differetialekvatio är lijär, ågot so seare koer till stor ytta då e lösig för ströigsfält ed koplea geoetrier (i detta fall e vigprofil) skall beräkas. (Torebeek & Witteberg, 29) Dea ekvatio ka avädas då avädas för att beräka hastighets- och tryckfördeligar tillsaas ed radvillkoret för oralkop poete av hastighetsvektor, vilket äts ova och so ka uttryckas ateatiskt på fore ( V V B ). (2.8) Här är orale frå vigprofiles yta, V luftströes hastighetsvektor och V B vigprofiles hastighet, o såda fis. Det villkor so sakas för att ekvatioe skall kua lösas är beteedet då avstådet går ot oädlighete. Då det atogs att lufte var stilla bortsett frå de rörelser so uppstått på grud av viges rörelse, bör dessa störigar vara försubara då avstådet går ot 7

12 oädlighete. I ett koordiatsyste fierat vid vige ka detta uttryckas ateatiskt på följade sätt: (Katz & Plotki, 2) liv r V, (2.9) där r är avstådet, V luftströes hastighetsvektor och V vigprofiles hastighet relativt de stillaståede lufte. Äve o dessa villkor öjliggör e lösig av ströigsfältet ka resultatett frå e såda beräkig äu ite utyttjas till fullo; för att kua beräka lyftkraftskoefficieter och tryckfördeligar krävs ett sabad ella hastighet och tryck. Ett sådat fås ed hjälp av Beroullis ekvatio, vilke ka uttryckas på fore: p V E 2 2 p E t 2 V 2 t, (2.2) där p är trycket, ρ desitete, V hastighete, Φ hastighetspotetiale, t tide och E är lika ed tygdkraftskostate g ultiplicerat ed y, där y är höjde ovaför e godtycklig referesivå. (Schobeiri, 2) Det so u kvarstår att behadla ia potetialströige är ströfuktioe Ströfuktioe För att bäst kua beskriva ströfuktioe är det läpligt att börja ed e illustratio; se figure eda. Figur 2.5: Strölijer För de två strölijer so visas i figure gäller att hastighete V i varje pukt på lijera har saa riktig so lijes taget; ateatiskt ka detta uttryckas so V dl udy vd, (2.2) där V är hastighetsvektor, dl lijeeleetet, u och v hastighetskopoeter och dy sat d avståd i y- respektivee -led eligt figur 2.5. Flödet Q ella två sådaa lijer ka beskrivas 8

13 (Petrila, 25) ed forel B V dl udy v Q ( d), (2.22) A B A där A och B är två godtyckliga pukter på lijera (se figur ova) och övriga beteckigar har saa betydelse so i ekvatioera ova. Flödet Q beror på - och y-koordiatera och därför ka e fuktio defiieras för att beskriva detta flöde ströfuktioe Ψ(,y). Då ekvatioera (2.2) och (2.22) kobieras erhålls sabadet d udy yd, (2.23) vilket iebär att Ψ ite varierar, det vill säga är kostat, lägs ed strölijera. (ella lijera beskrivs Ψ av ekvatio (2.22)) Detta avslutar avsittet o ströfuktioe. 2.3 Potetialströig Med de beskrivigar och begrepp so behadlats ova fis u allt so krävs för att defiiera detta avsitts huvudäe: potetialströig. Här koer fokus ligga på att förklara bakgrude till de specifika etod so seare aväts vid prograerige. E kort diskussio o adra etoder återfis i avsitt 2.5. Ett allät sätt att agripa ett potetialströigsproble utgår ifrå kotiuitetsekvatioe. I ekvatio (2.7) visades att för e ikopressibel, icke viskös-ströig gäller 2. (2.7) Dea ekvatio är so äts ova lijär, vilket iebär att e lijärkobiatio av två eller flera lösigar också är e lösig till ekvatioe. Geo att placera sådaa ekla lösigar lägs ed yta på e vigprofil ka e total lösig för hela ströige erhållas. Geo att välja lösigar där hastighetspotetiale går ot oll då avstådet går ot oädlighete uppfyller lösigara radvillkoret (2.9); kvar återstår att apassa atal, placerig och relativ styrka hos dessa lösigar för att radvillkoret (2.8) skall uppfyllas. Probleet ka däred reduceras till ett lijärt ekvatiossyste ed de olika relativa styrkora hos lösigara so koefficieter, ågot so läpar sig väl för ueriska lösigar. Neda defiieras först e ekel lösig och därefter graskas effektera av e distributio av sådaa lösigar på yta av e vigprofil Virvellösige Dea lösig är e så kallad sigulär lösig, vilket iebär att hastighete vid avstådet oll ärar sig oädlighete och däred blir e sigularitet. Detta beror på att hastighete är ovät proportioell ot avstådet och är läkat till det öskade beteedet vid oädlighete, där hastighete skall vara lika ed oll. Karakteristiskt för dea lösig är också att de edast har tagetiella hastighetskopoeter, vilket illustreras i edaståede figur. 9

14 Figur 2.6: Strölijer för virvellösig Detta ger att V r V V ( r,, ), (2.24) där V r är radiell hastighet och V θ är tagetiell hastighet. Då detta sätts i i kotiuitetsekvatioe i polära koordiater visas att de tagetiella hastighete edast beror av avstådet r, (Katz & Plotki, 2) vilket iebär att V V (r). (2.25) Isatt i ekvatio (2.) för vorticitet ger detta att ( rv ), r r (2.26) vilket i si tur, efter att båda led itegrerats, visar att rv C, (2.27) där C är e kostat. Ur detta uttryck ka utläsas ett av de krav so ställdes på lösig i avsittets första stycke: att hastighete skall vara ovät proportioell ot avstådet. Geo att sätta i ovaståede ekvatio i ekvatio (2.2) för cirkulatio ka kostate C bestäas till följade: C. 2 (2.28) Isatt i ekvatio (2.27) ger detta följade sabad för de tagetiella hastighete: V. 2 r (2.29)

15 Hastighetspotetiale ka u bestäas geo att ekvatio (2.29) itegreras, tillsaas ed villkoret att de radiella hastighete reda är bestäd till oll. (Katz & Plotki, 2)Detta ger sabadet D. (2.3) 2 D är här edast e itegralkostat och ka därför bortses ifrå, det vill säga sättas till oll. Då koordiatsysteet so geogåede aväds i dea tet är det kartesiska krävs att ovaståede två ekvatioer skrivs o, efterso dessa är uttryckta i polära koordiater. I kartesiska koordiater blir ekvatioe för hastighetspotetiale y y ta 2, (2.3) ekvatioe för hastighetskopoete u u y y 2 2 2, (2.32) y y och ekvatioe för hastighetskopoete v v (2.33) y y Detta avslutar avsittet o estaka virvellösigar och i ästa avsitt behadlas istället effektera av ett flertal sådaa lösigar utspridda över e yta eller lije Virvelfördelig För att udersöka vilke påverka e virvelfördelig har på luftströe i pukte (,y) krävs att påverka frå alla eskilda lösigar tas ed i beräkige. Detta görs läplige ed hjälp av e itegral och de resulterade hastighetspotetiale ka däred skrivas på itegralfor so 2 y (, y) ( ) ta d 2, (2.34) där virvellösigara för ekelhetes skull (då detta edast är e deostratio vid tilläpigar är distributioe aorluda) är utspridda lägs -ael ella puktera och 2. (Hirsch, 27)Hastighetskopoetera i - och y-riktig, u respektive v, blir vid e såda distributio 2 y u(, y) ( ) d ( ) y (2.35) och 2 v(, y) ( ) d 2 2. (2.36) ( y 2 )

16 Vid y(±) ädrar hastighetskopoete u tecke, vilket leder till e skillad i hastighetspotetiale vilke ka skrivas so () ( 2 ) d ( ) d 2. (2.37) De totala cirkulatioe Γ är lijeitegrale rut u(,)d, vilket i detta fall är lika ed skillade i hastighetspotetial. Uttryckt ateatiskt erhålls sabadet () (). (2.38) De effekter so virvelfördelige har på luftströe, vilka visats ova, koer i kapitel 4 approieras ueriskt då ekvatioera tilläpas i beräkigsprograet Adra etoder Föruto de ova diskuterade virvelfördelige fis ytterligare ett atal lösigar värda att äa. Dessa koer på grud av utryesskäl ite att graskass i detalj, då de här ite aväds till ågra beräkigar. De första av dessa lösigar illustreras i figure eda. Figur 2. 7: Strölijer för lösig ed edast radiell hastighetskopoet Ur figure ka utläsass att dea lösig edast har e utåtriktad radiell hastighetskopoet. Äve o a ed e distributio av sådaa lösigar skulle kua uppfylla radvillkoret för oralkopoete av luftströes hastighetsvektor geereras ige cirkulatio. Detta edför att dessa lösigar ite ka avädas för lyftkraftsberäkigar. E aa lösig utgår ifrå ovaståede eepel, sat e oväd variat av dea. Atag att a har e lösig eligt beskrivige ova. E viss sträcka därifrå placeras seda e likade lösig, ed skillade att de radiella hastighetskopoete u är iåtriktad. Detta ger upphov till strölijer vars utseede illustreras i edaståede figur. 2

17 Figur 2.8: Strölijer för doublet-lösig Dea lösig öjliggör lyftkraftsberäkigar då cirkulatio geereras. Lösige skulle däred kua ersätta de ova i detalj graskade virvelfördelige o så öskades. Föruto dessa två separata lösigar vore e öjlighet att kobiera lösigara i olika kostellatioer, vilket öjliggörs av att äda lösigar är lijära. E kobiatio av lösigar ed radiella hastighetskopoeter för att uppfylla oralvillkoret och lösigar ed tagetiella hastighetskopoeter för att geerera cirkulatio skulle till eepel kua avädas för att beskriva ströige rut e vigprofil. I prograet so beskrivs i kapitel 3 koer dock edast virvellösigar att avädas. 3

18 3. Geoförade I detta kapitel koer det faktiska färdigställadet av det beräkigsprogra vilket är arbetets huvudsyfte att behadlas. I första avsittet koer de ateatik och de ueriska variater av de ekvatioer so krävs att behadlas och i avsitt två preseteras prograkode, utförligt koeterad och förklarad, för det cetrala beräkigsprograet. Vidare beskrivs och förklaras i detta kapitel äve de oeklatur so ä så läge sakas, sat de begräsigar och förekligar so krävs för de ueriska beräkigara. 3. Virvelpaeletode De etoder so beskrivits i ovaståede kapitel har i åga fall ivolverat itegraler av ågot slag. Prograet so här beskrivs bygger på etode ed distributio av virvellösigar lägs vigprofiles yta vilke beskrivits ova, ed ågra väsetliga skillader. Då etode här är uerisk behöver vigprofiles geoetri delas upp i diskreta deleleet, vilka kallas paeler. Därav koer aet på etode och det är detta so är de grudläggade idé bako prograet. Första steget är därför att förekla vigprofiles geoetri. 3.. Skapadet av paeler Det fis två etoder för distributio av paeler ipleeterade, där skillade ligger i de relativa fördelige lägs ed vigprofiles korda. De första, eklare etode delar upp korda i det atal delar so specificerats av avädare, där varje del av korda har saa lägd. De adra etode fördelar paelera eligt ekvatioe c ( cos ), (3.) 2 där är :te pukte lägs korda, c vigprofiles korda och β ka beskrivas ed ekvatioe. (3.2) Här är β vikel, puktes uerordig och atalet paeler so skall skapas. Då pukteras positio väl beräkats bestäs paeleras y-positio geo att de tidigare beräkade puktera projiceras på vigprofiles ursprugliga koordiater. Därefter bestäs äve paeleras ittpukter, då dessa koer att avädas vid uppfylladet av radvillkoret för luftströes oralkopoet. I figurera eda illustreras båda dessa etoder och de effekter de har på fördelige av paeler. Värt att otera är att geoetri har betydelse för resultatet av beräkigara och detta är därför ett viktigt steg. Cosiusfördelige ka ofta ge ett bättre resultat då tryckförädrigara är större vid katera (Pozrikidis, 29) och är därför stadardalterativet. 4

19 Figur 3.: Paelfördelig ed kostat paellägd Figur 3.2: Paelfördelig ed varierade paellägd Då paeleras äd- och ittpukter bestäts beräkas äve oral- och tagetvektorera för avädig vid searee hastighetsberäkigar. När vigprofile delats i i ett atal paeler tilldelas dessa paeler γ-styrkekoefficieter, vilka är de koefficieter so seare bestäss vid lösige av prograets huvudatris. Värt att äa här är betydelse av dessa koefficieters grad, då dea har stor påverka på seare beräkigar och hur resultat. Det beräkigsässigt eklaste vore att asättaa e kostat styrkekoefficiet för varje pael, vilket skulle iebära att ( ) C, (3.3) där C är e kostat och γ är styrkekoefficiete för de :te paele. Dea lösig har dock ett atal proble vilket blad aat gör att resultat frå beräkigar där etode aväts blir er godtyckliga ä ödvädigt. Detta beror på etode ed vilket prograets huvudekvatiossyste löses ed kostat styrka på paeleras styrkekoefficieter och additioe av Kutta-villkoret erhålls ett överbestät ekvatiossyste. (Lay, 22) Detta iebär i si tur attt ågo av ekvatioera åste bortses ifrå och detta edför att resultatet får e viss grad av godtycklighet. Svårighete att bestäa vilke pael so skall slopass är dock ite hela probleet. Ett aat proble är att påverka frå paelera ite är kotiuerlig ella två paeler, vilket visas i figure eda. (Aderso, 27) 5

20 Figur 3.3:Vigprofil ed kostat styrkekoefficiet för paeler E lösig till dessa proble är att låta styrka variera över varje pael geo att öka gradtalet för styrkekoefficiete till ett förstagradspolyo, vilket både löser probleet ed kotiuitet ella paeler sat leder till ett ekvatiossyste so ite är överbestät. Dea lösig koer därför att avädas här vilket resulterar i e geoetri eligt figure eda. Figur 3.4: Paelgeoetri för lijärt varierade styrkekoefficiet I figure ova fugerar de tredjee paele so eepel för förklarigar av figures olika sträckor och viklar. γ är här styrkekoeffi iciete vid de :te paeles ädpukt, r är avstådet till pukte (,y) frå de :te paeles ädpukt och θ är vikel ella -ael och r i de :te paeles lokala koordiatsyste. Paeleras ittpukter är, vilket ka utläsas ur figure, arkerade ed cirklar. Skapadet av de geoetri so krävs för att lösa probleet är u avslutad. Det so återstår att göra ia paelera är kopletta är att bestäa de påverka varje pael har på ströige. Koefficiete γ varierar för varje pael eligt ( ) ( ), (3.4) vilket kobierat ed ekvatioera (3.35) och (3.36) efter beräkig (Råde & Westergre, 24) ger hastighetskopoetera u pael y lokal 2 r l r 2 lokal (3.5) och 6

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

CONSTANT FINESS SUNFLEX

CONSTANT FINESS SUNFLEX Luex terrassarkiser. Moterigs- och bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX 5 6 Markises huvudkopoeter och ått Placerig av kobikosol rklockor och justerig Parallelljusterig vädig och skötsel Huvudkopoeter och

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tetame i Flervariabelaalys F/TM, MV35 8 3 kl. 8.3.3. Hjälpmedel: Iga, ej räkedosa. Telefo: Oskar Hamlet tel 73-8834 För godkät krävs mist 4 poäg. Betyg 3: 4-35 poäg, betyg 4: 36-47 poäg, betyg 5: 48 poäg

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter

7 Sjunde lektionen. 7.1 Digitala filter 7 Sjude lektioe 7. Digitala filter 7.. Flera svar Ett lijärt tidsivariat system ka karakteriseras med ett flertal svar, t.ex. impuls-, steg- och amplitudsvare. LTI-system ka ju äve i de flesta fall beskrivas

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Inklusion och exklusion Dennie G 2003

Inklusion och exklusion Dennie G 2003 Ilusio - Exlusio Ilusio och exlusio Deie G 23 Proble: Tio ä lägger ifrå sig sia hattar vid ett besö på e restaurag. På hur åga sätt a alla äe läa restaurage ed fel hatt. Detta proble a lösas ed ägdläras

Läs mer

Funktionsteori Datorlaboration 1

Funktionsteori Datorlaboration 1 Fuktiosteori Datorlaboratio 1 Fuktiosteori vt1 2013 Rekursiosekvatioer och komplex aalys Syftet med datorövige Öviges ädamål är att ge ett smakprov på hur ett datoralgebrasystem ka avädas för att att lösa

Läs mer

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder;

För att minimera de negativa hälsokonsekvenserna av tunnelluft finns i dagsläget tre metoder; MKB till detaljpla Förbifart Stockholm Hälsoeffekter av tuelluft Studier idikerar att oöskade korttidseffekter, blad aat ökat atal iflammatiosmarkörer, börjar uppstå vid e expoerig som motsvaras av tuelluft

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers

Leica Lino. Noggranna, självavvägande punkt- och linjelasers Leica Lio Noggraa, självavvägade pukt- och lijelasers Etablera, starta, klart! Med Leica Lio är alltig lodat och perfekt apassat Leica Lios projekterar lijer eller pukter med millimeterprecisio och låter

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning...

Innehåll Grafräknaren och diskret matematik...1 Vad handlar diskret matematik om?...1 Permutationer och kombinationer...3 Något om heltalsräkning... Iehåll Grafräkare och diskret matematik...1 Vad hadlar diskret matematik om?...1 Permutatioer och kombiatioer...3 Något om heltalsräkig...4 Modulusoperator...4 Faktoriserig i primfaktorer...5 Talföljder...7

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Bilaga 1 Formelsamling

Bilaga 1 Formelsamling 1 2 Bilaga 1 Formelsamlig Grudbegre, resultatlaerig och roduktkalkylerig Resultat Itäkt - Kostad Lösamhet Resultat Resursisats TTB Täckigsgrad (TG) Totala itäkter TB Säritäkt Divisioskalkyl är de eklaste

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Samtal med Karl-Erik Nilsson

Samtal med Karl-Erik Nilsson Samtal med Karl-Erik Nilsso,er Ert av Svesk Tidskrifts redaktörer, Rolf. Ertglud, itejuar här Karl-Erik Nilsso, ar kaslichej på TCO och TCO:s represetat ed i litagarfodsutredige. er e t or så å g. ). r

Läs mer

Systemdesign fortsättningskurs

Systemdesign fortsättningskurs Systemdesig fortsättigskurs Orgaisatio Föreläsare Potus Boström Assistet? Tider mådagar och tisdagar kl. 8-10 Börjar 3.9 och slutar 16.10 Rum B3040 Orgaisatio Iga föreläsigar 24.9, 25.9, 1.10 och 2.10

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN

INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN INSTALLATIONSMANUAL COBRA 8800/8900 CAN DRA UT MITTSEKTIONEN MED INSTALLATIONSSCHEMAT. INNEHÅLL 8808 8805 Larmehet 03CB0364A 10SA0623A Kablage Moterigspåse KA0001STSAA Ultraljudsesorer 04PC3600B 8800USER

Läs mer

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare. Exempeltetame 3 (OBS! De a te ta m e ga vs i a ku rse delvis bytte i eh å ll. Vis s a u ppgifter s om i te lä gre ä r a ktu ella h a r dä rför ta gits bort, vilket m edför a tt poä gs u m m a ä r < 50.

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Allmänna avtalsvillkor för konsument

Allmänna avtalsvillkor för konsument Godkäare 7.2 Kudakuta Godkät Kommuikatio Distributio Kudservice Kommuikatio, deltagade och samråd Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras av fjärrvärme Allmäa avtalsvillkor för kosumet för leveras

Läs mer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION

Läs mer

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi

god stiftelsepraxis www.saatiopalvelu.fi god stiftelsepraxis SÄÄTIÖIDEN JA RAHASTOJEN NEUVOTTELUKUNTA RY DELEGATIONEN FÖR STIFTELSER OCH FONDER RF www.saatiopalvelu.fi 1 Cotets God stiftelsepraxis 1 Iledig 3 2 God stiftelsepraxis 3 Stipedier

Läs mer

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ]

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22

Tentamen i EG2050/2C1118 Systemplanering, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tetame i EG2050/2C1118 Systemplaerig, 14 mars 2009, 8:00 13:00, Q21, Q22 Tillåta hjälpmedel Vid dea tetame får följade hjälpmedel avädas: Miiräkare uta iformatio med akytig till kurse. E hadskrive, ekelsidig

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling Faltig Fouriertrasforme Faltig, filtrerig och samplig Givet två sigaler f och g och deras respektive spektra f`, g`, hur bildar ma e tredje sigal såda att dess spektrum är lika med summa f` + g`. Lätt!

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Enkät inför KlimatVardag

Enkät inför KlimatVardag 1 Ekät iför KlimatVardag Frågora hadlar om dia förvätigar på och uppfattigar om projektet, samt om hur det ser ut i ditt/ert hushåll idag. Ekäte är uderlag för att hushållet ska kua sätta rimliga och geomförbara

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede.

Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjonrike alternativ på markedet. Tilpasnings-mulighetene er nesten ubegrensede. VÄSTIA DUSJROM Produsert for bevegelses hemmede, og er det mest fleksible og variasjorike alterativ på markedet. Tilpasigs-mulighetee er este ubegresede. HML Hjelpemiddel-leveradøre AS Braderudv. 90, 2015

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen Lärarhadledig Att bli kvitt virus och suva - När Lisa blev av med förkylige För ytterligare iformatio kotakta projektledare: Charlotte.Kristiasso@phs.ki.se 1 Iledig Atibiotikaresistes är ett växade problem

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed

Örserumsviken. Förorenade områden Årsredovisning. Ansvar för sanering av förorenade områden. Årsredovisningslagen och god redovisningssed Föroreade område Årsredovisig Örserumsvike Birgit Fleig Auktoriserad revisor Sustaiability Director birgit.fleig@se.ey.com 19 september 2005 1 2 Årsredovisigslage och god redovisigssed Föroreade område

Läs mer

TRIBECA Finansutveckling

TRIBECA Finansutveckling TRIBECA Rådgivare iom fiasiella helhetslösigar TRIBECA a s k r e i v g S f a s k r i e v g S f g g r r e e a r a r e e i i f f TRIBECA s målsättig är att bidra med råd & produkter som hela tide gör att

Läs mer

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB Vikige FutureLook by Delphi Fiasaalys AB Referesmaual för Vikig FutureLook Översikt Futurelook är ett uikt och mycket kraftfult verktyg för fiasaalytiker och kapitalplacerare. Med FutureLook är det möjligt

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Stadsbyggande och farligt gods

Stadsbyggande och farligt gods Stadsbyggade och farligt gods Dialog-pm 2004:2 Aktualiserig av Översiktspla 2000 Malmö Stadsbyggadskotor mars 2004 Dialog-pm 2004:2 Stadsbyggade och farligt gods Sammafattig Dialog-pm 2004:2 Stadsbyggade

Läs mer

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000

Föreläsning F3 Patrik Eriksson 2000 Föreläsig F Patrik riksso 000 Y/D trasformatio Det fis ytterligare ett par koppligar som är värda att käa till och kua hatera, ite mist är ma har att göra med trefasät. Dessa kallas stjärkopplig respektive

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Kollektivt bindande styre på global nivå

Kollektivt bindande styre på global nivå Iteratioell ivå Global, regioal eller mellastatlig? Allt fler viktiga politiska frågor går ite lägre att lösa på atioell ivå. Folk över hela världe berörs exempelvis av växthuseffekte. Vad fis det för

Läs mer

Kollektivt bindande styre på global nivå

Kollektivt bindande styre på global nivå Iteratioell ivå Global, regioal eller mellastatlig? Allt fler viktiga politiska frågor går ite lägre att lösa på atioell ivå. Folk över hela världe berörs exempelvis av växthuseffekte. Vad fis det för

Läs mer

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering.

Applikationen kan endast användas av enskilda användare med förtroenderapportering. Aktiverig mobil app 1 Aktiverig mobil app Aktiverig mobil app aväds för att koppla e eskild avädare till Visma Agdas mobilapplikatio. Applikatioe ka edast avädas av eskilda avädare med förtroederapporterig.

Läs mer

Inledande kombinatorik LCB 2001

Inledande kombinatorik LCB 2001 Iledade kombiatorik LCB 2001 Ersätter Grimaldi 1.1 1.4, 3.1 (delvis) 1 Additios- och multiplikatiospricipera Kombiatorik hadlar om koste att räka atalet av saker och tig. Hur måga gåger geomlöpes e viss

Läs mer

Fråga: Erbjuder ni någon utbildning för förskrivare och apotekspersonal för att kunna använda webbapplikationerna på ett effektivt sätt?

Fråga: Erbjuder ni någon utbildning för förskrivare och apotekspersonal för att kunna använda webbapplikationerna på ett effektivt sätt? FAQ för det ya licessystemet KLAS Fråga: Hur skickar jag som förskrivare i mi licesmotiverig i KLAS? Svar: Läk fis på lv.se/lices uder Skapa licesmotiverig. Fråga: Varför ska jag som förskrivare skicka

Läs mer

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Saolikhetslära c 201 Eric Järpe Högskola i Halmstad Saolikhetslära hadlar om att mäta hur saolikt (dvs hur ofta ) ma ka förväta sig att ågot iträffar. Därför sorterar saolikhetslära uder de matematiska

Läs mer

Digital pedagogik en naturlig del av framtidens skola!

Digital pedagogik en naturlig del av framtidens skola! Rabatt om i är 2 eller fler! Digital pedagogik e aturlig del av framtides skola! Aktuell forskig och kokreta arbetssätt med fokus på ökat lärade Hur ser läradet ut i digitala miljöer och vilka är effektera?

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Försöket med trängselskatt

Försöket med trängselskatt STATISTISKA CENTRALBYRÅN m 1(5). Nilo Trägelkatt Förlag frå Ehete för pritatitik Ehete för pritatitik förelår att å kallad trägelkatt ka täcka i KI frå och med idex aveede jauari 26. Trägelkatte ave då

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på?

SveTys. Affärskultur i Tyskland. Vad är det? Och vad ska jag tänka på? SveTys Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2 Affärskultur i Tysklad Vad är det? Och vad ska jag täka på? 2008 SveTys, Uta Schulz, Reibek 3 Iledig När ma gör affärer i Tysklad eller

Läs mer

Kontrakt baserad design. Design by contract

Kontrakt baserad design. Design by contract Kotrakt baserad desig Desig by cotract Motiverig Objekt ka valige ite avädas på ett godtyckligt sätt Metoder ska aropas med vissa parametervärde I rätt ordig Svårt att veta hur ett objekt ka avädas uta

Läs mer

n Marknadens minsta och mest robusta FRAinstrument n Marknadens högsta prestanda och användande n Uppfyller alla internationella standarder för

n Marknadens minsta och mest robusta FRAinstrument n Marknadens högsta prestanda och användande n Uppfyller alla internationella standarder för FRAX 101 SFRA Aalysator Markades mista och mest robusta FRAistrumet Markades högsta prestada och avädade av stadardiserad sigalkabel-jordaslutig ger högsta möjliga repeterbarhet Uppfyller alla iteratioella

Läs mer

Subsystem. Klasser är ett bra sätt att organisera små system. Klasser är för små enheter för att organisera stora system

Subsystem. Klasser är ett bra sätt att organisera små system. Klasser är för små enheter för att organisera stora system Desig av subsystem Subsystem Klasser är ett bra sätt att orgaisera små system Klasser är för små eheter för att orgaisera stora system Större eheter behövs för orgaiserige Subsystem Sex priciper diskuteras

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK LÖSNINGSFÖRSLAG TILL UPPGIFTER I PROBLEMSAMLINGEN I MATEMATISK STATISTIK Versio 9 december 4 Fel i lösigara mottages tacksamt till mattsso@math.kth.se. Notera att lösigara på vissa ställe utyttjar adra,

Läs mer

Bilaga 1 Schematisk skiss

Bilaga 1 Schematisk skiss Bilaga 1 Schematisk skiss Kalkylbilaga till PM fördjupig JU140 2010-02-01 Baverket Norrbotiabaa Järvägsutredig 140 Dele läsgräse AC/BD - Piteå Bilaga 12 till PM Fördjupigg JU140 Iehållsförteckig Sida 1

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

Hamnbanan Göteborg Dubbelspår Eriksbergsmotet - Pölsebobangården

Hamnbanan Göteborg Dubbelspår Eriksbergsmotet - Pölsebobangården Järvägsutredig med miljökosekvesbeskrivig Hambaa Göteborg Dubbelspår Eriksbergsmotet - Pölsebobagårde Utställigshadlig 2011-03-04 Yta för bild eller möster Titel: Järvägsutredig Hambaa Göteborg dele Eriksbergsmotet

Läs mer

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet

tullinge FLEMINGSBERG TULLINGE Kommunens avsikter för Tullinge som helhet tullige VILLASTAD r be e tri Tulligesjö e äg v gs FLEMINGSBERG Ka TRÄDGÅRDSSTAD Nib ble väg e PARKHEM 10 BERG Tullige är e attraktiv plats i Stockholmsregioe att bo och bygga på. Tullige är också de del

Läs mer

Framtidsutredningen 2007 Vad kostar det tillgängliga och trygga Stockholm?

Framtidsutredningen 2007 Vad kostar det tillgängliga och trygga Stockholm? Framtidsutredige 2007 Vad kostar det tillgägliga och trygga Stockholm? I dea rapport kommer stades ekoomiska framtidsutsikter att diskuteras. Klarar stade äve fortsättigsvis av åtagadet att erbjuda e god

Läs mer

Linköping University Tentamen TEN1 vt 2011 Kurs TMMV09 Johan Hedbrant 2011-05-25

Linköping University Tentamen TEN1 vt 2011 Kurs TMMV09 Johan Hedbrant 2011-05-25 Liköpig Uiversity etame EN vt 0 Joha edbrat 0-05-5 eoridel. I kg helt torr ved fis eligt e valig formel 9. MJ eergi. Om dea mägd ved ligger i fukt lagom läge väger de kg, där hälfte av vikte är fukt. Om

Läs mer

Förslag FÖRSLAG. Riktlinjer

Förslag FÖRSLAG. Riktlinjer Förslag Riktlijer Övergripade riktlijer för lokaliserig Följade övergripade riktlijer gäller vid prövig av vidkraftsetablerigar. Riktlijera gäller för stora verk, 14-15 meter där gräse edåt är verk med

Läs mer

Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Modern Fysik -Teknologi (Arne)

Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Modern Fysik -Teknologi (Arne) Torsdag 16 oktober: Klassisk fysik- Moder Fysik -Tekologi (Are) Iledig I slutet av 1800-talet existerade ett flertal experimetella fakta, som ej kude förklaras med de s.k. Klassiska Fysike. Flera av dessa

Läs mer

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen

Så här kommer byggherren och entreprenören överens om energianvändningen Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Så här kommer byggherre och etrepreöre överes om eergiavädige Sveby står för Stadardisera och verifiera eergiprestada i byggader och är ett

Läs mer

Många tror att det räcker

Många tror att det räcker Bästa skyddet Måga vet ite hur familje drabbas ekoomiskt om ågo dör eller blir allvarligt sjuk. Här berättar Privata Affärer vilket skydd du har och hur du ka förbättra det. Av Aika Rosell och Igrid Kidahl

Läs mer

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 64 Orderkvatteter vd begräsgar av atal order per år Olka så kallade partformgsmetoder aväds som uderlag för beslut rörade val av lämplg orderkvattet

Läs mer

Plan för hasselmus vid Paradis, Sparsör

Plan för hasselmus vid Paradis, Sparsör 2010-06-28 Pla för hasselmus vid radis, Sparsör Bakgrud och syfte E pla för hasselmus har tagits fram i sambad med detaljplaeläggig av fastighet radis 1:4 i Sparsör, Borås Stad. Detaljpla syftar till att

Läs mer

PTKs stadgar. Fastställda vid stämman 2009 06 16

PTKs stadgar. Fastställda vid stämman 2009 06 16 PTKs stadgar Fastställda vid stämma 2009 06 16 INNEHÅLLSFÖRTECKNING SYFTE OCH UPPGIFTER Syfte och uppgifter 3 Medlemskap 4 Orgaisatio 7 Stämma 8 Överstyrelse 12 Styrelse 15 Förhadligsorgaisatio 17 PTK-L

Läs mer

Frasstrukturgrammatik

Frasstrukturgrammatik UALA UNIVERITET Metoder och tillämpigar i språktekologie Istitutioe för ligvistik och filologi Föreläsigsateckigar Mats Dahllöf http://stp.lig.uu.se/~matsd/uv/uv07/motist/ Oktober 2007 Frasstrukturgrammatik

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Häck, staket, plank eller mur. Regler, rekommendationer och tips

Häck, staket, plank eller mur. Regler, rekommendationer och tips Häck, staket, plak eller ur Regler, rekoedatioer och tips dasv Mölle- Byggadsäde och Stadsbyggadskotoret vill ed dessa riktlijer för ihägader av toter ispirera till goda och fuktioella lösigar so också

Läs mer

Parkerings- och handelsutredning Kristianstad centrum

Parkerings- och handelsutredning Kristianstad centrum Parkerigs- och hadelsutredig Kristiastad cetrum Del 1: Parkerigsstrategi, kompletterade iveterig 2011-11-21 Beställare Kristiastad kommu Aders Magusso Joha Gomér Lars Nyström Atkis Simo Radahl, Atkis Eli

Läs mer

Utlandskyrkans krisberedskap

Utlandskyrkans krisberedskap Utladskyrkas krisberedskap hadbok för beredskapsplaerig Kyrkokasliet Uppsala Sveska kyrkas kriscetrum 2 Kotaktiformatio veska kyrka i utladet S Kyrkokasliet 751 70 Uppsala Tel. 018-16 95 00 www.sveskakyrka.se

Läs mer

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014 MARKNADSPLAN Kugälvs kommu 2010-2014 Fastställd av KF 2010-06-17 1 Iehåll Varför e markadspla? 3 Mål och syfte 4 Markadsförutsättigar 5 Processer, styrig och orgaisatio 6 Politisk styrig 7 Politisk styrig,

Läs mer

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 3150 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 29 maj 2007 Lösig till tetame för kurse Log-lijära statistiska modeller 29 maj 2007 Uppgift 1 a Modelle uta ågra

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3

Tentamen i Kunskapsbaserade system, 5p, Data 3 Kuskapsbaserade system, tetame 2000-03-0 Istitutioe för tekik Tetame i Kuskapsbaserade system, 5p, Data 3 Datum: 2000-03-0 Tid: 8.00-3.00 Lärare: Potus Bergste, 3365 Hjälpmedel: Miiräkare Uppgiftera ska

Läs mer