FÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck

Transkript

1 FÖRSÖKSPLNERING och utvärderg av försöksresultat med de matematska statstkes metoder av Jarl hlbeck Åbo kadem Laboratoret för alägggstekk I a sstem whch varable quattes chage, t s of terest to eame the effects some varables appear to eert o others. (Este)

2

3 Iehållsförteckg Iehållsförteckg...3 Iledg...5 omalfördelg, provtaggsteor...6. tt dra elemet av...6. Prov med partklar av vlka är svarta Vätevärdet µ och varase σ Graulerade produkter, ofullstädgt krossade och malda råmateral Ieslute aktv substas eaktade av aalsstadardavvkelse Possofördelge Idustrell tllämpg av Possofördelge... Mätvärdes stokastska egeskaper...4. Några deftoer...4. De stokastska varabels frekves och fördelgsfukto Vätevärde och varas Skattge av vätevärdet och varase Normalfördelge... 3 Medelvärde och sedfördelg Normalfördelges begräsgar Logartmsk ormalfördelg Eempel på medelvärdesbldg och sedfördelg llmät aväda deftoer på medelvärde Varaktghetskurvor Statstska tester Esklda observatoers fördelg (ormal, log-ormal) Medelvärdets fördelg (t-fördelg) Varases fördelg χ -fördelg, F-fördelg llmä försöksplaergsteor Målsättg De klassska metode E alteratv aals Faktorförsöksplaer, försöksplaer elgt Plackett&urma Några kommetarer earbetg av försöksresultat (eempel) Taguch-metode llmät Svfuktoe Mmerg av svfuktoe Försöksplaerg av str- och störvarabler Sgal/brusförhålladet Dskusso Matematska modeller Multpel leär regressosaals eroede och oberoede varabler Korrelatosmatrs eräkg av b-koeffceter med msta-kvadratmetode Egeskaper för kvadratsummor och varasaals

4 8.5 Varabeltrasformato och ackward elmato procedure Plaerg av försöksserer med skte på regressosaals av försöksresultate 6 9. Iställbara och cke-ställbara varabler Radomserg Mmumkorrelerg Datorprogram för försöksplaerg Noseselmerg Partella F-värde Tdssereaals llmät om tdssereaals Gldade medelvärde och tredaals uto- och korskorrelogram Eempel på processaals med korskorrelogram...66 E- och tvåvägs varasaals llmät Evägs varasaals Tvåvägs varasaals Flervägs varasaals

5 Iledg Försöksplaerg och statstska metoder är ett ämesområde som är cetralt te bara vd veteskaplga udersökgar, uta äve gejöres daglga verksamhet. Kravet på kostadsmedvetade epermetell verksamhet gör att ma bör sträva tll att få fram så mcket avädbar formato som möjlgt med så få försök som möjlgt. I e sabbt ökade teratoell kokurres har kvaltete på produktera e avgörade betdelse. Uta e städgt pågåede kvaltetskotroll och utvärderg av testmetodera, ka e ekoomskt kokurreskraftg produkto te upprätthållas. Måga läder med betdlgt lägre löevå ä vår klarar reda av att producera produkter med jäm kvaltet och detta är möjlgt blad aat geom att ma lärt sg behärska kvaltetskotroll med statstska metoder och produktosstrg. I kurse försöksplaerg beskrvs avädbara verktg för effektvt arbete. Kurse är av tllämpad atur och de teoretska base ges kursera matematk som ma borde behärska ågorluda a ma ger sg på försöksplaerg. Vd laboratoret för alägggstekk har de statstska metodera tllämpats måga dplomarbete, lcetatavhadlgar och doktorsarbete geom åre. Erfarehetera frå dessa har utttjats vd uppdateradet av kursehållet. Det fs dag måga utmärkta dataprogram kommersellt tllgäglga som ma ka aväda. Förutsättge är att ma skall ha vssa skter basc theor om ma vll göra ett ekoomskt hållbart arbete. Rske är lätt att dataprogramme och s.k. cosmetc egeerg domerar över substasehållet och detta hämmar sg lägde. I dea kurs utttjas övgseempel och e del hemgjorda dataprogram som jag skrvt Fortra. Det är upp tll var och e om ma vll aväda mera sofstkerade program. Övgseemple är gjorda så att smulergsprogramme geererar persolga utgågsdata åt var och e utgåede frå matrkelumret. Drekt koperg av övgsarbetea är därför te möjlgt (!), me samarbete är att rekommedera. Åbo september 004 Jarl hlbeck (TkD, docet mljövårdstekk) lad ltterature ka ämas två utmärkta böcker: D. M. Hmmelblau: Process alss b Statstcal Methods (Wle&Sos) N. R. Draper, H. Smth: ppled Regresso alss (Wle&Sos) 5

6 omalfördelg, provtaggsteor. tt dra elemet av V errar oss frå kurse matematk att atalet sätt att placera föremål postoer uta att ordgsföljde verkar, ka beskrvas av formel för över elgt!!( )! (.) V ka t.e. beräka atal möjlga lottorader med ekvato (.). V placerar då ut 7 st slumpvs 39 postoer.. Prov med partklar av vlka är svarta Nu täker v oss stället e provtaggsstuato frå stckeformgt eller pulverformgt materal där materalet består av svarta partklar (t.e. fls med bark, e malmpartkel) och vta partklar (t.e. fls uta bark, stepartkel uta malm) och v vll beskrva fördelge av svarta partklar provet. Om ma täker sg det som e stor sats (bulk) som bladas så bra ma ka (fullstädgt slumpmässg bladg, se blaga ) och som seda matar ut ett prov ka v göra ett protokoll där v skrver S varje gåg det kommer ut e svart partkel, och V varje gåg det kommer ut e vt partkel. Ett protokoll skulle därför kua se ut som följer S,V,V,V,S,V,S,S,V,V,V,V,S,V,... o.s.v. Om v aser att bulke totalt ehåller p 00 % svarta, blr saolkhete för ovaståede följd elgt saolkhetsläras multplkatosprcp (saolkhete för S och saolkhete för V och saolkhete för V etc. saolkhete p ( p) ( p) ( p) p ( p)... p ( p) (.) där är atalet partklar provet och är atalet svarta. Me v är te tresserade av eakt dea följd, uta av saolkhete f () för att få st. svarta oberoede av vlke ordgsföljd de dker upp. Det fs över sådaa följder som alla ger samma atal svarta, eller stcke. Saolkhetsläras addtosprcp (sere eller sere eller sere C) ger då f ( ) p p ( ) (.3) eller formel för bomalfördelges frekvesfukto som är lktdg med elemetarsaolkhete för att ma skall få eakt st. svarta om ma tar ett prov på partklar av e bulk som ehåller p 00 % svarta. 6

7 .3 Vätevärdet µ och varase σ Vätevärdet deferas som det med elemetarsaolkhetera (frekvesfuktoe) vktade medelvärdet av de möjlga utfalle av frå 0 tll elgt µ 0 f ( ) (.4) Om ma sätter uttrcket (.3) och utvecklar summa erhåller ma µ p (.5) vlket ju egetlge är självklart eftersom det förvätade atalet måste vara lka med halte av bulke multplcerad med atalet partklar provet. vktade kvadrat- Varase deferas som de med elemetarsaolkhetera summa av avvkelsera frå vätevärdet elgt f () σ 0 f ( )( µ ) (.6) Om ma äve sätter uttrcket (.3) och utvecklar summa får ma efter matematska bearbetg för varase σ p ( p) (.7) och för stadardavvkelse σ p ( p) (.8) I praktska tllämpgar är ma te tresserad av stadardavvkelse ehete atal, uta av de relatva procetuella stadardavvkelse,, deferad elgt s r s r σ 00 (.9) Om v vdare beteckar medelhalte av svarta procet med c elgt c 00 p (.0) får v följade mcket avädbara formel för det teoretska grudfel som fås vd provtagg ur e fullstädgt stokastskt (slumpmässgt) bladad sats elgt s r c ( ) c (.) Om v stället har tllgåg tll epermetella data där v tar t.e. N st. prov med partklar varje prov och mäter halte svarta, c, varje prov, ka v beräka c elgt 7

8 c N N c (.) elgt de käda for- och de epermetella procetuella stadardavvkelse mel s ep,tot s N ( c c ) ep,tot (.3) ( N ) bör v, om bladge verklge är perfekt stokastsk, erhålla ett värde på lgger ära. Om så te är fallet vet v att bladge te är stokastsk. s r s ep,tot Ekvatoera (.9) (.3) ka avädas för aals av bl.a. följade cetrala frågeställgar: - Är bulke tllräcklgt väl bladad? som - Hur stora prov () måste tas för att ett acceptabelt lågt grudfel mätgara skall erhållas? - Tll vlke fhet måste ma mala ett materal om ma utgår frå e vss provstorlek vkt och accepterar ett vsst grudfel? Ekvato (.) fs grafskt preseterad blaga. Eempel Ett flslager består av fls som är hugge av obarkat vrke. E del av flse har bark på sg, och e aa del är uta bark. Ma aser att lagret är väl ombladat, me vll kotrollera detta. Ma tar därför 5 st prov dekaterglas frå olka ställe av lagret och räkar hur måga fls som har bark på sg varje prov. Ma erhåller: Prov : 5 med bark, 5 uta. Prov : med bark, uta. Prov 3: 6 med bark, 4 uta. Prov 4: 7 med bark, 4 uta. Prov 5: 8 med bark, uta. Ka ma ase lagret vara väl ombladat?.4 Graulerade produkter, ofullstädgt krossade och malda råmateral Tekska bladgar består te av svarta och vta partklar, me teor för bomalfördelg ka ädå avädas. Ma ka tll att börja med utgå frå att de substas som ma skall mäta vd e fmale bladg represeteras av separata kor. talet partklar provet ka beräkas elgt f m p g ρ p 3 d 0,95 (.4) 8

9 där m p är provstorleke ( kg), f är e formfaktor som är för kubska partklar, π/6 för sfärska partklar, 0, 0, för platta partklar, d 0,95 är de partkeldameter som avläses frå fördelgskurvas övre 95 % gräs. Om alla partklar är lka stora är lka med partkeldameter. d 0,95 ρ p är partkeldestete (obs. INTE bulkdestete). g är e korrektosterm för partkelstorleksfördelge så att g om alla partklar är lka stora, och g 0,5 om partkeldameter vd fördelgsfuktoes 95 % övre gräs är fra gåger större ä de vd 5% edre gräs. Ekvato (.) ka då skrvas s r 3 d 0,95 00 K (.5) m p K c c f g ρ p (.6) Dea formel går bra att aväda då det är fråga om provtagg frå fmalda steråmjöl, metallurgska pulver etc..5 Ieslute aktv substas Vd provtagg frå graulerade eller strade materal måste ekvatoera utvecklas eftersom kore u är sammasatta av olka kompoeter. Samma ekvatoer gäller för ofullstädgt krossade och malda materal. V atar att bladge har beretts geom att blada e aktv substas med e partkeldameter L e bärarsubstas. lteratvt ka ma täka sg ett ofullstädgt malt eller krossat fast materal där de aktva substase som skall mätas fs esluta kor med e dameter L. Vdare beteckas halte av de aktva substase dessa kor med rea är 00 %. c g c g. Om kore är Övrga beteckgar är som tdgare så att c är medelhalte aktv substas prov som har provstorleke m p ( kg) och d 0, 95 är de graulära provpartklaras dameter vd övre 95 % gräse av fördelgsfuktoe. V ka då (G, 99) skrva för faktor K ekvato (.5) L c c c c f g ρ + p, tot ρ p akt (.7) d 0,95 cg cg cg cg K, 9

10 där ρ p, tot är destete för de graulära partklara, och ρ p, akt är destete för de aktva kore. Ekvatoe (.7) är aalog med ekvato (.6) för det fall att L d 0,95, ρ och 00 %. p, tot ρ p, akt c g.6 eaktade av aalsstadardavvkelse De totala epermetella stadardavvkelse s ep,tot sammasätts både av aalsstadardavvkelse, s a, och provtaggsstadardavvkelse. Stadardavvkelser är te addtva me varasera ( stadardavvkelseras kvadrater) ka adderas och subtraheras. Om v t.e. käer tll aalsstadardavvkelse och mäter de totala stadardavvkelse, ka de epermetellt erhålla provtaggsstadardavvkelse s r, ep beräkas elgt s s s r, ep ep, tot a (.8) Vll v seda jämföra dea stadardavvkelse med de teoretskt beräkade detta ske som ett F-test. V uppställer hpotese s r ka σ > σ r, ep r (.9) eller v påstår t.e. att bulke te är tllräcklgt bladad. V beräkar seda och jämför det med ett tabellerat F-värde där ν N sr, ep F ber (.0) s r [ ] F tab F, (.) α ν Om det beräkade F-värdet är större ä det tabellerade F-värdet accepteras hpotese aars förkastas de. Eempel För att höja kopparhalte ett kostgödselmateral, bladas kopparsulfat före bladge grauleras. Ma vll veta hur bra bladgsprocesse fugerar och tar därför 0 prov av de färdga kostgödsel. Varje prov är av storleke 5 kg. Ma erhåller e medelhalt av 0,00 % Cu och stadardavvkelse mella prove är 0,05 % Cu. Ka ma ase att bladgsprocesse fugerar tllfredställade? Ltteratur: G, P. M.: Samplg of Heterogeous ad Damc Materal Sstems, Elsever msterdam, 99. 0

11 .7 Possofördelge Om v återkallar met eemplet med att plocka fls ur e räa och räka hur måga svarta med bark på som v httar, beskrevs saolkhete att htta precs stcke svarta ett prov av storleke flsor, om medelhalte svarta satse är p (atal svarta dvderat med atal flsor för hela lagret), med ekvatoe f ( ) p ( p) Om v u täker oss att flsora är mcket mcket små, d.v.s. går mot oädlgt och p är mcket lågt (mcket lte adel svarta lagret) och v täker oss att provet samlas uder e vss td t, blr det ädå väldgt måga svarta eftersom vätevärdet µ p. V ka jämföra det med trafkolckor som ka häda uder e vss td, säg ett veckoslut, det fs måga blar och bara e lte adel som kör krock, me atalet ka ädå vara stort. Saolkhete för eakt svarta provet eller trafkolckor ka u med Possos omformg av bomalfördelge beräkas uta att ma käer tll eller p separat, det räcker att ma käer tll vätevärdet µ d.v.s. hur måga svarta ma medeltal borde få provet, eller hur måga trafkolckor det medeltal sker uder tde t. p( ) e De kumulatva Possofördelge, summa frå p (0) tll p() för olka värde på µ (beteckas λ tabelle) fs tabellerad blaga b. Saolkhete för att ge trafkolcka sker med dödlg utgåg uder e mdsommarhelg, om det ormalt dör 4 persoer trafkolckor uder mdsommarhelge, är då µ µ! p (0) 4 e 0 4 0! 0,083 d.v.s. detta sker ugefär vart femtode år. Saolkhete för 8 eller flera dödsfall är följaktlge p(8) + p(9) + p(0) + K p(0) p() p() p(3) p(4) p(5) p(6) p(7) 0,083 0,0736 0,4653 0,9537 0,9537 0,569 0,040 0, ,05 d.v.s. detta ka ske vart tjugode år. Possofördelge utttjas vd dmesoerg av datavälar och lagerhållg och är därför specellt vktg för datasubbar. Sök på ätet med queug theor så httar ltteratur. Köteor är ämlge e vktg tllämpg av possofördelge.

12 Eempel I ett laboratoreepermet passerar medeltal fra radoaktva partklar e räkare uder e mllsekud. Hur stor är saolkhete för att se sådaa partklar passerar räkare uder e gve mllsekud? V vet att 6 och µ 4 p (6) 4 e 6 4 6! 0,04 V ka lösa problemet geom att aväda oss av tabelle för de kumulatva dstrbutosfuktoe Eempel 6 5 p (6) p( ; µ 4) p( ; µ 4) 0,8893 0,785 0, Varje dag aläder medeltal to oljetakers tll e ham. Hame ka klara mamalt femto takers per dag. Hur stor är saolkhete att hame uder e gve dag te klarar av alla takers? Låt vara atalet takers som aläder per dag. V ka täka oss att saolkhete för fler är 5 takers per dag är komplemetet tll saolkhete för 5 eller färre takers per dag elgt och p( > 5) p( 5) p( 5) 5 0 p( ; µ 0) 0,953 p ( > 5) 0,953 0, Idustrell tllämpg av Possofördelge Possofördelge aväds för att beskrva stuatoer där ma ka räka atalet gåger e specell hädelse sker om ett specferat tervall. Itervallet beror på vlket tp av hädelse det är som räkas. I de flesta fall är det fråga om ett rmdtervall som represeterar e fssk rego (t.e. e ta hos e bldörr som testas för målgsfel etc.). Det ka också vara frågaom ett tdstervall (t.e. e vecka uder vlke ma räkar atalet verktg som skckas tll servce). När hädelser sker på ett såt sätt att saolkhete för att observera hädelser tervallet beskrvs av ekvatoe som getts tdgare sägs hädelsera utgöra e Possoprocess.

13 talet gropar per km väg, atalet olckor per vecka på e specell plats, daglgt behov av kompoeter frå lagret, atalet haverer hos ett sstem eller e kompoet är eempel på beräkgar som väldgt ära följer e Possoprocess och därför ka de avädas som e mcket god modell för teoretska studer om uderhållsledg. Eempel Ma har fut att e vss del av ett sstem går söder medeltal två gåger per dag. Uder atagade att detta är e Possoprocess vll ledge avgöra behovet av resurser för att verkstade skall klara att åtgärda haverera. Om ma atar 5 arbetsdagar vecka, hur stor är saolkhete för att a) eakt 0 b) mer är 5 haverer sker uder e arbetsvecka? Med medeltal två haverer per dag ka 5 0 haverer medeltal vätas per vecka. a) µ 0, 0 p(0) e µ µ! e ! 0,5 0,5 8, vlket betder att ma ka väta sg att 0 haverer sker uder e vecka av åtta uder e lägre perod. b) µ 0, > 5 p( > 5) p( 5) p( 5) 5 0 p( ) 0,93 p( > 5) p( 5) 0,93 0,049 Slutsats: Om uderhållsavdelge har 50 % etra kapactet (0 haverer medeltal me klarar 5) borde avdelge vara överbalastad edast uder 5 % (0,049) av året (5 veckor uder e tvåårsperod). 3

14 Mätvärdes stokastska egeskaper. Några deftoer Då ma upprepar försök uder lka processförhållade erhålls regel mätvärde, som te är detska. Varatoera mätvärdea beror dels på att alla varabler som påverkar de uppmätta varabel processe te alltd har kuat hållas helt kostata och dels på att mätvärdet alltd varerar slumpmässgt beroede på tllfällgheter processe. V fråser tll e börja de första varatosorsake, som uppebarlge ehåller formato om processe. De seare ämda slumpartade varatoe ger oss aledg att kalla varatoe e stokastsk varabel. Det verklga värdet av e stokastsk varabel ka aldrg bestämmas epermetellt, me ma förutsätter dock att det esterar. Med ett stokastsk fel eller e stokastsk avvkelse avses skllade mella det uppmätta värdet och det verklga värdet. Detta förutsätter, att ma te samtdgt har ett sstematskt fel mätge som upprepas varje mätg och ka bero på felaktgt kalbrerade strumet eller på förutfattade åskter om de uppmätta varabels värde hos de som utför mätge. I detta sammahag ka det vara skäl att påma om, att med oggrahet (accurac, tarkkuus) avses hur ära de uppmätta värdeas medelvärde lgger det verklga värdet, meda med precso (precso, täsmällss) avses hur ära de uppmätta värdea lgger deras eget medelvärde. Om µ är verklgt värde och är mätgar frå vlka är beräkat ka ma säga att lågt värde på ( µ ) betder god oggrahet meda lågt värde på alla ( ) betder god precso. Ma ka med fog påstå, att samtlga tekska sammahag förekommade kotuerlga varabler är stokastska varabler. I e del fall är de stokastska avvkelse av eglgerbar storlek och storhete ka uppfattas som e determstsk varabel, som käeteckas därav, att de ka tllskrvas ett bestämt matematskt sett eakt värde. I måga fall är processvarableras stokastska atur e påfallade, kokret verklghet.. De stokastska varabels frekves och fördelgsfukto Värdet av e stokastsk storhet ka te ges med ett eda tal, emeda det varerar slumpmässgt krg ågot cetralt värde. Teoretskt ka ma täka sg att samtlga värde, totalatal värde, som e stokastsk varabel atar, regstreras. Samtlga dessa värde atas falla om tervallet ( 0 ; m ). Mätresultate utmärkes på e - ael. Ifall atalet mätvärde faller om ett deltervall ( ; + ) är mätvärdestäthete om detta tervall. Dvderas dea mätvärdestäthet med totala atalet mätvärde fås de relatva mätvärdestäthete eller mätvärdesfrekvese f ) tervallet ; + ) ( ( f ( ) (.) 4

15 vlke lkhet äve ka skrvas f ( ) (.) I måga böcker och kommersella dataprogram kallas ofta terme för relatv frekves och dea är alltså dmesoslös motsats tll mätvärdesfrekvese som har dmesoe dm( ). Om med,, 3,..., m och vardera ledet av lkhete (.) summeras över alla fås m m f ( ) (.3) Summauttrcket högra ledet är deftosmässgt lka med, varför högra ledet av (.3) blr lka med. Ifall har e kotuerlg frekvesfukto f () och om m, så att varje 0 övergår västra ledet av (.3) tll e bestämd tegral och ma får m f ( ) d 0 (.4) Saolkhete F för att mätvärdet skall lgga om tervallet är F (.5) eller elgt (.) F f ( ) (.6) är kotuerlg, ka skrvas dfferetal- vlke lkhet, om frekvesfuktoe form f () df f ( ) d (.7) då 0. Härur fås salkhete F() för att ett mätvärde skall fall om tervallet ( 0 ; ) geom tegrato F( ) 0 f ( ) d (.8) Fuktoe f () kallas varabels frekvesfukto (frequec fucto, probablt fucto, probablt dest fucto) och F() dess fördelgsfukto. 5

16 Edast om ma käer saolkhete för att e stokastsk varabel skall ata värde om ett valbart tervall, ka ma ase sg helt käa de stokastska varabel. Dea saolkhet ka ma beräka, om ma käer varabels frekvesfukto eller dess fördelgsfukto..3 Vätevärde och varas Ofta är det tllräcklgt att käa ett cetralt värde på de stokastska varabel och ha ett mått på dess varato rut detta cetrala värde. De totala käedome form av e frekvesfukto ersätts då med två parametervärde, valge varabels vätevärde och varas. E skattg av varabels vätevärde fås form av det vägda artmetska medeltalet m (.9) I dea lkhet ka högra ledet geom förlägg med skrvas m (.0) och då f ( ) elgt deftoe (.) förs fås m f ( ) (.) Då åter m så att samtlga 0 fås vätevärdet µ på de stokastska varabel ur (.) elghet med deftoe på e bestämd tegral µ m 0 f ( ) d (.) E skattg s av de stokastska varabels varas σ fås som medeltalet av kvadratera på de esklda klassmttvärdeas avvkelse frå vätevärdet s m ( µ ) (.3) Iförs åter stället för så att samtdgt alla varas uttrcket f ( ) elgt (.) samt låter ma m 0 får ma följade uttrck för de stokastska varabels σ m 0 f ( )( µ ) d (.4) 6

17 egrepp som är serlge cetrala alla statstska sammahag, och som ofta mssbrukas (lög, förbaad lög och statstk) är förutom vätevärde och varas äve kovaras och korrelatoskoeffcet. Ekvatoera (.) och (.4) ger de matematska deftoera på vätevärde och varas för varabel. Låt oss därför täka oss e aa varabel,, vars vätevärde och varas beskrvs av (.) och (.4) gvetvs så att är ersatt med dessa ekvatoer. Nu deferas e summavarabel, z, elgt z + (.5) Därefter härledes frekvesfuktoe, vätevärdet och varase för dea summavarabel Om f (), g ( ) och p(z) beteckar frekvesfuktoera för, respektve z så är saolkhete för att e eskld observato av skall lgga om tervallet ± lka med F f ( ) Saolkhete för att e eskld observato av skall lgga om tervallet ± lka med G g( ) Saolkhete för att e eskld observato av z skall lgga om tervallet z ± z lka med P p( z) z Saolkhete för att skall lgga ovaämda tervall samtdgt som lgger stt motsvarade tervall ka uttrckas som multplkato av saolkhetera elgt saolkhetsläras multplkatosprcp (jfr. vd kast av två tärgar är saolkhete för e sea på båda tärgara samtdgt ) P { ± ; ± } F G dea saolkhet är samtdgt saolkhete för att ett vsst värde på z skall uppträda eller att z lgger stt eget tervall. Härav ses lätt att P F G (.6) Isättes därefter de tdgare härledda uttrcke för tervallsaolkhetera samtdgt som ma låter tervallbreddera gå mot oll erhålles p ( z) dz f ( ) d g( ) d (.7) 7

18 Nu utttjas deftoe på vätevärdet elgt (.) för z samtdgt som edre gräse sättes tll och övre gräse tll + vlket leder tll som utvecklas tll z z p( z) dz z f ( ) g( ) µ d d f ( ) d g( ) d + g( ) d µ f ( d z ) där tegratosgräsera är de samma som tdgare. Eftersom tegralera över f ( ) d respektve g ( ) d båda kvarblr tegralera över f ( ) d respektve g( ) d och dessa utgör ju deftoe på vätevärdet för respektve. V får då µ + (.8) z µ µ För e stokastsk varabel som är summa av två adra stokastska varabler är vätevärdet summa av de två varableras vätevärde, och detta är ju självklart egetlge. etdlgt mdre självklar är däremot varase för summavarabel. De beräkas elgt σ z ( z µ z ) p( z) dz Komberar v uttrcke (.5), (.7) och (.8) och beaktar att erhålles z ( z µ ) ( µ ) + ( µ ) + ( µ ) ( µ ) z ( µ ) f ( ) d + ( µ ) g( ) d + ( µ )( µ ) σ f ( ) g( ) d d där de två första termera lätt gekäs som varase för respektve och de ssta terme beteckas elgt eda σ z σ + σ + σ Terme σ kallas kovarase för varablera och och har följade egeskaper: Dess ehet är ehete för gåger ehete för, de atar värdet oll o och varerat helt oberoede av varadra, me atar ett värde större eller mdre ä oll om och förklarat varadra postvt respektve egatvt. Kovarase ka skattas som medelvärdet av de bladade produkte 8

19 est(σ ) ( )( ) och de är då ett mått på huruvda varablera förklarar varadra eller te. Eftersom kovarase är dmesoell är det av praktska skäl bättre att övergå tll att beräka korrelatoskoeffcete vlke deferas som kovarase av de ormerade storhetera X µ respektve σ Y µ σ och de skattas ormalt geom att ma beräkar r ( )( ( ) ) ( ) (.9) Korrelatoskoeffcete ärmar sg värdet 0 om varablera te förklarar varadra, värdet + vd postv korrelato, och - vd egatv korrelato. Det bör observeras, att de med ekvato (.9) beräkade korrelatoskoeffcete te regel (fast og går det att göra om ma äve beaktar värdet på ), skall avädas för sgfkastester av sambad. Om mätvärdea är alltför få, ka ma få hög korrelato på grud av slumpe. Ma ser ofta ekvato (.9) skrve beräkgsvälg form med separerade kvadratsummor av varablera. Dessa formler skall ma te aväda! De ka ämlge ge mcket stora artmetska fel då stora talvärde (kvadratsummor) skall subtraheras frå varadra. Korrelatoskoeffcete ger ett bra rktvärde för om varabler förklarar varadra och är därför vktg vd utvärderg av försöksplaer (kaptel 9) och vd aals av datamatrser för regressosaals (kaptel 8). E specell och mcket vktg tllämpg är tdssereaals med auto- och korskorrelogram (kaptel ). Eftersom korrelatoskoeffcete om de är postv respektve egatv edast utsäger om talvärde e sffersere båda ökar (postv korrelato) eller om de ea ökar då de adra mskar (egatv korrelato) då ma går mot slutet av sffersere, me te säger om detta feome har ett kausaltetsförhållade (fsskt sambad) får ma te dra lågt gåede slutsatser av beräkade korrelatoskoeffceter. Mssbruk av korrelatoskoeffceter är bakgrude tll statstkes dålga rkte ( med statstk ka ma bevsa vad som helst ). 9

20 Eempel (badvatteeemplet): Det är farlgt att drcka Coca-Cola före ma hoppar sjö, det fs ämlge postv korrelato på hela 0,83 mella Coca-Colaförsäljge och drukgsfrekvese. Det är dessutom farlgare att smma varmt vatte ä kallt; det fs e mcket hög postv korrelato mella havsvattetemperature och drukgsfrekvese vd frågavarade badplats. Ovaståede eempel ser ma ju att är galet, me om de udersökta processe är komplcerad, ka ma råka ut för lkade fel vd tekska udersökgar på doktorsvå, tvärr..4 Skattge av vätevärdet och varase Ma fer att ma bör käa de kotuerlga stokastska varabels frekvesfukto f () för att kua beräka både varabels vätevärde elgt (.) och dess varas elgt (.4). Normalt är emellertd frekvesfuktoe för stokastska varabler te käd. Varke vätevärdet eller varase ka då beräkas, uta ma får t sg tll skattgar av dessa. Skattgara beräkas ur ett begräsat atal värde ett urval som ma slumpmässgt geom mätg erhållt på de stokastska varabel. Emeda dessa mätvärde med all saolkhet te skulle upprepas ett tt urval ses, att skattgar av vätevärdet och varase är stokastska storheter. Däremot är själva vätevärdet och varase elgt (.) och (.4) determstska parametrar. Skattge av vätevärdet beräkas elgt (.9), som äve ka skrvas på följade sätt, om klassg av mätvärdea te skett (.0) Skattge av varase ka beräkas med formel s ( ) ( ) (.) Observera, att ämare tll (.) går terme stället för, som är totala atalet mätdata urvalet, d.v.s. atalet formatoer om varabels värde. Vd beräkge av är totala atalet formatoer lka med. Då aväds vd beräkge av s ( ) och formato om varabels värde utttjas vd beräkge av ka te samma atal formatoer återstå för beräkge av s ( ), uta detta atal reduceras med. I de matematska statstke kallas tllbudsståede formatoer äve atalet frhetsgrader. De postva kvadratrote av varases skattg kallas de stokastska varabels stadardavvkelse s. Äve dea är e stokastsk storhet. Vdare ka ma vsa, att medelvärdets stadardavvkelse s äve de e stokastsk storhet ka beräkas med formel 0

21 s s (.) Formel (.) har e specell aktualtet vd försöksplaerg, emeda ma strävar att bestämma skattgar av vätevärde med så lte stadardavvkelse ( stor precso) som möjlgt med ett rmlgt atal försök..5 Normalfördelge Httlls har ga atagade gjorts agåede forme på de udersökta varabels frekvesfukto. Ma ka alltså skatta vätevärde och beräka stadardavvkelser för stokastska storheter uta att käa deras frekvesfuktoer. Först seda ma käer eller ka ata forme på frekvesfuktoe, ka ma emellertd fullt utttja dessa beräkade skattgar. Ifall de stokastska varabel är statoär, d.v.s. dess frekvesfukto är oberoede av tde, ka ma ur regstrerade data frå e lägre tdsperod få e uppfattg om frekvesfuktoe. Tvärr är få dustrella sammahag förekommade stokastska varabler statoära. Som vägledg vd bedömge av forme hos frekvesfuktoe hos stokastska varabler ka ma emellertd utttja ett cetralt teorem ur de matematska statstke. Detta teorem ebär, att fördelgsfuktoe för e summa av k av varadra oberoede stokastska varabler övergår ormalfördelgsfuktoe, då k ökar och detta uder tämlge allmäa vllkor, av vlka de vktgaste är att summas varas skall gå mot oädlghete och kvote mella varase för varje summa gåede varabel och summas varas skall gå mot oll, då k går mot oädlghete. Mera kvaltatvt uttrckt betder detta att e varabel är praktskt taget ormalfördelad, fall dess värde beror på ett tllräcklgt stort atal av varadra oberoede fltelser, av vlka ge är domerade. Med ormalfördelg avses e fördelg som har frekvesfuktoe ( µ ) f ( ) ep (.3) π σ σ I formel (.3) är µ de stokastska varabels vätevärde och σ dess varas. Ma fer att e käedom om dessa två parametrars värde är tllräcklg för att frekvesfuktoe (.3) skall vara etdgt käd. Ekvato (.3) ka härledas matematskt frå bomalfördelge och har därför e sold teoretsk bakgrud. Måga praktke förekommade stokastska varabler ka med tllräcklgt oggrahet ases vara ormalfördelade.

22 Då ma har att göra med cke ormalfördelade varabler måste ma fa ett matematskt uttrck som beskrver dess frekvesfukto eller fördelgsfukto, om ma på matematsk väg vll aalsera varabels egeskaper. Dea fukto ka allmähet edast erhållas geom att apassa e vald matematsk fukto tll e emprskt erhålle skattg av fördelgs- eller frekvesfuktoe. Detta blr med säkerhet e appromato. E aa väg är att stället appromera fördelge som e ormalfördelg, om de te alltför mcket avvker frå dea. Detta är aturlgtvs ej heller helt korrekt. Det seare alteratvet är emellertd tlltalade ur de spukte, att ma då ka utttja de metoder för t.e. testg av hpoteser, som har utvecklats för ormalfördelade varabler. Motsvarade teor fs te tllgäglg för adra fördelgar. Då ma appromerar e emprsk fördelg med e ormalfördelg och tllämpar de matematska statstkes teor på appromatoe, bör ma aturlgtvs hålla met, att de gjorda appromatoe ka göra att ma drar felaktga slutsatser vd aalse. För praktska beräkgar med ormalfördelge är det allmähet te lämplgt att aväda ekvato (.3). etdlgt eklare blr det om ma betraktar de ormerade storhete X som beteckas med u blaga 3 elgt X µ (.4) σ Frekvesfuktoe för dea storhet, som har vätevärdet 0 och varase har ( lkhet med ekvato (.3)) härletts frå motsvarade ormerade storhet för bomalfördelge vlke också har vätevärdet 0 och varase X b µ σ p p ( p) (.5) varvd ma ka vsa matematskt att frekvesfuktoe f ( X b ) edast är beroede av X och te av och p förutsatt att är mcket stort och att de då erhålla bomala frekvesfuktoe är lka med frekvesfuktoe för de ormerade storhete av e såda kotuerlg varabel som påverkas av ett stort atal, av varadra oberoede faktorer. Dea frekvesfukto ka skrvas [ 0,5 ] f ( X ) f ( X b ) ϕ ( X ) ep X (.6) π Me det som ma behöver är oftast tegralfuktoe φ (X ) som beteckas med φ (u) blaga 3 elgt X X φ ( X ) ϕ( X ) d ep[ 0,5 X ] d (.7) π

23 Dea tegral uttrcker helt ekelt saolkhete för att e eskld observatos ormerade värde skall ata ett sffervärde X vlket ju är deftoe på fördelgsfuktoe för de ormerade varabel. Eftersom fuktoe är smmetrsk behöver ma te tabellera tegrale för egatva värde på X ( är mdre ä µ ) uta tabelle blaga 3 startar frå värdet φ( X ) 0,50 vd X 0 varvd övrga värde fås elgt φ( X ) φ( X ) (.8) Ma får te blada hop ormalfördelge som ju uttrcker fördelge av esklda observatoer med t-fördelge som uttrcker medelvärdets fördelg, eller med χ -fördelge som ju uttrcker varases fördelg. Eempel: Ma tar frå ett stort part cemetsäckar ett prov frå varje säck och bestämmer trckhållfasthete laboratoret. Ma erhåller µ 300 och s σ 0 ehete kp/cm. Geom det stora atalet prov ka ma ase att det artmetska medelvärdet väl represeterar vätevärdet, och att de skattade stadardavvkelse, s, represeterar de verklga stadardavvkelse σ. a) Om ma u köper e eda säck, vlke är saolkhete att ma råkat få e säck med trckhållfasthete 80? b) Om ma köper 000 säckar, hur måga säckar har e trckhållfasthet det öskade kvaltetstervallet 80 30? Lösg: a) V ka u drekt utttja deftoe på tegralfuktoe och skrva saolkhe t φ( X ) φ φ( ) φ() 0,977 0,03 0 b) Saolkhete för tervallet är tegralta uder frekvesfuktoe bldad mella övre och udre värdet för de ormerade fuktoe, eller saolkhet φ φ 0 0 φ() φ( ) φ() ( φ()) 0,977 0,03 0,95 Det är alltså ca 95 % av säckara eller 950 säckar som befer sg om det fastslaga kvaltetstervallet. Ma brukar säga att 95 % av de esklda observatoera teoretskt fs om medelvärdet plus mus gåger stadardavvkelse. Me verklghete är det te så ekelt, vlket följade kaptel skall vsa. 3

24 3 Medelvärde och sedfördelg 3. Normalfördelges begräsgar Normalfördelge rut ett artmetskt medelvärde betder att varabel ka varera på samma sätt uder stt medelvärde som ova detsamma. Detta är emellertd omöjlgt för måga tekska storheter. E låg kocetrato av e substas mljö, säg 4 ppm (parts per mllo) ka varera så att de har e stadardavvkelse beräkad på dgsmedelvärde på,5 ppm. Normalfördelge skulle då utsäga att 95 % av observatoera skulle lgga tervallet - ppm tll 9 ppm vlket är omöjlgt eftersom det te esterar egatva kocetratoer. Storhete är därför sedfördelad och frekvesfuktoe startar frå 0, f ( ) 0. Stuatoe är desamma t.e. för partklar och droppar (det fs ej partklar med egatv dameter) och frekvesfuktoe för deras dameter f (D) startar äve de frå D 0, f ( D) Logartmsk ormalfördelg De s.k. logartmska ormalfördelge är de mest aväda fördelge för sedfördelade storheter. Utsgale frå mätstrumet som mäter partkeldameter (t.e. MLVERN laserdffraktometer) ger också helt rutmässgt ut fördelgsfuktoe så att dameterskala är logartmsk. E aa aväd frekvesfukto är kvadratrot-ormalfördelg. V vet, att om de stokastska varabel beteckas, dess vätevärde µ, och dess stadardavvkelse σ, ka e ormerad storhet, X, med vätevärdet 0 och stadardavvkelse deferas elgt och dea har frekvesfuktoe X µ (3.) σ X ϕ ( X ) ep (3.) π V vll u blda ett uttrck för frekvesfuktoe f log () utgåede frå att varabels logartm är ormalfördelad vlket skulle ge e struktur på fuktoe som bättre överesstämmer med praktke. V deferar då de ormerade varabel stället utgåede frå logartmerade värde elgt l l µ X (3.3) lσ och aser att dea är ormalfördelad med e frekvesfukto elgt ekvato (3.). 4

25 Elgt deftoe på frekvesfukto måste saolkhete för att ett -värde skall befa sg tervallet d vara lka med saolkhete för ett X-värde tervallet dx, eller d.v.s. Derverg av ekvato (3.3) ger f log ( ) d ϕ( X ) dx (3.4) dx f log ( ) ϕ( X ) (3.5) d dx d l l µ d l l µ d d lσ d lσ lσ lσ (3.6) Kombatoe med ekvatoera (3.) och (3.3) ger slutlge l l µ f log ( ) ep (3.7) π lσ lσ varvd bör observeras att µ te lägre ka skattas med (.0) uta ma måste gå va logartme (se 3.9). σ är te heller skattgsbart med (.) uta med (3.0). 3.3 Eempel på medelvärdesbldg och sedfördelg Som eempel på medelvärde och sedfördelg tas dameter för partklar eller droppar. Samma resoemag ka tllämpas äve för adra tekska sedfördelade storheter. lltså stället för avädes här D me det är samma sak. Ma deferar ett dametertervall D för partklara och ager hur stor adel av partklara som har e dameter om detta tervall. Om ma mätt hur stor vkt- eller volmadel som fs tervallet beteckas dea med Z. Om ma däremot mätt hur stor atalsadel t.e. geom att aväda e apparat som räkar partklara beteckas atalsadele med S. Är det fråga om strömmade partklar eller droppar (t.e. spramustcke, ström av stoft ut geom e skorste) skall dessutom Z och S deferas per tdsehet. Ma talar då om vktströmadel respektve atalsströmadel. talet klasser beteckas och de,,, 3,..., beteckar klasses ummer så att beteckar klasse för de msta dameter och klasse för de största dameter. Vdare beteckas alltså klassmedeldameter med D och klassbredde med D. Volme eller massa (-strömme) partklar/droppar av motsvarade klass beteckas V och de totala volme eller massa (-strömme) stoft/vätska beteckas. V TOT 5

26 Frå dessa värde ka ekelt beräkas atalet (-strömme) partklar/droppar av motsvarade klass, N samt geom summerg av dessa fås det totala atalet (- strömme) partklar/droppar N TOT. Dropparas form måste vara käd, ormalt ases de vara sfärska. V deferar volm- eller vktadele Z elgt Z V (3.8) V TOT som alltså är aalog med F då är atalet observatoer tervallet (te atal partklar) föregåede avstt och uttrcker saolkhete för att e observato skall lgga tervallet, samt atalsadele S D S 3 N Z D NTOT Z D 3 (3.9), def- De relatva mätvärdesfrekvese avseede på volm- eller vkt (-ström), eras elgt f f Z (3.0) D och de relatva mätvärdesfrekvese avseede på atal (ström), p, p S (3.) D Om u ett stapeldagram kostrueras med f eller p versus D kommer summa av alla staplars tor att vara och fördelgsfuktoe eller summafuktoe bldas av de kumulatva summa av stapeltora. Om e kotuerlg frekvesfukto f (D) apassas tll det stapeldagram som bldas av f ka tegrale av dea fukto mella Dm och Dma ases uttrcka saolkhete för att e delvolm (-ström) skall ha e medeldameter som lgger mella D och D. m ma Om ma atar e vss struktur för frekvesfuktoe ka ma utttja ormalfördelge vars förlopp ka skattas frå de medelvärde som ka beräkas frå mätdata. Om mätdata trasformeras t.e. geom kvadratrotsberäkg eller logartmerg ka ormalfördelge för trasformerade data jämföras med de uppmätta relatva mätvärdesfrekvesera. 6

27 3.4 llmät aväda deftoer på medelvärde Frå mätdata ka ma beräka medelvärde på olka sätt. Här preseteras ågra valga deftoer på medelvärde. V ser att det som ma daglgt tal kallar medelvärde och sprdg själva verket te alls är etdga begrepp. Medadameter avseede på vkt/volm(-ström), D MV är de dameter vd vlke lka stor vkt/volm (-ström)adel droppar lgger över som uder detta värde. Medadameter avseede på atal(-ström), D MN är de dameter vd vlke lka stor atalsström droppar lgger över som uder detta värde. Sauter medeldameter, D S är dameter för de lka stora droppar som skulle ha geererat e lka stor ta (per tdsehet) som de aktuella sprae, eller, D S Z D (3.) I de kemska reaktostekke är Sauter medeldameter avädbar det fall att de kemska reaktoe sker på ta, t.e. är det är fråga om e pulverformg katalsator. rtmetsk medeldameter avseede på vkt/volm(-ström), vkt/volm(-ström)adelara vägda artmetska medelvärdet elgt, D a, V är det med D, Z D (3.3) a V E skattg av artmetsk stadardavvkelse avseede på vkt/volm(-ström), s a, V, beräkas elgt ( D D ) sa, V Z a, V (3.4) Därefter ka de ormalfördelade frekvesfuktoe f a V, ( D) u estmeras elgt f a, v ( D) π s a, V ep D D sa, V a, V (3.5) Dea fördelg är olämplg för att beskrva frekvesfuktoe för sedfördelade storheter. rtmetsk medeldameter avseede på atal(-ström), D a, N motsvarade skattg av stadardavvkelse, s a, N, samt frekvesfuktoes estmat, f a, N, beräkas lkhet med (3.3) och (3.4), varvd Z ersättes med S. D sqrt, V beräkas e- Kvadratrotsmedeldameter avseede på vkt/volm(-ström), lgt 7

28 Motsvarade skattg av stadardavvkelse, D sqrt, V Z D (3.6) s sqrt, V ( D Dsqrt, V ) sqrt, V Z beräkas elgt s (3.7) Frekvesfuktoes estmat för ormalfördelge av de med kvadratrotsberäkg omformade varabel f sqrt, V ( D), eller kvadratrotsfördelges frekvesfukto ka skrvas f sqrt, V ( D) π s sqrt, V ep D D s D sqrt, V sqrt, V (3.8) Kvadratrotsmedeldameter avseede på atal(-ström), D sqrt, N, motsvarade skattg av stadardavvkelse, s sqrt, N samt frekvesfuktoes estmat, f sqrt, N beräkas lkhet med (3.6), (3.7) och (3.8), varvd Z ersätts med S. D log, V beräkas e- Logartmsk medeldameter avseede på vkt/volm(-ström), lgt D ep Z l( D (3.9) log, V ) Motsvarade skattg av logartmsk stadardavvkelse, s log,v beräkas elgt s log, V ep Z ( l D l Dlog, V ) (3.0) Frekvesfuktoes estmat för ormalfördelge av de med logartmerg omformade varabel, f log, V ( D), eller de logartmska fördelges frekvesfukto ka skrvas f log, V ( D) π l s log, V ep D l D l D l slog, V log, V (3.) Logartmsk medeldameter avseede på atal(-ström), N, motsvarade skattg av stadardavvkelse, s log, N, samt frekvesfuktoes estmat, f log, N beräkas lkhet med (3.9), (3.0) och (3.), varvd Z ersätts med S. D log, 8

29 Eempel Idustrellt producerad släckt kalk, Ca(OH) (s), skall avädas för bdg av svaveldod e dustrell process. Ma måste därför käa tll kalkes struktur mcket bra för att kua dra slutsatser om reaktosta etc. Ma mäter därför fördelgsfuktoe för partkelstorleke avseede å vkt med e mätapparat och erhåller ( D / µm F( D) / %) (9 00) (8 00) (96 98,6) (64 94,) (48 93,) (3 83,) (4 76,3) (6 65,) ( 56,3) (8 43,0) (6 34,7) (4 4,7) (3 8,8) (,8) (,5 6,8) ( 5,0). Upprta fördelgsfukto avseede på vkt.. Kostruera frekvesfuktoe avseede på vkt och upprta tt dagram (stapeldagram). Observera dvso med tervallbredde! 3. eräka medadameter avseede på vkt. 4. eräka Sauter medeldameter. 5. eräka artmetskt medelvärde avseede på vkt. 6. eräka artmetsk stadardavvkelse avseede på vkt. 7. Upprta ( ) samma dagram som pukt. f a, V D 8. eräka logartmsk medeldameter avseede på vkt. 9. eräka logartmsk stadardavvkelse avseede på vkt. 0. Upprta f log,v samma dagram som pukt.. Kostruera fördelgsfuktoe avseede på atal.. Kostruera frekvesfuktoe avseede på atal och upprta tt dagram (stapeldagram). 3. eräka artmetskt medelvärde avseede på atal. 4 Varaktghetskurvor Storheter som varerar med tde är t.e. ågförbrukge e fabrksavdelg (t/h), utsläpp av kväveod frå ett kraftverk (kg/h), vdhastghete e mätpukt (m/s), uteffekte frå ett vdkraftverk (kw eller kj/s), förlusteergströmme ut frå e pappersmask (MJ/h), elförbrukge e fabrksavdelg (MW), halte svaveldod lufte vd Nladsgata Åbo (ppm) mm. Om ma upprtar storhete som här allmät beteckas med (t.e. frå e ljeskrvare, frå sabbt dataloggade pukter, som 5-muters medelvärde, tm-medelvärde, dgsmedelvärde etc.) som fukto av tde t erhåller ma ett dagram med e kurva som går upp och er på ågot sätt. Storhete avbldas så att graderas frå 0 tll ma och t graderas frå o tll. t ma Varaktghetskurva kostrueras så, att tdskurva täkes som ett stapeldagram (om de te reda är preseterad som ett sådat), och staplara radas storleksordg med de största stapel först. E avläsg t var på t-ael som motsvaras av e pukt v på -ael uttrcker då de td uder vlke har vart > v. Ordet varaktghet kommer frå elektrotekke där varaktghetskurvor avädes måga olka sammahag och de avlästa tde kallas toppes varaktghet. 9

30 E allmä tllämpg av varaktghetskurva är bedömg av olka eltarffer (Åbokemsteras såg V vet hur ma skall köpa bllg ström... ). Eftersom tegrale av (ta uder) varaktghetskurva för tdstesva storheter (kg/h, MW etc.) uttrcker totala mägde uder tdstervallet (utsläppt mägd kg, eerg MWh) är käedom om varaktghetskurva vktg. I europesk mljölagstftg begräsas mljöfarlga utsläpp så att vssa toppar bara får förekomma vssa tder och ma kräver (Großfeuerugsverordug Tsklad) att fabrkeras mljöövervakgsdator preseterar varaktghetskurvor och de frå dessa kurvor beräkade kotrollstorhetera för mljögraskare. kom- Om ma stället för dmesoell t-ael täker sg e dmesoslös ael t mer e avläsg på ael att uttrcka saolkhete för >. F( v ), är att fördelgsfuktoe ut- Me deftoe på fördelgsfuktoe, trcker saolkhete för <. Saolkhete för > v v är då F ( ) t t. v v tma Om ma (frå stckprov, tdgare erfareheter etc.) käer tll vätevärdet µ och stadardavvkelse σ och atar att storhete är fördelad på ågot vsst sätt, t.e. ormalfördelad eller logartmskt ormalfördelad, ka e teoretsk varaktghetskurva ekelt kostrueras och upprtas. Frå ett värde v beräkas ett motsvarade tdsvärde, elgt t var t ma ) t ( F( )) (4.) var ( v ma v v t var ( v ) tma f ( ) d (4.) där f () är frekvesfuktoe för varabel. Om v aser att varabel är ormalfördelad ka v defera de ormerade storhete X elgt och dea har frekvesfuktoe Itegralfuktoe X µ (4.3) σ X ϕ ( X ) ep (4.4) π X Φ( X ) ϕ( X ) dx (4.5) fs tabellerad. 30

31 Frå ett gvet värde på v beräkas alltså X och Φ (X ) (frå tabell) och varaktghete beräkas frå t var ( Φ( )) ( ) t X (4.6) v ma De frå ormalfördelge beräkade varaktghetskurva ka rtas samma dagram som e observerad stapeldagramkurva för kotroll av ormalfördelge. Vsar det sg att ma har god överesstämmelse med ormalfördelge ka ma utföra beräkgar drekt med teor för ormalfördelg. Om de tressata storhete är beräkad frå e uppmätt storhet (t.e. effekte för ett vdkraftverk är proportoell mot vdhastghete tredje potes) får ma te dra slutsatser frå de uppmätta storhetes varaktghetskurva och medelvärde, uta ma måste räka om varje pukt på varaktghetskurva. Om ma t.e. käer medelvärde och stadardavvkelse för de storhet som ka mätas, ka ma kostruera varaktghetskurva för dea med hjälp av ormalfördelge, och seda räka om varje -värde för att få de a varaktghetskurva. Varaktghetskurvor ka äve sammalagras. Om t.e. flera fabrksavdelgar kosumerar åga och elektrctet elgt olka varaktghetskurvor (kosumtoskurvor) ka ma med matematsk sammalagrg producera de totala kurvora (behovskurvora) med vlka seda fabrkes kraftavdelg strs och med vlka köp eller försäljg av eerg optmeras. Mera om sådat framkommer kurse Processdustrell eergoch mättekk. Eempel Iflödet av e mellaprodukt tll e kemsk polmersatosreaktor är medeltal 4,5 kg/h. Flödet varerar lågsamt så ma aväder tm-medelvärde och reaktor är gåg ca 800 h/år. Frå ett atal tm-medelvärde ha ma beräkat att stadardavvkelse är ugefär 4 kg/h och ma aser att mellaproduktflödets tm-medelvärde är ormalfördelade. Utflödet av polmerserad produkt varerar så att det te är ljärt beroede av flödet av mellaprodukt eftersom utbtet mskar är reaktor pressas med ett större flöde. Geom regressosaals har ma fut att utflödet (vd kostata värde på alla adra processparametrar) ka beskrvas av ekvatoe utfl. fl.,38 l kg/h kg/h 3

32 Utför följade beräkgar umerskt. eräka totalmägde mellaprodukt (kg) per år.. eräka och upprta mellaproduktflödets varaktghetskurva. 3. eräka och upprta slutproduktflödets varaktghetskurva. 4. eräka produktflödets artmetska medelvärde och totalmägde produkt (kg) per år Statstska tester Prcpe för statstska tester geomgcks matematkkursera. Här preseteras ett ltet avvkade schema. Esklda observatoers fördelg (ormal, log-ormal) För det mesta ka esklda observatoers fördelg beskrvas atge med ormalfördelge eller med logartmsk ormalfördelg. De ormerade varabel X ka beräkas elgt X (5.) s där v alltså aväder stadardavvkelse för de esklda observatoera, s. Saolkhete för att e eskld observato < Φ(X ) eller lka med fördelgsfuktoe (de tegrerade frekvesfuktoe) som fs tabellerad. Om v t.e. vll veta om vlket tervall de esklda observatoera lgger med 95 % saolkhet, ser v frå tabell att X α X,96 (5.) 0,975 vlket betder att det udersökta tervallet är,96 s < < +, 96 (5.3) s Vll ma utföra kalkler för varabler som följer logartmsk ormalfördelg deferas X med hjälp av de logartmerade storhetera. Samma tabell för Φ (X ) avädes. 5. Medelvärdets fördelg (t-fördelg) Om de esklda observatoera är stokastska, är e medelvärdet e stokastsk varabel med vätevärde och stadardavvkelse s. V aväder u alltså medelvärdets stadardavvkelse s s (5.4) 3

33 som sabbt mskar är atalet observatoer ökar. De ormerade storhete för medelvärdet t är deferat elgt µ t (5.5) s Saolkhetsfuktoe följer t-fördelge som fs tabellerad för frhetsgradera ν (5.6) Om v u vll veta om vlket tervall vätevärdet µ lgger med 95 % saolkhet, eller vätevärdets 95 % kofdestervall bör v frå tabell söka [ ν ] t α t0, 975 (5.7) T.e. för 0 frhetsgrader är detta t-värde,764. För frhetsgrader blr t-värdet,96 eller samma värde som för ormalfördelge. α kallas sgfkasvå eller rskvå. Ett 95 % kofdestervall för medelvärdet vd 0 frhetsgrader, eller det tervall om vlket 95 medelvärde skulle lgga om ma gjorde 00 a mätserer med mätgar varje är följaktlge Hpotese µ > µ 0 (ekelsdg) µ V beräkar: t ER 0 och ν s Frå tabell: t [] ν t T α Hpotese accepteras om t > t,764 s < µ < +, 764 (5.8) ER T s Hpotese µ < µ 0 (ekelsdg) µ V beräkar: t ER 0 s Frå tabell: t T t α [] ν Hpotese accepteras om t > t och ν ER T Hpotese µ µ 0 (dubbelsdg) µ V beräkar: 0 t ER s Frå tabell: t T t α [] ν Hpotese accepteras om t > t ER och ν T 33

34 Hpotesera µ µ, µ > µ, µ < µ har tekskt stor betdelse och skall lösas på olka sätt beroede på stuatoe. Om prove härstammar frå samma populato och proves ordgsföljd te verkar har ma e stuato som är aalog med e evägs varasaals, se kaptel. I själva verket får ma med de metod som eda skall beskrvas samma resultat som om ma räkade elgt e evägs varasaals. Det ka t.e. vara e sats av ett äme och ma vll aalsera kocetratoe av ågo kompoet med två olka metoder, t.e. ttrmetrskt och fotometrskt. Ma har kostaterat att ma får olka resultat med de två metodera, och vll testa om skllade resultat är statstskt sgfkat eller te. Ma st. prov som ma aalserar med de ea metode och st. prov som ma aalserar med de adra metode. lla prov tas frå samma sats och de skall alltså verklghete alla ha eakt samma kocetrato av kompoete fråga, ma testa edast aalsmetode. Ma beräkar de artmetska medelvärdea respektve, samt stadardavvkelsera s respektve s. Hpotese är µ µ eller ma hävdar att metodera ger olka resultat. Därefter beräkas e medelstadardavvkelse s D elgt s D ν s ν + ν s + ν där ν och ν. Det beräkade t-värdet kalkleras med t ER s D + Hpotese accepteras om t ER > t α [ ν ] där ν +. Parvsa dffeser Föregåede test ka te avädas om varje prov ka ha e aa sammasättg vlket uppträder är ma tar prov t.e. frå ett processflöde för då drukar mätmetoderas varas processes varatoer. Det gäller då att aalsera samma prov (ev. delat två delar) med de båda metodera varvd ma för det första provet erhåller och. Därefter tar ma ett tt prov, som alltså ka ha sammasättg och erhåller och o.s.v. För varje par bldas skllade, där,, 3,...,. 34

35 Seda ka ma beräka de a dfferesvarabels artmetska medelvärde, och stadardavvkelse på helt ormalt sätt. s Om > 0 uppställs hpotese µ > µ eller µ > 0. Om < 0 uppställs hpotese µ < µ eller µ < 0. Dessa hpoteser testas med ekelsdga t-tester elgt t ER s 0 och hpotese accepteras om t [ ν ] t ER där ν. > α 5.3 Varases fördelg χ -fördelg, F-fördelg Om varase (och stadardavvkelse) skattats frå epermet, är äve varase (och stadardavvkelse) e stokastsk varabel med eget vätevärde och stadardavvkelse. Varase följer e s.k. χ -fördelg (ch-square) och dea storhet defe- ras De valgaste hpotesera är: Hpotese σ > σ 0 s ( ) V beräkar: χ ER och ν σ 0 χ χ ν Frå tabell: [ ] T a Hpotese accepteras om χ > s ( ) χ (5.9) σ ER χ T Hpotese σ < σ 0 s ( ) V beräkar: χ ER och ν σ 0 χ χ ν Frå tabell: [ ] T Hpotese accepteras om χ < a ER χ T Kvote mella två varaser följer F-fördelg (Fscher) och dea mcket vktga fördelg avädes valge för test av följade hpotes: Hpotese σ > σ s V beräkar: F ER och ν samt ν s F F ν ν Frå tabell: [ ] T α, 35

36 där och är atalet observatoer mätsere respektve. Hpotese accepteras seda om F >. ER F T Hpotese σ σ s V beräkar: F ER och ν, ν där s är de större varase. s F F α ν, ν. Frå tabell [ ] T Hpotese accepteras om F ER > F T Målsättg 6. llmä försöksplaergsteor Då ma udersöker dustrella processer, har ma regel ett stort atal varabler, som ka vätas ha betdelse. Detta är fallet oberoede av om ma arbetar laboratoreskala, halvstor skala eller fabrksskala. tt udersöka alla dessa varablers verka processe är mcket tdsödade och fråga om de mdre betdelsefulla varablera äve oödgt. I ett tdgt skede av udersökge har ma såluda behov av metoder, med vlka de varabler, som har de största betdelse ka tas fram, så att udersökge främsta rummet ka rktas på dem. De klassska metode De klassska metode att udersöka e varabel taget, meda de adra hålls på kostata våer, är fråga om att sabbt få formato om processe e effektv och äve prmtv metod. Äve om ma öjer sg med att edast söka ljära treder och såluda mäter verka av e varabel då dess värde hålls på edast två våer, bör mätge på vardera vå upprepas åtmstoe e gåg för att ma skall kua bedöma mätvärdeas stokastska sprdg. Vll ma med dea metod udersöka huruda verka tre varabler, u och v har på e beroede varabel processe, ka ma först hålla u och v kostata t.e. på värdea u och v samt göra dubblerade försök på värdevåera och. Ma mäter alltså., u, ) ( v., u, ) ( v 3., u, ) ( v 4., u, ) ( v Ur resultate av de dubblerade försöke ka ma skatta vätevärde (, u, v ) och (, u, v) samt beräka stadardavvkelse för mätresultate, varvd atalet frhetsgrader dock är edast. Iverka av varabel på beräkas u (, u, v) (, u, v ) 36