SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)"

Transkript

1 AMMANFATTNING AV KUR 6 TATITIK (Newbold katel [7], 8, 9,, 3, 4) INLEDNING 3 Proortoer 3 Proortoer 4 Poulatosvaras 5 KONFIDENINTERVALL 6 Itutv förklarg 6 Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall 7 Tfall. ök KI för µ, käd 8 Tfall. ök KI för µ, okäd Tfall 3 ök KI för µ, fördelg okäd Tfall 4. ök KI för π 3 Tfall 5 ök KI för π π 5 Tfall 6 ök KI för 7 Tfall 7:A. ök KI för µ µ (matched ars) 9 Tfall 7:B ök KI för µ µ ( stort, matched ars) Tfall 8:A. ök KI för µ µ ( & oberoede stok.var.) 3 Tfall 8:B ök KI för µ µ ( & ober.), 6 HPOTEPRÖVNING 7 Itutv förklarg 7 Arbetsgåg vd utförade av hotesrövg 9 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och käd 3 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och okäd 3 Tfall 3. Testa π 35 Tfall 4A. Testa µµ är 37 Tfall 4B. Testa µµ är 39 Tfall 4C. Testa µµ, okäd fördelg, stora stckrov 4 Tfall 5. Testa, N.f, oberoede stckrov 4 Eemel : 43 Eemel 3, testa dubbelsdgt: 43 trka 45 ENKEL REGREION 48 Itutv förklarg 48 Hotestestg 48 Korrelatoskoeffcete 5 Regressosmodelles förklargsstrka 5 Determatoskoeffcete, förklargsgrad 54 Predktostervall 55 Kofdestervall för redktosutfall 55

2 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. ICKEPARAMETRIKA TET 57 Parvst beroede/ matchade stckrov 57 Tecketest 57 Wlcoos rakade tecketest 6 Oberoede stckrov 6 Ma-Whtes U-test 6 Wlcoos ragsummetest 64 earmas ragkorrelato 65 ANPANINGTET 67 Itutv förklarg 67 ecfcerade saolkheter 67 Okäda oulatosarametrar (osecfcerade saolkheter) 69 Bowma-heltos ormaltetstest 7 P 73 KOM IHÅG PÅ TENTAN 74

3 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 INLEDNING Poulatosstorhet Poulatosmedelvärde Poulatosadel Poulatosvaras Parameter Estmator Estmat µ π s Estmator: tora bokstäver Estmat: må bokstäver Närmare förklarg å ästa sda. KOM IHÅG FRÅN TAT. ( ) ( µ ) P ( ) ( ) ( ) Parametrara har de för de stokastska varabel de sftar tll, P µ detta fall. Var :s beräkade värde elgt modell medelvärde för verklgt -värde P robablt, dvs saolkhet för ett vsst värde. Σ summatecke, dvs. summera alla aktuella värde. tadardavvkelse är varase och vsar å hur stor de fövätade srdge frå det förvätade medelvärdet, är. Om v har ett stort stckrov med medelvärde där frå e oulato med medelvärde µ ( m e )och varas ( sgma två ) så har stckrovet medelvärde E där ( ) µ och stadardavvkelse Vd hergeometrsk stuato (dvs. då stckrovet är stort jämförelse med oulatoes storlek, valet har gjorts uta återläggg) så får v N N Om oulatosfördelge är ormal, så är stckrovets fördelg ormal. Läs: Det förvätade värdet för -bar (som är, eller om ma så vll, vlket är medelvärdet för stckrovet) är µ (alltså medelvärdet för oulatoe). Ite så kostgt som det ser ut alltså, v förvätar oss bara att stckrovet har samma medelvärde som oulatoe. Varableras saolkheter fördelas å ågot sätt över tallje, med e area som alltd ugår tll (%). Fördelge ka vara att varabels saolket ugår tll samma värde för varje gltgt tal å tallje, då ser det ut som Newbold å sda8 (e frkat höjer sg över tallje). Normalfördelges utseede däremot, llustreras lte överallt det här dokumetet och eemelvs å sda 87 Newbold. V brukar skrva hur fördelgara ser ut, å följade vs: ~ N µ ;, där : de aktuella stokastska varabel ( ) : är fördelad.. N : ormalt µ : med vätevärde.. : med varas. Iblad aromerar v fördelgar med adra fördelgar, valgtvs tll ormalfördelge.

4 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 Proortoer Estmator: Estmator uskattar de stokastska (slumartade) varabel tll ett vsst värde, eftersom v te har ågo formato om de rktga stokastska varabel, uta bara formato om stckrovet. Estmate är de tal v aväder uträkgara, alltså de tal som går stckrovet. E E E E Estmat: ( ) ( ) π π B( ; π) Om: π( π)>9 gäller, aromatvt å är ~ N( µ ; ) tckrov: E ρ E E π Var ( ) ( ) π ( ρ ) Var Var Var π ( π ) Proortoe e oulato som har e vss egeska π ( π ) Bomalfördelg är v har e stuato med success falure. uccess (%) Falure (%) π success falure När v brter ut ur varase Glöm te att kvadrera, eftersom varase är kvadrerad! Ite mst fall där v ska räka med *oulato jämfört med *oulato, och dlkt. Då blr medelvärdea lätta att räka med, me te varase. Om: π ( π ) 9 å är gäller, aromatvt ~ π N π ; ( π ) aolkhetsfördelge för stckrovsadele.

5 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre KOM IHÅG PÅ TENTAN krv tdlgt och var strukturerad. Att skrva fördelge korrekt ger måga oäg, slarva därför te med att skrva ut de. De hjälstrukturer som v har arbetat med har vart just hjälstrukturer. Därför bör te ukt ages som ukt, uta som modellatagade. Om samma msstag återkommer flera gåger å olka frågor, så kommer de att ge oägavdrag för varje eskld gåg. Återreferera så hög må som möjlgt tll tdgare besvarade delsvar (a, b, c...). Referera däremot absolut te mella frågor (,, 3 ). Age vlke modell som kommer att avädas för att besvara fråga. Om tde tar slut, så aväd de otato som aväts uder kurse, aars blr det svårt för de som rättar att följa resoemaget och förstå vad som står. krv te för mcket, då ser det oftast ut för de som rättar som att de som skrvt te vet vad de gör. Varato/varabltet varas. Verbal tolkg Verbal tolkg slutsats. lutsats: Förkasta H lutsats: Förkasta ej H Verbal tolkg: Data vsar å att (alteratv). Verbal tolkg: Data vsar te å att (alteratv). Esdgt test Verbal tolkg: Age testets rktg. Tll eemel: Medelvärdet förefaller vara ostvt. Aväd ord, te och. Varas och formler Om å: FEL: RÄTT: + s s s

6 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Poulatosvaras Om oulatosvarase är okäd, så ka ma skatta de med stckrovets varas: ( ) Om N(µ; ) och v har ett stckrov,, 3 där ( ) gäller, ~ χ så har v att ( ) Ch-två -fördelg. Fördelas med ett vsst atal Degrees of freedom, frhetsgrader, som beteckas υ och detta fall ugår tll -. Täk: Hur stor frhet har varase? Ju större stckrov, desto större atal frhetsgrader. Om v tttar å Kofdestervall, tfall 6, så betder detta att det tervall v beräka utfrå stckrovsdata för var de rktga varase (oulatoes varas) lgger, blr NÄVARE med TÖRRE ANTAL frhetsgrader. Alltså, ju fler frhetsgrader (dvs: ju större stckrov v har), desto säkrare ka v vara å att de data v får frå stckrovet stämmer överes med oulatoe. υ χ tervall GLÖM INTE! Alla de arametrar och stokastska varabler v aväder, skulle aturlgtvs kua heta recs vad som helst. skulle kua heta K (som kossa) och π skulle kua heta KA (som kossa-adel). Det är därför som det är så vktgt att v berättar vad v kallar för vad och faktskt deferar våra stokastska varabler. Alteratvt så ka e erso som aser sg ha humor och gott om td, frågå de beteckgar som Newbolds femte ulaga aväder, och därmed ataglge reta gallfeber å de stackars semarelärare som har studeters halvt oläslga tetasvar att rätta geom. På samma sätt är arbetsordgaras ukter -5 och -7 bara hjälmedel för att v ska göra klart för oss själva att v tagt med alla steg beräkgara. I stuatoer där v te ka aväda oss av dessa tera beteckgar (som tetor), ska v aturlgtvs ska umrerge och stället skrva utförlgt vad det är v gör, så att adra ä v själva vet vad v gjort. När e tetafråga eller dlkt ska besvaras, är det alltd vktgt att det första v gör är att formulera själva roblemställge, aars blr det både svårt och tråkgt att försöka lsta ut vad v vll med alla våra edklottrade sffror.

7 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 KONFIDENINTERVALL Itutv förklarg När v har ett stckrov frå e oulato så ka v te räka med att de data v får stckrovet stämmer överes med de data som gäller för oulatoe. V ka då ta fram tervall, med e vss s.k. kofdes (dvs. trovärdghet), som vsar å ugefär var de egetlga värdea lgger. Om v väljer att sätta vår öskade sgfkasvå för trovärdghet tll 5 %, så kommer 95 % av alla stckrov v tar att vsa å att oulatoes medelvärde lgger om det tervall v får fram. Aorluda uttrckt så kommer det att vara trolgt att 5 % av alla beräkade kofdestervall är felaktga är v går tllväga å detta sätt. Normalfördelgstabeller vsar hur måga stadardavvkelser (rote ur varase) v måste aväda är v sätter ett så trovärdgt tervall för ormalfördelade data. V ka då slå u ett lämlgt värde tabelle. Motsvarade gäller för adra tabeller är det förelgger adra fördelgar, då ka det också vara aktuellt att aväda sg av ett vsst atal frhetsgrader, vlka är agvet hur ma får fram de tfall då frhetsgrader ska avädas. Frhetsgrader ka sägas vara hur stor frhet v bör ge varase gvet att v har e vss storlek å stckrovet. Med ormalfördelge så aväder v oftast ett fast värde för varje sgfkasvå och som te åverkas av stckrovets storlek och om v käer tll varase eller te. Om v te käer tll fördelge för data, brukar v behöva göra ett modellatagade, som tfall 3. Dea måste vara ormal för medelvärdet om v ska kua ta fram ett tervall. Om v behöver komesera osäkerhet gällade varase (hur brett varatoe värdea sträcker sg), aväder v t-fördelge, vars svasar sträcker sg lägre ut åt sdora. I tfall och är det µ, medelvärdet för oulatoe, v söker geom att göra ett kofdestervall utfrå de data v fått frå stckrovet. I fall har v varase gve (tll eemel geom hstorsk erfarehet, v har gjort lkadaa tester tdgare och vet hur stor varatoe brukar vara mella värdea), me det är ett ovalgt fall. Oftast brukar det se ut som fall, där varase för oulatoes värde är okäd och v aväder stckrovets varas stället (vlket ger större osäkerhet, varför v aväder de geerösare t-fördelge). I tfall 4 går v över tll att testa roortoer. Det som tresserar oss är ett tervall för e adel av ågotg, tll eemel hur stor adel som tcker JA e vss fråga. Där har v e bomalfördelg grude, me aromerar med ormalfördelg är stckrovet är tllräcklgt stort. Om stckrovet te är tllräcklgt stort så ka v te alls göra ågo hotesrövg för roortoer. I tfall 5 testar v därefter skllade mella två oulatoers roortoer. Tfall 6 hadlar om att ta fram ett tervall för varase, dvs. varatoe hos oulatoes värde. I grude måste v som valgt ha e ormalfördelg, då blr fördelge för varatoe χ -fördelge. Mssa te att dea fördelg te är smmetrsk, så som ormalfördelge är. Alltså kommer v te att kua aväda oss av det sätt som v tar fram kofdestervall för medelvärdet, där v räkar med att

8 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 7 avstådet är lka lågt både uåt och edåt frå stckrovsmedelvärdet (för e vss saolkhet) för var det egetlga oulatosmedelvärdet lgger. Istället så skftar te varase lka mcket edåt som uåt, av förklarlga skäl. Täk bara logskt är du tttar å χ -fördelges graf. Tfall 7 är lättast att täka å som ett test av e vktmskgsmetod. Hur stor är chase att medelvkte (medelvärdet) verklge blr lägre för oulatoe är v har e vss storlek å stckrovet och e vss varas? För att sla räka med korrelato/covaras, vlket v ms frå kurs 6 att det är e kråglg rocedur, så för v e varabel D som får stå för dfferese mella de två oulatoera. Ej att förväla med tfall 8, där v mäter skllade mella två oberoede oulatoer, v har då alltså te att göra med ett fall stl med före-efter. Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall. Frågeställg, defto av stokastska varabler och vad v vet.. Nödvädga modellatagade. 3. Estmator(er) med fördelgar. 4. Aväd data och beräka kofdestervallet. 5. Tolkg av resultatet ord.

9 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 8 Tfall. ök KI för µ, käd. N.f Normalfördelad data. Vktg fo för hela ugfte. Poulato µ N.f. tckrov 3,4 6 PUNKTETIMAT ökt : Beräka 95% kofdestervall för medelvkte för kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ N µ; 6 tckrov, 6 6. Iga modellatagade behöver göras. 3. Estmatorer och fördelg : är estmator för µ. Då ~ N µ; följer att 6 tadardsera: µ Z ~ N ( ; ) 4. Ett 95 % KI ges av Att stadardsera ebär att dra oulatosvärdet frå stckrovsvärdet och dela med stadardavvkelse. För ormalfördelge ebär det att de fördelg som följer har oll medelvärde och ett varas. Fördelge för Z (alltså ormalfördelge) httar v tabell slutet av stat.boke. För att slå u z, 5 så letar v u det värde för z som ger,95, dvs,64. ± z,5 3,4 ±,64 6 (7,5 ; 37,3)

10 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Ett 95 % KI för geomsttlg vkt hos kossor som gllar gräs, ges av (7,5 ; 37,3).

11 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. Tfall. ök KI för µ, okäd. Poulato µ N.f. tckrov s ökt : Beräka 95% kofdestervall för medelvkte hos amerkaska kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e amerkask kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ( ; ) N µ tckrov,,,..., 3 ~ Ej ödvädgt är estmator för µ. Eftersom är okäd, skattar v de med stckrovets varas,. s ( ) ( ) 3 3 ± 4 ( ) 3 ( ) 4 Praktsk uställg för att räka ut (blad aat) varas.

12 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. s ( ) Eftersom är okäd och skattad med, vll v våra beräkgar ge uttrck för de ökade osäkerhete om oulatoes varas. t-fördelge komeserar dea osäkerhet. Frhetsgradera ka sägas vara ett sätt komesera u så att kofdestervallet blr ågot geerösare. Ju större stckrov, desto lägre blr därmed varase, eftersom större stckrov ger mskad osäkerhet. Observera att v måste veta att det fs e ormalfördelg grude för att kua aväda t-fördelge. I de här kurse får v atge ormalfördelge gve talet, har ett stort stckrov och ka aväda cetrala gräsvärdessatse, eller gör ett atagade uder ukt. s Kofdestervallet ges av ± t ; α där υ DF( frhetsgrader) 3 4 ± t ; α 7 4 ± 4, Fördelge för t httar v tabell slutet av stat.boke. För att slå u t så letar v u det värde,5 3 ; som rereseterar υ och α, dvs 4,33..5 (,573 ;, Ett 95 % KI för geomsttlg vkt hos amerkaska kossor som gllar gräs, ges av (,573 ;,573

13 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. Tfall 3 ök KI för µ, fördelg okäd. Poulato µ fördelg okäd tckrov s ökt : Beräka 95% kofdestervall för medelvkte hos jaaska kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e jaask kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : okäd. tckrov,,...,, 3. Ej ödvädgt. 3. är estmator för µ. Eftersom är okäd, skattar v de med stckrovets varas,. Då v har. ett stort stckrov/ atal stokastska varabler ( 3 ). som är oberoede 3. och följer samma fördelg så följer av cetrala gräsvärdessatse att µ aromatvt ~ N ( ; ), där (om är stort gäller också att t α ; α Z ) Därutöver är fallet detskt med fall.

14 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall 4. ök KI för π. Poulato π tckrov ökt : Beräka 9% kofdestervall för adele kossor oulatoe som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ B( ;π ) tckrov,,,..., 5 5 PUNKTETIMAT. Ej ödvädgt. 3. är estmator för π Då 5 > 4 3 5,67 π ( π ) > 9 (Newbold s.76) Eftersom π är okäd, så ( ) > 9, me Newbold ger oss gevägsregel >4 å följer av CG att, är v ersatt de okäda med dess estmator, aromatvt π π Z ~ N(;) ( ) 4. I elghet med ukt 3 ges ett 9% KI för π av ( ) ± Z α,67 ±,64,67 5 (,67)

15 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Ett 9% KI för π ges av (,59;,66)

16 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Tfall 5 ök KI för π π. Poulato π Poulato π Ordare rs å havre Etrars å havre tckrov tckrov ökt: Beräka 9 % kofdestervall för skllade mella adele kossor oulatoe som köer havre är det är ordare rs och kossor som köer är det är etrars ( π π ). Defera de stokastska varabel : kossa som köer havre tll ordare rs. Defera de stokastska varabel : kossa som köer havre tll etrars. Fördelg för estmatorera: ~ B( ; π ) tckrov,,,..., 5 5 ( ; π ) ~ B tckrov,,,..., ,67. Ej ödvädgt. 3. är estmator för π är estmator för π är estmator för π π 8 33,54 Då 5 > 4 och 33 > 4 å följer av CG att, är v ersatt de okäda med dess estmator,

17 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 aromatvt π π Z ~ N(;) ( ) och, med de okäda med dess estmator, Z π π ( ) aromatvt ~ N(;) Vlket s tur ger aromatvt ( ) ~ N ( π π ) tadardsera: ; ( ) ( ) ( ) ( π π ) ( ) ( π π ) 4. 9 % KI för π π ges av ( ) ± Z α (,67,54),85 ±,57 (,8;,4) ±,64 + ( ) ( ) + ( ) ( ) +,67 5 ~ aromatvt (,67),54(,54) + 33 N(;) Bra att vara oggra med detta mellaled, eftersom det fs adra fall där varablera te är oberoede och häs måste tas tll covaras och korrelato. 5. Ett 9% KI för π π ges av (,59;,66) Notera att det är e ostv skllad, det är fler kossor som hadlar havre vd etrars ä vd ordare rs å havre.

18 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 7 Tfall 6 ök KI för. Poulato N.f. tckrov s ökt : Beräka 9% kofdestervall för varatoe av medelvkte hos kesska kossor som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kessk kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för :. ~ N( µ ; ) tckrov,,,...,. Ej ödvädgt. 3. är estmator för. Fördelg för : ~ µ, å gäller att ( ) eakt ~ χ 4. 9 % KI för : Då N( ; ) s 9;,5 8,898 6, , 5,4,3 Udre ( ) ( ) gräs: 5, 37 χ Övre gräs: ( ) ( ) 78, χ s 9;,95 8,898 3,33 6 5,9,3 7, 7 3 6,3 6,8 4,8 8 9,5

19 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Ett 9 % KI för medelvkte hos varatoe av medelvkte hos kesska kossor som gllar att äta gräs, ges av (5,37; 78,)

20 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 9 Tfall 7:A. ök KI för µ µ (matched ars). Poulato µ Poulato µ Vkt a batgskur Vkt efter batgskur Poulatosdfferese µ D D På detta sätt udvker v att behöva behadla e evetuell covaras för varase. ökt: Beräka 9 % kofdestervall för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter. Defera de stokastska varabel : kossa a vktmskg. Defera de stokastska varabel : kossa efter vktmskg. D -,,, 3 3 Data: Kossa Vkt före Vkt efter d d Dfferese d ( ) Σ ± 8 d d tckrov tckrov d 4 3 ( d d ) 8 Dessa två behövs te förrä ukt 4.. Modellatagade: D ~ N( µ D; D )

21 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Estmator för µ D ges av D D Då D är N.f och D är okäd, gäller att D µ D t t där ~, D 4. 9 % KI för µ D ges av D D d t s d ± ;, ± t3 ;, 5 4 ±,9 4, ± 5, d ( d d ) 3 s d Ett 9 % KI för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter, ges av (-,; 9,). Observera att här är det tressat att otera att oll fs tervallet. Det betder att batgskure evetuellt te haft ågo verka å oulatoes geomsttlga vktmskg.

22 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. Tfall 7:B ök KI för µ µ ( stort, matched ars). Poulato µ Poulato µ Vkt a batgskur Vkt efter batgskur Poulatosdfferese µ D D ökt: Beräka 9 % kofdestervall för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter. Defera de stokastska varabel : kossa a vktmskg. Defera de stokastska varabel : kossa efter vktmskg. tckrov D -,,, 3 3 Data: Kossa Vkt före Vkt efter d Dfferese d 4 s 9 d tckrov 3. Ej ödvädga. 3. Estmator för µ D ges av D. D är estmator för och ersätter D. Då v har. stort stckrov/atal stokastska varabler. som är oberoede 3. och följer samma fördelg

23 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. å följer av CG att aromatvt D µ D D µ D Z ~ N(;) s s d d 4. Ett 9% KI ges av sd 9 d ± zα 4, ±, Ett 9 % KI för skllade mella medelvkte för kossor oulatoe a de geomgått e batgskur och efter, ges av (3,; 4,9).

24 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall 8:A. ök KI för µ µ ( & oberoede stok.var.). Poulato µ Poulato µ Kvgor som gllar att äta gräs Kalvar som gllar att äta gräs tckrov tckrov ökt: Beräka 95 % kofdestervall för skllade mella medelvkte för kvgor oulatoe som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs. µ µ Defera de stokastska varabel : kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : kalv som gllar att äta gräs. 3 4 och är okäda, me lka stora, dvs Data:. Modellatagade: ~ N ~ N µ ( µ ) ( ) ; ;

25 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre s 7 ( ) ( ) ± s ( ) skattas med 6 8,67 4 ( ) ± 6 s ( ) s + ( ) ( ) + ( ) s ( 3 ) 9 + ( 4 ) ( 3 ) + ( 4 ) E lämlg estmator för µ µ ges av Då ~ N gäller att ( µ ) ~ N( ) ; ~ N µ µ ; µ och ; + okäd me lka, ,8 + tadardsera: ( µ µ ) + ( ; ), där skattas med s ~ N

26 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 ( µ ) µ s s + ~ t % KI för µ µ ges av s s ( ) ± t + + ;,5 ( 7 6) 9 ± 5,7 ±,57 8, , Ett 95 % KI för skllade mella medelvkte för kvgor oulatoe som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs ges av(-4,7; -3,3).

27 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 Tfall 8:B ök KI för µ µ ( & ober.),. Allt detskt med ova, MEN. om ova. 3. E lämlg estmator för µ µ ges av z skattas med s och skattas med s Då ~ N ( µ ) ~ N( ) ; µ och och okäda, ej lka och skattade med å gäller att s s + ( µ µ ) ; och s s + ~,. t υ där D f υ s s + 4,4 4, Eftersom v te atar att oulatosvarasera är lka, så får v färre atal frhetsgrader, ga ökad osäkerhet. Kom håg: färre frhetsgrader ger geerösare KI. Därav krågelformel % KI för µ µ ges av s s ( ) ± t + υ ;,5 ( 7 6) 9 ± 9,9 ± 4, Ett 95 % KI för skllade mella medelvkte för kvgor oulatoe som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs ges av(-8,9;,9). Observera att dea gåg kom oll med tervallet, vlket vsar å att det evetuellt te är som 8A, då v kude vara tämlge säkra å att kalvar gllar att äta gräs mer ä vad kvgor gör.

28 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 7 HPOTEPRÖVNING Itutv förklarg Ata att v testat e rodukt som v fuderar å att lasera å markade. Testet sker å ett stckrov eftersom det ataglge skulle vara för drt att testa hela oulatoe. Eemelvs skulle det kua röra sg om ett läkemedel. Om testet vsar att läkemedlet har väldgt stora beffekter, så vll v aturlgtvs te sälja det tll kosumeter, me om beffektera är väldgt låga så vll v te göra msstaget att låta bl att sälja det. Hotesrövg är det redska v aväder för att bestämma gräsera för accetabla avvkelser hos stckrovet frå det v vll att oulatoe ska uflla. Dvs., låt säga att stckrovet vsar sg ehålla e lte avvkelse frå bra : hotesrövg hjäler oss att bestämma är v aser att dea avvkelse ataglge gäller för oulatoe med. MEN, är v utför hotesrövg häder det te alltd att v hamar de bra alteratve, det fs alltd e lte rsk att v hamar de dålga alteratve, eftersom v aväder oss av ett stckrov och därmed te har full formato om oulatoe. När v geomför hotesrövg så utgår v frå e ollhotes, H, och om v efter vår rövg te tcker att de verkar stämma, så förkastar v de tll förmå för alteratvhotese, H. α står för de sgfkasvå v väljer att utföra hotesrövge å. Alltså hur stor rske är att v, trots vår fa testmetod, förkastar ollhotese är de är sa.

29 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 8 β är rske att te förkasta ollhotese är de är falsk, alltså att te tro å alteratvhotese som är sa. β ager testets strka (ower), alltså hur stor chase är att ollhotese vart falsk är v förkastat de. Gällade hotesbestämg bör följade akttas: Observera att ollhotese alltd omfattar ett -tecke. V testar ämlge alltd det lägsta/högsta värde som v vll ska omfattas av ollhotese. Alla övrga värde hamar uder alteratvhotese. Det är alltså bara ett värde v testar, de värde som (utfrå de sgfkasvå v valt) hamar å fel sda av ollhotese förkastar v. Välj ollhotes så att det allvarlgaste felet blr av t, dvs välj tllräcklgt låg saolkhet för t fel. V vll ga Ho (dvs. v utgår alltd frå att ollhotese är sa), så v ska ha starka bevs som talar emot de för att v ska förkasta de. Gult utl roved ot gult Det ebär följaktlge att om v vll ha rktgt starka bevs som talar för ågot, så ställer v u det som alteratvhotes. lutsatse beror ofta å vlke sgfkasvå v valt. Därför räkar v ut -värde, som är det gräsvärde där v förkastar ollhotese trots att de är sa. Då ka ma efterhad se hur låg sgfkasvå som skulle behövas för att kua förkasta ollhotese. Ju lägre -värde, desto svårare att förkasta ollhotese. förkasta H H sat Ju falskare Ho, desto mdre är också rske att P-värde ( ) P råka ut för fel. MEN sgfkasvå får aldrg bestämmas efter det att v räkat ut -värdet, då förlorar v hela dé med att testa å e vss trovärdghetsvå. Alla data v aväder oss av är v räkar, är uder H eftersom v utgår frå att H är sa.

30 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 9 Arbetsgåg vd utförade av hotesrövg. Frågeställg, defto av stokastska varabler och vad som är gvet.. Nödvädga modell-atagade. 3. Hoteser och sgfkasvå. 4. Testvarabel och dess fördelg uder H. 5. Beslutsregel. 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats. 7. Tolkg av resultatet ord.

31 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och käd. Poulato µ 9 N.f. tckrov 3 3 ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte för kossor som gllar att äta gräs är högst. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ N µ ;, där tckrov, Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ > α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Z är estmator för µ. Uder H är µ ~ N ( ; ), där 5. Beslutsregel µ Om Z > Z krt så förkastas H

32 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Om Z µ Z Grafsk beslutsregel: krt så förkastas ej H 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: Z µ 3, > Z krt,64 Alltså förkastas H å 5% sgfkasvå. 7. Verbal tolkg: Det förefaller som att µ -värde: > (,73),958, 48 F z Om Z skulle vara större ä mavärdet tabelle, skrv: -värde, eller -värde,

33 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 3 Tfall. Testa µ, gvet N.f. och okäd. Poulato µ N.f. tckrov 3 3 s 9 ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte för amerkaska kossor som gllar att äta gräs är högst. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ N µ ; tckrov, ( ) 5 4 ± Bra sätt att räka ut s s ( ) 4 3

34 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ H : µ > α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : t är estmator för µ. Uder H är µ ~ 5. Beslutsregel Förkasta H om Förkastas ej H om Grafsk beslutsregel: t t s skattar µ > krt ; α t t µ t krt t 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats:

35 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre t µ 3,3 3 < krt s t,9 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Verbal tolkg: Data ger ej stöd för att förkasta H.

36 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Tfall 3. Testa π. Poulato π tckrov ökt : Testa å % sgfkasvå att adele kossor oulatoe som gllar att äta gräs, är 5%. Defera de stokastska varabel : kossa som gllar att äta gräs. Fördelg för : ~ B( ;π ) tckrov,,,...,. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ H : µ > α %,4 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för π. Då >4 så gäller att uder H är π Z ~ N( ; ) π ( π ) aro ~. π N π; ( π ) >4 π π > ( ) 9 5. Beslutsregel Förkasta z π < krt H om π ( π ) z,33

37 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Förkasta z π z krt H om π ( π ) Grafsk beslutsregel:,33 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: z π,4,5, > zkrt π ( π ),5(,5) Alltså förkastas ej H å % sgfkasvå.,33 7. Verbal tolkg: Data ger ej stöd för att förkasta H. -värde: (,),97,8,8% F z Dvs. H skulle förkastas å sgfkasvåer som överstger,8 %.

38 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Tfall 4A. Testa µµ är. Poulato µ Poulato µ Kvgor som gllar att äta gräs Kalvar som gllar att äta gräs tckrov tckrov ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte är desamma för kvgor som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kalv som gllar att äta gräs. Fördelg för och : ~ N µ ; ~ N µ ; tckrov 3 5 s s,33. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ α 5% µ 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för µ µ.

39 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Då och okäda, lka och skattade med uder H är ( ) ( µ µ ) ( ) + 5. Beslutsregel Förkasta H om t + ~ t + ;, där ( oolad), så gäller att ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) >, 57 t krt t + ; t3+ 4 ;,5 t5;,5 α + Eller t ( ) ( ) <, 57 krt + + t Aars förkastas ej H. Grafsk beslutsregel: 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: ( 3 ) 4 + ( 4,33 ) 8, t ( ) ( ) ( ) ( 5 9) s s + 8,4 3,8< t 8,4 + 4 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Data stöder ej att förkasta ollhotese. krt,57

40 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Tfall 4B. Testa µµ är Allt lkadat som 4A fram tll: 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för µ µ. Uder H gäller, s s + ( µ µ ) 5. Beslutsregel Förkasta H om s s + ~,. t υ där D f υ s s + t då och okäda, ej lka och skattade med och att 4,87 4, ( ) ( ) >, 776 t t t + krt υ ; α 4;,5 + Eller t ( ) ( ) <, 776 krt + + t Aars förkastas ej H. 6. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: t ( ) ( 5 9) s s + 4 3,96,33 + 4,776 < t,96 <,776 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Data stöder ej att förkasta ollhotese. -värde: -värdet är lägre ä 5%.

41 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 Tfall 4C. Testa µµ, okäd fördelg, stora stckrov. ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att medelvkte är desamma för kvgor som gllar att äta gräs och kalvar som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kalv som gllar att äta gräs. Fördelg för och : okäd tckrov 4 3, s 5, ,9 s 7,4 Iga modellatagade behöver göras.. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ α 5% µ 3. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för µ µ. Då 4 > 3 och 36 > 3, så följer av CG att Uder H är ( ) ( µ µ ) + aro ~. N ( ; ), där skattar och skattar 4. Beslutsregel Förkasta H om z ( ) ( ) >, 96 krt + + z Eller z ( ) ( ) <, 96 krt + + z Aars förkastas ej H. 5. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats:

42 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 z ( ) 3, 9,9,3 >, 96 krt + 5,3 4 7, z Alltså förkastas H å 5% sgfkasvå. 6. Det förefaller som att medelvärdea för de både oulatoera ej är lka. Det förefaller ret av som att kvgora väger mer ä kalvara. -värde: [ F (,) ] [,97],58,58% z Dvs. H skulle förkastas å sgfkasvåer som överstger,58 %.

43 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 4 Tfall 5. Testa, N.f, oberoede stckrov. Poulato µ Poulato µ Kvgor som gllar att äta gräs Kalvar som gllar att äta gräs tckrov tckrov ökt : Testa å 5% sgfkasvå ollhotese att varase för medelvkte är lägre för kvgor som gllar att äta gräs ä för kalvar som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kvga som gllar att äta gräs. Defera de stokastska varabel : Vkt för e kalv som gllar att äta gräs. Fördelg för och : Vktgt är det kommer ~ N µ ; ~ N µ ; tll varaser. Grudförutsättg för χ -fördelge. tckrov 8 s, 8 Iga modellatagade behöver göras.. Hoteser och sgfkasvå: H : H : α 5% > 4 s 3, 3. Testvarabel och dess fördelg uder H : är estmator för och är estmator för Uder H är.

44 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre ~ F υ ; υ 4. Beslutsregel, där υ ochυ Förkasta H om F s > Fkrt F F s υ ; υ ; α 7;3;,5 Fscher-fördelge. Ka sägas vara e slags dubbel χ -fördelg, där ma tar häs tll frhetsgrader för såväl som för. Det är gaska uebart hur ma slår de tabelle Newbold är ma väl försöker. 8,89 Aars förkastas ej H. 5. Aväd data, beräka erverad storhet och dra slutsats: F s,8 6,5 < F 3, krt s 8,89 Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 6. Data stöder ej att H förkastas å 5% sgfkasvå. Eemel : tckrov 8 s, 8 4 s 3, s,8 F,9 s 3, Ej tressat med värde lägre ä oll, eftersom v testat att. Då ka v kostatera å e gåg att ollhotese trolge stämmer. Eemel 3, testa dubbelsdgt:. ~ N µ ; ~ N µ ; tckrov 8 s, 8 Iga modellatagade behöver göras. 4 s 3,

45 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre H H. : : α % 3. är estmator för och är estmator för Uder H är. ~ F υ ; υ 4. Förkasta H om, där υ ochυ F Aars förkastas ej H. s. ma > F krt Fυ ; υ ; α F7;3;,5 s Välj kvot eller efter de som är större 8,89 ä. Detta gör att v sler testa de udre gräse, för vlke tabelle Newbold ej är deferad (vad jag förstår det). 5. s,8 F ma 6,5 < F krt s 3, 8,89 Alltså förkastas ej H å % sgfkasvå. 6. Data stöder ej att H förkastas å % sgfkasvå.

46 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre trka Vad har testet för strka att avslöja de falska ollhotese? Eemlferas här med ett tfall :. Fördelg för : ~ N( µ;4) tckrov, 6 ej gve. Iga modellatagade behöver göras. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : µ µ H : µ > α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Z är estmator för µ. Uder H är µ ~ N ( ; ), där Beslutsregel Förkasta H om µ Z > Z krt alltså om: > +,64, 8 4 µ, dvs. > z, 64 krt 6

47 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Vad är testets strka? P ( Förkasta H µ,5) P ( >,8 µ,5) P(,8 µ,5) F Z F Z,8,5 4 (,64),7389,6 aolkhete att förkasta H gvet att µ, 5 (dvs. att ollhotese är falsk). Jämför med om v rövar testets strka om µ, 8 : P ( Förkasta H µ,8) P ( >,8 µ,8) P(,8 µ,8) F Z F Z ( ),5,5,8,8 4 Om v räkar ut för tterlgare ågra ukter så ka v rta strkefuktoe: P ( Förkasta H µ ) P ( >,8 µ ) P(,8 µ ) F F Z Z,8 4 FZ (,56) (,56), 9948

48 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Observera: * trkefuktoe börjar vd α s värde, me te eakt, därav rge stället för att låta lje börja eakt värdet. Detta eftersom strkefuktoe ebart är deferad där H EJ är sa. * De går asmtotskt mot,. * Grafe ka göras dubbelsdg för dubbelsdga hoteser.

49 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre ENKEL REGREION Itutv förklarg När v gjort kofdestervall, så har v tagt stckrovsdata och tagt fram ett trolgt tervall för oulatoes förvätade medelvärde. När v utfört hotesrövg så har v atagt att oulatoe haft ett vsst värde och tagt fram om det vart trolgt att vårt atagade vart rktgt gvet vssa stckrovsdata(valgtvs vll v ha starka bevs för att e vss sak gäller, och då sätter v de sake som mothotes, alteratvt vll v ha reda å om det fs e relato mella två oulatoer). När det gäller regresso, så vll v ta fram e modell som förvätade medelvärde ka täkas följa. Dea modell ka v seda utttja för att ta fram kofdestervall lksom hotesrövgar för olka värde, tll eemel tercetet (ukte där lje skär -ael, dvs. där lje börjar) eller rktgskoeffcete. Dessutom så är det u möjlgt att ta fram ett redktostervall, alltså ett slags kofdestervall för förvätade (ofta framtda) värde. Det blr som e lje (t.e. tde) för medelvärde. Eller vad v u vll ha fram med vår ljära modell. Frå dea lje avvker oftast ett eller flera värde e bt. Om v har e bra modell, så kommer dessa värde att förvätas avvka med medelvärdet och e vss varas. Dea avvkelse/felmargal frå lje kallar v för ε (som error). Ljära regresso resulterar två vktga saker: dels ett rogostserat (redcted) värde för de beroede varabel (valgtvs ) som e fukto av de oberoede (valge ), dels e uskattg av de margella förädrge de beroede varabel () som effekt av e förädrg de oberoede (). Observera att v te bör aväda modelle utaför det område där, de oberoede varabel, är deferad. Hotestestg. Fa Påverka Varabel ökt : Hur mcket gräs e kossa sarar för vter, åverkas av hur stor komst de har av s mjölkförsäljg varje måad. Testa om det fs starka bevs för att dea åverka är ostv. Gör e ljär modell av förvätade saolkheter, eemelvs ljär med tde. V aväder msta kvadratmetode för att ta fram e såda modell. Det ebär att v elmerar evetuella mustecke avståde tll de lje v vll ta fram, geom att kvadrera dem. Beräkgar vsar ett säkert och ekelt (me tdskrävade) sätt att behadla data för att få e lämlg ljär modell. E modell för kossors vtersarade ges av: Beräkat värde för de beroede varabel (som fukto av ) Itercet (e kostat som korrgerar korrelatoskoeffcete, INTE det värde de beroede varabel atar är ) + korrelatoskoeffcet * gräskomst + felmargal. Dvs: β + β + ε

50 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre E beräkad lje för detta ges av Beroede varabel Itercet + korrelatoskoeffcet * gräskomst Dvs: β + β För lje tar v te med felmargale, eftersom deas förvätade medelvärde är oll för varje ukt å lje. Defera stok.var. : arade för vter. Defera : komst frå mjölkförsäljg. tckrovsstorlek: 8 Betrakta e ljär regressosmodell β + β + ε där Gauss-Markov s förutsättgar gäller: e fogad ruta. De är alltså te stokastska, uta förutbestämda. tadardförutsättgara för ljär regressosmodell (Gauss-Markov s förutsättgar). är fa.. Feltermera har samma vätevärde och varas ε (dvs. de är homosedastska och har vätevärdet ). Dvs: E[ ε ] och E[ ε ] för alla (,,..., ). Feltermera är okorrelerade (dvs. är te beroede av varadra). Alltså: E[ ε ε ] för alla j j Ka också skrvas H : β β (där ssta terme är β uder H.. Ata att ε N( ; ) 3. H H : β : β > α 5% ~ ε Läs: Vätevärdet av felterme för gåger felterme j, är lka med oll. Detta gäller för alla. Feltermera är te korrelerade med varadra, det vll säga:förekomste av ett stort fel ska te åverka de adra fele. och j uder ukt 3 behadlar recs samma värde som ukt, det är bara ett aat sätt att skrva att det gäller för de olka tal som feltermera atar och att dessa tal te är lka med varadra. Förutsättg och 3 håller om v ka se å ε som e stokastsk varabel. ormaltet hos felvarabel, krävs för att hotesrövge ska vara möjlg. Lägg märke tll att varase har subdeerg ε.. Omε ~ N, så är ~ N eftersom β, β och är kostater Nollhotes: oulatoes rktgskoeffcet är oll, mothotes: de är ostv Att testa β och ρ ger samma resultat Kofdestervall görs å samma sätt som v är vaa vd, med de tllägg som vsas hotesrövge

51 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre B är testvarabel för β, med fördelg uder H : t B β ~ t B, där de okäda 5. Förkasta H om t < t 3 ;,5, Beräkgar ε är skattad med ( )( ) ( ) s e Om stort stckrov, >3, så: aro B β Z ~ N B ( ; ) ± ± b b ( )( ) ( ) b 5,44,56 Vlket ger de skattade modelle: 5,44 +, 56 + e och lje: 5,44 +, 56 e 6,44 s e 5,48 Varas för stckrovets felmargal. 5 se 5,48 b,55 Varas för stckrovets rktgskoeffcet. ( ) 8 se b,56 t,87 ( var atoera ) 5,48 8 å, förkasta H å 5% sgfkasvå. 7. Vår hotesrövg vsar att v har starka bevs för att om komste stger, så stger saradet.

52 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Korrelatoskoeffcete. Testa om det fs starka bevs för att e kossas sarade för vter är korrelerad med hur stor komst de har. Dvs., testa om det fs starka bevs för att korrelatoskoeffcete för de ljära modelle är ostv. Aväd samma sffror, förutsättgar och atagade som ova.. Atag att och är bvarat ormalfördelade (vlket betder att v får e tredmesoell täthetsfukto, eftersom v fogar samma och tllsammas med ρ e graf med tre alar) 3. H : ρ H : ρ > α,5 4. Aväd msta kvadratmetode. ätt r som testvarabel för ρ, uder H har de fördelge r r t ~ t, vlket är detsamma som t ~ t r r 5. Förkasta H om 6. Beräkgar: r t r > t5 ;,5 ( r ),353 ( )( ) tckrovscov ( ) ( ) stckrovsvar var stckrovs tervallet ( ) r t r. 8,85 8 6,85,8 > t (,85 ) 5 ;,5,353 5 lutsats: Förkasta H å 5% sgfkasvå., befer sg alltd 7. Data ger starka bevs för att det fs e korrelato mella kossors vtersarade och deras komst.

53 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 5 Regressosmodelles förklargsstrka De utomståede faktorer som åverkar kossors grässarade, beteckas med ε. V vll beräka hur stor del av avvkelse frå modelle som beror å dessa faktorer, och hur stor del av avvkelse som te ka förklaras. ( b b ) e + :s värde elgt lje medelvärde för verklgt -värde tckrovets felmargal(resdual) verklgt värde för fuktoe (för varje ukt ) mus fuktoes värde å lje (för varje ukt ). Resduale e är te e skattg utav ε, uta av e kombato av ε och de fel som ustår vd skattgar av β och β och därmed det sammalagda fel som ustår vd skattg av det förutsagda (redcted) värdet. ANOVA (aalss of varace) kallas de metod v aväder för att dela u de totala varatoe av e förklarad del och e felkomoet (se fgure). Där vsar medelvärdet för hela stckrovet, ger ANOVA de olka komoetera för att aalsera stckrovets varas. Fgure vsar +, vlket efter summerg för alla tal och kvadrerg (eftersom v vll få bort alla evetuella mustecke, ett egatvt värde har lka lågt avståd tll lje som ett ostvt), så får v:

54 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre ( ) + vlket är detsamma som T R + E E ( ( b + b )) e, dvs. de felmargal som v får fram frå stckrovet. Alltså de data v te ka förklara med vår modell. (Error um of quares) R b ( ), hur stor del av varatoe som ka förklaras av modelle. Dea beror, som formel vsar, drekt å rktgskoeffcete, samt srdg. (Regresso um of quares) T (Total um of quares) tora värde å R och mdre värde å E är att föredra, eftersom det gör att vår modell blr lättare att aväda för att få fram värde som kommer ära de erverade värdea. Det betder dessutom att v helst vll ha så stor srdg som möjlgt å de v samlar data om för att få så stor förklarad varato som möjlgt. T E T E E R Vktgt att lära sg. T T T T E T - R e E Modelles felvaras ges av e (dvso med - stället för - eftersom v har att göra med två uskattade arametrar, b och b, stället för bara e. ( )( ) ( ) Resdual: e , -3, 9, ,68,3, ,56,44, ,9, 4, ,9 -,9, ± ± 8 8 ± 6,44 6 e ( ) e ( 5,44) +, 56 Där de skattade modelle var 7 5, e 45

55 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Determatoskoeffcete, förklargsgrad R R T, adel förklarad varato sarade. Dvs. varatoe av kossors komst () förklarar så här stor adel av varatoe av kossors sarade (). Högre värde (>, eftersom <E<T) dkerar e regressosmodell som bättre förklarar framräkade -värde. Uskattg av om v har att göra med e bra förklargsgrad eller te, beror helt å vad v har att göra med för data. Om v tll eemel ka förklara e dvds beteede med %, så ka det ases vara e mcket hög förklargsgrad, meda det adra fall skulle vara e mcket låg. För ekel regresso gäller att R r För ovaståede eemel med kossors sarade som fukto av komste, blr förklargsgrade: R b 7 ( ) 8 43, 56 ( ) 6 45 T R 43,56 r,76,85 T 6 De skattade modelle för kossors sarade, förklarar 7,6 % av varatoe sarade. Aorluda uttrckt, så förklarar komste 7,6 % av saradet.

56 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Progoser Om det dker u tterlgare e kossa, hur ska v då gå tllväga för att beräka dees trolga sarade? Alteratvt vll v kaske beräka det förvätade värde för kommade kossors sarade. Predktostervall Itervall för ett esklt rogostcerat värde. Ifall v skaat e ljär modell utfrå ett vsst atal ervatoer, och v vll få fram e rogos för ett secfkt värde, atar v att v lägger detta värde tll de reda uträkade å det sätt som görs här eda. Det blr väldgt osäkert är ma ska försöka förutsäga ett esklt värde, därför kommer formel v arbetar med att ge ett geerösare tervall ä vad v kommer att se uder ästa rubrk, där det stället eftersöks redktostervall för förvätat medelvärde. Ta fram e rogos för e etra kossas sarade, där dee har komste +. Vad v vll få fram är + β + β + + ε +, me eftersom v edast har skattgar av 7 dessa värde att gå efter, får v ta vår modell 5, e Då får v + b + b + + e+ 5,44 + +, 6 45 För att ta fram ett lämlgt tervall för det förutsagda värdet, går v tllväga som följer: &. Gvet modelle, atagade om G-M vllkor som är ufllda samt ormaltet av resduale, 3. där är estmator för och övrgt samma estmatorer som ova gäller, följer att ett 8 % [dvs: (-α)*%] PI för det faktska värdet ges av + ± t α ; s + ( ) där + s se ( ) + 5, ( 8) 8 7,794 ± t, s,6 ±,638 7,794,6 ± 4,57 ; + 5. Ett redktostervall med 8 % kofdesvå ges av (5,6;4,7). Med adra ord: Ett 8% tervall för det rogostcerade saradet för e etratllkomme ko med komst $, ges av (5,6;4,7). Kofdestervall för redktosutfall Itervall för förvätat rogostcerat värde.

57 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Ta fram e rogos för det förvätade saradet för e gru tllkoma kossor, vlka har medelkomste. + 7 V aväder E( ) E( b + b + ε ), vlket är samma som 5, e Då får v + 5,44 + +, 6 45 För att ta fram ett lämlgt tervall för det förvätade förutsagda värdet, går v tllväga som följer: &. Gvet modelle, atagade om G-M vllkor som är ufllda samt ormaltet hos resduale, 3. där är estmator för och övrgt samma estmatorer som E + + E + + ova gäller, 4. följer att ett 8 % [dvs: (-α)*%] PI för det faktska värdet ges av + ± t α s ; E + ( ) där + s + s e E + ( ) + 5, ( 8) 8,3378 ± t, s,6 ±,638,3378,6 ±,49 ; E + 5. Ett tervall för det förvätade rogostcerade värdet, ges, med 8 % kofdes /redktosvå, av (7,7;,7). Med adra ord: Ett 8% tervall för det förvätade rogostcerade saradet för e etratllkomme gru kossor med medelkomst $, ges av (5,6;4,7).

58 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre ICKEPARAMETRIKA TET Parvst beroede/ matchade stckrov När v har arvst beroede data, som beskrvet kofdestervall för Tfall 7, så har v tre sätt v ka gå tllväga för att behadla dessa. De första väge att gå är att göra ett atagade om ormaltet, vlket är ett väldgt starkt atagade att göra. Då hamar v de kofdestervall och hotestest v behadlat ova. Om v göra ågot färre atagade och bara gör atagadet att v har att göra med e smmetrsk fördelg, så ka v utföra Wlcoos rakade tecketest. Ett ekelt tecketest, slutlge, utför v är v te vll ata ågot alls om fördelge för data. Ju osäkrare v är om data, desto färre atagade gör v och desto bredare kommer tervalle v gör att bl och desto svårare blr det att med säkerhet förkasta hoteser. Istället för medelvärde, testar v u medaer.om v te har möjlghet att ata ormaltet och därmed arbeta med e fördelg som tar häs tll medelvärdet, så får v stället gå efter hur de olka data lgger utsrdda testet. När v aväder Tecketest och Wlcoos tecketest, är v oftast tresserade av att veta om medae är desamma för två oulatoer, dvs. huruvda medae för dfferese mella oulatoera är oll eller te. Tecketest. Poulato Poulato Prs hos höleveratör A Prs hos höleveratör B Poulatosdfferese tckrov. ökt: Testa å 5% sgfkasvå hotese att höleveratörera och har samma geomsttlga hörs, mot ett dubbelsdgt alteratv. Detta gvet ett stckrov av arvst beroede ervatoer frå femto kohagar där båda leveratörera har ett försäljgsställe. Ata att v te vet ågot alls om utseedet å fördelge för dfferese besrs. Defera de stokastska varabel : Atalet ostva dfferes mella hörset hos leveratör och leveratör. (Alltså alla fall där - >, där,,, )

59 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre : Atalet egatva dffereser. Defera π: aolkhete att ervera e ostv dfferes. D -,,, 5 5 Testet ka också göras för e eskld oulato. Då sätter ma eemelvs stället som ollhotes: H : Meda kr. Iga modellatagade behöver göras eftersom v gör ett Tecketest. 3. Hoteser och sgfkasvå: H : π,5 H : π,5 α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Uder H är testvarabel Bomalfördelad. ~ B( ;,5) Eftersom stckrovsstorleke är lte (5<), så kommer Bomalfördelge också att avädas. 5. Beslutsregel: Förkasta H å 5% sgfkasvå om α P s + P s P s < α, ( ) ( ) [ ( )] 5 m Aars, förkasta ej H. 6. ätt data, beräka erverad storhet och dra slutsats: e kurs 6. Detta är e fördelg som behadlar fall där data ka ata två olka värde (tll eemel vd ja- och ejsvar). Då är det roortoe π v är tresserade av att arbeta med. I detta fall testar v om roortoera är lka stora, mot alteratvet att de te är det. Det här sättet att få fram ett dubbelsdgt alteratv, att fördubbla - värdet, är möjlgt eftersom hotese gäller π,5. I dea kurs kommer v te att gå geom dubbelsdga fall där π är ågot aat ä,5. tckrov d Tecke (för d dfferese) 9,7 9,7, TRUKEN 9,6 9, -,4-9, 9, -, - 9,3 9,, + 9,5 9,4, + 9,3 9,3, TRUKEN 9,8 9, -,3-9, 9,5 -,3-9, 9,, TRUKEN 9, 9,4 -, - 8,87 8,86, + 9,3 9,, + 9,7 9, -,3-9, 9,4 -,3-9, 9,5 -,3 - Eftersom v testar om medae är oll, så räcker det med att v testar atge de ea sda om oll eller de adra. Därför testar v atge s eller -s (dvs atge ostva eller egatva dffereser), beroede å vlke som uvsar lägst atal. Detta är det eklaste sättet att gå tllväga och så ka v göra eftersom π,5. När v testar ågot aat värde å π, så blr det geast för kråglgt för dea kurs. Aväd eklast e bomaltabell för att få fram saolkhetera, aars är det bara att mas hur v tog fram bomalsaolkheter 6:a, alteratvt saa formelbladet. Frå data har v att s 4 och att efter att dffereser som är strukts. värde α P + P + P + P 3 + P 4 m [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ +,9 +,6+,537 +,8],3878 > α, 5, Täk logskt: Dffereser som är gör varke tll eller frå vårt test om rsera är lkadaa för de två leveratörera. Därför strks de helt och hållet och reduceras med så måga ervatoer som v strukt.

60 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre Alltså förkastas ej H å 5% sgfkasvå. 7. Resultat: Data stöder ej att ollhotese förkastas å 5% sgfkasvå. P-värdet är aromatvt 39 %, dvs det ka te förkastas att hörsera skulle vara desamma för de två leveratörera.

61 Kurs 6 tatstk, sammafattad av ofa Hallström 943 våre 3. 6 Wlcoos rakade tecketest Eftersom v u atar att v har att göra med smmetrskt fördelade data, ka v ragorda dfferesera. Detta eftersom v u ka ata att större avvkelser frå oll åvsar större rsk för att medae te är oll. I det ekla tecketestet vsste v te om fördelge kaske såg ut som ågot stl med tll eemel χ -fördelge, där v ka få väldgt stora avvkelser å ea sda om mtte och väldgt små å adra sda. Nu atar v stället att rske för stora avvkelser är lka stor å båda sdor om mtte, och ka därför ragorda dem.. ökt: Testa å 5% sgfkasvå hotese att höleveratörera och har samma geomsttlga hörs, mot ett dubbelsdgt alteratv. Detta gvet ett stckrov av arvst beroede ervatoer frå femto kohagar där båda leveratörera har ett försäljgsställe. Ata att dfferese hörs te följer e ormal- me däremot smmetrsk fördelg. Defera de stokastska varabel D: Dfferese mella hörset hos leveratör och leveratör. Ata att v har e smmetrska fördelg av data 3. Hoteser och sgfkasvå: H : Meda H D : Meda D α 5% 4. Testvarabel och dess fördelg uder H : Iför testvarabel T m { T + ; T } (där T+ summa av ostva rager och T summa av egatva rager), vlke följer de tabulerade fördelge för Wlcoos tecketest. Det T 5. Beslutsregel: v testar ska alltså vara det msta Förkasta H å 5% sgfkasvå om T < av T T; α + och T, vlket fugerar eftersom v har Förkasta aars ej H. Vd ormalaromato, är > (dffereser som ej är oll), så blr beslutsregel för dubbelsdgt test: Förkasta H om ( ) T µ T Z + där µ T och 4 T T > Z α ( + )( + ) 4 e smmetrsk fördelg. Om v har för mcket + eller å ea eller adra sda, så ss det å hur lte v har av det ea eller adra å de T ger fåt, v vll få adra sda. Måga + reda å om dea fördelg är så skev att ollhotese te stämmer är v har e smmetrsk fördelg av data.. Blada te ho T med det t v aväder för t- fördelge!

Något om beskrivande statistik

Något om beskrivande statistik Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att

Läs mer

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s. Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,,

Läs mer

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 64 Orderkvatteter vd begräsgar av atal order per år Olka så kallade partformgsmetoder aväds som uderlag för beslut rörade val av lämplg orderkvattet

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04 Prs Lösgsförslag tll tetame 73G7 Statstk B, 009--04. a) 340 30 300 80 60 40 0 0.5.0.5.0 Avståd.5 3.0 3.5 b) r y y y y 4985.75 7.7 830 0 39.335 7.7 0 80300-830 0 3.35 0.085 74.475 c) b y y 4985.75 7.7 830

Läs mer

Parametriska metoder. Icke-parametriska metoder. parametriska test. Icke-parametriska test. Location Shift. Vilket test ersätts med vilket?

Parametriska metoder. Icke-parametriska metoder. parametriska test. Icke-parametriska test. Location Shift. Vilket test ersätts med vilket? Icke-parametrska test Icke-parametrska metoder Parametrska metoder Fördelge för populatoe som stckprovet togs frå är käd så ära som på ett atal parametrar, t.ex: N med okäda och Icke-parametrska metoder

Läs mer

Variansberäkningar KPI

Variansberäkningar KPI STATISTISKA CENTRALBYRÅN Slutrapport (9) Varasberäkgar KPI Varasberäkgar KPI Iledg Grov varasskattg Detaljerade varasskattgar av tuga produktgrupper 5 Rätekostader 5 Charter 6 Böcker 8 Utrkesflyg 0 Iträdesbljetter

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression Matematsk statstk Stockholms uverstet Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Examesarbete 8: Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 6 9 Stockholm

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL x + y, där x, y R (rektagulär form r(cosθ + sθ (polär form r (cos θ + s θ De Movres formel y O x + x y re θ (potesform eller expoetell form θ e cosθ + sθ Eulers

Läs mer

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2 Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT 2009 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α +

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse Vätevärdet och varase för e ljär kombato av stokastska varabler beräkas elgt följade: S Låt c, c,, c vara kostater,,,, stokastska

Läs mer

Fördelningen för populationen som stickprovet togs ifrån är känd så nära som på ett antal parametrar, t.ex: N med okända

Fördelningen för populationen som stickprovet togs ifrån är känd så nära som på ett antal parametrar, t.ex: N med okända we Mezel, 7 we.mezel@sl.se; we.mezel@matstat.de www.matstat.de Parametrska metoder Fördelge för poplatoe som stckprovet togs frå är käd så ära som på ett atal parametrar, t.ex: N med okäda Icke-parametrska

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Tillämpning av Trafikverkets grafiska profil på Don t drink & drive

Tillämpning av Trafikverkets grafiska profil på Don t drink & drive Tllämpg av Trafkverkets grafska profl på Do t drk & drve Utvalda delar och bestämmelser ur Trafkverkets grafska maual, som stöd vd framtagg av Do t drk & drve-materal. Följade pukter ska ses som rekommedatoer

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x Medelvärde Reetto mb9 Medelvärdet är summa av alla observatoer dvderat med deras atal. x 873+85+8385+83+8+83+8087+808+80 = 70 70 = 89 9 Meda Medae är de mttersta observatoe. = 8 Eller medelvärdet av de

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner. Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff.

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff. atematk tattk Stockholm uvertet E ämförade tude av GL, Jug metod och Teede-modell för premeättg av multplkatv tarff. El Laro Eamearete 4: Potal addre: atematk tattk Dept. of athematc Stockholm uvertet

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar)

Hambley avsnitt 12.7 (även 7.3 för den som vill läsa lite mer om grindar) 1 Föreläsig 6, Ht 2 Hambley avsitt 12.7 (äve 7.3 för de som vill läsa lite mer om gridar) Biära tal Vi aväder ormalt det decimala talsystemet, vilket har base 10. Talet 2083 rereseterar då 2 10 3 0 10

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel?

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel? Tentamenskrvnng: TMS45 - Grundkurs matematsk statstk och bonformatk, 7,5 hp. Td: Onsdag den 9 august 2009, kl 08:30-2:30 Väg och vatten Tesen korrgerad enlgt anvsngar under tentamenstllfället. Examnator:

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level

Läs mer

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin Strukturell utvecklg av arbetskostad och prser de sveska ekoom Alek Markowsk Krsta Nlsso Marcus Wdé WORKING PAPER NR 06, MAJ 0 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET gör aalyser och progoser

Läs mer

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL )

KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (=TECKENINTERVALL ) Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tecetervall KONFIDENSINTERVALL FÖR MEDIANEN (TECKENINTERVALL ) För att bestämma ett ofdestervall för medae tll e otuerlg s.v. ξ aväder v ett stcprov ξ ξ ξ3 ξ av storlee som

Läs mer

Bilaga 1 Formelsamling

Bilaga 1 Formelsamling 1 2 Bilaga 1 Formelsamlig Grudbegre, resultatlaerig och roduktkalkylerig Resultat Itäkt - Kostad Lösamhet Resultat Resursisats TTB Täckigsgrad (TG) Totala itäkter TB Säritäkt Divisioskalkyl är de eklaste

Läs mer

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom

Läs mer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer) Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Newto-Raphsos metod NEWTON-RAPHSONS METOD (e metod för umeris lösig av evatioer Måga evatioer är besvärligt och iblad äve omöjligt att lösa eat. Då aväder ma umerisa metoder

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier

Kontingenstabell (Korstabell) 2. Oberoende-test. Stickprov beror av slumpen. Vad vi förvf. är r oberoende: kriterier är r oberoende: kriterier . Oberoede-test Kotgestabell (Korstabell) Oberoedet av två rterer för lassfato udersöes xempel: V vll veta om röadet är beroede av ö V tar ett stcprov ur befolge (=50) och lassfcera persoera elgt dessa

Läs mer

Välkommen in i konfirmandens egen bibel!

Välkommen in i konfirmandens egen bibel! L Välkoe kofrades ege bbel! Upptäck Bbel tllsaas ed kofrade! Lbrs ya kofradutgåva av Bbel har två huvudpersoer: Jesus so är Bbels kära och stjära och de uga äska so ärar sg Bbel och tro. Ordet kofrad äs

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

Specialfall inom produktionsplanering: Avslutning Planerings- Le 8-9: Specialfall (produktval, kopplade lager, cyklisk planering, mm) system

Specialfall inom produktionsplanering: Avslutning Planerings- Le 8-9: Specialfall (produktval, kopplade lager, cyklisk planering, mm) system Föreläsg Specalfall om produktosplaerg: Produktvalsplaerg, cyklsk plaerg, alteratva partformgsmetoder Avslutg Plaergssystem Fast posto Fö 6a: Projektplaerg (CPM, PERT, mm) Le 3: Projektplaerg (CPM/ PERT,

Läs mer

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s.

f(x i ) Vi söker arean av det gråfärgade området ovan. Området begränsas i x-led av de två x-värdena där kurvan y = x 2 2x skär y = 0, d.v.s. Dg. Remsummor och tegrler Rekommederde uppgfter 5.. Del upp tervllet [, 3] lk stor deltervll och väd rektglr med dess deltervll som bs för tt beräk re v området uder = +, över =, smt mell = och = 3. V

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su.

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su. ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÁÒ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÒÔ ÒÔ ÖÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ Ò ØÖ Ò Ð Ö Ð ÒÊÓÓ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½½ Postadress: Matemats statst Matematsa sttutoe Stocholms uverstet 06 9 Stocholm Sverge Iteret:

Läs mer

Föreläsning G70 Statistik A

Föreläsning G70 Statistik A Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive

Läs mer

Enkät inför KlimatVardag

Enkät inför KlimatVardag 1 Ekät iför KlimatVardag Frågora hadlar om dia förvätigar på och uppfattigar om projektet, samt om hur det ser ut i ditt/ert hushåll idag. Ekäte är uderlag för att hushållet ska kua sätta rimliga och geomförbara

Läs mer

HYPOTESPRÖVNING. De statistiska metoderna som används för att fatta denna typ av beslut baseras på två komplementära antaganden om populationen.

HYPOTESPRÖVNING. De statistiska metoderna som används för att fatta denna typ av beslut baseras på två komplementära antaganden om populationen. HPOTESPRÖVNING De tatitika metodera om aväd för att fatta dea typ av belut baera på två komplemetära atagade om populatioe. Partiet produkter har atige de utlovade kvalitete eller å har de de ite. Atige

Läs mer

Lösning till TENTAMEN

Lösning till TENTAMEN Isttutoe för Sjöfart oh Mar Tekk ös tll TENTAMEN 0706 KURSNAMN Termodyamk oh strömslära ROGRAM: am Sjöejörsrorammet åk / läserod KURSBETECKNING //auusterode SJO050 005 el A Strömslära EXAMINATOR Mats Jarlros

Läs mer

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex.

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex. Ljära ekvatossystem Ljär Algebra obekata & ekvatoer a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b Ljära ekvatossystem där A -matrs och b -vektor Vktga

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna

Tillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:

Läs mer

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor

Konsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1) Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,

Läs mer

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( )

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 ( ) Tentamen Matematsk statstk Ämneskod-lnje S1M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgfter) Poäng totalt för del 3 (3 uppgfter) Tentamensdatum 9-3-5 Kerstn Vännman Lärare: Robert Lundqvst Mkael Stenlund Skrvtd

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg

Läs mer

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg

Läs mer

FÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck

FÖRSÖKSPLANERING. och utvärdering av försöksresultat med den matematiska statistikens metoder. av Jarl Ahlbeck FÖRSÖKSPLNERING och utvärderg av försöksresultat med de matematska statstkes metoder av Jarl hlbeck Åbo kadem Laboratoret för alägggstekk I a sstem whch varable quattes chage, t s of terest to eame the

Läs mer

Sammanfattning formler och begrepp, första delen av två

Sammanfattning formler och begrepp, första delen av två Ekoomsk sask, del kurs 6 ael agwall;, vårerme 5 ockholm chool of Ecoomcs ammafag formler och begre, försa dele av vå amle sckrov objek,,,...,, av oulaoes N. Om Varje objek har lka sor saolkhe a väljas

Läs mer

Lycka till och trevlig sommar!

Lycka till och trevlig sommar! UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 07-05-3 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 09.00-5.00 Tllåta hjälpmedel: Tabellsamlg,

Läs mer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer

Beräkna standardavvikelser för efterfrågevariationer Handbok materalstyrnng - Del B Parametrar och varabler B 41 Beräkna standardavvkelser för efterfrågevaratoner och prognosfel En standardavvkelse är ett sprdnngsmått som anger hur mycket en storhet varerar.

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

b) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen?

b) Om du nu hade oturen att du köpt en trasig dator, vad är sannolikheten att den skulle ha tillverkats i Litauen? UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematk och matematsk statstk MSTA, Statstk för tekska fysker A Peter Ato TENTAMEN 005-0-03 ÖSNINGSFÖRSAGTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för tekska fysker, 4 oäg.

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 5 Expermentella metoder 04, Räkneövnng 5 Problem : Två stokastska varabler, x och y, är defnerade som x = u + z y = v + z, där u, v och z är tre oberoende stokastska varabler med varanserna σ u, σ v och

Läs mer

Enkel linjär regression

Enkel linjär regression Ekel ljär regresso Ekel ljär regresso Kap Ekel ljär regressosmodell: = β + β + ε Sstematsk del Stokastsk (slumpmässg) del där är beroede varabel, de varabel som v vll förklara eller predktera De kallas

Läs mer

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion. Idutio och Biomialsatse Vi fortsätter att visa hur matematisa påståede bevisas med idutio. Defiitio. ( )! = ( över ).!( )! Betydelse av talet studeras seare. Med idutio a vi u visa SATS (Biomialsatse).

Läs mer

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta. KOD: Kurskod: PC106/PC145 Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 4/5 014 Hel- och halvfart VT14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare: Niklas Frasso

Läs mer

Finansiell ekonomi Föreläsning 2

Finansiell ekonomi Föreläsning 2 Fiasiell ekoomi Föeläsig 2 Fö alla ivesteigsbeslut gälle: Om ytta > Kostad Geomfö ivesteige Om Kostad > ytta Geomfö ite ivesteige Gemesam ehet = pega Vädeig = makadspis om sådat existea (jf. vädet av tid

Läs mer

CONSTANT FINESS SUNFLEX

CONSTANT FINESS SUNFLEX Luex terrassarkiser. Moterigs- och bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX 5 6 Markises huvudkopoeter och ått Placerig av kobikosol rklockor och justerig Parallelljusterig vädig och skötsel Huvudkopoeter och

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik Tetame i matematisk statistik Uppgift : På e arbetsplats skadades % av persoale uder ett år. 60% av alla skadade var mä. 0% av alla aställda var kvior. Är det maliga eller kviliga aställda som löper störst

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 5 Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsig 5 HYPOTESPRÖVNING (LLL Kap 11) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Statistisk försöksplaerig Provmomet: Ladokkod: Tetame ges för: Skriftlig tetame 3,0 hp 51SF01 DTEIN14h 4,5 högskolepoäg TetamesKod: Tetamesdatum: 5 ovember 015 Tid: 9.00-13.00 Hjälpmedel: Miiräkare Totalt

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i

Läs mer

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt

Lektion 3 Kärnan Bindningsenergi och massdefekt Lektio 3 Kära Bidigseergi och assdefekt Några begre och beteckigar Nuklid Nukleo Isotoer Isobarer Masstal A Atouer Z E ato ed ett bestät atal rotoer och eutroer. Beteckas ofta A ed skrivsättet Z Xx där

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokastiska rocesser Defiitio E stokastisk rocess är e mägd (familj) av stokastiska variabler X(t) arameter t är oftast (me ite alltid) e tidsvariabel rocesse kallas diskret om X(t) är e diskret s v för

Läs mer