Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet Stockholm Sverige.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su."

Transkript

1 ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÁÒ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÒÔ ÒÔ ÖÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ Ò ØÖ Ò Ð Ö Ð ÒÊÓÓ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½½

2 Postadress: Matemats statst Matematsa sttutoe Stocholms uverstet 06 9 Stocholm Sverge Iteret:

3 Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ùº»Ñ Ø Ø Ø ÁÒ Ø ÓÒ Ò ÒÚ Ö ÒÔ ÒÔ ÖÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ Ò ØÖ Ò Ð Ö Ë ÔØ Ñ Ö¾¼½½ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ð ÒÊÓÓ ÓÐ Ø ÔÓÖØ Ð Ø ÐÐ ØØ ÒÒ ÐÐ ØÚÔÖÓ Ù Ø Öº ÓÐ ÔÖÓ Ù Ø ÖÒ ÓÖÖ Ð Ö ÖÑ Ú Ö Ò Ö ºÁ ØØ Ö Ø ÖÒ ÓÖ Ð Ö ÓÖ Ö ØØ Ö Ö Ò ÓÐ Ú ÖÚ Ú Ø ÙÖ Ö ØØ Ö Ò Ò ÑÑ ÒÐ Ó Ö Ø Ò Ú Ú ØØÒ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ö Ò ØØÒ Ò Ú Ú ØØÒ Ò Ò ÖÓÖ Ð Ö ÓÖ ÔÖ Ø ÓÒ Ò ØØ Ñ Ð Ú Ö Ø Ð Ö Ú ØØÒ Ò Ò Ö Ó¹ Ó ÔÖ Ø ÓÒ Ò ØØ Ñ Ð Ú Ö Ø ÐÔ ÖÔÖÓ Ù Øº ÒØÓØ Ð Î ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ö ØØØÖ Ò Ð ÖÒ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ÖÙÒ ÒØ Ò Ò Ö Ò Ð Ø ÔÓÖØ Ð Ö Ò Ñ Ö ÙÒ Ñ ØÓ ÒÓÑ ØØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÐ Ò ÔÖÓ Ù Ø ÖÒ ØØ ºÎ Ò Ø ÓÒ Ù Ø Ö ÖÚÖ ØÖ Ò ¹ Ð ÖÓ ØØ ÖØ Ö Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ ÒÔÖÓ Ù Ø ÖÒ ºÎ Ò Ö¹ Ñ Ò Ø ÓÒ Ù Ø Ö Ò Òº Ñ ÙÒ Ö ÙÖÙÚ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ ÒÑ ÐÐ ÒÔÖÓ Ù Ø ÖÒ Ñ Ò Ö ÒºÖÓÓ ÓРѺ ºÀ Ò Ð Ö ÇÐ À Öº ÈÓ Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø ½¼ ½ ËÚ Ö º ¹ÔÓ Ø Ð¹

4 Abstract To calculate the total predcto error of clams reserve for a olfe surace compay we eed to ow how the dfferet products correlate wth each other. I ths wor the portfolo s lmted to cota oly two products. We chec that our tragles satsfy the basc assumptos of uderlyg the ha Ladder method. The we calculate a estmate of the predcto mea squared error ad the clams reserve for each product. The mea squared error of the total predcto for the whole portfolo wll be calculated usg Brau s method by estmatg the correlato betwee the products. We adust the tragles wth the flato ad the re-estmate the correlato betwee the products. We ca vestgate whether the correlato betwee the two products decreases wth the flato adustmet.

5 Iehållsförtecg. Förord...4. Iledg...5. Problem...5. Allmät om beräg av sadeavsättg Teor Thomas Macs ha Ladder Kotroll av traglaras uppfyllad av Macs grudatagade Osäerhete sattge Brau Iflatosusterg Geomförade och resultat ata Utfall av otroll av traglara Atagade Atagade Vsuell otroll av atagade och Avsättg och osäerhet för e tragel Avsättg och osäerhet för två traglar Utfall efter flatosusterg Slutsatser Refereslsta Appedx...9 3

6 Förord ea rapport utgör ett examesarbete om 30 högsolepoäg och leder tll e magsterexame matemats statst vd Matematsa sttutoe på Stocholms uverstet. Jag vll taca m hadledare professor Ola Hösser för vägledg och goda råd uder arbetets gåg. Jag vll äve taca m hadledare Jesper Adersso på Folsam och ma övrga ollegor på atuareavdelge. 4

7 Iledg. Problem I ett saförsärgsbolag bedrver ma oftast versamhet om ola försärgsproduter. För att beräa försärgsbolagets totala avsättg för oreglerade sador adderas de respetve produteras avsättgar. etta ger oss ett putestmat av dess vätevärde. å detta putestmat saolt aldrg ommer att bl det sammalagda utbetalda beloppet framtde ger ett predtostervall för sattge oss ytterlgare formato om vår förvätade framtda ostad. I detta arbete begräsas bolagets portföl tll att edast ehålla två ola produter. V börar med att udersöa huruvda Macs modell går att tllämpa på sadetraglara för respetve produt. Avsättge för oreglerade sador beräas för båda produtera och predtos sattade medelvadratfel. Först atar v att de båda produtera är oberoede och beräar då de totala predtoes sattade medelvadratfel. I ästa steg så aväder v oss av Braus metod och sattar orrelatoe mella produtera och beräar det ya sattade medelvadratfelet. Beroede på hur våra produter orrelerar med varadra öar eller msar osäerhete för vårt bolag. Syftet med detta arbete är att vatfera orrelatoe mella ett atal utvalda produter samt att udersöa om orrelatoe a förlaras av flatoe.. Allmät om beräg av sadeavsättg Ett försärgsavtal som gås mella e ud och ett försärgsbolag ger upphov tll ett betalflöde. För bolaget börar betalflödet med betalgar av preme valgtvs ser detta med e egågsbetalg vd avtalets böra eller måadsvs va autogro. I de avtalsperoder där ude te drabbas av e sada tar betalflödet slut med premebetalge. I de fall där ude drabbas av e sada amäls dea tll bolaget. Bolaget hadlägger sada betalar ut ersättg samt avslutar sada. Sada a äve återöppas då försärgstagare ommer med ya rav på ersättg. å v här edast sattar rse sadeavsättge begräsar oss tll att ebart aväda det betalflöde som härrör frå sadehädelsera. Vd försärgsperodes slut som valgtvs är ett år eller vartal beräar atuare e avsättg för de sador som har träffat me te betalats ut. Ett exempel på hur dea avsättg beräas är fölade: V aggregerar data frå sadesystemet tll sadetraglar ehållade utbetalt belopp. Radera besrver året då sada träffade och olumera är utveclgsåre dvs det atal år som förflutt seda sada träffade. Låt B vara för sadeår det utbetalda beloppet uder utveclgsår. Tragel eda ehåller utbetalgara för äda data dvs då. 5

8 Utveclgsår Sadeår 3 - B B B 3.. B - B B B B 3.. B - 3 B 3 B 3 B 33.. : : : - B - B - B är det acumulerade utbetalda beloppet för sadeår tll och med utveclgsår dvs. B. e ce suggade tragel eda ehåller de acumulerade utbetalgara för äda data. Efter vår aggregerg av data vll v satta de slutgltga sadeostade för respetve sadeår. V gör ett förelat atagade om att ga betalgar ommer att se efter år. et ebär att v te behöver göra ågo svasuppsattg. ärmed har v reda de slutgltga sadeostade för sadeår och behöver edast beräa för. E valg modell för dea sattg är Macs modell äve äd som ha-ladder. Med Macs modell sattar v de oäda dele av tragel då > som eda är suggad och därmed äve de slutgltga sadeostade. Utveclgsår Sadeår : : :.. : : å blr vår sattg av sadeavsättge för år : R och de sammalagda sadeavsättge för samtlga år sattas tll: R R. 6

9 etta är e väldgt förelad metod prate är det betydlgt mer omplcerat. Atuare a aväda sg av måga vertyg dels geom att fylla sadetraglara med adra uppgfter ä utbetalt belopp såsom atal sador saderegleraras uppsattade ostad för både frevessador och storsador och göra e sattg av ultmoostade respetve ultmo atalet sador. V a äve aväda oss av medelsada och sadefreves som stöd beräg av avsättge. Beräg av avsättg ser som oftast edbrutet på sademomet och adderas seda hop tll e sammalagd avsättg för produte. etta beror på att ola sademomet har ola betalmöster dels a produte både ehålla lågsvasade och ortsvasade sademomet me äve säsogsbetgade sademomet. e ola sademometes totala ostad a utveclas ola med tde och det a ebära att betalflödet för de aggregerade tragel förädras äve om de eslda mometes möster är tata. Sadebetalgara är regel postva betalgar tll ud eller leveratör. et a doc föreomma egatva betalgar form av regresser. Valgt föreommade regresser är trafegedom som ma a väla att föla upp separat. et fs adra mer slumpvs återommade sadehädelser som a föraleda regresser såsom ostader för översvämgssador där försärgsbolaget a räva ersättg av ommuer om dessa te uderhållt vatteavrge. å raftga översvämgssomrar är slumpvs återommade är dessa betalgar sälla ågot som sa applceras på de efterfölade sadeåre uta ma bör resa för detta modelle. et fs äve stora eslda sadehädelser som a påvera utbetalgsflödet raftgt. Ett exempel är storme Gudru som träffade 8-0 auar så uppsattades de totala ostade för de fyra stora saförsärgsbolage tll 3965 mr vlet svarar för drygt 0 % av de totala uppsattade sadeostade för hem och vlla företag och fastghet samt motorfordo. å e såda stor hädelse träffar tdgt på året får v ett aat utbetalgsflöde för det atuella sadeåret. et fs äve adra förädrgar av sadeostader som v behöver ta beatade. essa a omma geom ega vllorsförädrgar me äve samhällsförädrgar såsom trafförsärgsreforme och ädrade susrvgsregler. essa förädrgar ebär att v får ya ostader eller att vssa ostader försver. et saola är att de ya ostadera te föler samma betalmöster som de tdgare därmed a v te applcera det hstorsa betalmöstret som vår modell geererar. V behöver därför göra e ege sattg över de ommade dagoalera eller för sadeåret efter föradet. V gör äve ett förelade atagade att alla betalgar ser om år detta arbete. För ortsvasade momet ser utbetalgara om 5-0 år. För de lågsvasade momete föreommer det betalgar 0 år efter sadas träffade. Väler v ett lågt ommer v att bortse frå e mägd utbetalgar. Med ovaståede ommetarer a ma udra vad ytta av de modell som arbetet besrver är om v ädå te tllämpar de verlghete. E stats modell är bra att aväda sg av dels som otrollvertyg för våra ega mauellt orrgerade modeller me äve ommuatoe med revsoer. När det gäller de usape v får av orrelatoe ger det oss e bättre förståelse över de rs försärgsbolaget är utsatt för. States offetlga utredgar 007: Sverge för lmatförädrgar hot och mölgheter Fasspetoes årsblaett blad H per

10 3 Teor 3. Thomas Macs ha Ladder ha ladder är de populäraste reservsättgsmetode detta på grud av att de är eel fördelgsfr och väldgt tutv. e ger e äsla av att metode te bygger på ågra som helst atagade me det stämmer te eftersom de grudar sg på fölade tre grudatagade: Atagade : E [... ] * f 3.. et förvätade acumulerade utbetalda beloppet för ästommade år a sattas geom att multplcera utbetalt belopp httlls med e sattg av utveclgsfator f. et oäda värdet har e slumpmässg fördelg med vätevärde * f f är sattad av all tllgäglg data geom där f * för 3.. Vår sattg är därmed ett vtat medelvärde av de sattade utveclgsfatorera för vare sadeår och te de mest tutva asatse att ta ett ovtat medelvärde. et ebär att sattge tar häsy tll volyme för respetve sadeår. Med e reursv metod a v härleda vätevärdet för de slutgltga sadeostade för respetve sadeår med: [... ] * f *... f E *. å atagade är betgat på är dea e ostat vlet leder tll att v eelt a srva om evato.. tll fölade: E... f 3..3 etta ebär att de sattade utveclgsfatorera a atas vara vätevärdesrtga. Atagade Vetorera { } och { } är oberoede om. 8

11 Atagade 3 e framtda varase erhålls geom: Var[... ] * σ 3..4 där vår sattg av σ blr fölade gvet att ovaståede tre atagade är uppfyllda: σ f för Kotroll av traglaras uppfyllad av Macs grudatagade et fs flera ola sätt att otrollera om våra traglar uppfyller Macs grudatagade. Några exempel på detta är: Kotroll av atagade I Mac 994 appedx G besrvs ett förfarade där det testas om sattgara F av utveclgsfatorera är oorrelerade för ola utveclgsår. etta är e aturlg hypotes gvet evato Testet går tll så att alla fatorer F per utveclgsår raas storlesordg. Seda ämförs rage för F med fator F för. Är sllade rag för stor ebär detta att e hög fator föls av e låg eller vce versa. För testet aväds Spearmas ra orrelatostest då v har samma vätevärde me ola varas för våra fatorer. Mac atar att Spearmas teststatsta T för hela tragel är ormalfördelad och väler att otrollera traglara på ofdesgrade 50 %. Ha motverar det hela med att det dels är e approxmato och att ha vll ua upptäca orrelatoer på delar av tragel. Kofdestervallet är väldgt sävt och 50 % av falle ommer att förastas felatgt. V ommer därför att aväda oss av e högre ofdesgrad. V har tllgåg tll åtta sadetraglar där v a täa oss att e av traglara förastas geomstt. Låt N vara atalet traglar som förastas och N beroede på om testet för tragel förastas eller e 0. 0 å fås 8 E N E N 8*α ärα väls så att EN dvs E N α 8 8 å får v α vlet svarar mot vatle z 53 för stadardormalfördelge och e sgfasvå på 5 % per tragel. 9

12 Kotroll av atagade I Mac 994 appedx H fs ett test som otrollerar om sadeåre är oberoede. e främsta orsae tll att traglar te uppfyller detta atagade är är det ser e alederårsvs förädrg. Några exempel på detta är stora förädrgar av sadereglerge eller yttre fatorer som flato domstolsbeslut och förädrgar frå försärgsassa. E alederårsvs förädrg påverar både de atuella dagoale me äve fatorera för de atuella dagoale och de efterfölade. Testet går tll så att alla fatorer per utveclgsår delas upp små respetve stora fatorer medae tas bort. Atalet små fatorer på dagoal A { F F 3... F } är L som atas vara bomalfördelat elgt Br/ där r är atalet lassade värde på dagoale. Samma atagade gäller för atalet stora fatorer S. För att mäta evetuell avvelse sapas e y varabel Z m L S. Om Z är sgfat mdre ä L S så är tragel påverad av e alederårsvs tred. Testet utförs på hela tragel där teststatsta Z Z approxmeras med ormalfördelge och otrolleras med 5 % sgfas. Vsuell otroll av atagade och 3 et är äve mölgt att göra e vsuell otroll geom att plotta mot samt resdualera per respetve utveclgsår. I plotte över mot läggs äve de räta le y f * x 0 för att vsuellt avgöra om atagade är rmlgt dvs om ma a se att våra mätvärde är slumpvst fördelade lägs de räta le. För resdualera / ser plottg mot och här söer v e slumpvs fördelg av mätvärdea rg oll som te beror på värdet av för att otrollera atagade Osäerhete sattge Vår sattg av sadeostade för sadeår är sadeavsättge R * f *..* f och då blr. e totala sadeostade för hela tragel blr då och de totala sadeavsättge R R. R a ses som e predto av sadeavsättge R som erhålls geom att deftoe av R ersätta alla med de saa me oäda värdea. V övergår u tll beräg av osäerhete och börar med att beräa de för ett sadeår: 0

13 Ett sadeår Osäerhete beräas geom medelvadratfelet: mse E T Geom förhålladet mella avsättge och vår slutgltga ostad som är får v att: R mse R E R R T E T E T mse och motsvarade sattg av medelvadratfelet är: s. e. R mse R mse s. e. där för av alla äda värde vår tragel upp tll utveclgsår. För att förela otatoe framöver så ommer betgge att vara uderförstådd. et ebär att alla uttryc såsom E T respetve Var T betecas med E och Var. etsamma gäller för våra sattgar. T är mägde { } I Mac 994 preseteras e formel för sattgsfelet av de slutgltga sadeostade per respetve sadeår. I Mac 999 vsas att ma a srva om det tll e mer lättprogrammerad reursv formel. e seare varate är de som Brau 004 har avät sg av och det ommer äve v att göra. I Brau 004 a ma tydlgt föla hur medelvadratfelet approxmeras med summa av ett stoastst fel och ett sattgsfel. mse R mse Var T Var T 3.3. Brau härleder e reursv formel för respetve term högerledet och är ha lägger hop dem får ha fölade sattg: mse f mse σ där startvärdet vår reursva sattg är: mse 0 σ 3.3. Idexet <> betecar de ssta dagoale med äda värde vår tragel. agoale och de tdgare dagoalera är ostater och har därmed medelvadratfelet 0. V sattar σ geom evato 3..5 för. För får v htta e aa sattg då detta utveclgsår edast ehåller e observato. Om f och v te tror att det ommer ågra fler betalgar så a v sätta σ. I aat fall terpolerar v vlet leder tll att vår sattg blr:

14 σ 4 σ m σ m σ σ Hela tragel å v är tresserade av avsättge för hela tragel behöver v äve dess osäerhet. V har ledge begräsat oss tll att alla betalgar ser tll och med år. Sadeostade för sadeår är därmed reda äd och de totala avsättge beräas geom R R... R. Sattge av de slutgltga sadeostade för respetve år för är e oberoede eftersom att de alla beror på sattgar av samma fatorer f. ärför a v te addera varasera som v gör med avsättge. V vll beräa e sattg av vårt totala predtosfel mse. På lade sätt som för ett sadeår fås sattge geom fölade reursva formel: mse mse 3 * f σ * σ < där: < startvärdet är: mse 0. Summatoe av medelvadratfelet börar på. etta beror på att v vll böra summera över de första oäda värdea. e äda värdea tragel begräsas av <> vlet ger det första oäda värdet för sadeåret gvet respetve utveclgsår. Reursoe ger oss det totala medelvadratfelet för hela tragle. Predtostervall För att beräa ett predtostervall för vår sattg av sadeavsättge för sadeår så måste v böra med att ata e fördelgsfuto för R. E mölghet är att ata e ormalfördelg. oc är fördelge valgtvs svevare ä de symmetrsa ormalfördelge detta specellt om Var R > 50% * R. I dessa fall passar logormalfördelg med parametrara µ och σ bättre dvs

15 3 exp exp / exp R Var R E σ σ µ σ µ etta leder tll sattgara: / l /. l R R R s e σ µ σ Predtostervallet för vår sadeavsättg för år blr då: / * *exp R σ σ ±λ där λ är e vatl för e stadard ormalfördelg svarade mot de valda ofdesgrade. Predtostervallet för hela avsättge beräas exat som ova för det eslda sadeåret med R stället för R. 3.4 Brau Modell för orrelatoe mella två sadetraglar Med Braus modell beräar v orrelatoe mella två traglar. V atar te att orrelatoe sa vara e förutbestämd ostat över alla årgågar uta de beräas per utveclgsår. Här eda föler de atagade v har för de båda traglar med de acumulerade betalgara och som v vll udersöa: Tragel Tragel f g F G T F Var σ T G Var τ V atar att orrelatoe är ett eelt parvs sambad mella och. V geeralserar varasevatoera ova tll: f σ g τ

16 ov F G T ρ 3.4. där. För att föla atagade två utveclar v oberoedet mella sadeår tll att omfatta båda portfölera. V får därför att: T är mägde { } ov F G T 0 då. På samma sätt som v sattadeσ och τ sattar v ρ. e eda sllade blr ämare / w stället för /. etta beror på att v vll ha e vätevärdesrtg sattg ρ * * F f G g 3.4. w där : w. < < Med auchy Schwarz olhet a v vsa att 0 w. Geom att aväda deftoe av orrelatosoeffcete får v fram att orrelatoe ρ mella F och G ges av. σ τ Estmerg av predtosfelet för de båda traglara för ett sadeår V börar som tdgare med att beräa predtosfelet för det eslda sadeåret. Medelvadratfelet för approxmeras med det stoastsa felet och sattgsfelet: mse Var T Var T där det stoastsa felet delas upp : Var Var ov Var och sattgsfelet : Var Var ov Var Geom formel och 3.3. får v fram fölade sattg av medelvadratfelet för ett sadeår: 4

17 5 ov ov mse mse ov ov Var Var Var Var ov Var Var ov Var Var mse där de första termera är medelvadratfelet för de eslda traglara som sattas geom e respetve ovarasera sattas med edaståede reursva formler: g f ov ov ρ < < g f ov ov ρ med startvärde: 0. ov 0. ov Estmerg av predtosfelet för de båda traglara Tllvägagågssättet för hela tragel är detsamma som för ett sadeår. Här får v att approxmatoe av medelvadratfelet blr: T ov Var Var ov Var Var mse m ess sattg blr då: ov ov mse mse mse där de första två termera hämtas frå reursoe för totala medelvadratfelet för e tragel och ovarasera sattas geom dessa två edaståede evatoer: g f ov ov 3 3 ρ startvärde och 3 < < g f ov ov ρ med startvärde -m.

18 Utfrå våra sattgar av ovarasera a v beräa de totala orrelatoe mella de båda traglara geom evatoe: Var X Y Var X Var Y ρ X Y Var X Y Var X Var Y ρ X Y Var X Var Y Var X Var Y är X och Y svarar mot predtosfelet för respetve tragel. Geom att ersätta VarXY med vårt sattade medelvadratfel för båda traglara och VarX och VarY med de eslda traglaras sattade medelvadratfel a v beräa orrelatoe mella traglara. etta görs på både eslda sadeår och för hela traglara. 3.5 Iflatosusterg Elgt Brau och tese detta arbete borde orrelatoe msa om ma flatosusterar traglara. Iflatosusterg ebär att v räar om tragel tll pegvärdet för det seast äda året. V utgår frå de remetella traglara. e ssta äda dagoale är de där. e sadeutbetalgar som har gorts uder år är B. Vår dextabell: År Idex a a : : : : a a a - - e remetella flatosusterade betalgara betecas med L där: L B * a / a. För att få våra acumulerade betalgar adderas tragel upp som ledge. 6

19 4 Geomförade och resultat 4. ata V har avät oss av data frå flera produter per produtgre. V har valt produter som är gasa stabla storle frå år tll år. Fölade är produtera: Hem och Vlla Hemförsärg Frtdshusförsärg Vllahemförsärg Motor Traf perso Traf egedom Su och olycsfall Idvduell vuxeolycsfall Kolletv barförsärg Idvduell barförsärg För att ua presetera det datamateral som har aväts så har v räat om traglara tll e ege valuta. et ebär att alla fatorer och relatoer är rtga doc blr te de totala avsättge och predtosfelet det. V aväder oss av de totala sadetraglara för produtera. V får därför göra ett förelade atagade om att traglara är homogea. 4. Utfall av otroll av traglar 4.. Atagade Kotroll av oorrelerade utveclgsfatorer. För de atuella sadetraglar får v fram fölade teststorhet av Spearmas test-statsta är v aväder oss av sgfasvå.5 % per tragel. Aalyse har gorts på traglar med 8 0 respetve 4 års hstor. e suggade fälte derar att teststorhete lgger utaför det rtsa området så att ollhypotese oorrelerade fatorer te förastas. Produt 8 år 0 år 4 år Vllahem Frtdshus Hem Traf Perso Traf Egedom Id. Bar Id. Vuxe Koll. Bar

20 e rtsa områdea utgörs av de värde som lgger utaför för 8 år för 0 år utaför samt för 4 år utaför V får alltså förasta hypotese för två respetve tre av traglara med 0 respetve 4 sadeår. För traglara med 8 år förastas edast e tragel. V gör e lte dupdyg de sadetragel där ollhypotese förastades för samtlga år vllaförsärg. Vlla utgör e väldgt ortsvasad affär. Med det mear ma att tde frå sadas träffade tll att ude har fått all ersättg är ort. Reda tre år efter sadeåret så har över 95 % av utbetalgara reda lämat bolaget. e höga teststorhete geereras av de två första åre meda de ommade sadeåre är slumpmässgt fördelade som de borde vara. et är alltså te ågo slump som har geererat dea höga teststorhet. Geom att flatosustera data udersöer v om det bl ågo sllad. ET Atal år Raa data Iflatosusterat M 5 % sgfas Max 5 % sgfas 8 år år år Förädrge av teststorheteras värde är edast margell. Ytterlgare e asats tll att få fram e lämplg tragel som ma a applcera Macs modell på görs geom att dela upp tragel de största sademomete. Vlla a grovt delas upp /3 Brad /3 Vatte och /3 övrga sadeostader. Testet geomförs ge med de tre uppdelgara. För tragel med 0 år fås fölade resultat: ET Sademomet Raa data Iflatosusterat M 5 % sgfas 8 Max 5 % sgfas Brad Vatte Övrgt Med dea uppdelg hamar både Brad och Vatte utaför det rtsa området. När det gäller övrgt så består de av måga mdre sademomet där e omfördelg av ostadsmassa mella de ola momete är förlarge tll att de blr sgfat. e flatosusterade traglara för brad och vatte lgger äve om Macs sävare 50 % ofdestervall. Som uppmärsammats ledge är det svårt att aväda sg av traglar på totalvå då ma har ola betalflöde om ola delmomet vars adel av de totala sadeostade a varera över tde. ärmed fs det e rs för att de sammaslaga tragel derar på orrelato mella de ästommade utveclgsfatorera är de egetlga orsae är förädrg totala sademassa mella de ola sademomete. Trots att både traf perso och vlla blev sgfat slda frå ollhypotese att ge orrelato mella efterfölade fatorer fs så väler v att gå vdare med traglara på 0 år. V sulle å ett bättre resultat testet om v mometuppdelade sadetraglara me målet

21 för detta arbete är att otrollera orrelatoe mella de ola traglara så därmed är v acceptera med att 6 av 8 traglar föll väl ut testet. 4.. Atagade Vd otroll av oberoede mella sadeår eller alederårsvs oberoede för tragel med 0 år fer ag fölade: Produt Z M 5% sgfas Max 5% sgfas Vlla Frtdshus Hem Traf Perso Traf Egedom Id. Bar Id. Vuxe Koll. Bar För alla traglar lgger teststorhete utaför det rtsa området. V a därmed te förasta att sadeåre är oberoede Vsuell otroll av atagade och 3 Av utrymmessäl har v valt att te otroller alla utveclgsfator och resdualer för alla traglar. E otroll av detta sulle ebära 6 plottar för vardera av våra 8 traglar och därmed 8 plottar totalt. Neda föler ett exempel för traf egedom: V börar med att plotta det acumulerade utbetalda beloppet tll och med år två mot utbetalgara för år ett. Elgt atagade förvätar v oss att se e slumpmässg fördelg lägs le 0 y f * x vlet v ocså gör. å de stadardserade resdualera för utveclgsår två / plottas mot får v fölade utfall: 9

22 äve här ser det relatvt slumpmässgt ut. et som försvårar aalyse är att de acumulerade betalgara för år ett är relatvt stabla. Med e större sprdg av dem hade det vart lättare att ursla avvade möster. V väler att gå vdare med våra traglar trots att de tdgare testera te fullt vsat att haladder metode är tllämpbar. et är ett för raftgt atagade att ata att de totala traglara per produt är homogea. et fs äve e tedes tll att fatorera är orrelerade för vssa produter. V har doc apassat storlee på traglara för att mmera detta och få så bra uderlag som mölgt. 0

23 4.3 Avsättg och osäerhet för e tragel V börar med e sadetragel för traf egedom. Geom att göra e graf av de acumulerade betalgara a v otrollera våra data. Y-axel betecar det acumulerade utbetalda beloppet x-axel utveclgsåre och grafera sadeåre. Alla grafer har e lade form och v a tydlgt se att de plaar av efter utveclgsår fyra. etta a v äve se tabelle över de sattade utveclgsfatorer eda där t.ex. fator för utveclgsår fem är sattad tll 00 och för utveclgsår åtta är de 000. ärmed uppfyller traf egedom vårt atagade om att alla utbetalgar sa se om 0 år. Sadeavsättg ÅR tr Medelfel Utveclgsår σ Totalt Fatorera avtar stablt över tde som de bör. Ett 90 % predtostervall för totala avsättge uder atagade av logormal fördelg beräas tll

24 För vår adra tragel som är frtdshus där beloppet får v fram fölade: betecar det acumulerade utbetalda Här har v e betydlgt större sprdg mella sadeårgågara. etta beror på att frtdshus är e mdre produt ä traf egedom. Utfallet blr därmed mer slumpmässgt. V a ädå se att de ola sadeårgågara föler samma möster. Efter utveclgsår sex är fatorera så pass små att ett atagade om att betalgara ser om 0 år är rmlgt. Sade- ÅR avsättg Medelfel Utveclgsår τ Totalt Här beräas vårt 90 % predtostervall för logormal tll V delar upp produtera mella två separata försärgsbolag där bolage edast bedrver versamhet e av produtera. Försärgsbolag A med traf egedom behöver avsätta 974 mr avsättg för oreglerade sador och ytterlgare mr extra aptal för att ua täca ostade 9 av 0 fall. Försärgsbolag B med frtdshus behöver avsätta 686 mr avsättg för oreglerade sador och ytterlgare 3 mr extra aptal.

25 Predtostervall för båda traglara vd oberoede. Bolag A och B geomgår e sammaslagg och därmed vll v beräa predtostervallet för hela bolagets ya portföl dvs. båda produtera. V börar med att ata att de är oberoede. För att beräa predtostervallet för oberoede traglar så gör v fölade: e totala avsättgara är för Frtdshus respetve Traf egedom: 0 0 R R R är de sammalagda avsättge och v har att: R R För varase får v fölade: Var R R Var R R ov R R R R Om avsättgara är oberoede så blr ovarase 0. et ebär att v får mse R mse R < å blr ett 90 % predtostervall för logormal för våra båda traglar. etta ebär att avsättge för oreglerade sador är desamma me geom att gå hop msar de det ytterlgare aptalravet frå tll mr. 4.4 Avsättg och osäerhet för två traglar Braus exempel: I Braus ompedum avslutar ha med ett exempel med data frå Resurace Assocato of Amerca. För vår programmerade modell så får v samma värde som Brau preseterar tabellera på sadeavsättg medelfel och orrelato. I de löpade texte ager ha ett 90 % predtostervall med atage logormal fördelg för avsättge tll Med samma atagade v får fram predtostervallet där beräg är avstämd med exempel frå Mac 994. Både de udre och övre gräse av Braus tervall är högre ä det tervall som v har beräat. Återopplar v tll de beräg av predtostervallet som preseterades aptel 3. ges de yttre gräsera för tervallet av: R*exp ±λ * σ σ / V atar att de yttre gräsera av tervallet samt sattge av avsättg och medelfelet är orreta och beräar λ vatle e stadard ormalfördelg svarade mot de valda 3

26 ofdesgrade. V får då fram 54 för de lägre gräse predtostervallet och 78 för de högre. För ett 90 predtostervall är λ 64 för både de övre och udre gräse. ärmed har Brau utgått frå e aa sattg av sadeavsättge för beräg av predtostervallet. Två traglar: V fortsätter med frtshus och traf egedom. Istället för att ata att traglara är oberoede beräar v dess orrelato geom Braus modell och får fram fölade: Frtdshus Traf Egedom Brau ÅR g τ f σ w ρ / σ τ w V ser att är väldgt ära så e god approxamto av första dele av evato.3.8 är således. w Sattge av orrelatoe ρ / σ τ mella utveclgsåre varerar raftgt mella åre. V har e postv orrelato för år 68 och resterade orrelatoer är egatva. etta beror dels på ett ltet atal observatoer för de seare åre att satta orrelatoe med me detta fall beror det främst på att v ämför två styce väldgt ortsvasade affärer. För traf egedom varstår ca % av betalgara efter år 3 och för Frtdshus är det ca 4 %. et ebär att det te är tressat att ttta på orrelatoe för de seare utveclgsåre slumpe har för stor vera. Om v stället ämför två lågsvasade affärer där utbetalgsflödet är betydlgt lägre får v e betydlgt stablare orrelato över utveclgsåre. 4

27 Neda föler medelfelet och orrelatoe för frtdshus och traf egedom både eslt och sammaslaget. Frtdshus Traf egedom Totalt Sadeår Avsättg Medelfel Avsättg Medelfel Avsättg Medelfel Korrelato Totalt V ser att orrelatoe för hela traglara blr 00. e beror tll största dele på de orrelato som v såg för utveclgsår två vle edast påverar sadeår 009. Hade v ämfört två lågsvasade traglara hade v äve här fått e stablare orrelato över sadeåre. V får vår sattg av stadardavvelse tll att bl mot är v aptel 4.3 atog oberoede. ärmed öar osäerhete ågot. V väler äve att ttta på stadardavvelse då v atar att traglara är fullt postvt respetve fullt egatv och får därmed fölade utfall: Korrelato Medelfelet ρ ρ ρ ρ 60 Att traglara är postvt orrelerade ebär e öad rs för oss. Om v avsätter för lte pegar för frtdshus fs det e rs att v har gort detsamma för traf egedom. Om v återopplar tll vårt tdgare predtostervall så får v fölade ytterlgare aptalrav för produtera vd ola orrelato. V ser att 90 % predtostervall Korrelato Udre Övre Ytterlgare aptalrav et ytterlgare aptalravet går frå 3 mr vd fullstädg egatv orrelato tll 63 mr vd fullstädg postv orrelato. Ett predtostervall med e postv orrelato är bredare ä om det hade vart oorrelerat och smalast är de predtostervall där traglara är egatvt orrelerade. 5

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser

Korrelationens betydelse vid GUM-analyser Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska

Läs mer

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år

Orderkvantiteter vid begränsningar av antal order per år Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 64 Orderkvatteter vd begräsgar av atal order per år Olka så kallade partformgsmetoder aväds som uderlag för beslut rörade val av lämplg orderkvattet

Läs mer

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK. Statistik för lärare, 5 poäng UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 04--6 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 9.00-15.00 Tllåta hjälpmedel: Utdelad

Läs mer

Något om beskrivande statistik

Något om beskrivande statistik Något om beskrvade statstk. Iledg I de flesta sammahag krävs fakta som uderlag för att komma tll rmlga slutsatser eller fatta vettga beslut. Exempelvs ka det på ett företag ha uppstått dskussoer om att

Läs mer

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter

D 45. Orderkvantiteter i kanbansystem. 1 Kanbansystem med två kort. Handbok i materialstyrning - Del D Bestämning av orderkvantiteter Hadbok materalstyrg - Del D Bestämg av orderkvatteter D 45 Orderkvatteter kabasystem grupp av materalstyrgsmetoder karakterseras av att behov av materal som uppstår hos e förbrukade ehet mer eller mdre

Läs mer

Trafikljus stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring

Trafikljus stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring PROMEMORIA Datum 007-07-0 FI Dnr 07-1171-30 Fnansnspetonen Författare Bengt von Bahr, Göran Ronge P.O. Box 6750 SE-113 85 Stocholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 fnansnspetonen@f.se

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04

Lösningsförslag till tentamen i 732G71 Statistik B, 2009-12-04 Prs Lösgsförslag tll tetame 73G7 Statstk B, 009--04. a) 340 30 300 80 60 40 0 0.5.0.5.0 Avståd.5 3.0 3.5 b) r y y y y 4985.75 7.7 830 0 39.335 7.7 0 80300-830 0 3.35 0.085 74.475 c) b y y 4985.75 7.7 830

Läs mer

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression

Flexibel konkursriskestimering med logistisk spline-regression Matematsk statstk Stockholms uverstet Flexbel kokursrskestmerg med logstsk sple-regresso Erk vo Schedv Examesarbete 8: Postadress: Matematsk statstk Matematska sttutoe Stockholms uverstet 6 9 Stockholm

Läs mer

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen Kombiatori Kombiatori hadlar oftast om att räa hur måga arragemag det fis av e viss typ. Multipliatiospricipe Atag att vi är på e restaurag för att provsmaa trerättersmåltider. Om det fis fyra förrätter

Läs mer

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata

Sensorer, effektorer och fysik. Analys av mätdata Sesorer, effektorer och fysk Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Noggrahet och precso Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätgar är

Läs mer

Trafikljus utvidgat med stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring

Trafikljus utvidgat med stresstest för försäkrings- och driftskostnadsrisker inom livförsäkring PROMEMORIA Datum 007-03-01 FI Dnr 07-1171-30 Fnansnspetonen Författare Bengt von Bahr, Göran Ronge P.O. Box 6750 SE-113 85 Stocholm [Sveavägen 167] Tel +46 8 787 80 00 Fax +46 8 4 13 35 fnansnspetonen@f.se

Läs mer

Variansberäkningar KPI

Variansberäkningar KPI STATISTISKA CENTRALBYRÅN Slutrapport (9) Varasberäkgar KPI Varasberäkgar KPI Iledg Grov varasskattg Detaljerade varasskattgar av tuga produktgrupper 5 Rätekostader 5 Charter 6 Böcker 8 Utrkesflyg 0 Iträdesbljetter

Läs mer

Thomas Macks beräkning av standardfelet för reservavsättningar

Thomas Macks beräkning av standardfelet för reservavsättningar Thomas Macs beränng av standardfelet för reservavsättnngar Eva-Lena Tolstoy Rauto 008-05-09 1 Innehållsförtecnng 1. Inlednng...5. Teor...5.1 Resdualplottar...6. Thomas Macs modell...6.3 Svansfator...8.4

Läs mer

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik

Föreläsning 3. 732G04: Surveymetodik Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall

Läs mer

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P( Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycet av type a a a 0, eller ortare a 0, ( där är ett ice-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett

Läs mer

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14)

SAMMANFATTNING AV KURS 602 STATISTIK (Newbold kapitel [7], 8, 9, 10, 13, 14) AMMANFATTNING AV KUR 6 TATITIK (Newbold katel [7], 8, 9,, 3, 4) INLEDNING 3 Proortoer 3 Proortoer 4 Poulatosvaras 5 KONFIDENINTERVALL 6 Itutv förklarg 6 Arbetsgåg vd beräkg av kofdestervall 7 Tfall. ök

Läs mer

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0 TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd

Läs mer

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Borel-Cantellis sats och stora talens lag Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige ØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÐÖÒØ Ó Ð Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ý ÑÓØ Ò Ø ÓÒ Ö ÖÐ ÚÖÒØÓÖ Ö Ø Òà ÖÐ ÓÒ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼ Ƽ¾ ¾¹ ½ Postadess: Matemats statst Matematsa sttutoe Stocholms uvestet 06 9 Stocholm Svege Iteet:

Läs mer

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x

Medelvärde. Repetition. Median. Standardavvikelse. Frekvens. Normerat värde. z = x x Medelvärde Reetto mb9 Medelvärdet är summa av alla observatoer dvderat med deras atal. x 873+85+8385+83+8+83+8087+808+80 = 70 70 = 89 9 Meda Medae är de mttersta observatoe. = 8 Eller medelvärdet av de

Läs mer

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata

Sensorer och elektronik. Analys av mätdata Sesorer och elektrok Aalys av mätdata Iehåll Mätfel Några begrepp om saolkhetslära Läges- och sprdgsmått Kofdestervall Ljär regresso Mätosäkerhetsaalys Mätfel Alla mätresultat är behäftade med e vss osäkerhet

Läs mer

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet? Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel

Läs mer

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade

Läs mer

Bredbandsmarknaden i studentbostäderna i Lund ur ett mikroekonomiskt perspektiv

Bredbandsmarknaden i studentbostäderna i Lund ur ett mikroekonomiskt perspektiv 20060319 Kadidatuppsats i Natioaleoomi Bredbadsmarade i studetbostädera i Lud ur ett miroeoomist perspetiv Författare: Olof Karlsso Hadledare: Jerer Holm Dispositio... 3 INLEDNING... 4 Bagrud... 4 Syfte...

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR. ) De Moivres formel ==================================================== 2 = 1 Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR KOMPLEXA TAL x + y, där x, y R (rektagulär form r(cosθ + sθ (polär form r (cos θ + s θ De Movres formel y O x + x y re θ (potesform eller expoetell form θ e cosθ + sθ Eulers

Läs mer

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s.

Väntevärde, standardavvikelse och varians Ett statistiskt material kan sammanfattas med medelvärde och standardavvikelse (varians), och s. Vätevärde, stadardavvkelse och varas Ett statstskt materal ka sammafattas med medelvärde och stadardavvkelse (varas, och s. På lkade sätt ka e saolkhetsfördelg med käda förutsättgar sammafattas med vätevärde,,

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematsa Insttutonen KTH Lösnngar tll tentamenssrvnng på ursen Dsret Matemat, moment A, för D och F, SF1631 och SF1630, den 4 jun 009 l 08.00-13.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tllåtna på tentamenssrvnngen.

Läs mer

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z

Z-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4..3 Normalfördelge Bomal- och Possofördelge är två exempel på fördelgar för slumpvarabler som ka ata ädlgt eller uppräkelgt måga olka värde. Sådaa fördelgar sägs vara dskreta. Ofta är ett resultat X frå

Läs mer

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005

Föreskrift. om publicering av nyckeltal för elnätsverksamheten. Utfärdad i Helsingfors den 2. december 2005 Dr 1345/01/2005 Föreskrift om publicerig av yckeltal för elätsverksamhete Utfärdad i Helsigfors de 2. december 2005 Eergimarkadsverket har med stöd av 3 kap. 12 3 mom. i elmarkadslage (386/1995) av de

Läs mer

Kombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015

Kombinatorik. Torbjörn Tambour 21 mars 2015 Kombiatori Torbjör Tambour mars 05 Kombiatori är de del av matematie som sysslar med frågor av type På hur måga sätt a ma? Några gasa typisa exempel är följade: På hur måga olia sätt a åtta persoer bilda

Läs mer

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De

Läs mer

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda

Läs mer

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts:

Webprogrammering och databaser. Begrepps-modellering. Exempel: universitetsstudier Kravspec. ER-modellen. Exempel: kravspec forts: Webprogrammerig och databaser Koceptuell datamodellerig med Etitets-Relatiosmodelle Begrepps-modellerig Mål: skapa e högivå-specifikatio iformatiosiehållet i database Koceptuell modell är oberoede DBMS

Läs mer

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som

Geometriska summor. Aritmetiska summor. Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som. Geometriska talföljder kallar vi talföljder som Aritmetiska summor Aritmetiska talföljder kallar vi talföljder som, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 000, 1996, 199, 1988, 0.1, 0., 0.3, 0.4, för vilka differese mella på varadra följade tal kostat. Aritmetiska summor

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00 0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:

Läs mer

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin

Strukturell utveckling av arbetskostnad och priser i den svenska ekonomin Strukturell utvecklg av arbetskostad och prser de sveska ekoom Alek Markowsk Krsta Nlsso Marcus Wdé WORKING PAPER NR 06, MAJ 0 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET gör aalyser och progoser

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma

Läs mer

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15 Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt

Läs mer

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering

Databaser - Design och programmering. Programutveckling. Programdesign, databasdesign. Kravspecifikation. ER-modellen. Begrepps-modellering Databaser desig och programmerig Desig processe ER-modellerig Programutvecklig Förstudie, behovsaalys Programdesig, databasdesig Implemetatio Programdesig, databasdesig Databasdesig Koceptuell desig Koceptuell

Läs mer

Utvärdering av tidigarelagd start av prismätningar i nya radio- och TV-butiker

Utvärdering av tidigarelagd start av prismätningar i nya radio- och TV-butiker (5) PM till Nämde för KPI [205-05-8] PCA/MFO Kristia tradber Aders Norber Utvärderi av tidiarelad start av prismätiar i ya radio- och TV-butier För iformatio Prisehete har atait e stevis asats av implemeteri

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Binomialsatsen och komplexa tal TATM79: Föreläsig 3 Biomialsatse och omplexa tal Joha Thim augusti 016 1 Biomialsatse Ett miestric för att omma ihåg biomialoefficieter (åtmistoe för rimligt små är Pascals triagel: 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel

Läs mer

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26

Tentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26 Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010 Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att

Läs mer

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23 1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark

Läs mer

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2

= α. β = α = ( ) D (β )= = 0 + β. = α 0 + β. E (β )=β. V (β )= σ2. β N β, = σ2 Ljär regresso aolkhet och statstk Regressosaalys VT 2009 Uwe.Mezel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Fgur: Mätpukter: x, y Ljär regresso - kalbrerg av e våg Modell för ljär regresso Modell: y α +

Läs mer

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su.

Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet 106 91 Stockholm Sverige. http://www.math.su. Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ê ÔÖÓ Ð Ö Ö Ö Ò ÓÐ Ú Ö Ä Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½ ostadress: Matematis statisti Matematisa institutionen Stocholms universitet 106 91 Stocholm Sverige Internet: http://www.math.su.se/matstat

Läs mer

F10 ESTIMATION (NCT )

F10 ESTIMATION (NCT ) Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,

Läs mer

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmerings manual SE 65.044.20-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigs maual SE 65.044.20-1 INNEHÅLL Tekiska data Sida 2 Motage Sida 3-5 Programmerig Sida 6-11 Admiistrerig Sida 12-13 Hadhavade Sida 14-16 TEKNISKA DATA TEKNISK SPECIFIKATION

Läs mer

TENTAMEN TE 12. HÖGSKOLAN I BORÅS Textilhögskolan Olle Holmudd. VÄVERITEKNIK, 4,5 högskolepoäng, Ladokkod TVT10A. Datum: 2012.11.09. Tid: 09.00 13.

TENTAMEN TE 12. HÖGSKOLAN I BORÅS Textilhögskolan Olle Holmudd. VÄVERITEKNIK, 4,5 högskolepoäng, Ladokkod TVT10A. Datum: 2012.11.09. Tid: 09.00 13. HÖGSKOLAN I BORÅS Texthögoa Oe Homudd TENTAMEN TE 12 VÄVERITEKNIK, 4,5 högoepoäg, Ladood TVT10A Datum: 2012.11.09. Td: 09.00 13.00 Hjäpmede: Räare, färgpeor, upp, ja, petå, tejp Aayad och formead Ata dor:

Läs mer

Bilaga 1 Formelsamling

Bilaga 1 Formelsamling 1 2 Bilaga 1 Formelsamlig Grudbegre, resultatlaerig och roduktkalkylerig Resultat Itäkt - Kostad Lösamhet Resultat Resursisats TTB Täckigsgrad (TG) Totala itäkter TB Säritäkt Divisioskalkyl är de eklaste

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Liöpigs uiversitet Matematisa istitutioe Matemati och tillämpad matemati Kursod: TATA4 Provod: TEN Iga hjälpmedel är tillåta. Tetame i Evariabelaalys 4-4-3 l 4 9 Lösigara sall vara fullstädiga, välmotiverade,

Läs mer

Välkommen in i konfirmandens egen bibel!

Välkommen in i konfirmandens egen bibel! L Välkoe kofrades ege bbel! Upptäck Bbel tllsaas ed kofrade! Lbrs ya kofradutgåva av Bbel har två huvudpersoer: Jesus so är Bbels kära och stjära och de uga äska so ärar sg Bbel och tro. Ordet kofrad äs

Läs mer

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider...

Enkel slumpvandring. Sven Erick Alm. 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) 2 Apan och stupet 3 2.1 Passagesannolikheter... 3 2.2 Passagetider... Ekel slumpvadrig Sve Erick Alm 9 april 2002 (modifierad 8 mars 2006) Iehåll 1 Iledig 2 2 Apa och stupet 3 2.1 Passagesaolikheter............................... 3 2.2 Passagetider....................................

Läs mer

Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ

Läs mer

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾

ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen

Centrala gränsvärdessatsen Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Cetrala gräsvärdessatse Cetrala gräsvärdessatse Vätevärdet och varase för e ljär kombato av stokastska varabler beräkas elgt följade: S Låt c, c,, c vara kostater,,,, stokastska

Läs mer

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1). Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse

Läs mer

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde

Läs mer

Ny lagstiftning från 1 januari 2011

Ny lagstiftning från 1 januari 2011 Ny lagstiftig frå 1 jauari 2011 1. Ny lag lage om allmäyttiga kommuala bostadsaktiebolag 2. Förädrigar i hyreslage De ya lagstiftige - Bakgrud Klicka här för att ädra format på uderrubrik i bakgrude q

Läs mer

Enkät inför KlimatVardag

Enkät inför KlimatVardag 1 Ekät iför KlimatVardag Frågora hadlar om dia förvätigar på och uppfattigar om projektet, samt om hur det ser ut i ditt/ert hushåll idag. Ekäte är uderlag för att hushållet ska kua sätta rimliga och geomförbara

Läs mer

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1 Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar

Läs mer

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.

Läs mer

ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º

Läs mer

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 16/6 till och med 17/8 2014. www.skelleftebuss.se Tel.

Tidtabell. 208/209 Skellefteå - Skelleftehamn Sommar, från och med 16/6 till och med 17/8 2014. www.skelleftebuss.se Tel. Iformatio Dessa biljetter ka köpas på busse; - Ekelbiljett, ige fri övergåg till stadsbussara. - Rabattkort, rabatterade resor med ca 20 %, valfritt atal resor frå 6 resor och uppåt. - Periodkort, gäller

Läs mer

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart KOD: Kurskod: PC106/PC145 Kurs 6: Persolighet, hälsa och socialpsykologi (15 hp) Datum: 3/8 014 Hel- och halvfart VT 14 Provmomet: Socialpsykologi + Metod Tillåta hjälpmedel: Miiräkare Asvarig lärare:

Läs mer

Finansiell ekonomi Föreläsning 2

Finansiell ekonomi Föreläsning 2 Fiasiell ekoomi Föeläsig 2 Fö alla ivesteigsbeslut gälle: Om ytta > Kostad Geomfö ivesteige Om Kostad > ytta Geomfö ite ivesteige Gemesam ehet = pega Vädeig = makadspis om sådat existea (jf. vädet av tid

Läs mer

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:

Läs mer

Räkning med potensserier

Räkning med potensserier Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som

Läs mer

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor

Mätbar vetskap om nuläget och tydliga målbilder om framtiden. Genomför en INDICATOR självvärdering och nulägesanalys inom tre veckor Mätbar vetskap om uläget och tydliga målbilder om framtide Geomför e INDICATOR självvärderig och ulägesaalys iom tre veckor Självvärderig e del av dokumetatioskravet i ya skollage Skollage ställer också

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall: LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister,

Läs mer

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff.

En jämförande studie av GLM, Jungs metod och Tweedie-modell för premiesättning av multiplikativ tariff. atematk tattk Stockholm uvertet E ämförade tude av GL, Jug metod och Teede-modell för premeättg av multplkatv tarff. El Laro Eamearete 4: Potal addre: atematk tattk Dept. of athematc Stockholm uvertet

Läs mer

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner

Digital signalbehandling Fönsterfunktioner Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers

Läs mer

Många tror att det räcker

Många tror att det räcker Bästa skyddet Måga vet ite hur familje drabbas ekoomiskt om ågo dör eller blir allvarligt sjuk. Här berättar Privata Affärer vilket skydd du har och hur du ka förbättra det. Av Aika Rosell och Igrid Kidahl

Läs mer

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel?

1. a Vad menas med medianen för en kontinuerligt fördelad stokastisk variabel? Tentamenskrvnng: TMS45 - Grundkurs matematsk statstk och bonformatk, 7,5 hp. Td: Onsdag den 9 august 2009, kl 08:30-2:30 Väg och vatten Tesen korrgerad enlgt anvsngar under tentamenstllfället. Examnator:

Läs mer

Tillämpning av Trafikverkets grafiska profil på Don t drink & drive

Tillämpning av Trafikverkets grafiska profil på Don t drink & drive Tllämpg av Trafkverkets grafska profl på Do t drk & drve Utvalda delar och bestämmelser ur Trafkverkets grafska maual, som stöd vd framtagg av Do t drk & drve-materal. Följade pukter ska ses som rekommedatoer

Läs mer

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning

Sydkraft Nät AB, Tekniskt Meddelande för Jordningsverktyg : Dimensionering, kontroll och besiktning ydkraft Nät AB, Tekiskt Meddelade för Jordigsverktyg : Dimesioerig, kotroll och besiktig 2005-04-26 Författare NUT-050426-006 Krister Tykeso Affärsområde Dokumettyp Dokumetam Elkrafttekik Rapport 1(6)

Läs mer

4.2.3 Normalfördelningen

4.2.3 Normalfördelningen 4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett

Läs mer

Kompletterande kurslitteratur om serier

Kompletterande kurslitteratur om serier KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du

Läs mer

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter.

Remiss Remissvar lämnas i kolumnen Tillstyrkes term och Tillstyrkes def(inition) och eventuella synpunkter skrivs i kolumnen Synpunkter. 1(10) Svar lämat av (kommu, ladstig, orgaisatio etc.): Remiss Remissvar lämas i kolume Tillstyrkes term och Tillstyrkes (iitio) och evetuella sypukter skrivs i kolume Sypukter. Begreppe redovisas i Socialstyrelses

Läs mer

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}. rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.

Läs mer

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB

Vikingen FutureLook. Delphi Finansanalys AB Vikige FutureLook by Delphi Fiasaalys AB Referesmaual för Vikig FutureLook Översikt Futurelook är ett uikt och mycket kraftfult verktyg för fiasaalytiker och kapitalplacerare. Med FutureLook är det möjligt

Läs mer

Matematisk statistik

Matematisk statistik Tetame TEN, HF, 8 aug Kursod: HF Srivtid: 8:-: Lärare och examiator: Armi Halilovic Matematis statisti Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statisti ") och miiräare av vile typ som

Läs mer

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014

MARKNADSPLAN Kungälvs kommun 2010-2014 MARKNADSPLAN Kugälvs kommu 2010-2014 Fastställd av KF 2010-06-17 1 Iehåll Varför e markadspla? 3 Mål och syfte 4 Markadsförutsättigar 5 Processer, styrig och orgaisatio 6 Politisk styrig 7 Politisk styrig,

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik I G. Gripeberg Mägder och logik Relatioer och fuktioer Aalto-uiversitetet oktober 04 Kombiatorik etc. G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet MS-A0409 Grudkurs i diskret

Läs mer

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Sigstam, Styf Svar till övigsteta ENVARIABELANALYS 0-0- Svar till övigsteta. Del A. Bestäm e ekvatio för tagete till kurva y f x) x 5 i pukte där x. Skissa kurva.

Läs mer

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan Iledade matematisk aalys TATA79) Hösttermie 016 Föreläsigs- och lekiospla Föreläsig 1 Logik, axiom och argumet iom matematik, talbeteckigssystem för hetal, ratioella tal, heltalspoteser. Lektio 1 och Hadledigstillfälle

Läs mer

Lycka till och trevlig sommar!

Lycka till och trevlig sommar! UMEÅ UNIVERSITET Isttutoe för matematsk statstk Statstk för lärare, MSTA38 Lef Nlsso TENTAMEN 07-05-3 TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statstk för lärare, 5 poäg Skrvtd: 09.00-5.00 Tllåta hjälpmedel: Tabellsamlg,

Läs mer

CONSTANT FINESS SUNFLEX

CONSTANT FINESS SUNFLEX Luex terrassarkiser. Moterigs- och bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX 5 6 Markises huvudkopoeter och ått Placerig av kobikosol rklockor och justerig Parallelljusterig vädig och skötsel Huvudkopoeter och

Läs mer

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator

Design mönster. n n n n n n. Command Active object Template method Strategy Facade Mediator Desig möster Desig möster Commad Active object Template method Strategy Facade Mediator Commad Ett av de eklaste desig möstre Me också mycket avädbart Ett grässitt med e metod Comm ad do()

Läs mer

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25

Markanvisningsavtal för och försäljning av fastigheten Gesällen 25 TJÄNSTSKRIVLS Hadläggare atum Äredebeteckig Johaa Kidqvist -05- KS /05 50 Kommufullmäktige Markavisigsavtal för och försäljig av fastighete Gesälle 5 Förslag till beslut Kommufullmäktige godkäer förslag

Läs mer

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig

Läs mer

KOMBINATORIK. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2005 Eftertryck förbjudes eftertryckligen

KOMBINATORIK. Matematiska institutionen Stockholms universitet Första upplagan 2005 Eftertryck förbjudes eftertryckligen KOMBINATORIK Torbjör Tambour Matematisa istitutioe Stocholms uiversitet Första upplaga 005 Eftertryc förbjudes eftertryclige Postadress Matematisa istitutioe Stocholms uiversitet 06 9 Stocholm Besösadress

Läs mer

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen

Lärarhandledning Att bli kvitt virus och snuva - När Lisa blev av med förkylningen Lärarhadledig Att bli kvitt virus och suva - När Lisa blev av med förkylige För ytterligare iformatio kotakta projektledare: Charlotte.Kristiasso@phs.ki.se 1 Iledig Atibiotikaresistes är ett växade problem

Läs mer