= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2"

Sven Eliasson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α + βx + ɛ där ɛ N0, brus Fgur: Modell för ljär regresso Ey α + βx µ x y regressosvarabel målvarabel s.v. Fgur: Modell för ljär regresso Puktskattgar för tercept α och lutg β Puktskattgar för tercept α och lutg β Modell: y α + βx + ɛ Msta-kvadrat-metode: Qα, β Qα, β ɛ 2 Mmum y α βx 2 Mmum Fgur: Modell för ljär regresso Q α 2 Q β 2 y α βx 0 x y α βx 0

se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α + βx + ɛ där ɛ N0, brus Fgur:

2 Puktskattgar för tercept α och lutg β Exempel 4.2: Blrubhalt x och protekocetrato y ryggmärgsvätska hos yfödda. x β xy och α ȳ β x xy x xy ȳ x y xȳ; x x 2 För varje x 0 får ma u e skattg för målvarable: µ 0 α + β x 0 kattg!: α, β och µ 0 är slumpvarabler. Nytt försök: förädrade ɛ y xy β, α och µ 0 y x y x 0.5 x x 2 x ȳ 97.5 y yy y 2 ȳ x y xy x y xȳ Exempel 4.2: Blrubhalt x och protekocetrato y ryggmärgsvätska hos yfödda. β xy lutg 0.25 α ȳ β x kattg för målvarable: µ α + β x x För varje gvet x ka u de förvätade kocetratoe beräkas. HurstorärdetmmalaQ:et? V sökte de värdea för α och β som mmerar uttrycket Q: Qα, β y α βx 2 Mmum... och ck lösgara α och β. Hur stor är Q 0? Q 0 Qα,β y α β x 2 [y ȳ + β x β x ] 2 [y ȳ β x x] 2... yy xy/ 2 xx Q 0 aväds för att skatta V aväde modelle: y α + βx + ɛ med ɛ N0, Q 0 yy xy/ 2 xx msta Q 0 E [Q 0 ] 2 2 vätevärde s 2 Q 0 / 2 vätevärdesrktg skattg för 2 kattg β är e ljärkombato av y :a β xy x xy ȳ xy x x y c y med c x x c ge s.v.! s Q 0 / 2 skattg för

Nytt försök: förädrade ɛ y xy β, α och µ 0 y 83 65 7 40 35 30 30 28 80 68 x 0.29 0.04 0.3 0.4 0.07 0.05 0.3 0.06 0.05 0.08 y 39 88 2 25 56 98 0 96 73 6 x 0.5 x 2 0.370 x 2 x 2 0.370 20 0.5 2 0.

3 Fördelgar för skattgara β och µ 0 kattg α är e ljärkombato av y :a α ȳ β x y x c y c x y d y med d c x d te ågo s.v.! β α c y med c x x d y med d c x ɛ N0,... som v hade atagt y α + βx + ɛ... var modell y N α + βx,... y ljärkombato av ɛ lumpvarablera y är ormalfördelade α, β och µ 0 är också ormalfördelade! Vätevärde för skattge β Varas för skattge β E β E c y c Ey c α + βx x x α + β α α 0 + β 0 + β x x+ β x x x ty c x x x x x x xx x ty x x x 0 V β V c y V c y c 2 V y c 2 2 x 2 x xx 2 x x 2 bruset oberoede! β vätevärdesrktgt Varase för β är lte om x-värdea är utspredda. Fördelg för β Fördelgar för α och µ 0 E β β V β 2 D β β N β, µ 0 N α + βx 0, + x 0 x 2 för x 0 0 erhåller ma fördelge för α: α N α, + x 2

Vätevärde för skattge β Varas för skattge β E β E c y c Ey c α + βx x x α + β α α 0 + β 0 + β x x+ β x x x ty c x x x x x x xx x ty x x x 0 V β V c y V c y c 2 V y c 2 2 x 2 x 2 2

4 Fördelg för skattgara β och µ 0 kattgara β och µ 0 är ormalfördelade med: E β β V β 2 med x x 2 E µ 0 µ 0 V µ 0 2 / +x 0 x 2 / Det betyder: β N β, µ 0 N µ 0, + x 0 x 2 Itervallskattg för lutge β är är käd β N β, β β / N0, referesvarabel P λ α/2 β β / λ α/2 α I β β obs ± λ α/2 Itervallskattg för målvarabel µ 0 är är käd Kodestervall för målvarabel µ 0 µ 0 N α + βx 0, + x 0 x 2 µ 0 µ 0 N0, referesvarabel P λ α/2 µ obs µ 0 λ α/2 α Iµ 0 α + βx 0 ± λ α/2 + x 0 x 2 Itervallskattg för lutge β är är okäd β Nβ, Allmä metod Z β β / N0, te ågo referesvarabel W Q χ2 2 Z t 2 W 2 β β / t 2 referesvarabel P t α/2 2 β obs β s/ t α/2 2 α I β β obs ± t α/2 2 s med s Q 0 / 2 β β β β / t 2 referesvarabel

målvarabel µ 0 µ 0 N α + βx 0, + x 0 x 2 µ 0 µ 0 N0, referesvarabel P λ α/2 µ obs µ 0 λ α/2 α Iµ 0 α + βx 0 ± λ α/2 + x 0 x 2 Itervallskattg för lutge β är är okäd β Nβ, Allmä

5 Itervallskattg för målvarabel µ 0 är är okäd Exempel 4.2: Blrubhalt x och protekocetrato y yy xy β ökes: 95% kodestervall för lutge β: Q 0 yy 2 xy s Q 0 / / d s t α/2 2 t I β β obs ± t α/2 2 d ± , 500 µ 0 N µ 0, + x 0 x 2 Z µ 0 µ 0 N0, W Q χ2 2 Z t 2 W 2 µ 0 µ0 µ 0 µ 0 t 2 referesvarabel te ågo referesvarabel Allmä metod Exempel 4.2: Blrubhalt x och protekocetrato y. µ 0 µ 0 t 2 + x0 x2 referesvarabel x α 57.5 β s 24.7 samma s Q 0 / 2 me aat d ökes: 95% kodestervall för µ 0 är x 0 0.2: P t α/2 2 µ obs µ 0 s I µ0 µ obs ± t α/2 2 s Q µ obs α + βx 0 s 0 2 t α/2 2 α + x 0 x 2 Q 0 yy 2 xy µ 0 α + β x d s + x 0 x I µ0 µ obs ±t α/2 2 d 29±t , 50 Itervallskattg för β, µ 0 och α käd okäd β β D N0, β β d t 2 D d s s Q 0 / 2 ammafattg Puktskattg för lutg, tercept och målvarabel Puktskattg för brus I β β ± λ α/2 D I β β ± t α/2 d Q 0 yy 2 xy Vätevärde och varas för skattgara β och µ 0 Itervallskattg för lutg och målvarabel med kät Itervallskattg för lutg och målvarabel med skattad µ 0 µ0 N0, D D + x0 x2 µ 0 µ0 t 2 d d s + x0 x2 xy x y xȳ I µ0 µ ± λ α/2 D I µ0 µ ± t α/2 d

9 t α/2 2 t 0.025 8 2. I β β obs ± t α/2 2 d 355.2 ± 2. 70.

Relevanta dokument

Linjär regression - kalibrering av en våg

Linjär regression - kalibrering av en våg Lijär regressio Saolikhet och statistik Regressiosaalys HT 2008 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Samba mella två storheter ofta av itresse:... solarium hucacer... BN växelkurs... rökaet