Normalfördelningar (Blom Kapitel 8)

Transkript

1 Matematsk statstk STS vt Begt Rosé Normalördelgar (Blom Kaptel 8 Deto och allmäa egeskaper DEFINITION : E stokastsk varael sägs vara ormalördelad om de har ördelg med täthetsukto med utseede elgt eda; (x e ( x m, - < x <, ( där parametrara m och satserar - < m < och > 0. Kommetarer : (. Att har ördelge ova skrvs kort : N( m,. (. Namet ormalördelg är på sätt och vs ltet olycklgt, me det är så väletalerat att det ka ma te ädra på. Dea ördelgstyp är te "ormalare" ä e mägd adra. Syoyme Gauss - ördelg örekommer dock. Måga kokreta slumpvaraler är dock ormalördelade, åtmstoe med god approxmato. De cetrala gräsvärdessatse, som ehadlas ästa avstt ger åtmstoe vss teoretsk örklarg av detta örhållade. Hur ser e ormalördelg ut stora drag? Vd etertake ses att ör ördelge med täthet elgt ( gäller öljade ; (a (x är symmetrsk krg x = m, vlket medör att vätevärdet ör är m. ( Ju större är, desto "plattare" är (x, vlket eär att har större varaltet krg stt vätevärde ju större är. Sake llustreras edaståede gur. Att (x elgt ( verklge är täthetsukto ör e stokastsk varael öljer av att ( (x > 0 (vlket lätt kotrolleras, ( öljade tegralormel gäller (vlke dock är kråglg att evsa, och v gör det te heller ; e x dx. ( tterlgare ett par tegralormler ages eda. De är aktskt rätt lätta att evsa om ma etraktar ( som gve, me v vsar te dem heller.

2 m (x x e ( x m dx m, (3 (x m e dx. (4 Vd etertake ses att ormlera (3 och (4 eär öljade. SATS (Blom Sats på sda 74 : E s.v. med täthetsukto elgt ( har vätevärde, varas och stadardavvkelse elgt eda ; E( = m, V( =, D( =. Kommetar : Ovaståede resultat eär att parametrara m och har sa valga eörder, m = vätevärde och = stadardavvkelse. Satsera eda preseterar udametala egeskaper hos ormalördelade s.v. SATS (Blom Sats ' på sda 74 E ljär ukto av e ormalördelad s.v. är återge e ormalördelad s.v.. Låt N(m,, och sätt ör kostater a och : = a +. Då gäller ; N( a m +, a. SATS (Blom Sats 3 på sda 77 Summa av två oeroede ormalördelade s.v. är ormalördelad. Låt och vara oeroede s.v. sådaa att N(m, och N(m,. Sätt Z = +. Då gäller ; Z N( m m., Geom att komera resultate de två satsera ovakommer ma (uta större svårghet tll edaståede allmäare resultat. SATS (Blom Sats 3', sd 78 E ljärkomato av (godtycklgt måga oeroede ormalördelade s.v. är återge e ormalördelad s.v.. Låt,,, vara oeroede stokastska varaler sådaa att N(m,, N(m,,, N(m,, samt låt c, c,, c vara kostater. Sätt ; Z = c + c + + c. Då gäller ; Z N( c m, c. (5

3 Stadardserad ormalördelg Normalördelge som har vätevärde m = 0 och stadardavvkelse = kallas stadardormalördelge. Dess täthetsukto och ördelgsukto eteckas med (x respektve (x ; x / (x e, - < x <, (6 x ( x e t /, - < x <. (7 Neda vsas uktoeras graer. Fördelgsuktoe (x är e vktg ukto, me de är umerskt otrevlg. Dess värde s därör taulerade de lesta läroöcker och taellamlgar saolkhetsteor, l.a. Bloms ok och Formel - och Taellsamlge. Normalt är (x taulerad ara ör x 0. : s värde ör egatva x öljer dock rå att (x är symmetrsk krg x = 0, vlket medör att (- x = - (x. Beräkg av saolkheter som gäller e allmä N(m, - ördelad s.v. ka återöras på de taulerade värdea ör stadard - ormalördelge geom att aväda edaståede resultat, vlket öljer rå Bloms Sats '. Det eär att de stadardserade versoe av e ormalördelad s.v. är stadardormalördelad. m När N(m, gäller att * N(0,. (8 Numersk eräkg av ormalördelgssaolkheter dskuteras på sdora 75 och 76 Bloms ok. 3 Några ord om härledg av Bloms Satser ' och 3 För att vsa Sats ' ka ma aväda resultatet Exempel på sda 00 Blom. Det säger att om är e s.v. vars ördelg har täthetsukto (x så har de s.v. = a + också ördelg med täthet, och dess täthetsukto ås av ; y (y (. (9 a a Med elgt ( ger ormel (9 ; (y a e (( y / a m a (( y ( am - ( a e. (0 Frå ( ses att högerledet (0 är täthetsuktoe ör N( a m +, a. 3

4 I Sats 3 hadlar det om att estämma ördelge ör summa av två oeroede s.v. och, vlka åda har ördelgar med täthetsukto. Då har också summavarael + ördelg med täthet, och att täthetsuktoe ör + ås geom att alta och (ormel ( på sda 05 Blom ; (z (x (z xdx. ( Med de aktuella ormalördelgstäthetera och ( kommer ma, eter åtskllgt öreklgs - joade, ram tll att + är de påstådda ormalördelgstäthete. Ltet mer detaljer ges på sda77 Blom. 4 Om uppträdadet av summor av måga oeroede stokastska varaler De resultat som preseteras det öljade är tllämplga e mägd olka kokreta sammahag. V ör dock resoemaget termer av e specell, me praktke valgt örekommade, stuato. Ma vll mäta värdet m på e emprsk storhet (yskalsk, kemsk, ologsk eller ågot aat. Tyvärr örekommer störgar mätprocesse och mätgara lr ehätade med slumpmässga mätel. Följade modell örutsätts eskrva utalle,,...,, av stycke mätgar ;,,, är oeroede s.v. som alla har samma ördelg. ( Vätevärdet - ördelge är de sökta storhete m, dvs. E( = m. (3 Kommetar : Mer vardagsspråklgt uttrycks ( och (3 med : Mätgara är ehätade med slumpmässga mätel, me te med systematska mätel. Det ma valge gör praktke är ma mätt "samma sak" lera gåger me ått varerade resultat, är att ma eräkar medelvärdet av uppmätta värde. å mer eller mdre tutva gruder tycker ma att det ger e säkrare skattg ä varje eskld mätg. Ma etraktar edaståede s.v.... (, som rukar kallas stckprovsmedelvärdet. (4 4. Stora tales lag Ger saolkhetsteor stöd ör att ( aktskt är e säkrare skattg ä e eskld mätg? För att svara på råga etraktas edaståede saolkhet ; ( m, där är ågot postvt värde, (5 ( dvs. saolkhete att stckprovsmedelvärdet ( avvker eller mer rå vätevärdet m. E egräsg av saolkhete råga ås av de tdgare ämda Tjeysjovs olkhet (Blom sda 55. Med de och ormel V( / (Blom sda 54 ås ; ( ( V( ( ( m. (6 De det här sammahaget mest tressata aspekte på (6 är hur (= atalet mätgar kommer. Det åters ämare, vlket ger att egräsge, och därmed också saolkhete av tresse, går mot 0 är, och detta gäller oavsett hur ltet (eller stort är. Därmed har öljade resultat vsats. 4

5 SATS Stora tales lag (Blom Sats 5, sda 55 : Uder ( och (3 gäller ör vlket som helst > 0 ; ( m 0 är. (7 ( Kommetarer : ( E alteratv, me ekvvalet, ormulerg av (7 ges eda. Så ormulerar Blom sake ; ( ( m - m är, ör varje > 0. (8 I ord eär (8 att stckprovsmedelvärdet atar stt värde godtycklgt ära vätevärdet m, ara det är aserat på "tllräcklgt" måga oservatoer. Alteratvt : När atalet mätgar växer mot oädlghete lr stckprovsmedelvärdet e helt precs skattg av m. ( De stora atales lag vore kaske ett ättre am ä "stora tales lag". Resultatet gäller ju ett stckprovsmedelmärde som aserat på ett stort atal oservatoer, te på oservatoer som är stora tal. Hur som helst, stora tales lag är det etalerade amet. ( Ieär de stora tales lag egetlge ågot djupsgt? Äve om ltet trxg matematk aväts ör att komma tll lage, ka dskuteras om de te ara säger ågot som ma tror på ädå, på re tuto. De emprska utgågspukte ör saolkhetsteor var ju att "relatva rekvesers stalserar sg låga loppet". Stora tales lag säger att "medelvärde stalserar sg låga loppet", och det är ju ästa samma sak. Det tror ma (väl? på äve om ma te sett ågot matematskt evs ör det. Det vore tll och med märklgt om ma te om teors ram ka rättärdga det som var själva utgågspukte ör hela teorygget. 4. Cetrala gräsvärdessatse Det som sägs Kommetar ( ova, låter kaske ltet edslåede. Ka te saolkhetsteor prestera resultat som ma te ka "käa sg ram" tll ädå? Jo det ka de, och det gäller särsklt det som kommer häräst. V ortsätter att etrakta saolkhete ( ( m. Stora tales lag säger att de saolkhete går mot är atalet mätgar växer. Det är ju och ör sg tressat, me ma skulle vlja kua ge svar på öljade mer pregata råga. Vad är värdet på ( m ör ett agvet > 0? (9 ( V örjar med att esvara (9 uder öljade högst specella örutsättg på (de gemesamma ördelge ör de s.v.,,, :,,, är alla ormalördelade N(m,. (0 Uder ( och (0 gäller, etersom ( är e ljärkomato av oeroede ormalördelade s.v. (se t.ex. Följdsats, sda 78 Blom ; N( m, /. ( ( Detta ger ; / ( m x / ( ( m ( e dx. ( / / / 5

6 Därmed har v svar på råga (9 uder de specella örutsättge (0. Ä har dock get djupsgt ramkommt, me u kommer det. Formel ( är rktg med god approxmato uta örutsättge att - var alera är ormalördelade. De år ha stort sett vlke ördelg som helst. Resultatet råga, som går uder amet cetrala gräsvärdessatse, ka ges dverse olka, me sak ekvvaleta ormulergar. Bloms grudormulerg är elgt eda. SATS Cetrala gräsvärdessatse (Sats 4 på sda 80 Blom : Låt,, 3 vara oeroede lkaördelade s.v. med vätevärde E( = m och stadardavvkelse D( =, och låt = Då gäller ; ( m x / m ( ( e dx (3 är. Kommetarer : ( Nytta med cetrala gräsvärdessatse är att gräsvärdesresultatet (3 rättärdgar öljade approxmatosresultat. ( m ( e x / gäller med god approxmato om är "tllräcklgt stort". (4 ( E aturlg öljdråga tll det sst sagda är : Hur stort skall vara ör att vara "tllräcklgt stort", dvs. så att approxmatoe (4 verklge är "god"? Tyvärr s get ekelt svar. Ilad räcker = (vlket det gör om är ormalördelad, lad krävs = 00. Svepade ka öljade sägas. Ju mdre ördelge ör lkar e ormalördelg, ju större ehövs ör god approxmato (4. I statstksammahag, som v sart kommer tll, aväds ota (de grova tumregel : "Approxmatoe ugerar ra är är 0 eller mer". ( Notera att ge örutsättg görs om type av ördelg ör - varalera. De år vara vlke som helst av dskret, kotuerlg eller "ladad". (v E teksk örutsättg ör att cetrala gräsvärdessatse skall gälla är <. Det vllkoret är uppyllt ästa alla praktska stuatoer, så v ekymrar oss te om vad det rktgt går ut på. (v Namet "cetrala gräsvärdessatse" kommer av att resultatet råga utgör ett av de cetrala (= vktga resultate saolkhetsteor. (De är "juvele saolkhetsteors kroa". Ieörde av cetrala gräsvärdessatse ka ormuleras på öljade sätt. SATS A : Fördelge ör e stokastsk varael som är e summa av oeroede lkaördelade stokastska varaler ; = + + +, (5 lgger uder allmäa örutsättgar ära de ormalördelg som har sammavätevärde och varas som, ara är "ågorluda stort". dx 6

7 Ett kortsätt att skrva det som sägs satse ova är ; Fördelge ör N(E(, D(, med god approxmato ara är "tllräcklgt" stort. Blom aväder eteckgar (se sda 8 av type AsN( E(, D(, där As står ör asymptotsk. Så lågt har v dskuterat resultatet Sats A uder örutsättgara att - varalera dels är oeroede dels är lkaördelade. De örutsättgara ka ma aktskt släppa åtskllgt på, och de asymptotska ormalördelgsorme uppträder ädå. Neda ormuleras ett par mer geerella resultat. V går dock te på att örsöka precsera de "allmäa örutsättgar" som åeropas. SATS B : Låt,,, vara oeroede s.v. med vätevärde E( = m och stadardavvkelser D( =, =,,,, och låt vara elgt (5. Då gäller uder allmäa örutsättgar ; x / ( m ( e dx, är. I Sats B släpps på örutsättge att - varalera skall vara lkaördelade. Ma ka, som sagt, också släppa på att skall vara oeroede. SATS C : Låt,,, vara s.v. med vätevärde E( = m och låt vara elgt (5. Då gäller uder allmäa örutsättgar ; x / ( m D( ( e dx, är. 7