Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex.

Transkript

1 Ljära ekvatossystem Ljär Algebra obekata & ekvatoer a x + a x + a 3 x a x = b a x + a x + a 3 x a x = b a x + a x + a 3 x a x = b Ljära ekvatossystem där A -matrs och b -vektor Vktga begrepp Ortogoaltet x T y =, samt Q T Q = I a a a 3 a a a a 3 a A = a 3 a 3 a 33 a 3 b = a a a 3 a b b b 3 b Ljärt oberoede Ax = x = Bas späer upp vektorrum Rag rag(a) = dm(r(a)) Värderum R(A) = { b R m b=ax, x R } Nollrum N(A) = { x R Ax = } 3 4 Exempel : A 3 3-matrs Kolumera A ka lösas b lgger det pla som späs upp av A s kolumer ( uderrum tll R 3 ) Detta rum kallas värderummet tll A, R(A) Lösgara tll Ax = utgör ollrummet tll A, N(A) b = R (A) meda b = R (A) -3 Exempel kol + kol = kol R (A) späs upp av t.ex

2 Etydg lösg tll Ax=b Ekvvaleta utsagor Kolumera A utgör bas för R Kolumera A är ljärt oberoede A är ckesgulär A är verterbar Ax = x= det(a) Vad gör ma? Hadräkg Nollställ varje kolum uder huvuddagoale gör samtdgt samma operatoer på högerledet Lös det tragulära systemet med bakåtsubsttuto Överför matrse på tragulär form geom att elmera obekata ur ekvatoera 7 8 Tragulära system Bakåtsubsttuto Ekla att lösa 8 3 Övertragulär U = 5 Udertragulär L = /3 /3 Lös Ux = c där U övertragulär alla dagoalelemet förutsätts x =c /u x = (c - u j x j )/u = -, -,,»U\c as = 9 Två svårgheter ågot dagoalelemet blr byt rader ett dagoalelemet väldgt ltet, aturlgt eller pga. avrudgsfel bra om el. te växer m < välj det största el. kol. Pvoterg Vktgt att pvot-elemete V vll ha så stort pvot-el. som möjlgt (beloppet) Byt rader matrse (och högerledet) för att orda detta. (Pvotera) Geom detta blr alla multplkatorer m k = a k /a kk tll beloppet <

3 Permutatoer Att låta två rader byta plats ka utföras med matrsmultplkato frå väster P * A = P*A = E ehetsmatrs med omkastade rader Permutatosmatrser Ekel - byter två rader E ekel permutatos matrs är symmetrsk P = P T = P - E produkt av permutatosmatrser är e permutatosmatrs P = P P P Multplkato med P frå höger permuterar kolumer 3 4 Pvotera te... LU-faktorserg är matrse är Dagoaldomat a j j =, j a, =,,K, symmetrsk och postvt deft Förekommer t.ex. vd dskretserg av radvärdesproblem för dff.ekvatoer Gausselmato med partell pvoterg (på ckesgulär matrs) PA = LU Lös PAx = Pb LUx = Pb Ly = Pb Ux = y 5 6 Ux = y /3 -/3 L A y = x = b b y = -7 LUx = b Ly = b Ux = y U x = y -7 x = LUx = b Ly = b Ux = y 7 8

4 Samma A - olka b Komplextet / Kostad LU-uppdelge återaväds LU-faktorserge 3 /3 mult. & addtoer Framåt/bakåt substtutoe för att beräka x åtgår - addtoer och multplkatoer (+ e dvso) för obekata blr det.5 ( -) totalt c:a Normer E vektororm är ett mått på lägde hos e vektor och uppfyller x, för alla x x = omm x = αx = α x x+y x + y 9 Olka vektorormer Fele p = p x = ( x ) /p! -orm! -orm x = x = x = ( x ) / = För e gve vektororm deferas ^ absoluta felet x = x - x relatva felet ^ x x - x = x x! -orm x = max x Matrsorm Matrsormer Härleds frå vektorome A = max Ax x E såda matrsorm satsferar A, för alla A A = omm A= αa = α A A+B A + B 3! -orm! -orm! F-orm A = max a A = max a A = ( a ) / F!-orme : rote ur största egevärdet tll A T A = största sgulära värdet j j= = = j j= j j 4

5 Egeskaper (p-ormer) A > om A αa = α A för varje skalär α A+B A + B AB A B Ax A x för varje vektor x Kodtostal Det exakta systemet, har de exakta lösge x E störg b ger e störg x A(x + x) = b + b Relatva störge lösge blr x x A A - b b 5 6 Egeskaper Jmfr med determat cod(a) = A A - cod(a) A sgulär cod(a) det(a) = A sgulär cod(i) = cod(p) = ehetsmatrse P permutatosmatrs det(αi ) = α godtycklgt ltet för α < cod(αi ) = cod(i ) = cod(αa) = cod(a) α skalär max d cod(d) = m d D dagoalmatrs 7 8 Välkodtoerad matrs Illa-kodtoerad matrs A \ b = x A \ b = x »orm(a) as =.68»cod(A) as =.684 A \ b = x A \ b = x »orm(a) as =.»cod(a) as = 4.e+4 Lte ädrg b ger lte ädrg x 9 Lte ädrg b ger stor ädrg x 3

6 Slutsats! Ädrge -4 högerledet förstorades tll e ädrg av storleksordge!a är ära sgulär - stort kodtostal Oavsett umersk metod så kommer v te frå detta! Äve e väl-kodtoerad matrs ka förstöras av e dålg algortm Resduale r = b - Ax ^ Lte resdual garaterar te korrekt lösg Korrekt lösg ka ha stor resdual A =....»cod(a) = 4.e Lte resdual Stor resdual b =.. x = b3 = x3 = - x =»orm(x-x)/orm(x) =»orm(b-a*x) =.e-3 x4 = -»orm(x3-x4)/orm(x3) = 7.7e-4»orm(b3-A*x4) = Egeskaper som ka utyttjas Symmetrska pos.def. system Symmetr t.ex. A T =A A ka Cholesky-faktorseras A = LL T Pos.deft x T Ax >, alla x Bad t.ex. Kräver te pvoterg för um. stablltet Bara halva matrse behövs Gleshet t.ex. (se Matlabs sparse) x x x x x 3 /6 operatoer (hälfte mot LU) 35 36

7 Badsystem Mycket lkt valg LU lagrar bara el kortare loopar jmf med Gaussel. pvoterg ka öka badbredde (max dubbelt) Glesa system PDE ger upphov tll glesa system som ofta löses bäst med teratva metoder Pvoterg behövs ofta te för trdagoala, för dessa är ofta atge dagoaldomata eller pos.def Faktorserge O(β ) β-badbredde 37 38