SOS HT Punktskattningar. Skattning från stickprovet. 2. Intuitiva skattningar. 3. Skattning som slumpvariabel. slump.

Transkript

1 Puktskattgar SOS HT10 Puktskattg 1. Vad är e puktskattg och varför behövs de? 1. Jämförelse: saolkhetstoer statstkteor 2. Itutva ( aturlga ) skattgar 3. Skattg som slumpvarabel 4. Egeskaper hos skattgar 1. Vätevärdesrktghet 2. Kosstes 3. Effektvtet 5. Metoder för att htta recept för skattgar 1. Mometmetode 2. * Maxmum-Lkelhood- Metode 3. * Msta-Kvadrat-Metode 6. Skattgar för olka fördelgar (tabell) 7. Medelfelet (tabell) Saolkhetsteor X~N μ, σ 2 ;, käda P a < X b = X~N 70, 5 2 ; vkt P 65 < X 75 68% Statstkteor X~N μ, σ 2 ;, okäda x = x 1, x 2,, x stckprov X~N μ, σ 2 ; vkt μ = x skattg för Skattg frå stckprovet X~B, p ; P X = 0, p käda = X~B, p ; p okäd x = atalet lyckade, stckprov X~B 10, 0.05 ; 10 försök P X = 0 = X~B 10, p ; 10 försök p = x skattg för p Stckprovet kallas slumpmässgt om alla mätvärde är oberoede Itutva skattgar 3. Skattg som slumpvarabel Att skatta medelvärdet för e N-fördelg pga. stckprovet x = x 1, x 2,, x μ = x = 1 x Att skatta varase för e N-fördelg pga. stckprovet x = x 1, x 2,, x s 2 = 1 1 x 2 x Att skatta adele p för e B-fördelg pga. stckprovet x (bara ett värde) slump Iferes p = x 5 Graph: Fogler & LeBlac 2007 Uversty of Mchga 6 1

2 3. Skattg som slumpvarabel olka umerska värde för olka stckprov, skattge beror av slumpe det kokreta värdet för e skattg, x, är e realsato av e slumpvarabel X μ = x = 1 x p = x μ = X = 1 X p = X 4. Egeskaper hos skattgar 1. Vätevärdesrktghet 2. Kosstes 3. Effektvtet Observatoera x 1, x 2,, x 3 ses som utfall av oberoede s.v. X 1, X 2,, X 3 som atas ha alla samma fördelg. 7 8 Vätevärdesrktg skattg: E θ = θ E Exempel: vätevärdesrktg skattg 2 X ~ N, * skattar med X * EX E X EX 1 1 E μ = μ E vätevärdesrktg skattg θ är väl kocetrerad krg det saa värdet θ Skattge ger rätt parametervärde geomsttet om ma gör ett stort atal försök 9 vätevärdesrktgt! 10 Kosstet skattg Kosstet skattg Skattge kocetreras mer och mer krg det saa värdet är stckprovet blr större och större, dvs. är växer

3 Effektvtet: lte varas θ är effektvare ä θ om V θ < V θ Effektvtet: lte varas Exempel: Effektvtet för två skattgar 5. Metoder för att htta ett recept för e skattg Mometmetode Mometmetode för B(,p) Teoretska 1:a mometet = Stckprovets 1:a momet E X = 1 x E X = 1 x p = x 1 beror på parameter som ska skattas geomstt av alla observatoer (mätvärde) p är parameter som ska skattas bara e observato (e proporto mätt) p = X

4 Maxmum-Lkelhood-Metode L(μ = 100, σ = 7) = 0,007 L(μ = 100, σ = 10) = 0,0104 L(μ = 110, σ = 12) = 0, Maxmum-Lkelhood-Metode Ide: välj parametrara så att mätvärdea blr mest plausbla Msta-kvadrat-metode N Q θ = x E X 2 N mätvärde (stckprov) M E X beror av ågo parameter θ X~B(, p) där p ska skattas E X = p bara ett värde stckprovet: x 1 Q p = x 1 p 2 dq dp = 2 x 1 p = 0 p = x 1 21 Parametrska puktskattgar Fördelg Param. Skattg för parameter Metod Kursbok X~N μ, σ 2 μ μ = X ML, MK, MM 289 X~N μ, σ 2 σ 2 S 2 = 1 1 S xx MM, ML 277, 290 X~N μ, σ 2 σ S = S 2 ML X~Po μ μ μ = X X~B(, p) p p = X X~Hyp N,, p p p = X 291 Am MM, MK, ML 295 ML 293 MM, MK, ML 294 X~Exp = 1 X ML 282 X~U 0, θ θ θ = + 1 max X ML 284 X = =1 X S xx = X X 2 22 Parametrska puktskattgar, forts. Fördelg Param. Skattg för parameter Metod Kursbok X~N μ x, σ 2 Y~N μ y, σ 2 X 1 ~B 1, p X 2 ~B 2, p μ x μ x = X ML 289 μ y μ y = Y ML 289 σ 2 S 2 = S xx + S yy x 1 + y 1 ML 292 p p = X 1 + X ML Medelfelet ger e uppfattg av osäkerhete skattge större medelfel större osäkerhet ju mdre stadardavvkelse för e skattg, desto bättre skattge medelfelet ger ett umerskt värde för dea stadardavvkelse, det är e skattg av stadardavvkelse(!) X 1 ~Po t 1 X 2 ~Po t 2 = X 1 + X 2 t 1 + t 2 ML Problem X = X S xx = X X 2 =

5 25 26 Medelfelet för skattg av e proporto Medelfelet... fås geom att ersätta okäda parametrar formel för stadardavvkelse med deras skattgar: Förd. att skatta estmator N μ, σ 2 X Stadardavv. estmator σ ersätta σ s Medelfelet hos estmator d = s B, p p x p 1 p p p obs p obs 1 p obs

6 31 6