Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression

Transkript

1 Matematsk statstk Stockholms uverstet Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Examesarbete 8:

2 Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 6 9 Stockholm Sverge Iteret:

3 Matematsk statstk Stockholms uverstet Examesarbete 8:, Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Februar 8 SMMNFTTTNING Dea uppsats utvärderar huruvda e ckeleär utvecklg av de logstska kredtrskmodelle förbättrar mölghete att mäta ett företags kokursrsk. Det ckeleära bdraget baseras på e kvadratsk sple utvecklg av de logstska kokursrskmodelle. Kokursrskskattgara utvärderas utfrå e CP-aalys och dess verka på kredtrske kvatferas med hälp av Credt Susse kredtrskmodell CRS. Stude utförs på ett stort datamateral, ehållade kvartalsobservatoer för samtlga sveska aktebolag uder tdsperode 99Q tll Q4. Det huvudsaklga resultatet som preseteras uppsatse är att e ckeleär utvecklg av de logstska kredtrskmodelle avsevärt förbättrar kokursrskskattgara. För de kokursrskmodeller som edast begrper bokslutsformato så sker e förbättrge för samtlga företag och för de kokursrskmodeller som äve begrper amärkgsformato så sker e förbättrg för de 9 % av företage som har lägst skattad kokursrsk. Nyckelord: Kokursrskmodellerg, kredtrskmodellerg, logstsk regresso, sple-regresso och ckeleär logstsk regresso. E-post: erk.vo.schedv@rksbak.se. Hadledare: Rolf Sudberg, rolfs@math.su.se

4 BSTRCT Ths thess compares a lear logstc default rsk model wth a olear such model, based o regresso sples. The performace of the estmated default rsk s evaluated by a CP-aalyss (Cumulatve accuracy profle) ad the mpact s quatfed by Credt Susse s credt rsk model CR. The survey s based o a large pael dataset of quarterly observatos, coverg all Swedsh lmted frms (aktebolag, B) betwee 99Q ad Q4. The ma fdg s that the credt scorg performace mproves whe accoutg ratos are allowed to eter the logstc default rsk model a olear fasho. Förord Detta examesarbete har skrvts på Rksbakes forskgsehet. Utgågspukte har vart att utfrå ett pågåede kokursrskproekt utvärdera fördelara med e ckeleär utvecklg av e logstsk kokursrskmodell. Det fs e rad persoer som med stt kuade gort detta examesarbete mölgt. Först bör m hadledare och chef på Rksbake, Tor acobso, lyftas fram. Det är utfrå has tatv och hälp detta arbete har utförts. Äve m hadledare frå Matematsk statstk vd SU, Rolf Sudberg, har geom stt egagemag vart ett stort stöd uder arbetets gåg. Vdare skulle ag vla tacka Paolo Gorda och Mattas Vlla som fugerat som statstska bollplak samt övrga kollegor på Rksbakes forskgsehet.

5 Iehållsförteckg Itrodukto Syfte 4 3 Dsposto 4 4 Ickeleär regresso 5 5 Sple-regresso 6 5. De trukerade potesfuktoe 6 5. Sple-modelle ddtv semparametrsk sple-regresso 9 6 Logstsk regresso 7 Semparametrsk logstsk regresso 8 Modellutvärderg med IC och SC 9 Data 3 Lokala Kofdestervall för kokursrske 7 Kokursrskmodellera 8 Ickeleär modellerg av ett yckeltal 3 Modellresultat 4 Utvärderg 4 5 Portfölutvärderg 3 6 Slutsatser och kommetarer 36 Refereser 38 ppedx 4 ppedx B 46 ppedx C 5 ppedx D 56

6 Itrodukto Fasella sttutoer har allt större utsträckg börat kvatfera de rsker som är kopplade tll lågvg. Dea utvecklg har pådrvts av flera bakomlggade faktorer; e teksk utvecklg av kredtportfölshaterge; mskad lösamhet om de tradtoella utlågsdustr; ya mölgheter att skapa lösamhet va kredtdervat; föradet av ya reglergar va Basel II. Ett yckelmått som aväds för att mäta kredtrske är låtagaras kokurssaolkhet (probablty of default, PD). PD har fått stor betydelse va de ya Basel II reglera vlka fordrar att baker och adra fasella sttutoer utför e ter kaptalutvärderg (teral captal adequacy process, ICP). Regelverket är utformat så att utvärdergsprocesse baseras på respektve baks ege utlågshstork. Då PD är e yckelvarabel vd beräkge av kredtrske för e utlågsportföl så är det av yttersta betydelse att måtte återger de faktska kokursrske för att kredtrskbedömge skall bl korrekt. Kokurssaolkhet ka tll stor utsträckg förklaras av företages fasella ställg va yckelmått som: skuldsättgsgrade, omsättgsgrade, tllgåge tll lkvda medel etc. Me forskg uder seare år påvsar äve att makrovarabler har e betydade verka på PD. Fluktuatoer ett lads aggregerade kokursrsk ka, av aturlga skäl, tll stor del förklaras av de allmäa koukturcykel. Ett statstskt verktyg som är valgt förekommade för att mäta ett företags kokursrsk är de logstska regressosmodelle, med fasella yckeltal och amärkgshstork som förklarade varabler. De logstska regressosmodelle modellerar logt leärt mot de förklarade varablera. Ett problem som uppkommer då de logstska regressosmodelle aväds är att de te fågar upp evetuellt ckeleära relatoer mella de fasella yckeltale och kokursrske. De logstska kokursrskmodelle har vsat sg uder- eller överskatta kokursrske för olka våer av de fasella yckeltale. Huvuddraget dea uppsats är att utvärdera huruvda e ckeleär utvecklg av de logstska kredtrskmodelle förbättrar mölghete att mäta ett företags

7 kokursrsk. Det ckeleära bdraget kommer att baseras på e kvadratsk sple utvecklg av de logstska kokursrskmodelle. Kokursrskskattgara kommer att utvärderas utfrå e CP-aalys och dess verka på kredtrske kommer att kvatferas med hälp av Credt Susse kredtrskmodell CR. Stude kommer att utföras på ett stort datamateral, ehållade kvartalsobservatoer för samtlga sveska aktebolag uder tdsperode 99Q tll Q4. Det huvudsaklga resultatet som preseteras uppsatse är att e ckeleär utvecklg av de logstska kredtrskmodelle avsevärt förbättrar kokursrskskattgara. För de kokursrskmodeller som edast begrper bokslutsformato så sker e förbättrge för samtlga företag och för de kokursrskmodeller som äve begrper amärkgsformato så sker e förbättrg för de 9 % av företage med lägst skattad kokursrsk. Kokursrskmodeller med fasella yckeltal som förklarade varabler har presseterats vd ett flertal tdgare studer, se blad aat ltma (968), Zavgre (985), Wlso (997), Shumway (), acobso, Ldé & Roszbach (5). Merparte av de tdgare studera har baserats på börsoterade amerkaska bolag. ltma (968) var babrytade då ha publcerade e artkel som utvärderade sambadet mella fasella yckeltal och kokursrske böra av sextotalet. ltma apassade e OLS regresso för att påvsa att det förelgger ett sgfkat sambad mella ett företags fasella ställg och dess kokursrsk. Zavgre (985) tllämpade e logstsk aalys av amerkaska bolag. Modellera som Zavgre utvecklade vsade sg fåga upp 99 % av samtlga kokurser, för det gva datamateralet, uder e femårsperod. E kredtrskmodell som fågar upp relatoe mella de makroekoomska förhålladea och kokursrske presseterades av Wlso (997). Wlso redogör för McKsey s kokursrskmodell, Credt Portfolo Wew, vlke korporerar e uppsättg makrovarabler e multvarat lad/markad logstsk modell. Shumway () utvecklade aalyse geom att begrpa markadsdrva faktorer e kokursrskmodell. De markadsdrva faktorera vsade sg vara ett bra komplemet tll de fasella yckeltale. Ett flertal tllämpade studer rörade ckeleära applkatoer har preseterats och ett exempel av tllämpge rörade ckeleär modellerg av kokursrske 3

8 ges e artkel av Muller & Härdle (). De vsar att e uppsättg förklarade faktorer för dvduella låtagare med fördel modelleras ckeleärt mot rske att ett lå förfaller för betalg. Syfte Syftet med uppsatse är att udersöka huruvda e ckeleär utvecklg av de logstska kredtrskmodelle förbättrar skattge av kokursrske för sveska aktebolag. De ckeleära utvecklge av de logstska kokursrskmodelle kommer att baseras på e kvadratsk sple-regresso. Utvärderge av de ckeleära utvecklge kommer att göras geom e CP-aalys och verka av kokursrskskattgara kommer att kvatferas med Credt Susse kredtrskmodell CR. Modellera kommer dels att skattas och utvärderas med avseede på hela perode samt utfrå två separata delperoder. 3 Dsposto Uppsatses struktur föler elgt: De ckeleära sple-regressoe samt e ckeleär sple utvecklg av de logstska modelle kommer att preseteras avstt 4 tll 8. Vdare kommer dataaalys, modellresultat, modellutvärderg och portfölberäkgar att preseteras avstt 9 tll 5. Slutlge kommer slutsatsera att redovsas avstt 6. Kredtrskmodelle CR vlke lgger tll grud för portfölutvärderge avstt 4 redovsas ppedx C. 4

9 4 Ickeleär regresso Ett valgt förekommade problem om flertalet ämesområde är att apassa e modell som består av ett flertal förklarade varabler. Det exsterar e omfattade ltteratur rörade ckeparametrska och ckeleära regressosmetoder och applkatoera har blvt allt valgare uder seare år, se blad aat P. Spret & N.C Smeeto () och C. de Boor (). E avgörade orsak tll att tllämpge av ckeleära metoder har ökat de seaste åre är att det har blvt allt valgare att arbeta med stora datamateral, där tllräcklg formato fs för att estmera e regressosyta. Målet är att modellera e resposvarabel Y mot e eller flera förklarade varabler x,..., x ) X ( R gvet e uppsättg observatoer { Y } N X,. Det uderlggade systemet som geererar de observerade värdea atas vara formulerat elgt Y X ( ) ε f, över ett gvet område X D R R som omfattar det observerade datamateralet. Fuktoe f, med dess R-dmesoella argumet, fågar de sammaslaga skattade sambadet mella Y och storhete X. Målet med regressosaalyse är att utfrå det observerade datamateralet kostruera e fukto fˆ ( X ) över det gva området D. Flertalet metoder ka avädas för att apassa e ckeparametrsk fukto f. E valgt förkommade metod som ka avädas för ckeparametrsk modellerg är lokal regresso, se Clevelad (988, 99). Lokal regresso är e metod där e regressoesyta apassas geom att lokalt apassa leära eller kvadratska fuktoer elgt e förflyttade rörelse. dra metoder som aväds för att apassa cke- och semparametrska regressosmodeller är th plate metode, se Wahba (99), och Kerel regresso, se Nadarya (964). Ett problem med ova agva regressosmetoder är att samtlga är beräkgstesva. Eftersom modellera dea uppsats skall apassas utfrå 5

10 ett stort datamateral så krävs det att e metod med låg beräkgstestet väls. E metod med låg beräkgstestet är sple-regressoe vlke preseteras eda. 5 Sple-regresso Sples ka deferas som styckvs valda polyom av grad s för vlka fuktosvärdea samt de första s- dervatora överesstämmer för de pukter där de möts, se Smth (979). Puktera där polyome möts kallas kutpukter. E valg polyomutvecklg ka ses som e sple-fukto uta kutpukter. Grade på polyome samt placerge av kutpuktera ka varera mella olka tllämpgar. Placerge av kutpuktera, för att uppå bästa mölga passform, har vsat sg vara e svår uppgft. För högt atal kutpukter ka äve leda tll överapassg. 5. De trukerade potesfuktoe För att apassa e sple-regresso med msta kvadratmetode så ka de trukerade potesfuktoe avädas som basfukto för att uttrycka de kotuerlga/muka restrktoer som krävs. Om v deferar ( x t) max{ x t,}, så ka v formulera de trukerade potesfuktoe av ordg s som s s ( ) ( x ), x s,,,... Fuktoe ( x) ( x t) s f är ett styckvs polyom, av grad s, med edast e aktv kutpukt vd t. Fuktoe är kotuerlg t om s >. Me om s så s s har f ett hopp vd kutpukt t av storleke. Då ( ) ( ) D x t t ka v se s x 6

11 att ( x t) s har s- kotuerlga dervator med hopp de s-te dervata över t, av storleke s!. Då x måste v veta värdet av defto a för alla ckeegatva a så har va att ( x ). Me för, vlket e är deferat. V ka då göra fölade, vlke ger att ( ) x, för x. Gvet detta så är ( t) s x e styckvs polyomfukto äve för s vlke bestäms av dess polyomdelar och kutpukter. Fgur 5.. eda llustrerar hur de trukerade potesfuktoera går sple modelle Fgur 5..: Fuktoera.( x t), ( x t), ( x t) och ( t) 3 x för t. 5. Sple-modelle För att llustrera hur de trukerade potesfuktoera aväds e sple modell betraktar v först fallet med e styckvs kubsk fukto för x med e kutpukt t, uta ågra krav på kotutet kutpukte. Fuktoe formuleras då elgt fölade 3 f ( x) β β x β x β x β ( x t) 3 7

12 ( x t) β ( x t) β ( x t) 3 β, 3 där v deferar ( t) x om x t > och oll aars. Fuktoe f är deferad så att de e behöver vara kotuerlg för f eller f () vd kutpukt x t. Om β tas bort frå fuktoe så blr f kotuerlg, om äve β tas bort så blr både f och f () kotuerlga. Geom att lägga tll och ta bort termer frå fuktoe så ka v föra och utvärdera restrktoer rörade kotutet. Utvärderge ka göras geom att udersöka msta kvadratskattgara av β och β. Ett sgfkastest ka formuleras geom att testa hypotese 3 β β β β mot sple-modelle. Testet utvärderar huruvda splemodelle ger e sgfkat bättre passform ä ett kubskt polyom. Geerellt så gäller det för kutpukter, t <... < t, med polyom av grad s att v ka formulera e sple-modell uta ågra restrktoer rörade kotutet. Fuktoe ges då elgt eda f ( ) S S s x s x β s ( x t ) β. (5..) s s s Närvaro av terme ( x t ) s β ger att dskotutet tllåts vd kutpukt t för s de s-te ordges dervata för f och f (s), där f () f, ärvaro av lägre ordges påtvgar kotutet vd kutpukt t. Fölaktlge ka f göras t kotuerlg vd kutpukt t geom att utesluta terme ( ) s göras kotuerlg geom att utesluta terme ( ) s β s β x och f () ka x t. Om v vll att fuktoe f skall vara kotuerlg för de s-te dervata vd e gve kutpukt t så vll v äve saolkt att fuktoe skall vara kotuerlg för lägre ordges dervator vd kutpukt t. Kotutet förs geom att avlägsa all termer ( x t ) m β för m,,,..., s. Olka restrktoer rörade kotutet ka m föras geom att avlägsa termer frå Ekvato 5... Eftersom avlägsadet av e term, trukerad potesfukto, är det samma som att föra e kotutetsrestrekto så blr fuktoe mukare vd de gva kutpukte. De 8

13 mukaste mölga sple-modelle av grad S med kutpukter ges av Ekvato 5.. elgt f ( ) S s x s x βs ( x t ) β, s S där samtlga trukerade potesfuktoer med e grad lägre ä S avlägsast. Gvet att S så är fuktoe f samt första ordges dervator kotuerlga vd kutpukt t. 5.3 ddtv semparametrsk sple-regresso Defera lksom tdgare X som e R-dmesoell vektor beståede av förklarade varabler samt Z som e P-dmesoell vektor av förklarade varabler och Y som e observato av e resposvarabel. tag att relatoe mella Z och Y är leär och att relatoe mella X och Y är okäd. E semparametrsk modell ka då deferas elgt Y ( X ) Z β ε f, där f är e ospecfcerad fukto och Z β är de leära dele av regressosmodelle. Vektor β ka formuleras elgt ( ) T β α β, β, β,..., ( P ) där α är terceptet, β p är lutgskoeffcete för Z och ε är felterme vlke deferas som e oberoede och lkafördelad N(,σ²) varabler. De addtva semparametrska modelle är ett specalfall av de ova formulerade semparametrska modelle. Ett addtvt tllägg ka göras geom att utveckla f och X med R-dmesoer vlket ger e modell som ka formuleras elgt Y R f r r ( X r ) Z β ε, (5.3.) 9

14 där fuktoe f r är formulerad elgt e modferad sple-fukto f r ( X ) r r r ( xrh tr ) S β. (5.3.) Kutpukte t r är de -te kutpukte för de h-te förklarade varabel. E modell beståede av ett högt atal förklarade varabler kräver ett omfattade datamateral för att ge goda koeffcetskattgar. Fördele med att aväda sg av e sple-regresso vd ckeleär modellerg är att de ka skattas utfrå msta kvadratmetode vlke är e metod med låg beräkgstestet. 6 Logstsk regresso De logstska regressoe deferas av att ;,,... k, är oberoede stokastska varabler och ( N, p( X )),,,..., k, ~ B där logt ( X ) ( X ) p( X ) p ( p ) log X β,,,..., k, (6.) där X är e vektor beståede av förklarade varabler,, x,..., x ), och β är e ( R vektor beståede R parametrar. De logstska fuktoe lgger tervallet [,] då X β går frå - och. De logstska fuktoe medför att det e krävs ågra bvllkor på vektor β för att uppfylla ( X ) p <. < ML-skattgara som aväds för att apassa de multpla logstska regressosmodelle redovsas ppedx D.

15 7 Semparametrsk logstsk regresso De logstska regressoe är ett specalfall av de geeralserade leära modelle vlke deferas elgt [ Y X ] F( α X β ) Ε, där F( ) är e läkfukto. Då Y är bär gäller att [ X ] Ρ( Y ) Ε Y. X Vlket ger att de logstska regressosmodelle är e geeralserad leär modell med e fördelgsfukto F( ) som läkfukto. Detta ger att de utvdggar som ka geomföras för e geeralserad leär modell äve ka göras för e logstsk regressosmodell, se McCullagh & Nelder (989). De semparametrska modfkatoe som avses dea uppsats geeralserar det leära argumetet tll ett partellt leärt argumet. tag lksom tdgare två vektorer beståede av förklarade varabler, X och Z, där Z har e leär relato tll Y och X har e okäd relato tll Y. De geeralserade partellt leära modelle ka då formuleras elgt [ Y X, Z ] F( f ( X ) Z β ) Ε, (7.) där v lksom tdgare atar att F( ) är de logstska läkfuktoe. Det ckeleära bdraget f och vektor β skattas då elgt samma metod som parametrara för de valga logstska regressosmodelle skattas, elgt MLmetode.

16 8 Modellutvärderg med IC och SC För att utvärdera modeller så ka kake formato crtero (IC) och/eller Schwartz crtero (SC) avädas, se kake (974) och Schwartz (978). SC ka äve beämas som Bayesa formato crtero (BIC). De två krterera ställer förbättrge av de logartmerade lkelhoodfuktoe mot kostad för föradet av varabler e modell. Det som skler de två krterera åt är straffterme. Om v låter r vara atalet förklarade varabler och s vara atalet resposvåer mus ett så ka de två krterera deferas elgt ( r s) IC log L, och ( r s) log( k) SC log L, där log L är de logartmerade lkelhoodfuktoe och k är atalet observatoer. De logartmerade lkelhoodfuktoe föler elgt log L exp k y ( ) ( ( )) ( ) log y log exp X β X β, där y är de bära resposvarabel. De två krterera avädas för att utvärdera modeller som apassats på samma datamateral. Straffterme för föradet av ytterlgare varabler är större för SC ämfört med IC vlket resulterar val av modeller med färre atal förklarade varabler. För e ckeleära sple-modell så ka IC och SC avädas för att utvärdera föradet av, samt atalet, trukerade potesfuktoer. Det optmala atalet kutpukter fås geom att mmera IC och/eller SC.

17 9 Data Datamateralet som legat tll grud för stude är e pael beståede av ca mloer kvartalsobservatoer av sveska aktebolag (B). Paele sträcker sg över tretto år och omfattar samtlga aktebolag som levererat ett årsbokslut uder perode auar 99 tll 3 december. Totalt så begrper materalet 78 3 kokurser över hela perode. Det som karakterserar ett aktebolag är att det fordras Kr för yregstrerg vd Patet- och regstrergsverket (PRV). ktva bolag är äve skyldga att årlge komma med ett bokslut tll PRV. Syftet med att edast kludera aktebolag stude är att de utgör huvuddele av de totala lågvge hos sveska baker. Uder de fasella krse böra av 9-talet så stod aktebolage för 75 % av de totala kredtförluste om baksystemet. De företagsspecfka formatoe har hämtats frå Upplysgscetrale B (UC) vlket är det största kredtupplysgsföretaget Sverge. Datamateralet som hämtats frå UC ehåller huvudsaklge två källor tll formato: Först, företagsspecfk bokslutsformato vlket UC hämtat frå de årsbokslut som årlge lämats tll PRV. Bokslutsformatoe täcker perode auar 989 tll 3 december 3. Dessutom ehåller materalet formato rörade företagsspecfk amärkgshstork samt betalgshstork. De företagsspecfka formatoe preseteras årsvs och amärkgsformatoe preseteras elgt de datum amärkge uppkom. E mer detalerad beskrvg av bokslutsformatoe föler eda. Datamateralet rörade årsbokslute ehåller stadardformato frå aktebolages balasrapporter (del av årsbokslutet) samt varabler rörade omsättg och vst. Som komplemet tll bokslutsmateralet återfs äve formato rörade företages betalgsbeteede och amärkgshstork. Betalgsamärkgara är baserade på 6 olka slags uteståede kredt- och skattebetalgar. Lagrge och haterge av amärkgsformatoe regleras av kredtupplysgslage och datalage samt övervakas av Dataspektoe. Exempel på hädelser som regstrerats är: försead skattebetalg, uteståede eller försead kredtbetalg, kofskerg av 3

18 egedom, rekostrukto av lå och företagskokurs. E betalgsamärkg medför problem för ett företag som asöker om lå eller kredter. Populatoe udersökge deferas av atalet företag som exsterar vd tdpukte t och som har kommt med ett bokslut som täcker det aktuella kvartalet samt är klassfcerade som aktva. Ett företag klassfceras som aktvt om det har tllgågar samt e omsättg som överstger kr. Stude exkluderar äve företag som har blvt satta kokurs uder ett tdgare kvartal. De fasella yckeltale som kommer att avädas vd apassge av kokursrskmodellera preseteras Tabell 9. eda. Gvet värdea på förklargsvarablera så betraktas de successva kvartalsobservatoera som oberoede. Nyckeltal EBITD/T TL/T I/TS L/TL IP/EBITD Kvot Vst / Totala tllgågar Total skuld / Totala tllgågar Ivetarer / Omsättg Lkvda medel / Total skuld Rätebetalgar / Vst Tabell 9.: De fasella yckeltal Utöver de fasella yckeltale så tllkommer äve e uppsättg dkatorvarabler: UTDE, NM, NM och TTBS. UTDE är e dkatorvarabel med UTDE om företagets akteägare erhåller utdelg uder det aktuella kvartalet. NM dkatorvarabel med NM om ågo av fölade amärkgar regstreras uder det aktuella kvartalet: uteblve betalg, komme kokursasöka eller utmätg av egedom. NM är e varabel med NM om företaget uteblr med skattebetalgar och TTBS är e varabel med TTBS om företaget e kommer med årsbokslutet td. Utöver utdelgsvarabel och amärkgsvarablera så tllkommer äve e säsogsvarabel som sätts tll för det trede kvartalet vare år. Orsake tll att e dkatorvarabel kluderas för det trede kvartalet är att atalet kokursasökgar av aturlga skäl avtar uder sommarmåadera. 4

19 Kokursrskmodellera kommer äve att begrpa de omella räta som e makrovarabel, beämd RÄNT. Syftet med att kludera de omella räta modellera är att de medför formato rörade det aktuella koukturläget. De aggregerade kokursfrekvese tycks tll stor utsträckg föla det allmäa koukturläget, se Fgur 9. vlke llustrerar kokursadele, de omella räta och e koukturdkator form av förädrge sysselsättge. Relatoera atyder att ytterlgare makrovarabler utöver de omella räta med fördel ka kluderas modellera me då syftet första had är att udersöka om ckeleär modellerg av de fasella yckeltale förbättrar de logstska kokursrskmodellera så har stude avgräsats tll att edast begrpa e makrovarabel.,3,, 9Q 9Q3 9Q 9Q3 9Q 9Q3 93Q 93Q3 94Q 94Q3 95Q 95Q3 96Q 96Q3 97Q 97Q3 98Q 98Q3 99Q 99Q3 Q Q3 Q Q3 Q Q3 -, -, -,3 ggregerad kokursfrekves -,4 Nomell räta (ormalserad map kokursfrekvese) Förädrg sysselsättge (ormalserad map kokursfrekvese) -,5 99Q - 3Q4 Fgur 9.: Kokursadel per kvartal med avseede på samtlga sveska aktebolag samt de procetuella förädrge sysselsättge och de omella räta (ormalserade med avseede på kokursfrekvese, med avseede att förekla de grafska framställge). Medelvärdet för de fasella yckeltale samt dkatorvarablera, med avseede på perode 99Q tll Q4, preseteras Tabell. ppedx. Tabelle särskler företag som gått kokurs och företag som e gått kokurs. Medelvärdet av e dkatorvarabel ka ses som ett procetuellt mått på hur stor adel av populatoe som har egeskape. Utfrå presetatoe så är det uppebart att företag som gått kokurs geerellt har e lägre vst, högre skuldsättgsgrad samt lägre tllgåg tll lkvda medel. märkgsvarablera tycks också dkera e förhöd saolkhet för att ett företag skall gå kokurs: företag som gått kokurs tederar att ha e betydlgt högre adel 5

20 betalgsamärkgar samt uteståede årsbokslut. Ett mått som exkluderar verka av evetuella extremobservatoer är medae vlke preseteras Tabell.3 ppedx. Medae återger lksom medelvärdet att det förelgger e skllad mella företag som går kokurs och företag som e går kokurs. Skllade mella de två gruppera är dock mdre då medae beaktas vlket tyder på att datamateralet rörade de fasella yckeltale har e skev fördelg, evetuellt ehållade extremobservatoer. Relatoe mella kokursrske och var och e av yckeltale redovsas Fgur. ppedx. Grafera Fgur. llustrerar att det förelgger ett mer eller mdre ckeleärt förhållade mella samtlga yckeltal och kokursrske. Det är mer eller mdre uppebart det uvarata fallet att de logstska regressosmodelle får det svårt att återge relatoe mella yckeltale och kokursrske. E vktg slutsats som ka dras utfrå fgure är att våera för de fasella yckeltale har e verka på kokursrske vlket atyder att de kommer att bdra med formato de emprska modellera. Utfrå dea slutsats så blr det tydlgt att Fgur. har e kopplg tll Tabell.3 geom att de båda llustrerar att de fasella yckeltale ger e sgal rörade företages kokursrsk. Ytterlgare e egeskap som är tressat att studera är relatoe mella två yckeltal och kokursrske, se Fgur. ppedx. Fgur. llustrerar de to mölga relatoera för de fem yckeltale. E tressat observato är att de ckeleära relatoera mella yckeltale och kokursrske blr mdre tydlga är relatoe mella två yckeltal och kokursrske beaktas. Detta blr extra tydlgt då det fasella yckeltalet lkvda medel geom totala lå (L/TL) beaktas. Då ett företag har tllgåg tll lkvda medel tycks olka våer av de övrga varablera ha e låg verka på kokursrske. Ickeleära relatoer som framkommer det uvarata fallet tycks e vara lka framträdade då relatoe mella två yckeltal och kokursrske beaktas. Utöver sambade mella två yckeltal så ka det vara tressat att beakta hur relatoera mella de fasella yckeltale och kokursrske har förädrats över de femtotvå kvartale, se Fgur.3 ppedx. Om v beaktar de fasella krse böra av 99 talet så ser v att adele kokurser med 6

21 7 avseede på det allmäa koukturläget främst påverkar yckeltales svasar. Fgure atyder att e eråtgåede tred det allmäa koukturläget främst leder tll e förhöd margell kokursrsk med avseede på de fasella yckeltale. Sambadet mella koukturläget och kokursfrekvese föraleder begrpadet av makrovarabler kokursrskmodellera. Lokala kofdestervall för kokursrske Låt L betecka atalet kokurser ett gvet tervall L med avseede på e förklarade varabel. E medelvärdesbldg fås då geom att låa formato frå agräsade tervall elgt L I N p ˆ, där N är atalet observatoer tervall och är atalet tervall som aväds för att skatta p ett område rut L. V förutsätter oberoede mella olka tervall atal kokurser, att pˆ är lokalt leär med god approxmato och att små p ger att ( ) p p p. tag att atalet kokurser tervall är Bomalfördelad, ), ( ~ p N B. Då föler vätevärdet och varase elgt () respektve () eda. () [ ] pˆ Ε [ ] Ε Ε L L L L N N L L L L p p N N. () [ ] p Var ˆ [ ] Oberoede N Var L L ( ) [ ] ( ) ( ) L L L L p p N N Var N ( ) ( ) ( ) L L L L N p N p p.

22 Normalapproxmato ger att L L p pˆ ~ N p,. L ( ) L N Med hälp av ormalapproxmatoe ka ett kofdestervall för p, på e α- vå, formuleras elgt (9.) L L p CI α p ± λ. N ( ) α L L Normalapproxmerade kofdestervall har beräkats för samtlga bokslutsvarabler och redovsas Fgur. ppedx, där har satts tll. De grafska framställge llustrerar äve atalet observatoer som befer sg om det 95 procetga kofdestervallet. Uder de föreklade förutsättge att alla fem p är lka och att skattgara är ormalfördelade så skall ca 6 % av observatoera lgga om kofdestervalle vlket vsar sg stämma för samtlga yckeltal. Kokursrskmodellera Kokursrskmodellera som aväds arbetet baseras på de multpla logstska regressosmodelle och e utvecklade multpla logstsk sple-regresso. De multpla logstska regressosmodelle som aväds föler elgt Ekvato 6. där samtlga fasella yckeltal och dkatorvarabler kommer att modelleras leärt mot logt elgt ( Z ) p( Z ) p log Z β, 8

23 där Z är e radvektor med de första kolume form av ettor fölt av koloer beståede av de fasella yckeltale, dkatorvarablera och makrovarabel. Kolumvektor ( α, β, β β ) T β består av ett terceptet vd första,..., P postoe fölt av lutgskoeffceter för de förklarade varablera. De multpla logstska sple modelle som kommer att apassas deferas elgt Ekvato 5.3. och 7.. Modelle är e utvdgg av de multpla logstska modelle och föler elgt ( X, Z ) p( X, Z ) R p log f h ( X r ) Z β, r där Z och β deferas lksom ova och fuktoe f r ( X r ) föler elgt Ekvato 5.3. med grad S : f r ( X ) r r r ( xr tr ) β, (.) där x r är observato av förklarade varabel r,..., R. I uppsatse så kommer v att ha R 5 förklarade varabler och 3 kutpukter, placerade på 5e, 5e och 75e percetle för vardera av de fem yckeltale. Syftet med att placera kutpuktera elgt dessa percetler är att uppå bästa mölga passform för de tervall där flertalet av observatoera återfs. Koeffcetera ML estmeras elgt Newtos metod, skattgara görs med hälp av det statstska paketet SS. r 9

24 Ickeleär modellerg av yckeltales verka på kokursrske För att llustrera hur e logstsk sple-regresso ka avädas för att fåga upp ckeleära förhållade mella de fasella yckeltale och kokursrske så preseteras två fall eda. De två relatoera som kommer att preseteras är kokursrskes beroede av dels skuldsättgsgrade (TL/T), dels kvote rätebetalgar/vst (IP/EBITD). De två varablera uppvsar e tydlgt ckeleär relato tll kokursrske. De logstska sple modelle som kommer att apassas föler elgt p log ( ) ( ) x β x p x α, β ( x t ) där fem kutpukter, t, är placerade på e, 5e, 5e, 75e och 9e percetle för vardera av de två fasella yckeltale. V ämför också med e apassg av de ekla logstska modelle, som svarar mot : β. Syftet med att placera kutpuktera elgt de agva percetlera är att uppå bästa mölga passform de tervall där merparte av observatoera återfs. Resultate preseteras Fgur. eda. De två grafera llustrerar de observerade kokursrske för gva våer av de två fasella yckeltale vlka är markerade med pukter, se äve Fgur. ppedx. De heldraga le llustrerar de logstska sple modelle och de streckade le llustrerar de valga logstska modelle. De fem vertkala lera återger placerge av de fem kutpuktera. De två grafska framställgara vsar att de logstska sple modelle fågar upp de ckeleära sambade mella yckeltale och kokursrske på ett bra sätt. De valga logstska modelle tederar däremot att uder- eller överskatta beroedet av TL/T samt ge ett totalt set helt mssvsade återgvelse av relatoe mella kokursrske och IP/EBITD.

25 K o k u rs rs k TL/T K o k u rs rs k IP/EBITD Fgur.: De logstska modelle samt logstska sple modelle apassade för de fasella yckeltale TL/T och IP/EBITD. Puktera avser observerad kokursrsk, heldrage le avser logstsk sple modell, streckad le avser ekel logstsk och de lodräta lera avser kutpukteras placerg. Vdare så kommer de multvarata sple modellera som preseteras uppsatse att bestå av tre kutpukter för vardera av de fem fasella yckeltale. Kutpuktera kommer att placeras elgt de 4e, 5e och 75e percetle för vardera av de fem yckeltale. Tre kutpukter per fasellt yckeltal vsar sg vara tllräcklgt för att avsevärt förbättra kokursrskmodelleras egeskaper. 3 Modellresultat I detta avstt redovsas resultat rörade de kokursrskmodeller som apassats på hela paele, 99Q tll Q4, samt modeller som apassats med avseede på de två paelera där åre 994 respektve utelämats. Syftet med att uteläma ett år för vardera av de två paelera är att få e frståede perod för utvärderg, e perod som e legat tll grud för modellapassge. Koeffcetskattgara som fås då e logstsk kredtrskmodell apassas med avseede på hela paele preseteras eda, Tabell 3..