Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Transkript

1 Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata

2 Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys

3 Mätfel Alla mätgar är behäftade med e vss osäkerhet på grud av mätfel.

4 Noggrahet och precso God oggrahet ebär att mätvärdea lgger ära det saa värdet. Precso är ett mått på hur stor sprdge mella mätvärdea är. Ju större sprdg, desto sämre precso.

5 Typer av mätfel Grova fel Systematska fel: påverkar oggrahete Slumpmässga fel: påverkar precsoe frekves systematskt fel sat värde slumpmässga fel mätvärde

6 Begrepp om saolkhetslära Utfall: resultat av ett slumpmässgt försök Utfallsrum (Ω): mägde av alla utfall Hädelse: e mägd av utfall Saolkhete P(A) för e hädelse A är ett tal som uppfyller: 1. 0 P( A) 1. P( Ω) = 1 3. P ( A B) = P( A) + P( B) om A och B är oförelga

7 Området om rektagel eda markerar utfallsrummet Ω. Hädelsera A och B är oförelga. A B

8 Om A och B te är oförelga P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) A A B B

9 Slumpmässg varabel E slumpmässg (stokastsk) varabel är e fukto deferad på ett utfallsrum. Eempel: E fukto som avbldar utfallet etta på talet 1, tvåa på talet osv. vd tärgskast är e slumpmässg varabel. Dea varabel atar ågot av värdea 1,,3,4,5 eller 6 med saolkhetera 1/6.

10 Frekvesfukto Saolkhete att e slumpmässg varabel X skall lgga ett tervall mella a och b ges av frekvesfuktoe f (probablty desty fucto) P ( a < X < b) = f ( ) d Frekvesfuktoe är cke egatv samt ormerad f ( ) d = 1 b a

11 Vätevärde, varas och stadardavvkelse Vätevärdet E(X) av e slumpmässg varabel X ges av Varase ges av Stadardavvkelse ges av E ( X ) = f ( ) d ( ) ) X E( X ) = ( E( X )) V ( X ) = E f ( ) d σ = V (X )

12 Normalfördelge Frekvesfuktoe för e ormalfördelad slumpmässg varabel med vätevärde µ och stadardavvkelse σ ges av f ( ) 1 ep ( µ ) = σ π σ

13 Cetrala gräsvärdessatse Medelvärdet av stycke slumpmässga lka fördelade varabler med vätevärde µ och varas σ är appromatvt ormalfördelat med vätevärde µ och varas σ /. Appromatoe blr bättre ju större är.

14 Lägesmått och sprdgsmått E skattg av vätevärdet är 1 stckprovsmedelvärdet = E skattg av varase (stckprovsvaras) 1 då vätevärdet µ är kät är s = ( µ ) Om vätevärdet te är kät uta v aväder oss av e skattg av vätevärdet så ges stckprovsvarase av 1 s = 1 = 1 ( ) = 1

15 Kofdestervall Ett tervall som täcker över vätevärdet med saolkhete 1-α kallas ett kofdestervall för vätevärdet på kofdesvå 1-α.

16 Eempel på kofdestervall Atag att v har gjort mätgar av e ormalfördelad varabel med käd stadardavvkelse σ. Ma ka vsa att z = är e ormalfördelad varabel med vätevärde oll och stadardavvkelse 1. Alltså gäller med saolkhet 1-α att α / < eller aorluda uttryckt gäller med σ σ saolkhet 1-α att zα / < µ < + zα / σ / µ µ z < z σ / α /

17 Saolkhete att z lgger mella - och α/ är 1-α. Om f(z) är frekvesfuktoe för e ormalfördelad varabel med vätevärde 0 och varas 1 så gäller det att z z α/ z α / f ( z) dz = α

18 Kofdestervall (forts) Om ma te käer stadardavvkelse aväder ma skattge s samt att t = är t-fördelad med -1 frhetsgrader. Ett kofdestervall för vätevärdet på kofdesvå 1-α är då s / µ s tα / < µ < + tα/ s

19 Ljär regresso Atag att v har stycke par av datapukter (, y ) och att v vll apassa e rät lje y = a+ b tll dessa pukter. Atag att avvkelsera frå de räta lje är slumpmässga och ormalfördelade. Mmera summa av de kvadratska avvkelsera frå de räta lje Q = ( a + b y ) = 1

20 y y=a+b ( )( ) ( ) = y y a ( )( ) ( ) = y y b

21 Korrelatoskoeffcet Ett värde på 1 svarar mot att alla pukter lgger på e rät lje med postv lutg och ett värde på 1 svarar mot att alla pukter lgger på e rät lje med egatv lutg. ( )( ) ( ) ( ) / = = = = y y y y y r

22 Apassg av cke-ljära fuktoer b Om v vll apassa e fukto y = ae tll mätdata är det eklast att logartmera bägge sdor ly=la b och seda aväda ljär regresso. Om v vll apassa e fukto y = a+ b/ tll mätpuktera (, y ) är det eklast att sätta och seda apassa lje y = a+ b tll puktera (, ) y =1/

23 Komberad mätosäkerhet Atag att v gör e mätg där resultatet R beror av resultate av mätgar av st varabler, dvs. R = f ( 1,,..., ) Varje varabel är behäftad med e mätosäkerhet w. Mätosäkerhete för hela mätges resultat ges av Gauss formel w R R 1 R R ( w ) + ( w ) ( w ) 1 = 1/

24 Osäkerhet pga. slumpmässga fel Ett mått på osäkerhete hos e estaka mätg pga. slumpmässga fel (precso lmt) är halva bredde av ett kofdestervall, som ges av t- fördelge P = ts, där t beror på kofdesvå och atalet frhetsgrader (- 1).

25 Osäkerhet pga. systematska fel Systematska fel ädras te om mätförhålladea är desamma. Mätosäkerhete pga systematska fel (bas lmt) beskrvs av halva bredde B av ett tervall som täcker det saa värdet med e vss saolkhet (coverage).

26 Kombato av slumpmässga och systematska mätosäkerheter De totala mätosäkerhete pga. systematska och slumpmässga fel ges av ( B P ) 1/ w = +

27 Felkategorer I ett mätsystem fs det ofta måga felkällor. De olka fele brukar delas upp tre kategorer: Kalbrergsfel: osäkerhet stadarder, osäkerhet och slumpmässghet kalbrerge Datasamlgsfel: slumpmässg varato av de uppmätta varabel, belastgsfel, fel A/D omvadlare, slumpmässga fel vsareheter. Datareduktosfel: fel apassgar och ljärsergar, dervergar av mätdata.

28 Mätosäkerhetsaalys 1. Idetfera de oberoede varablera och defera sambadet mella testresultatet och dessa oberoede varabler.. Gör e lsta över alla felkällor för varje uppmätt varabel. Dela de esklda fele kategorera kalbrergsfel, datasamlgsfel samt datareduktosfel. 3. Uppskatta de esklda fele var för sg. I detta steg uppskattas osäkerhetera pga slumpmässga och systematska fel (precso lmt och bas lmt)

29 Mätosäkerhetsaalys (forts.) 4. Beräka mätosäkerhetera pga slumpmässga och systematska fel för varje varabel steg 1 mha RSS-formel. 5. Beräka osäkerhete pga slumpmässga och systematska fel resultatet mha Gauss formel. 6. Beräka de totala mätosäkerhete. ( B P ) 1/ w = +